雙曲線的切線全面版

1、雙曲線的切線（11） 不妨只考察P在原點(diǎn)、P在坐標(biāo)軸正半軸上、P在第一象限內(nèi)的情形當(dāng)P在原點(diǎn)或P在區(qū)域時(shí)，不存在切線；當(dāng)P在C1或C2(不含原點(diǎn))上時(shí)，僅一條切線；當(dāng)P在區(qū)域、或在C3(不含A、B)上時(shí)，有兩條切線結(jié)論：原點(diǎn)處無(wú)切線。點(diǎn)在C3上時(shí)一條切線當(dāng)P在線段AB上時(shí)，Q在C1的右支上半支當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，Q在C1的左支下半支若點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi), 過(guò)P不存在切線若點(diǎn)P在曲線C1上(異于點(diǎn)A), 切點(diǎn)即點(diǎn)P若點(diǎn)P在曲線C2上(異于點(diǎn)B), 若P在線段OB上，Q在C1右支下半支若P在線段OB的延長(zhǎng)線上， Q在C1右支上半支若點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi), Q1在C1右支下半支，Q2在C1右支上半支若點(diǎn)P

2、在區(qū)域內(nèi), Q1、Q2位于C1同一支且在x軸同側(cè)若點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi), Q1在C1的右支下半支，Q2在C1的左支下半支若點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi), Q1在C1左支下半支，Q2在C1的右支上半支x=a；C3與C2的交點(diǎn)為B(a，b)；C1的內(nèi)部(含焦點(diǎn)的部分)為區(qū)域；C1與C2之間的部分，在C3左側(cè)為區(qū)域，在C3右側(cè)部分為區(qū)域；C2與y軸正半軸所夾的部分，在C3左側(cè)為區(qū)域，在C3右側(cè)為區(qū)域1 若P在原點(diǎn) 直線x=0不是C1的切線設(shè)過(guò)P(0，0)的直線l的方程為y=kx，代入(1)消去y得(b2a2k2)x2a2b2，實(shí)根，l與C1有兩個(gè)交點(diǎn)故過(guò)P不存在C1的切線2 若過(guò)點(diǎn)P存在無(wú)斜率的切線故點(diǎn)P在C3上時(shí)，C3為

3、C1的一條切線，切點(diǎn)為A3 若過(guò)點(diǎn)P存在有斜率的切線設(shè)切線斜率為k，則切線方程為yy0=k(xx0)(2)將(2)代入(1)消去y可得(b2a2k2)x22a2k(y0kx0)xa2(y0kx0)2b2=0(3)方程(3)的判別式3.1 若點(diǎn)P在C3上(異于點(diǎn)A)x0=a，一次方程f(k)=0的解為C1的切線當(dāng)P在線段AB上時(shí)，by0，Qx0，Qy0，故Q在C1的右支上半支當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，by0，Qx0，Qy0，故Q在C1的左支下半支3.2 若點(diǎn)P不在C3上此時(shí)x0a二次方程f(k)=0有實(shí)根的充要條件是其判別式 若點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi)0方程f(k)=0無(wú)實(shí)根，故過(guò)P不存在切線 若點(diǎn)P在曲

4、線C1上(異于點(diǎn)A)注意到(5)式，切線方程可化為切點(diǎn)即點(diǎn)P 若點(diǎn)P在曲線C2上(異于點(diǎn)B)為過(guò)點(diǎn)P且斜率為k1的直線即C2，不是C1的切線故C1僅有一條切線將(7)代入(2)并注意到(6)，可得切線方程為x00，Qx0，故Q在C1的右支上若P在線段OB上，0y0b，Qy0，故Q在C1右支下半支若P在線段OB的延長(zhǎng)線上，y0b，Qy0，故Q在C1右支上半支 若點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi)0，方程f(k)=0有兩相異實(shí)根，設(shè)為k1、k2，且k1k2，則設(shè)相應(yīng)于ki的切點(diǎn)為Qi(xi，yi)，i=1，2將(10)代入(2)得由(10)、(11)和(9)可推得0x0a，0y0b，由(8)和(12)知，x1x20，y1y20，Q1、Q2在C1的同一支，且在x軸異側(cè)由(9)知，k1k20，故Q1在C1右支下半支，Q2在C1右支上半支  若點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi)仿3.2.4的討論可知，x1x20，y1y20，Q1、Q2位于C1同一支且在x軸同側(cè) 若點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi)0，f(k)=0有兩相異實(shí)根Q1在C1的右支下半支，Q2在C1的左支下半支 若點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi)Q1在C1左支下半支，Q2在C1的右支上半支綜上所述：當(dāng)P在原點(diǎn)或P在區(qū)域時(shí)，不存在切線；當(dāng)P在C1或C2(不含原點(diǎn))上時(shí)，僅一條切線；當(dāng)P在區(qū)域、或在C