隨機過程PPT第一章1

1、1隨機過程隨機過程v南京郵電大學v理學院v胡國雷2教材：隨機過程，劉次華，華中理工大學出版社。參考書：1.應(yīng)用隨機過程，林元烈編著，清華大學出版社；2.隨機系統(tǒng)分析引論，盛昭瀚，東南大學出版社；3.隨機過程，伊曼紐爾、帕爾遜著， 鄧永錄、楊振業(yè)譯，高等教育出版社；4.隨機過程，Sheldon M1.Ross著。3第一章 預備知識預備知識 簡要回顧一下概率論中與本課程有關(guān)的基本概念：隨機試驗、樣本空間、事件、概率、隨機變量、概率分布、數(shù)字特征等。4一、基本概念v試驗結(jié)果事先不能準確預言，三個特征:可以在相同條件下重復進行；每次試驗結(jié)果不止一個，可預先知道試驗所有可能結(jié)果；每次試驗前不能確定那個結(jié)

2、果會出現(xiàn)。樣本空間隨機試驗所有可能結(jié)果組成的集合，記為隨機事件樣本空間的子集A稱為隨機事件，用A、B、C表示1.1 概率空間概率空間隨機試驗5注：由于事件是集合，故集合的運算（并、交、差、上極限、下極限、極限等）都適用于事件。稱 為必然事件，W樣本空間 也是一個事件，W空集 稱為不可能事件。F注：所謂某個事件在 試驗中是否出現(xiàn)，當且僅當該事件所包含的某個樣本點是否出現(xiàn)，因此一個事件實際上對應(yīng)于的一個確定的子集。事件的概率論運算 子集的集合論運算。 6 在實際問題中，并不是對所有的事件：（樣本空間的所有子集）都感興趣，而是關(guān)心某些事件（的某些子集）及其發(fā)生的可能性大?。ǜ怕剩?。 為了數(shù)學上處理方

3、便，我們常要求這些子集組成的類具有一些基本性質(zhì)（即對事件需加一些約束） 代數(shù)（事件族）二、7;).1(FW定義1.1設(shè)樣本空間 的某些子集構(gòu)成的集合記為F，如果F滿足下列性質(zhì)：eWFAAW ，則若FA).2(.,2, 1,).3(1FAkFAkkk 則若F中的元素稱為事件。則稱F為 代數(shù)（Bord事件域），稱為可測空間),(FW8例如，例如，包含包含A的最大的的最大的 代數(shù)是代數(shù)是 的一切的一切子集組成的集類子集組成的集類W對于某個事件對于某個事件A A包含它的包含它的 代數(shù)不是唯一的代數(shù)不是唯一的而包含而包含A的最小的的最小的 代數(shù)則是：代數(shù)則是：,FWAA注：注：F F（）表示由）表示由的

4、子集全體構(gòu)成的集合類，的子集全體構(gòu)成的集合類，顯然滿足上述定義的（顯然滿足上述定義的（1）（3），但這個族常），但這個族常常顯得太大以致對于某些樣本空間而言不可以在常顯得太大以致對于某些樣本空間而言不可以在這樣的族上定義滿足三條公理的概率函數(shù)這樣的族上定義滿足三條公理的概率函數(shù))(P。 為了建立概率的數(shù)學理為了建立概率的數(shù)學理論通常只需把事件族論通常只需把事件族取為具有定義（）（）中并包含了我們感取為具有定義（）（）中并包含了我們感興趣的所有集合的的最小子集族。興趣的所有集合的的最小子集族。9三、概率的公理化定義三、概率的公理化定義 為了完成隨機現(xiàn)象的數(shù)學描述，還要規(guī)定隨機事件族上的概率函數(shù)即

5、對中的每個事件要定義一個稱作為的概率的數(shù) ，作為事件A的函數(shù)必須假定滿足三條公理。)(P)(AP非負性；1)(0,) 1 (APFA有對規(guī)范性；1(2W）（PFAA,)3(21若兩兩互不相容，即)(jiAAjiF有11)()(kkkkAPAP則稱P為（，F(xiàn)）上的概率，（，F(xiàn)，P）稱為概率空間，P（A）為事件A的概率。定義1.2：設(shè)（，F(xiàn)）是可測空間， 是定義在F上的實值函數(shù)，如果 滿足)(AP)(AP10由此定義出發(fā)，可推出概率的其它一些性質(zhì)：; 0)()4(FP)()(),()()(,)5(APBPAPBPABPBAFBA且則若即概率具有單調(diào)性；211121)()()(, 2 , 1,)6(

6、limAAAPAAAPAPnFAiiiinnn若若則設(shè)1,1nAAnn當新事件：1limiinnAA1,1nAAnn當1limiinnAA連續(xù)性定理11條件概率v在事件B已發(fā)生這一條件下，事件A發(fā)生的概率。)()()|(BPBAPBAP全概率公式v若有N個互斥事件Bn（n=1,2,N），它的并集等于整個樣本空間，則NiiiBPBAPAP1)()|()(四、幾個重要公式四、幾個重要公式加法公式)()()()(,ABPBPAPBAPFBA則若12v設(shè)事件B1，B2，Bn構(gòu)成一個完備事件組，概率P(Bi)0,i=1,2,n,對于任何一個事件A，若P(A)0, 有NiiiiiiBAPBPBAPBPAB

7、P1)|()()|()()|(貝葉斯公式獨立事件)()()(BPAPBAP獨立事件族：設(shè)設(shè)（，F(xiàn)，P）是概率空間，是概率空間， 如果對任意如果對任意 有有 則稱則稱Y為為獨立事件族。FY , 2 , 1,21nYAAAnniniiiAPAP11)()(131.2 隨機變量及其分布隨機變量及其分布一、一維隨機變量及其分布函數(shù)一、一維隨機變量及其分布函數(shù) 由于數(shù)學分析不能直接利用來研究集合函數(shù)，這樣影響對隨機現(xiàn)象的研究。解決這個問題的方法，主要是設(shè)法在集合函數(shù)與數(shù)學分析中所研究的點函數(shù)間建立某種聯(lián)系，從而能用數(shù)學分析去研究隨機現(xiàn)象。14X(e)就是一個函數(shù)，它把樣本點映射到實數(shù)軸上，隨機變量就是從

8、原樣本空間到新樣本空間的一種映射，我們通常把這樣一種對應(yīng)關(guān)系稱之為在概率空間上的一個隨機變量。下面我們給出隨機變量的數(shù)學定義。定義定義1.4：設(shè)（：設(shè)（ ，F(xiàn)，P）是概率空間，）是概率空間，X=X(e)是定義在是定義在上的實函數(shù)，如果對任意實數(shù)上的實函數(shù)，如果對任意實數(shù)x，e:X(e) x F，則稱，則稱X(e)是是F上的隨機變量。上的隨機變量。15事件隨機變量離散型隨機變量：離散型隨機變量：只取有限個數(shù)值或可列無窮多個值。只取有限個數(shù)值或可列無窮多個值。連續(xù)型隨機變量：從原樣本空間到新樣本連續(xù)型隨機變量：從原樣本空間到新樣本空間的映射是某一個范圍，是一段（或幾空間的映射是某一個范圍，是一段（

9、或幾段）實線（也可能是整個坐標軸），隨機段）實線（也可能是整個坐標軸），隨機變量可以取值于某一區(qū)間中的任一數(shù)。變量可以取值于某一區(qū)間中的任一數(shù)。16分布函數(shù)（一個描述隨機變量取值的概分布函數(shù)（一個描述隨機變量取值的概率分布情況的統(tǒng)一方法）率分布情況的統(tǒng)一方法）xxeXePxF),)(:()( 。xFxFxFxFxFFxFF；xFxF，xxxF：xFxx0,3; 10, 1lim, 0lim2:12121即右連續(xù)有時即當是非降函數(shù)具有下列性質(zhì)分布函數(shù)17離散型隨機變量離散型隨機變量X的概率分布用分布律描述：的概率分布用分布律描述：,2 , 1,kpxXPkk:)(描述的概率分布用密度函數(shù)連續(xù)型隨

10、機變量xfX xxkkpxF:分布函數(shù) dttfxFx分布函數(shù)為：18離散型隨機變量的概率分布用分布列描述01分布二項分布泊松分布qXPpXP)0(,)1(nkqpCkXPknkkn2,1 ,0,)(,2,1 ,0,!)(kekkXPk連續(xù)型隨機變量的概率分布用概率密度描述均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布其它,0,1)(bxaabxfxexfax,21)(222)(0,00,)(xxexfx19隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布在給定某任意的隨機變量X，以及它的概率分布函數(shù)FX(x)，希望進一步求出給定的隨機變量的某些可測函數(shù)（如Y=g(X)）的概率分布函數(shù)。非線性放大器YXY的概率分布函數(shù)公式為)

11、,)(:()(XYeyXgePyFW如果上式右端概率的導數(shù)對于y處處存在，那么這個導數(shù)就給出了隨機變量Y的概率密度),)(:()(XYeyXgePdydyfW20二、二、n維隨機變量及其分布函數(shù)維隨機變量及其分布函數(shù)定義1.5 設(shè)（ ，F(xiàn)，P）是概率空間，X=X(e)（X1(e),Xn(e)）是定義在上的n維空間Rn中取值的向量函數(shù)。如果對于任意x=(x1,xn) Rn，e:X1(e) x1,Xn(e) xn F，則稱X=X(e)為n維隨機變量。稱為X=(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù) nniiinnnxXePxeXxeXxeXePxxxFxF:,:,22112 .121:,21具有下列性質(zhì)

12、維聯(lián)合分布函數(shù)nxxxFn ；xxx，F(xiàn)xxxxnni是非降函數(shù)對于每個變量,12121 ；aaaF，bbabbabbFbbabbFbbbFniba，bababa，Rnnjijinjjjiiininiiiniinnn0,1, 1,;,;,3211,111111111212211其中中的任意區(qū)域?qū)τ?；xxx，F(xiàn)xxxxnni是右連續(xù)的對于每個變量,22121率中任一超長方體中的概落在nRX 1,01,lim, 2 , 1, 0,lim421212121nnnixxxFxxxFxxxnixxxxFxni22三、邊緣分布三、邊緣分布 若二維聯(lián)合分布函數(shù)中有一個變元趨于無窮，則其極限函數(shù)便是一維分布

13、函數(shù)，對于這種特殊性質(zhì)，我們稱其為邊緣緣分布。),(),()()(yFyYXPyYPyFY對于任意兩個隨機變量X,Y，其聯(lián)合分布函數(shù)為：),(yxF則：分別稱FX(x)和FY(y)為 關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣緣分布函數(shù)。),(yxF),(),()()(xFYxXPxXPxFX23離散型隨機變量（X，Y）邊緣緣分布律計算如下連續(xù)型隨機變量（X，Y）邊緣緣概率密度計算如下dyyxfxfX),()(, 2 , 1,)(1ippxXPjijii, 2 , 1,)(1jppyYPiijjjdxyxfyfY),()(24相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量設(shè)X，Y是兩個隨機變量，若對任意實數(shù)x，y有)()()

14、()(),(yYPxXPyYxXPyYxXP則稱X，Y為相互獨立的隨機變量。若X，Y為相互獨立隨機變量，則有)()(),()()(),(yfxfyxfyFxFyxFYXYX聯(lián)合密度邊緣密度邊緣密度聯(lián)合密度25四、條件分布四、條件分布)()()|(BPBAPBAP)()()|()|(|BPBxXPBxXPBxFBX)(),()|(|yfduyufyYxFYxYX條件概率條件分布函數(shù)兩邊對x微分)(),()|(|yfyxfyxfYYXxYXYXduyufyYxF)|()|(|261.3 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征v隨機變量的數(shù)學期望v隨機變量函數(shù)的期望v方差v協(xié)方差v相關(guān)系數(shù)v獨立與不相

15、關(guān)27一、斯蒂爾吉斯積分（補充）一、斯蒂爾吉斯積分（補充）1.有限區(qū)間上的斯蒂爾吉斯積分bxxxa，nba，baxgxfn10,)(),(分點為個子區(qū)間分成把區(qū)間有界函數(shù)上的兩個是定義在區(qū)間設(shè)定義nkxxkk1,max1令 111,kkknkkkkxgxgfSxx作和式上任意取一個點在每一個子區(qū)間28 .,Stieltjesbaxgxf的斯蒂爾吉斯積分上在區(qū)間對函數(shù)則稱此極限為函數(shù) xdgxfba記為 。Sx，xg，SS積分就變成黎曼積分則如果取推廣黎曼積分的積分是高等數(shù)學中積分簡稱 ，xgxgfSnkkkk存在如果極限1100limlim，k的取法無關(guān)且與子區(qū)間的分法和292.無限區(qū)間上的無

16、限區(qū)間上的S積分積分 ，Sxgxf，ba，xgxf可積的是對上若在任意有限區(qū)間的兩個函數(shù)上是定義在無限區(qū)間設(shè)定義, ，xgxf的斯蒂吉斯積分上在無限區(qū)間對則稱此極限為, 存在且極限babaxdgxflim xdgxf記為30 級數(shù)積分可化為通常積分或取一些特殊形式時當在積分中，xg，. 3 ，xx，xg個有限多個或無限可列多躍點為它的跳上的階梯函數(shù)是在若,21積分化成黎曼積分。后者把積分化為和式前者把S，S kkkkxgxgxfxdgxf：00則 xg，xg它的導函數(shù)為上的可微函數(shù)是在若, dxxgxfxdgxf則31 的數(shù)學期望或均值。為則稱，若的分布函數(shù)為設(shè)隨機變量定義XxxdFEXxdF

17、xxFX左邊的積分稱為斯蒂爾吉斯積分, 2 , 1,kpxXP，Xkk分布律為為離散型隨機變量若1kkkpxEX則 xf，X概率密度為為連續(xù)型隨機變量若 dxxxfEX則二、數(shù)學期望二、數(shù)學期望32隨機變量函數(shù)的期望隨機變量函數(shù)的期望已知隨機變量X的數(shù)學期望，求隨機變量函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學期望，dxxfxgdyyyfXgEYEXY)()()()()(對于多維隨機變量維連續(xù)函數(shù)是的聯(lián)合分布函數(shù)為維隨機變量若nXXXgxxxFXXXnnnn,212121nnnxxxdFxxxgXXXgE,21212133設(shè)X1,X2, ,Xn為隨機變量，求隨機變量函數(shù)Y=a1X1+a2X2+anXn的數(shù)學期望。

18、)()()()()()()()(221122112211nnnnnnXEaXEaXEaXaEXaEXaEXaXaXaEYE已知隨機變量X1和X2，求隨機變量函數(shù)YaX1+bX2的數(shù)學期望)()(),(),(),()()(212121221211212121XbEXaEdxdxxxfxbdxdxxxfxadxdxxxfbxaxYE34加權(quán)和的期望等于加權(quán)期望的和求數(shù)學期望是線性運算數(shù)學期望的線性運算不受獨立條件限制已知隨機變量X1和X2，求隨機變量函數(shù)Yg1(X1)g2(X2)的數(shù)學期望 21212211),()()(dxdxxxfxgxgYE35假設(shè)兩個隨機變量X1和X2相互獨立，則有)()(

19、),(212121xfxfxxfXX因此，有)()()()()()()()()()(221122221111212122112121XgEXgEdxxfxgdxxfxgdxdxxfxfxgxgYEXXXX EYEXXYE，YX則相互獨立特別若 ,36三、方差（隨機變量取值的離散程度）的方差為則稱若是隨機變量設(shè)定義XEXXEDX，EX，X2222EXEX：DX計算公式XDX 標準差為常數(shù)則相互獨立若baDYbDXabYaXD，YX,2237四、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的協(xié)方差為則稱是隨機變量設(shè)定義YXEYYEXXEBEYEXYXXY,9 . 122大小之間的線性相關(guān)程度的，表示相關(guān)系數(shù)YXXY)()()

20、()(),(YEXEXYEEYYEXXEYXCov引入一個描述兩個隨機變量相關(guān)程度的系數(shù)DYDXYXCovdefXY),(XY稱為歸一化的協(xié)方差系數(shù)或相關(guān)系數(shù)。11XY若XY0，則稱隨機變量X和Y不相關(guān)。38若兩個隨機變量X和Y的聯(lián)合矩滿足jijiYEXEYXE則稱隨機變量X和Y統(tǒng)計獨立39五、五、K階原點矩、階原點矩、k階中心矩階中心矩隨機變量X，若E|X|k，稱EXk為k階原點矩。1)(iXkikikdxxfxpxXE離散隨機變量連續(xù)隨機變量又若EX存在，且E|X-EX|k ，稱)(kXEXE為X的k階中心矩。1)()()()(iXkikikdxxfXExpXExXEXE離散隨機變量連續(xù)隨

21、機變量40一階原點矩就是隨機變量的數(shù)學期望，)(xxdFEX數(shù)學期望大致的描述了概率分布的中心。二階中心矩就是隨機變量的方差，2)(EXXEDXdef方差反映隨機變量取值的離散程度。01分布泊松分布正態(tài)分布常用分布的數(shù)學期望和方差（見表11）41中心化的兩個隨機變量X-EX，Y-EY的互相關(guān)矩稱為隨機變量X和Y的協(xié)方差，)()()()(),(YEXEXYEEYYEXXEYXCov協(xié)方差是描述隨機現(xiàn)象中，隨機變量X和Y概率相關(guān)的程度。42相互獨立不相關(guān)0)(),(YEXEXYEEYYEXXEYXCov相互獨立不相關(guān)設(shè)Z是一個隨機變量，具有均勻概率密度其它,020,21)(zzfZ令X=sinZ，

22、Y=cosZ，求隨機變量X和Y是否相關(guān)，是否獨立？431.4 1.4 特征函數(shù)、母函數(shù)特征函數(shù)、母函數(shù) 數(shù)字特征只反映了概率分布的某些側(cè)面，一般并不能通過它們來確定分布函數(shù)，這里將要引進的特征函數(shù)，既能完全決定分布函數(shù)而又具有良好的分析性質(zhì)。一、復隨機變量., F,上的實值隨機變量都是概率空間與如果PYXWiEYEXEZ數(shù)學期望為復隨機變量則稱iYXZ對復隨機變量也可以平行于實隨機變量建立起一系列結(jié)果。44是相互獨立的若例如nZ，ZZ,21nnEZEZEZZZZE2121則二、特征函數(shù)二、特征函數(shù) 的特征函數(shù)為稱的分布函數(shù)為設(shè)隨機變量定義XxxdFeeEtgxFXitxitX必然存在。故隨機變

23、量的特征函數(shù)由于的復值函數(shù)，的特征函數(shù)是一個實變量, 1itxet45對離散型隨機變量，若其分布律為 12 , 1,kkkpetgkpxXPkitxk，則 xf，若其分布密度函數(shù)為對于連續(xù)型隨機變量 dxxfetgitx則 的付里葉變換。特征函數(shù)是密度函數(shù)這時xf， 有反演公式的條件下在積分理論根據(jù)dttg，F(xiàn) dttgexfitx2146三、特征函數(shù)的性質(zhì)三、特征函數(shù)的性質(zhì) tgtg，tgg1, 101 110 xdFg證： tgxdFexdFetgitxitx 01gxdFetgitx47 上一致連續(xù)在特征函數(shù),2tg ttghtgh，ttg有時當無關(guān)的與總上一致連續(xù)：在所謂0, 0, x

24、dFhxxdFxdFexdFxdFexdFeetghtg：AAAxAAihxAxihxitxxhti2sin22121證48 。，h，xdFAtAx從而證明了結(jié)論第二個積分也任意小可使然后選充分小的任意小使無關(guān)，可選足夠大的上式右邊已與 kkknEXignk，ntgX，EXnX03時且當次可微分特征函數(shù)的則存在階矩的若隨機變量kitxkkitxkkxexiedtd證： xdFx，kXk故階矩存在的由于因而可作下列積分號下的微分49 xdFexixdFedtdtgitxkkitxkkk kkkEXigt0, 0 即得取此性質(zhì)使我們可以方便地求得隨機變量的各階矩 ：ZZZtttn，tgnn有和復數(shù)

25、及任意實數(shù)即對任意正整數(shù)是非負定函數(shù),4212102111111,nkkXitnknllXitkXitknknllknlklkZeEZeZeEZZeEZZttgklklXltkti證：01,lZZttgknlklk50 ：XXXX，XXXnn的特征函數(shù)為則是相互獨立的隨機變量若2121,5 tgtgtgtgnXXXX21)( n，iXtgiXi, 2 , 1的特征函數(shù)是隨機變量其中也相互獨立所以復隨機變量相互獨立因為證nitXitXnee，X，XX：,121 tgtgeEeEeeEeEeEtgnnnnXXitXitXitXitXXXXititX11121所以51 atgetgbabaXYXib

26、tY則為常數(shù)設(shè),6 atgeeEeeEeEt：gXitbitaXitbbaXititYY證明（7）特征函數(shù)與分布函數(shù)是相互唯一確定的 dttgiteexFxF，xFxxtgxF：TTitxitxT2121lim,1221則的連續(xù)點是又為的特征函數(shù)設(shè)分布函數(shù)逆轉(zhuǎn)公式證略52唯一性定理： 分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一決定 有時的連續(xù)點趨于沿當上的每一連續(xù)點在應(yīng)用逆轉(zhuǎn)公式證，xFy，xF，： dttgiteeyFxFxFTTitxityTyy-limlim21lim而分布函數(shù)由其連續(xù)點上的值唯一決定不連續(xù)點利用右連續(xù)性53 有下列更強的結(jié)果是絕可積函數(shù)時特別當，tg 而且的導數(shù)存在連續(xù)則相應(yīng)的分布函數(shù)若

27、定理，xF，dttg： dttgexfxFitx21)(dxexftgitx)()(即在特征函數(shù)絕對可積的條件下，概率密度與特征函數(shù)構(gòu)成一對付氏變換。54 的連續(xù)點是及若由逆轉(zhuǎn)公式證明xFxx，： TTitxTdttgetxFxFtsin1lim則 TTitxTdttgettxFxFsin21lim2因此 tgtgettitxsin由于因此用控制收斂定理知（極限號與積分號交換的勒貝格控制收斂定理）55 dttgexFxFxfxFitx212lim)(0 。tgxf，tg，聯(lián)系可以通過付里葉變換來與特征函數(shù)分布密度是絕對可積的條件下在因此56四、多元特征函數(shù)四、多元特征函數(shù),. 12121nnn

28、Rtttt，nXXXX維隨機向量是設(shè)定義。n特征函數(shù)的性質(zhì)一維隨機變量的維特征函數(shù)具有類似于 的特征函數(shù)為則稱XXtiEEetttgtgnkkkXt inX121exp,57 是否獨立?？捎么伺袆e反之也成立相互獨立）若（nnXXXtXtinXn，XX，tgtgeE，t，ttg，X，XXnnn,2112121111性質(zhì). 2中一致連續(xù)，在nnRtttg),().1 (21, 1)0 , 0 , 0(),(21gtttgn且),(),(2121nntttgtttg58kejjttgttgkXXXXXXetnXjjnjjjjkk, 2 , 1,30121121則個中任意是）設(shè)（征函數(shù)個分量的邊緣分布

29、的特這是任意k012121211212121,)4(nnllnnntttknknkkkkkknkkittgtttXXXE59 DXEXEXtgX，pnBX,12及的特征函數(shù)求設(shè)例 nitknkitnkknknknkknitkknkknqpeqpeCqpCetgnkpqqpCkXP：X：00, 2 , 1 , 0,1,的分布律為解60 220222220/0/0)3(qnnpqqpedtdigiEXnpqpedtdig iEXtnittnit 知由性質(zhì)npqEXEXDX22故61 dxexexixedxetg：tgX，NXxxxitxxitx222222222121102且由于解的特征函數(shù)求設(shè)例

30、 ttgdxetieideeidxixetgxitxxitxxitxxitx2222222222222162 ctetgcttgtdttgtdgttgtg221221ln, 0即 010cg由 22tetgX的特征函數(shù)為：63 tgY，aNYY的特征函數(shù)求設(shè)隨機變量例2,3 222222tiattiatXiatYeeetgetg 222,1 , 0tXetgNX知由例設(shè)解,2aNYaXY則令的特征函數(shù)由性質(zhì)知Y64pnmBYXZYX，pmB，YpnBX,4則相互獨立與且若例 nmitzqpetg mitYnitXqpetgqpetg,證 5由性質(zhì)pnmBZ,由唯一性定理知65的概率密度。利用特

31、征函數(shù)求設(shè)例YXYUX,cos,2,2. 5其他的概率密度為：解：因為,02,2,1)(xxfX20cos22coscosY21)(gdxedxeeEeEtxitxitXititY66dxuxdxduux21sin,cos令102112)(duuetgituY利用特征函數(shù)與分布一一對應(yīng)的唯一性得10,112)(2yyyfYY的概率密度為：67注：求隨機變量的特征函數(shù)的方法（3）用Fourier變換去求解。（1）一般定義求解；（2）對一些特殊分布可化為微分方程求解；（4）利用特征函數(shù)求多個獨立隨機變量和的分布。要求：（1）會求一些常用的隨機變量的特征函數(shù)；（2）記住一些重要分布的特征函數(shù)，如正態(tài)

32、分布；（3）利用特征函數(shù)求相應(yīng)隨機變量的各階矩；68五、母函數(shù)。，隨機變量隨機變量為整數(shù)我們稱取值非負整數(shù)的的占有重要的地位負整數(shù)值那些只取非在離散型隨機變量中210 對于整值隨機變量，有一種處理方法很便于應(yīng)用，這就是母函數(shù)法。69 的母函數(shù)。為則稱分布律為是非負整數(shù)值隨機變量設(shè)定義XpsSESPkpkXPXkkkkX0, 2 , 1 , 0,。，ssP，pkk變量都存在母函數(shù)對任何整值隨機因此一致收斂且絕對收斂至少在由冪級數(shù)的收斂性知由于1)(1070例、求二項分布、泊松分布、幾何分布的母函數(shù)knkknqpCkXP二項分布2 , 1 , 0,!kekkXPk泊松分布： nnknkknkknk

33、knkknqpsqpsCsqpCsP00)( 10!sskkkeeeseksP, 2 , 1,1kpqkXPk幾何分布 11111kkkkkqspsqspspsqsP71（1）唯一性，非負整數(shù)值隨機變量的分布列 由其母函數(shù)唯一確定六、母函數(shù)的性質(zhì) 100, 2 , 1 , 0,nkkkknkkkkknspspspsP證： , 1 , 0,!0!00nnPppnP，snnnn則令：ns，階導數(shù)得求兩邊對 nkknknnspnkkkpnsP11!172 12PEX，EX，XsP則存在若的母函數(shù)是設(shè) 2111PPPDX，DX 則存在若 221101,kkkkkkkkkspkksPskpsPspsP證

34、：由 11, 1kPkpEXsk得令 222111PPPEXEXDX 故 1112PpkkXXEkk 73 npsqsP，母函數(shù)為二項分布例npqpnnpnppnDX22222 2122111pnnppsqnnPsn npppsqnPEXsn111 21211 sseP 1sesP：母函數(shù)為泊松分布例 111ssePEX22DX743、獨立隨機變量之和的母函數(shù)等于母函數(shù)之積 。及，相應(yīng)的母函數(shù)為及概率分布律分別為變量為相互獨立的整值隨機設(shè)sBsAba，YXkk,也是整值隨機變量顯然的概率分布下面首先計算Z，YXZririrYiXPrYXPrZPc0,記0110bababacZrrrr的概率分布

35、為：則 0rrrscsC記75 00000,rrrrrrkkrkllklklkllkkscsbasbasbsasBsAk機變量之和的場合個獨立整值隨此結(jié)論而推廣到數(shù)很適用母函的問題時在研究獨立隨機變量和n， sBsAEsEsssEsEsCYXYXYX或 sBsAsC76(4) 隨機個隨機變量之和的母函數(shù)的母函數(shù)：則立的整值隨機變量獨是與同分布的整值隨機變量是相互獨立具有相若NjjnXY，XXNX，XX12121, sPGsH 的母函數(shù)、分別是、其中1XNsPsG77 sPGsPlNPskXPlNPslNkYPlNPslNkYPlNPslNUkYPskYPsHllklkljjklkkklkklk

36、k00010000000/,證78平均值的求商店的日銷售額的錢又設(shè)每位顧客所化人的泊松分布服從參數(shù)設(shè)商店在一天的顧客數(shù)例ZNXNi,50,100,10002元解：1000001001000100100011EXENEZ，EXEN 11111EXENPGsPsPGsHEYss79維正態(tài)分布n5 . 1一、密度函數(shù)與特征函數(shù)的聯(lián)合概率密度為：維隨機變量若定義nXXXXn,21 axBaxBxxxfxfnnn12/12/2121exp21,80 是對稱陣是常向量式中nxnijnbBaaaa,21BaNXnnX,記為維正態(tài)分布，維正態(tài)隨機變量或服從為則稱陣。的數(shù)學期望及協(xié)方差矩分別是隨機向量XBa,其

37、特征函數(shù)為： Bttta ietttgtgBtttian21exp,2121njiaXaXEbnjEXajjiiijjj,1,1其中81 服從一元正態(tài)分布個線性組合的充要條件是它的任一元正態(tài)分布服從njjjnXlZBaNnXXXX121,1二、幾個常用結(jié)論二、幾個常用結(jié)論nkjjkkjnjjjbllalN1,1,21exp),(BtttiaeEBaNXXit，則若證：),(,),(,21211nnnjjjXXXXllllXlXlZ為實數(shù)，則，取uult 82)(21)(exp)()(21)( exp)(2)(BllulaiuulBululiaeEeEugXuliiuZ),(BllalNZu以是

38、任意實數(shù)都成立，所對),(BllalNXlZ 若21exp1)(BllliaeEuugXil ，得：中取在),(BaNXl的任意性，所以由于83 陣為任意，而元正態(tài)分布服從若nmABaNnX，XXXn,221nm：AAABAaNmAXY的秩注元正態(tài)分布服從則,AABAaXaXAEaYaYEBXXYYYX XYAaAEXAXEYE：a證84 tBtta itAABttAaitABtAtAa ieEeEeEtgYYXXXXXtAiAXt iYt iY21exp21exp21expAABAaNYYXX,為正態(tài)隨機變量851.6 1.6 條件期望條件期望 ，且一個隨機變量，上的是概率空間設(shè)定義0,WA

39、PF，APFX kxAPAxXPAxXPAxF，則稱/一、條件分布及條件期望（1）隨機變量關(guān)于事件的條件分布及條件期望的條件分布函數(shù)。關(guān)于事件為AX條件數(shù)學期望：AxdFxAXE/86（2）離散型隨機變量的條件分布律及條件期望iijjijjipyjipyYxXPYX02 , 1,，有若對于給定的聯(lián)合分布律：是兩個離散型隨機變量設(shè)定義jiijiijiijyYPpxpxyYXE11/的條件分布律；關(guān)于為則稱jjijjijiyYXppyYxXPp/的條件期望為：關(guān)于則jyYX87 密度及條件期望連續(xù)型隨機變量的條件3聯(lián)合密度函數(shù)為：是兩個連續(xù)型隨機變量，設(shè)定義，YX dxyxfyxfyfyxfyxfY,/則稱0,2dxyxfyRyxyxf有對