【高考數(shù)學(xué)】對數(shù)平均不等式

1、對數(shù)平均不等式a + b、 a b 、：-ta b1.定乂：設(shè)'> 0，a"則F >市IMb > °bb其中l(wèi)n a - In b被稱為對數(shù)平均數(shù)2.幾何解釋:反比例函數(shù)f （x）= 1（x0）的圖象，如圖所示，AP 11 BC 11 TU 11 KV , xMN | CD | x 軸， A (a,0 ),B(b,0),Q1b，1 J,T| 4a,k b J作f（%）在點(diǎn)K處的切線分別與AP,BQ交于E, F，根據(jù)左圖可知，k2b a ,2 a + b J因?yàn)镾曲邊梯形ABQPb dx =ln b In a > a Xa-b曲邊梯形AUTPa

2、 ab1，一，dx = ln abb _In a xln b In a12 x voTS梯形AUTP根據(jù)右圖可知，S曲邊梯形AUTP < S梯形AUTP-S-2 曲邊梯形 abqp ，121S2 梯形 ABCD ，所以lnb ln a <,7 abb>等價(jià)變形:解析(3)因?yàn)?g (x) =所以g(1)+ g(2)hb g (n)= + -12 3 n +1=n- LL ，12 3n +1)-f (n ) = n - in (n +1),因此，比較g(1)+ g(2 )+.+ g (n )與n - f (n )的大小，即只另外，S矩形ABQX < S曲邊梯形ABQP &

3、lt; S梯形ABQP < '矩形AByp，可得:b a < ln b In a丁二十7 b a二 b a ,綜上，結(jié)合重要不等式可知:J入,即1 b a <1口b_inavgU + J b-a ba + babb2 a b,a -bb a:-22a aba ba02 in b -in a11a+bin a - in b > (a.(a > b > 0)a + b、abin a - inb < 1 - 1 .(a > b > 0) ba3.典例剖析對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈，提供了多種巧妙放縮的途徑，可以用來證明含自然對數(shù)的不等式問題.對

4、數(shù)平均數(shù)的不等式鏈包含多個(gè)不等式，我們可以根據(jù)證題需要合理選取其中一個(gè)達(dá)到不等式證明的目的.b ab>而二嬴>aa> 0的應(yīng)用例1 (2014年陜西)設(shè)函數(shù)于I*)= in(1 + xL g(X)= Xf(X)其中f (x) 是 f (x)的導(dǎo)函數(shù).的大小，并加以證明.(2 )+.+ g(n )與 n - f (n)需比較1 +1 + +與1n (n +1)的大小即可.2 3n +1ba0b>b1 b-a <inb-ina根據(jù)二，時(shí),in b-in a '即b令,b = n"則不< ln n + 1 ln n,1 < ln2 - ln

5、1 = ln2所以2，1 < ln3 - ln23，< ln( n +1) - ln n,將以上各不等式左右兩邊相加得:ln (n +1),故 g (1)+ g(2)+ + g(n)n-f(n)評注 本題是高考試題的壓軸題，難度較大，為了降低試題的難度采取多步設(shè)問，層層遞進(jìn)，上問結(jié)論， 用于下問，其第二問是為第三問做鋪墊的“梯子”，盡管如此，步驟依然繁瑣，求解過程復(fù)雜，但我們這 里應(yīng)用對數(shù)平均數(shù)不等式鏈來證明，思路簡捷，別具新意，易于學(xué)生理解、掌握.當(dāng)b>a> 0時(shí)，丁二a> a 即 ln b ln a < b a ,令 a = n, b = n + 1,

6、，ln b ln aa111, 1則 ln n+1 -ln n<n，可得：1n n+1 <1+，+3+na 2 +b 2（二）2> ln b ln ab>a>0的應(yīng)用例2設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)ann（n +1）+1 '其前n項(xiàng)的和為，n，證明:S < ln (n +1).n解析根據(jù)b>a >0時(shí)，a 2 +b 22> ln b ln a，即 ln b ln a ><2 b a令 b = n + 1,a = n,則1n n + 1 ln n+ n + 1 2；'2 n 22 n + 1%； 2 n 22 n2a，易證 S

7、n < ln(n +1).（二）胃YU b>a> 0的應(yīng)用（一）2ln b - ln a的應(yīng)用例3.設(shè)數(shù)列Ln 的通項(xiàng)an=1 + 1 + 1 + . + 1，證明:a < In (2n +1)解析根據(jù)b>a >0時(shí)，a+b b a2 > ln b ln a '即2 b a ln b ln a >a + b '，易證a < In(2 n +1)b a(四)In b - In a>1r b>a>0的應(yīng)用 a b例4.（2010年湖北）b、已知函數(shù)J x axHc ax>0的圖象在點(diǎn)1, f 1處的切線方

8、程為y = x-1 (1)用a表示出b, c；（略）b = 2 n -p1, a = 2n 1,則 ln 2n + 1 In 2n 1 > n1 , 1 , 1 , 1一(3)證明：1+2+3+% >ln解析(1)b a 1, c =1 2 a ；(3)b a當(dāng) b>a> 0 時(shí)，In b In a2，即 a bln b-In a< 12所以1 n + 1,則1n n +1 ln n < 22 n1(11c 1(1;1n2 1n1 <+ 一 , In 3 In 2 <十 一2 1 2-八 /In n + 1 -1nn< 12(1F 1n1n

9、jj p將以上各不等式左右兩邊分別相加得:一 1 (11 11)11n n+1 < . 12 12 3 4 nJ 2 n+11 1111即1n n + 1 <1 + + + - -I11-即2 3 4 n 2 n + 1一 1 1 , 1 一1 -1n n +12 3 n（五）mKna>v；abb>a>0的應(yīng)用1例5,（2014福建預(yù)賽）已知內(nèi)）=a 1n（" D+刀+ 3% -1（略）2（2）求證：4x 12-1 + 4x 22-1 +4+ + 一n-1 > 11n （2 n +1）4 x 32 -1對一切正整數(shù)均成立.解析（2）根據(jù)b>a

10、0時(shí)，lnb-lnaa abln b ln a < ,，即ab令 b = 2 n + 1, a 2 n 1,ln 2 n + 1 In 2 n 1/2<以c ；,變形可得： 飛4 n 2-1In 2 n 14n n 2 11n2 一一41ln3-ln1 42< 4x12 1'ln5 ln3In 2 n 1n+1< 4n2-1，將以上各不等式左右兩邊相加得:4 x 12 - 1 4 x 22 1 4 x 32 1n +1 、1+ - > :1n（2n +1）對一切正整數(shù)n均成立.4 x n 2 -1 4評注 本題提供標(biāo)準(zhǔn)答案借助于第一問的a的最小值a = -

11、2時(shí)-2ln（元 +1） + 3% -1> 21n Q +1），結(jié)合待證不等式的特征，-1 > 2ln（令 x = -（k £ N *） 得一+ 3 x令 2 k -1，得 2 +12k - 1整理得：8k + 8 > 2ln|k1，即k +1 >1 ln（2k + 1）-ln（2k -1），借此作為放縮的途徑 4 k 2 -12 k -14 k 2 -1 4L達(dá)到證明的目的.你能注意到兩種方法的區(qū)別嗎？對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈的運(yùn)用是近幾年數(shù)學(xué)競賽、名校模擬數(shù)學(xué)試題、高考數(shù)學(xué)真題的理論背景，正 如羅增儒教授指出：通過有限的典型考題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無限道題的數(shù)學(xué)

12、機(jī)智.這里的領(lǐng)悟解題的數(shù)學(xué) 機(jī)智從某種意義上說就是對問題本質(zhì)的理解，而對問題本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)還在于我們對問題信息的審視和挖掘， 水有源，題有根，茫茫題海，尋覓其根源，領(lǐng)悟其通性通法方是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的途徑.強(qiáng)化訓(xùn)練1. （2012年天津）已知函數(shù)f X= x - 1n （% + a）Q> 0）的最小值為0.（2）（略）（3）證明：力 2-1 -ln（2 n + 1）< 2 （n £ N *）.21 1i=12 2 2解析 （3）易求” = 1,待證不等式等價(jià)于可+ 5 + + 一.+-< In(2n +1) 2n-l7c1b a17根據(jù)b。時(shí),b>b_lna，b-a&

13、lt; Inb Ina,令 7 = 2H - l,b = 2Tl + 1,則 7 = 7yAJ 2 +1 -1 2+1<In 2 +1 In 27t l ,222<ln3 Ini, < In 5 In 3, < In 7 In 5,.,35722n + l-lln 2 + 1 .In 2” 1 ,將以上各不等式左右兩邊分別相加得:3+2n-l 2n + l< In(2n + l)-In(2 +1) < 2 < 2 彳曰濟(jì)Z=1X(l + Lx)2z-l2n + l.黃證.2. (2013年新課標(biāo)I )已知函數(shù)/(x)=ln" + x) -(i

14、)若工。時(shí)，求九的最小值;（2）設(shè)數(shù)列a="l + .目 a a +> In 2，證明：2n n 4n解析易得/(o)=o/G)=(1-21)x-X%2(1+X)2令/'(%)=o,則 =o,%=1若九則當(dāng)0時(shí)，/'G）o，/G）是增函數(shù)，/（%）/（0）=0,不符合題意；若0x則當(dāng)0/等時(shí)，rG）ojG）是增函數(shù)，/（。/（0）=°，不_2，則當(dāng)N 符合題意；若”則當(dāng)工°時(shí)，r（x）°J（*）是減函數(shù)，/（1）4/（。）=°，符合1題意；綜上，入的最小值是2 -（2）當(dāng) b>a0 時(shí)，In b- In a)2ir，+ ta b令 a n, b n +1,則 1n n + 1 1n n < |-即Inb Ina<二二 十 二 b a所以In n +1 In n<J 二 十1n n 2 In n + 1 < 21n + 111 1In n + 3 In n + 2 < 2 ln + 211n2 n In 2