中考數(shù)學壓軸題專題圓的綜合的經(jīng)典綜合題及詳細答案

1、一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖，AB為。的直徑，AC為。0的弦，AD平分NBAC,交。0于點D, DEJLAC,交AC的延長線于點E.（1）判斷直線DE與的位置關系，并說明理由；（2）若AE = 8,。0的半徑為5,求DE的長.【答案】（1）直線DE與O0相切（2） 4【解析】試題分析：（1）連接 OD,AD 平分 NBAC, ZEAD=ZOAD, / OA=OD , /ODA=NOAD，NODA=ZEAD， EAII OD, DE±EA, /. DE±OD,又;點D在。0上，.直線DE與。相切（2）如圖 1,作 DFJLAB,垂足為 F, NDFA

2、=NDEA=90。,丁 ZEAD=ZFAD> AD=AD, EAD2 FAD,二 AF=AE=8, DF=DE, OA=OD=5 ,OF=3 ,在 RS DOF 中，DF。? 一。產(chǎn)=4， - AF=AE=8考點：切線的證明，弦心距和半徑、弦長的關系點評：本題難度不大，第一小題通過內(nèi)錯角相等相等證明兩直線平行，再由兩直線平行推 出同旁內(nèi)角相等.第二小題通過求出兩個三角形全等，從而推出對應邊相等，接著用弦心 距和弦長、半徑的計算公式，求出半弦長.2.在O0中，點C是4月上的一個動點（不與點A, B重合），NACB=120。，點I是NABC的 內(nèi)心，CI的延長線交O0于點D,連結AD,BD.

3、（1）求證：AD=BD.（2）猜想線段AB與DI的數(shù)量關系，并說明理由.（3）若。的半徑為2,點E, F是46的三等分點，當點C從點E運動到點F時，求點I 隨之運動形成的路徑長.【答案】（1）證明見解析：（2） AB=DI,理由見解析（3） 空?！窘馕觥糠治觯海?）根據(jù)內(nèi)心的定義可得CI平分N ACB,可得出角相等，再根據(jù)圓周角定理，可證 得結論；（2）根據(jù)NACB=120。，N ACD=N BCD,可求出N BAD的度數(shù),再根據(jù)AD=BD,可證得 ABD是等邊三角形，再根據(jù)內(nèi)心的定義及三角形的外角性質，證明NBID=NIBD,得出 ID=BD,再根據(jù)AB=BD,即可證得結論;（3）連接DO,

4、延長DO根據(jù)題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓心，DIl為半徑 的弧，根據(jù)己知及圓周角定理、解直角三角形，可求出AD的長，再根據(jù)點E, F是弧AB 的三等分點， ABD是等邊三角形，可證得N DAI】=N AliD,然后利用弧長的公式可求出點I 隨之運動形成的路徑長.詳解：（1）證明：丁點I是N ABC的內(nèi)心/. CI 平分/ ACB/. Z ACD=Z BCD.弧 AD=5m BDAD=BD理由：1/ Z ACB=120°, Z ACD=Z BCDZ BCD=4x12O°=6O°（2） AB=DI.弧 BD=M BD. Z DAB=Z BCD=60

5、6;/ AD=BD ABD是等邊三角形，.AB=BD, Z ABD=Z CI是4ABC的內(nèi)心Bl平分N ABCZ CBI=Z ABI / Z BID=Z C+Z CBh Z IBD=Z ABI+Z ABDZ BID=Z IBD/. ID=BD / AB=BD AB=DI（3）解：如圖，連接DO,延長DO根據(jù)題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓 心，DI】為半徑的弧 / Z ACB=120°, M AD=M BDZ AED=5 Z ACB=5 X12O°=6O° £ £二圓的半徑為2, DE是直徑 DE=4, Z EAD=90° .

6、 AD=sinZ AEDxDE=B_ x4=22 v點E, F是弧AB Y勺三等分點， ABD是等邊三角形,Z ADB=60°弧AB的度數(shù)為120。,.,.Mam、弧bf的度數(shù)都為為40。Z ADM=20°=Z FABZ DAh=Z FAB+Z DAB=80°Z Al1D=180°-Z ADM-Z DAIi=180o-20°-80o=80°Z DAh=Z AliDADAD=2 而.弧1山的長為：20nx26兀180 一 9點睛：此題是一道圓的綜合題，有一定的難度，熟記圓的相關性質與定理，并對圓中的 弦、弧、圓心角、圓周角等進行靈活轉化

7、是解題關鍵，注意數(shù)形結合思想的滲透.3.如圖，在直角坐標系中，已知點48，0)，8(0, 6),點例在線段A8上。(1)如圖1, 的位置關系，如果點M是線段A8的中點，且0M的半徑等于4,試判斷直線。8與(2)并說明理由；0M與x軸,y軸都相切，切點分別為E，F(xiàn),試求出點M的坐標:如圖2,(3)如圖3, 0M與x軸，y軸，線段48都相切，切點分別為E F, G,試求出點M的 坐標(直接寫出答案)2424【答案】(1)。8 與。M 相切；(2) M (-y , y) ； (3) M (一2, 2)【解析】分析：(1)設線段OB的中點為D,連結MD,根據(jù)三角形的中位線求出MD,根據(jù)直線和 圓的位置

8、關系得出即可；3(2)求出過點4、8的一次函數(shù)關系式是y=：x+6,設M (a, - a),把x=a,片-。代 4入片gx+6得出關于a的方程，求出即可.4(3)連接 ME、MF、MG、MA. MB、MO9 設 ME=MF=MG=r,根據(jù)Sa a8c= - AOME+ - BOMF+ - ABMG= - AOBO 求得 r=2,據(jù)此可得答案. 2222詳解：(1)直線08與。M相切.理由如下：設線段08的中點為D,如圖1,連結MD,點M是線段八8的中點,所以MDIIAO, MD=4, NA08=N MDB=90。，MD±0B,點。在OM 上.又.點。在直線08上，.直線08與OM相切

9、；(2)如圖2,連接ME, MF,f-Sk + b = OA (-8, 0) , 8 (0, 6),設直線48的解析式是片版+b,.f ,，解b = 63 3得：k一，b=6,即直線48的函數(shù)關系式是片一x+6.4 4OM與x軸、V軸都相切，.,點例到x軸、y軸的距離都相等，即ME=MF,設M33(a, - a) ( - 8<a<0),把 x=a,片-a 代入片一x+6,得：-o= a+6,得：a=- 442424 24J,點M的坐標為(-.77 7(3)如圖 3,連接 ME、MF、MG、MA. MB. MO,OM 與 x 軸，y 軸，線段 48 都相切，. MELAO、MF

10、77;BO. MGLA8,設rII 1 1 1 1ME=MF=MG=r,則 abc=-AOME- BOMF-ABMG= -AOBO.2222TA ( -8, 0) , 8 (0, 6) ,.40=8、80=6, AB=10»£r>8+-f6+-fl0= 1x6x8,解得:r=2,即 ME=MF=2,.,.點 M 的坐標為(-2, 22222).八y®1卸圖3點睛：本題考查了圓的綜合問題，掌握直線和圓的位置關系，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的 解析式的應用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解答此題的關鍵，注意：直線和圓有 三種位置關系：己知。的半徑為r，圓心O到直線

11、/的距離是d,當d=r時，直線/和。0 相切.4 .如圖，在AABC中，N6AC = 90。，AB = AC = 0 AOL5C,垂足為。，過4。 的。分別與Aa AC交于點上,尸，連接EF, DE, DF .（1）求證：MDEW ACDF；（2）當BC與。0相切時，求。的面積.【答案】（1）見解析;（2）2.【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性質知4>CD、Z 1=Z C=45°,由NE4F=90。知EF是。0的直徑，據(jù)此知N2+N4=N3+N4=90。，得N 2=N 3,利用"ASA"證明即可得；（2）當8c與OO相切時，4。是直徑，根據(jù)NC=45。

12、、47=0可得4。=1,利用圓的面積 公式可得答案.詳解：（1）如圖，/ AB=AC9 NMC=90。，/. Z C=45°.又AB=AC9 ：. Z 1=-Z B/4C=45°, BD=CD, Z /ADC=90°.2又N8AC=90°, BD=CD, /. AD=CD.又 N E4F=90。， EF 是。0 的直徑，. N EDF=90°, /. Z 2+Z 4=90°.又, N 3+N4=90。，/. Z 2=Z 3.在 ADE 和 CDF 中.（2）當8c與。相切時，4。是直徑.在RS40C中，NC=45。，4C=JJ,/.

13、sinZ C=，：.AD=ACsnZ. C=l,.。0 的半徑為一，二。的面積為土.AC24點睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質、全等 三角形的判定與性質、與圓有關的位置關系等知識點.5 .如圖1,延長。0的直徑AB至點C,使得BC=，AB,點P是。0上半部分的一個動點 2（點P不與A、B重合），連結OP, CP.（1）NC的最大度數(shù)為；（2）當。0的半徑為3時， OPC的面枳有沒有最大值？若有，說明原因并求出最大值: 若沒有，請說明理由；【答案】（1）30。； （2）有最大值為9,理由見解析；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）當PC與。相切時，NO

14、CP的度數(shù)最大，根據(jù)切線的性質即可求得：（2）由 OPC的邊OC是定值，得到當OC邊上的高為最大值時，AOPC的面積最大，當 PO_LOC時，取得最大值，即此時0C邊上的高最大，于是得到結論；（3）根據(jù)全等三角形的性質得到AP=DB,根據(jù)等腰三角形的性質得到NA=NC,得到 CO=OB+OB=AB,推出AAPB登CPO,根據(jù)全等三角形的性質得到N CPO=N APB,根據(jù)圓周 角定理得到NAPB=90。，即可得到結論.試題解析：（1）當PC與。相切時，NOCP最大.如圖1,所示：OP 2 1,/ sinZ OCP= - =/. ZOCP=30°OC 4 2, Z OCP的最大度數(shù)為3

15、0%故答案為:30。；（2）有最大值，理由： OPC的邊0C是定值，.,當0C邊上的高為最大值時， OPC的面積最大，而點P在。上半圓上運動，當PO_LOC時，取得最大值，即此時0C邊上的高最大， 也就是高為半徑長，.最大值Saopc=?OCOP=2x6x3=9：22（3）連結AP, BP,如圖2,OA = OD在 OAP 與 OBD 中， ZAOP = ZBOD , ：. & OAP登 OBD, /. AP=DB, OP = OB/ PC=DB, /. AP=PC,/ PA=PC, /. Z A=Z C,1/ BC=-AB=OB, J CO=OB+OB=AB, 2AP = CP在 A

16、PB 和 CPO 中，ZA = ZC , /. A APB空 CPO, Z CPO=Z APB,AB = COAB 為直徑，.NAPB=90°, /. Z CPO=90%PC切。于點P,即CP是30的切線.6.如圖， ABC是OO的內(nèi)接三角形，點D, E在O0上，連接AE, DE, CD, BE, CE,Z EAC+Z BAE=180% AB = CD .(1)判斷BE與CE之間的數(shù)量關系，并說明理由：(2)求證： ABE里 DCE；(3)若NEAO60。，BC=8,求OO 的半徑.【答案】(1) BE=CE,理由見解析；(2)證明見解析；(3) 上.3【解析】分析：(1)由A、B、

17、C、E四點共圓的性質得：Z BCE+Z BAE=180°,則N BCE=N EAC,所 以BE = CE，則弦相等；(2)根據(jù)SSS證明 ABE2& DCE；(3)作BC和BE兩弦的弦心距,證明RtAGBO鯉RtA HBO (HL),則3 OBH=30°,設OH=x,則OB=2x,根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，可得半徑的長.本題解析：(1)解：BE=CE,理由：,:( EAC+Z BAE=180% Z BCE+Z BAE=180°, Z BCE=Z EAC,二 BE = CE，. BE=CE；(2)證明：A8 = CO,AB=CD,I BE = CE，AE

18、 = ED ' AE=ED>由(1)得:BE=CE,在小ABE和 DCE中，AE = DEv <AB = CD tBE = CE ABE DCE (SSS)；(3)解：如圖，;過 O 作 OGJLBE 于 G, OHJ_BC 于 H,1 11BH=-BC=-x8=4, BG=-BE, 222 / BE=CE, Z EBC=Z EAC=60。,.BEC是等邊三角形，.BE=BC,BH=BG, / OB=OB, RtA GBO鯉 RtA HBO (HL),3x孚 . Z OBH=Z GBO=-Z EBC=30% 2設 OH=x,則 0B=2x,由勾股定理得：(2x) 2=xM2

19、, x=&叵, 3oo的半徑為迎I.3點睛：本題是圓的綜合題，考杳了四點共圓的性質、三角形全等的性質和判定、勾股定 理、直角三角形30。的性質，難度適中，第一問還可以利用三角形全等得出對應邊相等的 結論；第三問作輔助線，利用勾股定理列方程是關鍵.7.如圖，AABC內(nèi)接于OO, NBAC的平分線交。于點D,交BC于點E (BE>EC),且 BD=2jI.過點D作DFII BC,交AB的延長線于點F.(1)求證：DF為。的切線；(2)若NBAC=60。，DE=",求圖中陰影部分的面枳.【答案】(1)詳見解析；(2) 973 -2n.【解析】【分析】(1)連結OD,根據(jù)垂徑定

20、理得到OD_LBC,根據(jù)平行線的性質得到OD_LDF,根據(jù)切線的 判定定理證明；(2)連結OB,連結OD交BC于P,作BH_LDF于H,證明 OBD為等邊三角形，得到 NODB=60。，0B=BD=2jJ,根據(jù)勾股定理求出PE,證明 ABE AFD,根據(jù)相似三角形 的性質求出AE,根據(jù)陰影部分的面積= BDF的面積-弓形BD的面積計算.【詳解】證明：(1)連結OD,/ AD平分/ BAC交。0于D,Z BAD=Z CAD,二 BD = CD，/. OD_LBC,J BCII DF,. OD±DF, DF為的切線；(2)連結OB,連結OD交BC于P,作BHJ_DF于H, Z BAC=6

21、0°, AD 平分B BAC,Z BAD=30°, Z BOD=2Z BAD=60°, OBD為等邊三角形，Z ODB=60。，, Z BDF=30°,， BCII DF, Z DBP=30°,在 RtA DBP 中,在 RtA DEP 中，OB=BD=2PD=-BD=73 , PB=VJPD=3, 2pd=、/T, de=、/7, peT(V7F-(二)2 =2, / OPJLBC, BP=CP=3, . CE=3 - 2=1, / Z DBE=Z CAE, Z BED=Z AEC, . BDE ACE,AE： BE=CE： DE,即 AE：

22、 5=1： 幣,過7 / BEII DF, ABE AFD,BE AE un 5 "V =,即=產(chǎn)DF AD DF 12正解得DF=12, 1 在 R3BDH 中，BH=y BD=V3 t陰影部分的面積= BDF的面積-弓形BD的面積= BDF的面積-（扇形BOD的面積- BOD的面積）=xl2x3一60"尹 一£ 后=96-2n.23604【點睛】考查的是切線的判定，扇形面積計算，相似三角形的判定和性質，圓周角定理的應用，等 邊三角形的判定和性質，掌握切線的判定定理，扇形面積公式是解題的關鍵.8 .如圖所示，AB是半圓。的直徑，AC是弦，點P沿BA方向，從點B運

23、動到點A,速度 為lcm/s,若A5 = 10cm，點0到AC的距離為4cm.（1）求弦AC的長；（2）問經(jīng)過多長時間后，AAPC是等腰三角形.14【答案】（1） AC=6； （2） t=4或5或時， APC是等腰三角形；【解析】【分析】（1）過。作OD_LAC于D,根據(jù)勾股定理求得AD的長，再利用垂徑定理即可求得AC的 長；（2）分AC=PC、AP=AC、AP=CP三種情況求t值即可.【詳解】（1）如圖1,過O作OD_LAC于D,圖1易知 AO=5, OD=4,從而 ad=Voa2-od2=3»AC=2AD=6；（2）設經(jīng)過t秒 APC是等腰三角形，則AP=10-t 如圖2,若AC

24、=PC,過點C作CH_LAB于H,/ Z A=Z A, Z AHC=Z ODA=90°, AHC a ADO,10-t/. AC： AH=OA： AD,即 AC： =5： 3,乙14解得t=-s»5,經(jīng)過粵s后4 APC是等腰三角形:5如圖3,若AP二AC,又 AC=6,則 10-t=6,解得 t=4s,經(jīng)過4s后4APC是等腰三角形；如圖4,若AP=CP, P與0重合,則 AP=BP=5,經(jīng)過5s后4APC是等腰三角形.14綜上可知當t=4或5或管s時，4APC是等腰三角形.5【點睛】本題是圓的綜合題，解決問題利用了垂徑定理，勾股定理等知識點，解題時要注意當 BPC是等腰

25、三角形時，點P的位置有三種情況.9 .已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的。與邊AC、BC分別交于點D、E, 過點D作DFLBC,垂足為F.（1）求證：DF為。0的切線；（2）若等邊三角形ABC的 邊長為4,求圖中陰影部分的面枳.【答案】（1）見解析（2） *一二 23【解析】試題分析：（1）連接DO,要證明DF為。0的切線只要證明/ FDP=90。即可；（2）首先由已知可得到CD, CF的長，從而利用勾股定理可求得DF的長；再連接OE,求 得CF, EF的長,從而利用S "向睇形FDOE - S用彩OED求得陰影部分的面積.試題解析：（1）證明：連接DO. ABC是等邊三

26、角形，/. Z A=Z C=60°. OA=OD,OAD是等邊三角形./. Z ADO=60°, DF±BC,/. ZCDF=90°-ZC=30°,Z FDO=1800 - Z ADO - Z CDF=90°, DF為的切線；（2） :d OAD是等邊三角形，/. AD=AO=-AB=2./. CD=AC-AD=2.RtA CDF 中，,/ Z CDF=30°,CF=CD=1.2df=VcD2-F2»連接OE,則CE=2. CF=1, EF=1.S i'iffj«',if；FDOE=_- （ EF+OD） *DF=60兀 X 22S出影。ED=360【點睛】此題考查學生對切線的判定及扇形的面積等知識點的掌握情況，當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直