北京大學(xué)數(shù)值分析試題2015經(jīng)過訂正

1、北京大學(xué)2014-2015學(xué)年第一學(xué)期研究生期末考試試題A（閉卷考試）注：計(jì)算題取小數(shù)點(diǎn)后四位、填空題（每空3分，共24分）設(shè)A1應(yīng)，則A的奇異值為。,22（2）設(shè)x0.0001375刻真值xT0.00013759的近似值，則x有位有效數(shù)字。（3）設(shè)數(shù)據(jù)X1,X2,X3的絕對(duì)誤差為0.002,那么X1X2X3的絕對(duì)誤差約為1。（X）/1（X）,ln（X）是以X0,X1,川，Xn,（n2）為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)，n則（X：2）lk（X）。k022nn（5）插值型求積公式°Xf（X）dXAkf（Xk）的求積系數(shù)之和Akk0k0其中X2為權(quán)函數(shù)，n1。(6)已知x(3,4)T,y(0,

2、1)T,求Householder陣H使Hxky,其中kR。H=。1211,數(shù)值求積公式f(x)dxf(-=)f(0)f(-=)的代數(shù)精度為1322(8)下面Matlab程序所求解的數(shù)學(xué)問題是(輸入向量x,輸出S)x=input('輸入x：x=');n=length(x);S=x；fori=2:nifx(i)<S,S=x(i);else,continue;endendS二、（12分）（1）證明對(duì)任何初值x0R,2由迭代公式x43cosxk,kOIZ.所產(chǎn)生的序列xkk0都收斂于方程123x2cosx0的根。(2)證明它具有線性收斂性。三、(12分)(1)用辛浦生公式計(jì)算積分

3、4eXdx的近似值;0(2)若用復(fù)化辛浦生公式計(jì)算積分4eXdx,問至少應(yīng)將區(qū)間0,4多少等分才能保證0計(jì)算結(jié)果有五位有效數(shù)字?四、(12分)已知數(shù)據(jù)表xiV,wi220.5030.5(1)構(gòu)造關(guān)于點(diǎn)集和權(quán)的正交函數(shù)組0(X),1(X);(2)利用o(x),i(X)擬合已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，并求最小二乘擬合誤差1五、(12分)利用Gauss變換陣，求矩陣A的LU分解。(要求寫出分解過程)六、(10分)已知求解線性方程組Ax=b的分量迭代格式(k1)(k)xixiaiii1(k1)aijXjj1najX(k)、j712mn(1)試導(dǎo)出其矩陣迭代格式及迭代矩陣;(2)證明當(dāng)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣,1時(shí)此迭代格式

4、收斂。七、(10分)用插值極小化方法求f(X)X在1,2上的二次插值多項(xiàng)式P2(X),并在1,2上估計(jì)誤差。(已知Chebyshev多項(xiàng)式T3(t)的三個(gè)零點(diǎn)t00.8660,t10,t20.8660)八、(8分)已知求解常微分方程初值問題y'(x)y(x0)f(Xy)的數(shù)值格式為y。h2yn1ynhf(xnyn)f'(xnyn)1f(xnyn)y(X0)y0問此數(shù)值格式是幾階格式?北京大學(xué)2014-2015學(xué)年第一學(xué)期研究生期末考試試題標(biāo)準(zhǔn)答案A（閉卷考試）課程名稱:數(shù)值分析填空題（每空3分，共24分）(1)(2)x22(5)(6)434355或H5534345555(3)0

5、.006(8)求向量x的最小值二、（12分）記（x）2-cosx,3貝U'(x)2.sin3(1)先考慮區(qū)間3,5時(shí),(x)2一cosx33,5,'(x)xk1123x(2)則由(1)2一sinx31。故對(duì)任意初值x02，-cosxk,k0,1,2,.廣生的序列xk32cosx0的根。對(duì)任意初值Xo可知，由迭代公式于方程123x2cosx*xk1x(3)xk1xk此格式線性收斂性3,5,由迭代公式0都收斂于方程(6分)xk10的根。2"(cosxk2cosx032一cosxk,k3(2分)*一cosx)2sin,lim3kxk1xk23*x3,5,將此Xi看成新的迭代

6、初值,0,1,2,.產(chǎn)生的序列.*sin(xkx)lim*x2.-sin3xkko都收斂k0(4分)14三、(12分)(1)0exdx4(e04e2e4)56.1029(5分)(2)由f(x)ex,f(x)ex,|R(Sn)|=引(5分)因?yàn)镮.I,且n必須為偶數(shù)(復(fù)化辛普森公式)IMl所以IIrvl(2分)至少將區(qū)間0,430等分才能保證計(jì)算結(jié)果有五位有效數(shù)字四、(12分)(1)首先構(gòu)造關(guān)于點(diǎn)集和權(quán)的首一正交多項(xiàng)式i(x),i0,1,顯然0(x)1,設(shè)(x)xa0(x),由1(x)與0(x)正交得a(0(x)，x)(0(x),0(x)故有1(x)(4分)(2)設(shè)P2(x)a00(x)a11(

7、x),則a。(0(x),y)(0(x),0(x)9/2294,a11(x),y)(1(x),1(x)1/21P1(x)12(x1)(4分)I|2l|Y|2a2(0(x),0(x)a；(1(x),1(x)92(4)12(2)0.125(4分)五、(12L1,L1Aa(2)(3分)L3六、七、L；L13(10分)(1)aHxi(kDx(k(Dx(k1)迭代法的矩陣形迭代矩陣右端向(2)占優(yōu)時(shí),(10分)1時(shí),0012A13/513/521/13(3分)(3分)1)1),ALU(313(k)aHXiDxL)x(k(D(k)(D(D(b(b1)(1L)1(1(k1)XL)1(L)1bLx迭代格式為1(

8、kaijxj1(k)D)D1)1)(UU)x(k)U)x(k)D)x(k)b(DL)1b1,2,|,nBx(k)gU(1)D)Gauss-seidel迭代格式,Gauss-seidel迭代格式收斂。已知Chebyshev多項(xiàng)式T3S)的三個(gè)零點(diǎn)t011作變重代換x(t3，得三個(gè)插值下點(diǎn)xk(tk22(6當(dāng)A嚴(yán)格對(duì)角(4分)08660110t,08660.,1,2.,3),k0,1,2x01.0670,x11.5,x21.9330f(x0)0.3440,f(x1)0.2231,f(x2)0.1447構(gòu)造差商表xif(x。一階差商二階差商1.06700.34401.50000.22310.27921.93300.14470.18110.1133牛頓插值多項(xiàng)式P2(x)0.34400.2792(x1.0670)3.5863(x1.0670)(x1.5)2(6分)0.1133x20.5701x0.8234R2(x)jx°)(xx,)(xe13I(-)max(tt°)(tt1)(tt2)62-1t13)3220.0019八、(8分)八2%1Vnhf(A丫0)1f'(A丫口)1h