日常教學(xué)融入數(shù)學(xué)史的一次嘗試橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例

1、日常教學(xué)融入數(shù)學(xué)史的一次嘗試 -橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例孫軍波 浙江省溫州中學(xué)數(shù)學(xué)組 325000 關(guān)鍵詞：新課程，數(shù)學(xué)史，橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。前 言新課程一個(gè)亮點(diǎn)就是把數(shù)學(xué)史引入到高中教學(xué)中，用歷史來(lái)闡述一個(gè)知識(shí)是產(chǎn)生和發(fā)展。使學(xué)生對(duì)它有更深層次的了解，從而對(duì)數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生興趣。但數(shù)學(xué)史是作為單獨(dú)的學(xué)科存在，還是在日常的教學(xué)中點(diǎn)點(diǎn)滲透頗有爭(zhēng)議。筆者較傾向于后者。基于以上想法，以橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程為平臺(tái)設(shè)計(jì)了一節(jié)課，希各專家不吝賜教。正 文一、 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)安排學(xué)生按照書本給的提示，親自體驗(yàn)一下一個(gè)軌跡的產(chǎn)生。同桌互助學(xué)習(xí)：“取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定，當(dāng)繩長(zhǎng)大于兩點(diǎn)間的距離時(shí)，用鉛筆把繩子拉直，

2、使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，畫出的軌跡是什么?”并請(qǐng)兩組同學(xué)到黑板上作圖。設(shè)計(jì)意圖活用課本上的情景，學(xué)生親自體驗(yàn)一下軌跡的產(chǎn)生。二、 引入正題過渡語(yǔ)句：“雖然我們所做的圖形大小不同，卻有一定的相似，那么有哪些相似的地方呢？我們來(lái)思考兩個(gè)問題?！?（1）這些軌跡上的點(diǎn)有什么共同的特征？（2）在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，什么是不變的？ 設(shè)計(jì)意圖對(duì)表象抽絲剝繭，為研究其本質(zhì)降低坡度。三、 給出定義過渡語(yǔ)言：“這個(gè)圖形就是我們稱為橢圓，大家能否根據(jù)它的圖象特征試著給出橢圓的定義”例如“到兩定的距離之和是個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓”嘗試補(bǔ)充：引導(dǎo)給出“平面內(nèi)”，“常數(shù)”，“常數(shù)>兩點(diǎn)距離”，等重要的細(xì)節(jié)。補(bǔ)充思考：

3、“如果常數(shù)等于兩點(diǎn)距離會(huì)是什么樣的幾何圖形？（線段）常數(shù)小于兩點(diǎn)距離會(huì)是什么樣的幾何圖形？（沒有幾何圖形）”最后給出正確的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓(ellipse)。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 。設(shè)計(jì)意圖：不直接給出定義，讓學(xué)生體會(huì)定義的產(chǎn)生過程，了解橢圓的幾何特征。 追問：生活中有沒有見到類似橢圓形狀的物體?通過現(xiàn)實(shí)圖象加深橢圓的印象四、 追溯歷史過渡語(yǔ)言：“那有沒有同學(xué)知道橢圓是怎么發(fā)現(xiàn)的呢？歷史上又是誰(shuí)最先研究的它的呢？”早在公元前四世紀(jì)，以梅內(nèi)克繆斯，阿波羅尼奧斯，阿基米德等為代表的古希臘數(shù)學(xué)家

4、就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并研究橢圓，他們用一個(gè)垂直于側(cè)棱的平面去截圓錐（如圖所示）發(fā)現(xiàn)了橢圓。阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論更是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的簡(jiǎn)單的一些幾何性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡。但橢圓有什么用，它還有什么特殊的幾何特征這些重要的問題當(dāng)時(shí)的人們卻沒有答案。這樣的情況持續(xù)了近兩千年。直到1637年，笛卡兒發(fā)表了幾何學(xué)，提出研究曲線的方程來(lái)研究曲線的性質(zhì)！橢圓的研究才得以繼續(xù)。今天我們將沿著前人的足跡，利用我們前面知識(shí)來(lái)求一下橢圓的方程。設(shè)計(jì)意圖承上啟下，與曲線與方程聯(lián)系起來(lái)。釣起學(xué)生的胃口，也為為什么要研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程做了鋪墊，順帶引出課后探索- “為什么圓錐的截口曲線是橢圓？”。五、 方程研究根據(jù)

5、求曲線的方程的步驟求橢圓的方程，適當(dāng)予以說明。1. 建系設(shè)點(diǎn)以兩焦點(diǎn)所在直線為x軸，以兩焦點(diǎn)的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系；如此建系有什么好處呢？設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)M(x,y)2. 找出條件設(shè)點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0),設(shè)點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)距離之和為常數(shù)2a(為什么是2a呢?等我們推導(dǎo)完后再回頭處理這個(gè)問題)3. 列出方程由|MF1|+|MF2|=2a代如得4. 化簡(jiǎn)方程學(xué)生進(jìn)行計(jì)算方案一： 方案二：設(shè)計(jì)意圖以非常規(guī)推導(dǎo)激發(fā)學(xué)生思維，給予學(xué)生正確引導(dǎo)，拓展學(xué)生的能力。5.找尋b找出線段長(zhǎng)為的線段嗎？令那么式子就變?yōu)椋喊堰@個(gè)式子稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（為什么開始要設(shè)2a？?。┳⒁猓海?）此方程表示的橢圓的

6、焦點(diǎn)在 x 軸上；（2）我們沒有證明“以滿足方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上”； （3）不同的建系方式，求出的橢圓方程是不同的；設(shè)計(jì)意圖根據(jù)教學(xué)要求，突顯b的出現(xiàn)，為下一節(jié)的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。6.其他建系情況思考題：如果焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為（0，-c）,(0,c),a,b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？ 只需將x，y互換即可得 兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的比較：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大設(shè)計(jì)意圖根據(jù)教學(xué)要求，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到建系對(duì)方程的影響。六、 知識(shí)鞏固例：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分

7、別是 （-2，0）、（2，0）并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)定義及標(biāo)準(zhǔn)方程易得。設(shè)計(jì)意圖可用定義求a，c,再求標(biāo)準(zhǔn)方程，亦可直接設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，代點(diǎn)求系數(shù)。七、 課后探索1.課堂總結(jié)：(略) 2.課后探索：你能否根據(jù)橢圓的定義去證明梅內(nèi)克繆斯發(fā)現(xiàn)的截口曲線是橢圓？探究與發(fā)現(xiàn)“為什么截口曲線是橢圓”設(shè)計(jì)意圖活用課后探索，使得課本中的內(nèi)容發(fā)揮最大的效用，并與課上橢圓歷史的講解相呼應(yīng)，引起學(xué)生探索未知的欲望。 課 后 自 評(píng) 本節(jié)課的設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單歸納為:“釣魚殺魚-了解魚-吃魚-消化魚-回味魚味”。鄭毓信教授指出的，“我們所追求的不應(yīng)是由學(xué)校數(shù)學(xué)向日常數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單回歸，而應(yīng)是兩者在更高層次上的整合”。在本節(jié)課的設(shè)計(jì)上，我追求這樣六個(gè)字：“縮短，平坡，精簡(jiǎn)”：縮短將原發(fā)現(xiàn)的冗長(zhǎng)過程予以剪輯，變成短途徑；平坡歷史上原來(lái)的發(fā)現(xiàn)過程其坡度（難度）較大，所以要加以改造，使其變成對(duì)學(xué)生稍有難度而仍有學(xué)習(xí)的可能；精簡(jiǎn)削支強(qiáng)干，突出核心概念和重要的數(shù)學(xué)思想方法。雖然在實(shí)施細(xì)節(jié)上有很多商榷的地方，整體的安排和銜接的還是比較得到，通過對(duì)橢圓誕生到研究方程歷史的講解，學(xué)生恍然頓悟。不僅明白為什么要研究橢圓的方程，也明白為什么要學(xué)習(xí)曲