利用幾何直觀理解高等代數(shù)中抽象的定義和定理

1、利用幾何直觀理解高等代數(shù)中抽象的定義和定理一、高等代數(shù)與解析幾何的關(guān)系代數(shù)為幾何的發(fā)展提供了研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景。解析幾何中的很多概念、方法都是應(yīng)用線性代數(shù)的知識、定義來刻畫、描述和表達的。例如，解析幾何中的向量的共線、共面的充分必要條件就是用線性運算的線性相關(guān)來刻畫的，最終轉(zhuǎn)化為用行列式工具來表述，冉如，解析幾何中的向量的外積（向量積）、混合積也是行列式工具來表示的典型事例。高等代數(shù)中的許多知識點的引入、敘述和刻畫亦用到解析幾何的概念或定義。例如線性空間的概念表述就是以解析幾何的二維、三維幾何空間為實例模型。如果代數(shù)與幾何各自分開發(fā)展，那它的進步十分緩慢，而且應(yīng)用范圍也很有限，但

2、若兩者互相結(jié)合而共同發(fā)展，則就會相互加強，并以快速的步伐向著完善化的方向猛進?！崩窭嗜斩⒛壳皩⒏叩却鷶?shù)與解析幾何合并開課的大學中國科大：陳發(fā)來，陳效群，李思敏，線性代數(shù)與解析幾何，高等教育出版社，北京：2011.南開大學：孟道驥，高等代數(shù)與解析幾何（上下冊）（第二版），科學出版社，北京：2007.華東師大：陳志杰，高等代數(shù)與解析幾何（上下冊）（第2版），高等教育出版社，北京：2008.華中師大：樊悻，鄭延履，線性代數(shù)與幾何引論，科學出版社，北京：2004.同濟大學：高等代數(shù)與解析幾何同濟大學應(yīng)用數(shù)學系高等教育出版社（2005-05出版）蘭州大學，廣西大學，西南科技大學，成都理工大學三、高等

3、代數(shù)的特點1、邏輯推理的嚴密性；2、研究方法的公理性；3、代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性。四、高等代數(shù)一些概念的引入對于剛上大學的一年級新生，大多數(shù)難以適應(yīng)高等代數(shù)的抽象概念的引入、推導(dǎo)和應(yīng)用。通過一些實例，特別是幾何實例，引入高等代數(shù)的相關(guān)概念，一方面可以讓學生了解抽象概念的來龍去脈，另一方面可以讓學生找到理解抽象概念的思維立足點。廳p實例高等代數(shù)的相關(guān)概念及理論1中學代數(shù)的多項式四則運算多項式及其加、乘運算的嚴格定義，并在此基礎(chǔ)上，介紹多項式的整除理論和最大公因式理論.2中學代數(shù)的多項式因式分解方法用/、可約多項式的嚴格定義解釋”/、可再分解”的含義，給出了不可約多項式的性質(zhì)、唯一分解定埋及不可約多項式

4、在三種常見數(shù)域上的判定.3中學代數(shù)的次方程、一元二次方程的解法以及F二次方程根與系數(shù)的關(guān)系給出了Fn次方程根的定義、復(fù)數(shù)域上Fn次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的個數(shù)、實系數(shù)Fn次方程根的特點、有理系數(shù)Fn次方程有理根的性質(zhì)以及求法.4中學代數(shù)的二L次方程組、三L次方程組的消元解法引入行列式的定義，進一步介紹了線性方程組的行列式解法和矩陣消無解法，給出了線性方程組解的結(jié)構(gòu).5中學幾何中的r2,r3及其向量對加法和數(shù)乘運算滿足8條運算規(guī)律，r2,r3中過原點的直線、平向推廣為n維向量空間Pn,通過8條運算規(guī)律抽象出一般線性空間的概念，引入線性空間的子空間6中學幾何中的r2,r3的直角坐標系，向量的坐標

5、線性空間的基、歐氏空間的標準止交基，向量的坐標7中學幾何中的r2,r3的向量的內(nèi)積、模和夾角，三角形不等式歐氏空間的定義，歐氏空間向量的模和火角，兩點間距離的性質(zhì)8R3中向量在小圓上的投影歐氏空間向量在子空間的投影9R2,R3中啟心二次曲線和二次曲面的分類二次型通過正交替換化為標準形10r2,r3中向量在一個給定向量或平向上的投影，坐標系的旋轉(zhuǎn)線性空間中的線性變換，歐氏空間中的正交交換五、高等代數(shù)的一些概念的幾何解析高等代數(shù)中相關(guān)概念和定理的幾何解析，可以使學生更容易把握這些概念和定理的幾何本質(zhì)，更容易直觀地理解這些抽象的概念和定理，從而可以提高學生運用這些抽象的概念和定理去解題的能力。1 .

6、線性代數(shù)中“線性”的幾何意義線性代數(shù)是高等代數(shù)的一個分支，有線性空間、線性映射、線性變換、線性方程組、線性相關(guān)性等概念。哪究竟這里的“線性”的直觀理解是什么？簡單地說，就是因變量與自變量之間的關(guān)系可以描述為一條直線，例如線性函數(shù)y=f(x)=ax+b,最簡單的情形就是過原點的直線y=f(x)=ax。而對于過原點的直線y=f(x)=ax,其滿足可加性和比例性，即f(x1+x2)=f(x1)十f(x2),f(kx)=kf(x),或者f(k1x1+k2x2)=k1f(x1)十k2f(x2)。一句話，線性組合的函數(shù)，等于函數(shù)的線性組合。將這種關(guān)系推廣到高維的情形：Y=AX=：,AX=b.2 .行列式的

7、幾何意義(1)二級行列式的幾何意義二級行列式D2="也是xoy平面上以行向量a=(a1,a2)ftb=(h,b2)為鄰邊的4b2平行四邊形的有向面積：若這個平行四邊形是由向量a沿逆時針方向轉(zhuǎn)到b而得到的，面積取正值；若這個平行四邊形是由向量a沿順時針方向轉(zhuǎn)到b而得到的，面積取負值。S(a,b)=|a|b|sin(a-P),而sin(a_P)=a1b2-a2bl0|a|b|另外，二級行列式的另一個幾何意義就是是兩個行向量或列向量的叉積ab的數(shù)值。(2)三級行列式的幾何意義三級行列式的幾何意義是其行向量或列向量所張成的平行六面體的有向體積。yyiy20o推論2：過平面上兩點(x偌y)(x

8、2,y2)的直線方程為x1X23 .矩陣乘積的幾何意義要說到矩陣的乘積的幾何意義，我們首先要了解矩陣的發(fā)展歷程：1801年德國數(shù)學家高斯(F.Gauss)把一個線性變換的全部系數(shù)作為一個整體。1844年，彳惠國數(shù)學家愛森斯坦(F.Eissenstein)討論了“變換”(矩陣)及其乘積。1850年，英國數(shù)學家西爾維斯特(J.J.Sylvester)首先使用矩陣一詞。1858年，麗皮學家凱萊(A.Cayley,)發(fā)表關(guān)于矩陣理論的研究報告他首先將矩陣作為一個獨立的數(shù)學對象加以研究，并在這個主題上首先發(fā)表了一系列文章，因而被認為是矩陣論的創(chuàng)立者，他給出了現(xiàn)在通用的一系列定義，如兩矩陣相等、零矩陣、單

9、位矩陣、兩矩陣的和、一個數(shù)與一個矩陣的數(shù)量積、兩個矩陣的積、矩陣的逆、轉(zhuǎn)置矩陣等。矩陣實質(zhì)上就是一個線性變換。矩陣乘積實質(zhì)就是線性變換的復(fù)合。下面來看R2中的一個簡單例子："1<x2JViV1=a11X1a12X2:丫2)=a21X1+a22X2,即YAXA-)a11a21a12Ia22,Z1«2三二hNb12y2:Z2=b21y1b22y2,即Z=BYB=b11_b21M2b22|fX13z=<X2),Z1<Z2-Lz1=(。代:Z2=(b21a1111h2a21)X1(卜制2h2a22)X2日門,區(qū)|JZCX,b22a21)X1(b21a12b22a22)X2b11a12bl2a22b21a12'b22a22b11a11b12a21C二b21anb22a21bna11bj2a21bna12bi2a22I又有ZBAX于是定義BA二112112221121a11b22a21b21a12b22a22J4 .向量組線性相關(guān)(無關(guān))與幾何中向量共面、共線之間的關(guān)系若5是三維空間的向量，則：“線性相關(guān)；P線性相關(guān)；a,Pj線性相關(guān)對應(yīng)幾何直觀分別為a為零向量；共線；a,B,¥共面。因此，一維空間的基是空間中任意一個非零向量；二維空間的基是空間中兩個不共線向量；三維空問的基是空間中3個不共面的向量組成的。5 .向量組正