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文檔簡介
1、習 題 三 解 答1:設二維隨變量(X,Y)只能取下列數組中的值:(0,0),(-1,1),(-1,1/3),(2,0),且取這幾組值的概率依次為1/6,1/3,1/12,5/12。求此二維隨機變量(X,Y)的分布列。解:此二維隨機變量(X,Y)的分布列是: YX01/31-101/121/301/60025/12002一袋中有四個球,它們依次標有數字1,2,2,3。從這袋中任取一球后,不放回袋中,再從袋中任取球,設每次取球時,袋中每個球被取到的可能性相同。以X,Y分別記第一、二次取得的球上標有的數字,求(X,Y)的概率分布。解:由題意得:(X,Y)的可能取值為:(1,2),(1,3),(2,
2、1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)。則由概率的乘法公式得:PX=1,Y=2=(1/4)×(2/3)=1/6 PX=1,Y=3=(1/4)×(1/3)=1/12 PX=2,Y=1=(2/4)×(1/3)=1/6 PX=2,Y=2=(2/4)×(1/3)=1/6 PX=2,Y=3=(2/4)×(1/3)=1/6 PX=3,Y=1=(1/4×(1/3)=1/12 PX=3,Y=2=(1/4)×(2/3)=1/6 而事件(1,1),(3,3)為不可能事件,所以PX=1,Y=1=0,PX=3,Y=3=0。則(X,Y)
3、的聯(lián)合分布列為:YX123101/61/1221/61/61/631/121/60 3在一個箱子里裝有12只開關,其中2只是次品,在其中隨機地取兩次,每次取一只,考慮兩種試驗,(1)有放回抽樣,(2)無放回抽樣,我們定義隨機變量X,Y如下 解:(1)所求聯(lián)合概率分布為:YXX01025/365/3615/361/36 (2)所求聯(lián)合概率分布為: YXX01045/6610/66110/661/664.設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 =(1)確定常數k;(2)求(X,Y)的分布函數;(3)求P0X1,0Y2。解:(1)由概率密度函數的性質知 = =* =1 即 k=12.(2)由定義,有
4、當時 當時于是(3) = 5.隨機變量(X,Y)的分布密度為(1)求系數C;(2)求隨機變量(X,Y)落在內的概率。解:(1)由(利用極坐標運算)得于是 (2)利用極坐標運算得: =(1-)6.求出在D上服從均勻分布的隨機變量(X,Y)的分布密度及分布函數,其中D為x軸,y軸及直線y=2x+1圍成的三角形區(qū)域解:由于面積=1/4,所以(X,Y)的聯(lián)合密度函數為分布函數分區(qū)域討論(1) 當從而 (2) 當(3) 當(4) 當(5) 當 綜上可得: 7. 設隨機變量(X,Y)的概率密度為求PX+Y.解:PX+Y1=1PX+Y<1=1=8:設二維隨機變量(X,Y)要區(qū)域D上服從均勻分布,其中D
5、 是曲線y=和 y=x所圍成,試求(X,Y)的分布密度及邊緣分布密度。解:面積則 (a)關于X的邊緣概率密度當時, 當時所以(b)關于Y的邊緣概率密度當時, 當時所以9(1)第1題中的隨機變量X和Y是否相互獨立(提示:考慮事件X=-1,y=1) (2)第6題中的隨機變量X與Y是否相互獨立(提示:考慮事件 )解:(1),而 根據定義得:X與Y不相互獨立。(2)10已知二維隨機變量(X,Y)的概率密度為:求邊緣概率密度與;(1) ,(2) 問X和Y是否相互獨立解:(1)當0x1時, 其它, 所以 所以關于X的概率密度為類似地,當0y1, 其它, 所以 (3) 故由條件概率密度的定義可知,
6、(3)x=1,y=1時,×(4y-3)(4x-3)=1此時所以X和Y不相互獨立。11(1)如果(X,Y)在以原點為中心,邊長為2的正方形內服從均勻分布,問X和Y是否相互獨立(2)如果(X,Y)在以原點為中心,R為半徑的圓內服從均勻分布,問X和Y是否相互獨立解:(1)因為(X,Y)服從均勻分布,故當x<-1或x>1時,f(x,y)=0 所以當時, 于是得關于X的概率密度為同理可得關于Y得概率密度為,故X和Y是相互獨立。(2)因為(X,Y)服從均勻分布,故當x<R或x>R時,所以 當時,即同理得:, ,故X和Y不相互獨立。12.設X和Y相互獨立,它們的概率密度分別為求ZXY的概率密度.解:因為X和Y相互獨立,所以有 當時當時13.設隨機變量(X,Y)的概率密度為 ,求的概率密度。解:Z的分布函數為 式中,G是xOy平面內由不等式所確定的區(qū)域,當z<0時,F(xiàn)(z)=0;求導得當z>0時,再用極坐標來求積分求導得 所以 14設(X,Y)的分布密度為 求Z=的概率密度。解:Z的分布函數為當時,;當時,所以綜上得 15設(X,Y)的聯(lián)合分布密度為 求k值。解:由概率密度的性質,由題意得,
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