華農概率論習習題三解答

1、習 題 三 解 答1：設二維隨變量（X，Y）只能取下列數組中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取這幾組值的概率依次為1/6，1/3，1/12，5/12。求此二維隨機變量（X，Y）的分布列。解：此二維隨機變量（X，Y）的分布列是： YX01/31-101/121/301/60025/12002一袋中有四個球，它們依次標有數字1，2，2，3。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再從袋中任取球，設每次取球時，袋中每個球被取到的可能性相同。以X，Y分別記第一、二次取得的球上標有的數字，求（X，Y）的概率分布。解：由題意得：（X，Y）的可能取值為：（1，2），（1，3），（2，

2、1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。則由概率的乘法公式得：PX=1,Y=2=(1/4)×(2/3)=1/6 PX=1,Y=3=(1/4)×(1/3)=1/12 PX=2,Y=1=(2/4)×(1/3)=1/6 PX=2,Y=2=(2/4)×(1/3)=1/6 PX=2,Y=3=(2/4)×(1/3)=1/6 PX=3,Y=1=(1/4×(1/3)=1/12 PX=3,Y=2=(1/4)×(2/3)=1/6 而事件(1,1),(3,3)為不可能事件，所以PX=1,Y=1=0，PX=3,Y=3=0。則（X，Y）

3、的聯(lián)合分布列為：YX123101/61/1221/61/61/631/121/60 3在一個箱子里裝有12只開關，其中2只是次品，在其中隨機地取兩次，每次取一只，考慮兩種試驗，（1）有放回抽樣，（2）無放回抽樣，我們定義隨機變量X，Y如下 解：（1）所求聯(lián)合概率分布為：YXX01025/365/3615/361/36 （2）所求聯(lián)合概率分布為： YXX01045/6610/66110/661/664.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為 =（1）確定常數k；（2）求（X，Y）的分布函數；（3）求P0X1，0Y2。解：（1）由概率密度函數的性質知 = =* =1 即 k=12.(2)由定義，有

4、當時 當時于是（3） = 5.隨機變量（X，Y）的分布密度為（1）求系數C；（2）求隨機變量（X，Y）落在內的概率。解：（1）由（利用極坐標運算）得于是 （2）利用極坐標運算得： =（1-）6.求出在D上服從均勻分布的隨機變量(X,Y)的分布密度及分布函數,其中D為x軸，y軸及直線y=2x+1圍成的三角形區(qū)域解：由于面積=1/4，所以（X,Y）的聯(lián)合密度函數為分布函數分區(qū)域討論（1） 當從而 （2） 當（3） 當（4） 當（5） 當 綜上可得： 7. 設隨機變量（X,Y）的概率密度為求PX+Y.解：PX+Y1=1PX+Y<1=1=8：設二維隨機變量（X，Y）要區(qū)域D上服從均勻分布，其中D

5、 是曲線y=和 y=x所圍成，試求（X，Y）的分布密度及邊緣分布密度。解：面積則 （a）關于X的邊緣概率密度當時, 當時所以（b）關于Y的邊緣概率密度當時, 當時所以9（1）第1題中的隨機變量X和Y是否相互獨立（提示：考慮事件X=-1，y=1） （2）第6題中的隨機變量X與Y是否相互獨立（提示：考慮事件 ）解：（1），而 根據定義得：X與Y不相互獨立。（2）10已知二維隨機變量（X，Y）的概率密度為：求邊緣概率密度與；（1） ，（2） 問X和Y是否相互獨立解：（1）當0x1時， 其它， 所以 所以關于X的概率密度為類似地，當0y1， 其它， 所以 （3） 故由條件概率密度的定義可知，

6、（3）x=1，y=1時，×（4y-3）(4x-3)=1此時所以X和Y不相互獨立。11（1）如果（X，Y）在以原點為中心，邊長為2的正方形內服從均勻分布，問X和Y是否相互獨立（2）如果（X，Y）在以原點為中心，R為半徑的圓內服從均勻分布，問X和Y是否相互獨立解：（1）因為（X，Y）服從均勻分布，故當x<-1或x>1時，f(x,y)=0 所以當時， 于是得關于X的概率密度為同理可得關于Y得概率密度為，故X和Y是相互獨立。（2）因為（X，Y）服從均勻分布，故當x<R或x>R時，所以 當時，即同理得：, ,故X和Y不相互獨立。12.設X和Y相互獨立，它們的概率密度分別為求ZXY的概率密度.解：因為X和Y相互獨立，所以有 當時當時13.設隨機變量（X，Y）的概率密度為 ，求的概率密度。解：Z的分布函數為 式中，G是xOy平面內由不等式所確定的區(qū)域，當z<0時，F(xiàn)(z)=0；求導得當z>0時，再用極坐標來求積分求導得 所以 14設（X，Y）的分布密度為 求Z=的概率密度。解：Z的分布函數為當時，；當時，所以綜上得 15設（X,Y）的聯(lián)合分布密度為 求k值。解：由概率密度的性質，由題意得，