相似三角形知識(shí)點(diǎn)及典型例題.

1、相似三角形知識(shí)點(diǎn)及典型例題知識(shí)點(diǎn)歸納：1、三角形相似的判定方法（ 1）定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。（ 2）平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊( 或兩邊的延長線 ) 相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（ 3）判定定理 1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。（ 4）判定定理 2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。（ 5）判定定理 3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例

2、，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。（ 6）判定直角三角形相似的方法：以上各種判定均適用。如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。#直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖， RtABC中， BAC=90°，AD是斜邊BC 上的高，則有射影定理如下：（ 1）（ AD） 2=BD· DC，（ 2 ）（ AB） 2=BD· BC ，（ 3）

3、（ AC） 2=CD· BC 。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。即（ AB） 2+（ AC） 2=（ BC） 2。典型例題：例 1如圖，已知等腰ABC 中， AB AC ， AD BC 于 D ， CG AB ， BG 分別交 AD ，AC 于 E、 F，求證： BE 2EF·EG證明：如圖，連結(jié)EC， AB AC，AD BC ， ABC ACB ， AD 垂直平分BC BEEC， 1 2， ABC- 1 ACB- 2，即 34，又 CGAB， G3， 4 GCEEF又 CEG CEF ， CEF GEC ， EG = CE EC2 EG· EF ，故 EB

4、 2=EF ·EG【解題技巧點(diǎn)撥】本題必須綜合運(yùn)用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)和相似三角形的基本圖形來得到證明而其中利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到 BE=EC ，把原來處在同一條直線上的三條線段 BE ， EF， EC 轉(zhuǎn)換到相似三角形的基本圖形中是證明本題的關(guān)鍵。FBFD例 2已知：如圖， AD 是 Rt ABC 斜 BC 上的高， E 是 AC 的中點(diǎn)， ED 與 AB 的延長線相交于F，求證： BA = AC證法一：如圖，在Rt ABC 中， BAC Rt ， AD BC ， 3 C，又 E 是 Rt ADC 的斜邊 AC 上的中點(diǎn)，1ED=2 ACEC，

5、 2 C，又 1 2， 1 3，F(xiàn)BBD DFB AFD ， DFB AFD ，F(xiàn)D AD（ 1 ）BDBA又AD是 Rt ABC的斜邊BC上的高，Rt ABD Rt CAD，AD=AC（ 2 ）FBBAFBFD由（ 1 ）（ 2 ）兩式得FD=AC，故BA=ACFBFD證法二：過點(diǎn)A 作E 是 AC 的中點(diǎn)，AG EF 交 CBEDAC ， D延長線于點(diǎn)G，則是 GC 的中點(diǎn)，又BA = AG（1）AD GC， AD 是線段GC的垂直平分線，AG AC（ 2 ）FBFD由（ 1 ）（ 2 ）兩式得：BA = AC ，證畢。【解題技巧點(diǎn)撥】BD本題證法中，通過連續(xù)兩次證明三角形相似，得到相應(yīng)的

6、比例式，然后通過中間比“AD ”過渡，使問題得證，證法二中是運(yùn)用平行線分線段成比例定理的推論，三角形的中位線的判定，線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)使問題得證一、如何證明三角形相似例 1、如圖：點(diǎn) G 在平行四邊形ABCD 的邊 DC 的延長線上 ,AG 交 BC 、BD 于點(diǎn) E、F，則 AGD 。AAD例 2、已知 ABC 中， AB=AC ， A=36 °， BD 是角平分線，42求證： ABC BCDFB3CDE 1GBC例 3：已知，如圖，D 為 ABC 內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED 、 AD ，以 BC 為邊在 ABC 外作 CBE= ABD ， BCE= BAD求證： DBE ABC例

7、4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ，E、 F，是 BC 邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE 、AF 、 AC ，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論。ADBEFC二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例 5、 ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延長線上截取BE ，使 AD=BE ，求證： DFAC=BCFEAFDEKCB例 6：已知：如圖，在ABC 中， BAC=90 0， M 是 BC 的中點(diǎn)， DM BC 于點(diǎn) E，交 BA 的延長線于點(diǎn) D 。2D求證：（ 1） MA 2=MD ME；（ 2） AEMEAD 2MDA1E2BMC例 7 ：如圖 ABC 中， AD 為

8、中線， CF 為任一直線， CF 交 AD 于 E，交 AB 于 F，求證： AE： ED=2AF：FB 。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例 8 ：已知：如圖 E、F 分別是正方形ABCD 的邊 AB 和 AD 上的點(diǎn)，且 EBAF1 。求證： AEF= FBDABAD3AFDGEBC例 9、在平行四邊形ABCD 內(nèi)， AR 、 BR 、 CP、 DP 各為四角的平分線，求證： SQAB ， RP BCDCRSQPAB例 10、已知 A 、 C、E 和 B、 F、 D 分別是 O 的兩邊上的點(diǎn)，且AB ED， BC FE，求證： AF CDECAOBFD例 11、直角三

9、角形 ABC 中， ACB=90 °， BCDE 是正方形， AE 交 BC 于 F， FG AC 交 AB 于 G，求證： FC=FGDCFEAGB例 12、RtABC 銳角 C 的平分線交 AB 于 E，交斜邊上的高AD 于 O，過 O 引 BC 的平行線交 AB 于 F，求證： AE=BFAE1FO23BDC課后作業(yè)一、填空題1.已知：在 ABC 中， P 是 AB 上一點(diǎn)，連結(jié) CP，當(dāng)滿足條件 ACP=或 APC=或 AC2=時(shí)， ACP ABC 2.兩個(gè)相似三角形周長之比為4 9 ，面積之和為 291 ，則面積分別是。3.如圖， DEFG 是 Rt ABC 的內(nèi)接正方形，

10、若 CF 8 ， DG 42 ，則 BE。4如圖，直角梯形 ABCD中， AD BC，AD CD ，AC AB ，已知 AD 4，BC 9，則 AC。5 ABC 中， AB 15 ， AC 9 ，點(diǎn) D 是 AC 上的點(diǎn)，且 AD=3， E 在 AB 上， ADE 與ABC 相似，則 AE 的長等于。6.如圖，在正方形網(wǎng)格上畫有梯形ABCD ，則 BDC 的度數(shù)為。7. ABC 中，AB AC ， A 36 °，BC 1，BD 平分 ABC 交于 D ，則 BD ，AD ，設(shè) AB x, 則關(guān)于 x 的方程是.8 如圖，已知D 是等邊 ABC 的 BC 邊上一點(diǎn)，把 ABC 向下折疊

11、，折痕為MN ，使點(diǎn) A 落在點(diǎn) D 處，若 BD DC2 3，則 AM MN=。二、選擇題9. 如圖，在正 ABC 中， D 、 E 分別在 AC 、 AB 上，且 AD1 ，AE=BE ，則有（）AC3A AED BEDB AED CBDC AED ABDD BAD BCD10 如圖，在 ABC 中， D 為 AC 邊上一點(diǎn)， DBC A， BC=6 ， AC 3 ，則 CD 的長為（）A.13C.25B.D.2211 如圖， ABCD 中，G 是 BC 延長線上一點(diǎn)， AG 與 BD交于點(diǎn) E，與 DC 交于點(diǎn) F，則圖中相似三角形共有 （）A3 對(duì)B4 對(duì)C5 對(duì)D6 對(duì)12 P 是

12、Rt ABC 的斜邊 BC 上異于 B 、C 的一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作直線截 ABC ，使截得的三角形與 ABC 相似，滿足這樣條件的直線共有（）A1 條B.2 條C3 條D4 條13 如圖，在直角梯形ABCD 中， AB 7 ， AD 2 ， BC=3 ，若在 AB 上取一點(diǎn) P，使以 P、 A、 D 為頂點(diǎn)的三角形和以 P、 B 、C 為頂點(diǎn)的三角形相似，這樣的P 點(diǎn)有（）A1 個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)三、解答下列各題14. 如圖，長方形ABCD 中， AB=5 ， BC 10 ，點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿 AB 作勻速運(yùn)動(dòng)， 1 分鐘可以到達(dá) B 點(diǎn)，點(diǎn) Q從 B 點(diǎn)出發(fā)，沿BC 作勻速直

13、線運(yùn)動(dòng)， 1 分鐘可到 C 點(diǎn)，現(xiàn)在點(diǎn) P 點(diǎn) Q 同時(shí)分別從 A 點(diǎn)、 B 點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過多少時(shí)間，線段 PQ 恰與線段BD 垂直？15 已知：如圖，正方形DEFG 內(nèi)接于 Rt ABC ，EF 在斜邊 BC 上， EH AB 于 H 求證：（ 1 ）ADG HED ；（ 2） EF2 BE·FC（答案）例 1 分析： 關(guān)鍵在找“角相等” ，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對(duì)頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。 本例除公共角 G 外,由 BC AD 可得 1= 2，所以 AGD EGC。再 1= 2（對(duì)頂角），由 AB DG 可得 4=G，所以 EGC

14、EAB 。例 2 分析： 證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然 C 是公共角，而另一組相等的角則可以通過計(jì)算來求得。借助于計(jì)算也是一種常用的方法。證明： A=36 °， ABC 是等腰三角形， ABC= C=72 °又 BD 平分 ABC ，則 DBC=36 °在 ABC 和 BCD 中， C 為公共角， A= DBC=36 ° ABC BCD例 3 分析： 由已知條件 ABD= CBE ， DBC 公用。所以 DBE= ABC ，要證的 DBE 和 ABC ，有一對(duì)角相等，要證兩個(gè)三角形相似，或者再找一對(duì)角相等，或者找夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。從已知條件

15、中可看到CBE ABD ，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在 CBE 和 ABD 中，CBE= ABD, BCE= BAD CBE ABD BC = BE 即：BC = ABABBDBEBD DBE 和 ABC 中， CBE= ABD, DBC 公用 CBE+ DBC= ABD+ DBC DBE= ABC 且BC = AB DBE ABCBEBD例 4 分析： 本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：（ 1） 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形AEDADEABCBCBCDE(2)如圖：其中 1=2，則 ADE AB

16、C 稱為“相交線型”的相似三角形。AAD1E4EE1AD1 D2C22BCBCB(3)如圖： 1= 2， B= D ，則 ADE ABC ，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF 與 ECA解：設(shè) AB=a ，則 BE=EF=FC=3a ，由勾股定理可求得AE= 2a ， 在 EAF 與 ECA 中， AEF 為公共角， 且 AEEC2 所以 EAF ECAEFAE例 5分析 ：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC ：AC ，再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進(jìn)行證明：證明：過 D 點(diǎn)作 DKAB，交 BC 于 K，

17、A DK AB ， DF： FE=BK ： BED2又 AD=BE ， DF： FE=BK ： AD ，而 BK ：AD=BC ： AC1即 DF： FE= BC ： AC ， DFAC=BCFE例 6證明： （ 1 ） BAC=900， M 是 BC 的中點(diǎn)， MA=MC ， 1= C，E DM BC， C= D=90 0- B， 1= D， 2= 2 ， MAE MDA ， MAME ， MA2 =MDME ，BCMDMAAEMAAEMEAE 2MAMEME（ 2 ） MAE MDA ，ADMDMAMDADMDMAAD 2評(píng)注： 命題 1 如圖，如果 1= 2 ，那么 ABD ACB ，A

18、B 2=ADAC 。命題 2 如圖，如果 AB 2 =ADAC ，那么 ABD ACB ， 1= 2 。例 7分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE ： ED ”的特征，作 DG BA 交 CF 于 G ，得 AEF DEG ， AEAF 。與結(jié)論 AE2 AFAF1FB 。DEDG相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證 DGEDFB12BF2證明： 過 D 點(diǎn)作 DG AB 交 FC 于 G 則 AEF DEG 。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似）AEAF（1）DEDG D

19、 為 BC 的中點(diǎn)，且 DG BF G 為 FC 的中點(diǎn)則 DG 為 CBF 的中位線， DG1 BF （2 ）將（ 2 ）代入（ 1）得：2AEAF2AFDE1FBBF2例 8 分析： 要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對(duì)等角等方法來實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個(gè)角所在的三角形顯然不可能相似（一個(gè)在直角三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明： 作 FG BD ，垂足為 G。設(shè) AB=AD=3k則 BE=AF=k ， AE=DF=2k ， BD= 32k ADB=450 ， FGD=900 D

20、FG=450 DG=FG=DF2k BG= 32k2k 2 2k AFFG12AEBG2又 A= FGB=90 0 AEF GBF AEF= FBD例 9分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。 要證明 SQ AB ，只需證明 AR：AS=BR ：DS。證明：在 ADS 和 ARB 中。 DAR= RAB=1 DAB ， DCP= PCB=1 ABC ADS ABRARBR2ARBR2ASDS但 ADS CBQ ， DS=BQ ，則AS， SQ AB ，同理可證， RPBCBQ例 10 分析：要證明AF CD ，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。其實(shí)要證明 AF CD ，只要證明 OAOF 即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。OCOD證明： AB ED， BC FE OAOB，OEOF 兩式相乘可得：OAOFOEODOCOBOCOD例 11 分析：要證明 FC=FG ，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明 FC=FG ，首先要找出與 FC、 FG 相關(guān)的比例線段，圖中與 FC、 FG 相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與