南大復(fù)變函數(shù)與積分變換拉普拉斯逆變換PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1南大復(fù)變函數(shù)與積分變換拉普拉斯逆變南大復(fù)變函數(shù)與積分變換拉普拉斯逆變換換一、反演積分公式 Laplace 逆變換公式 1. 公式推導(dǎo) 函數(shù) 的 Laplace 變換 )(tf)()( jFsF 就是函數(shù) 的 Fourier 變換， ttutf e)()(.d)()()()(ee ttutfjFsFtjt 即 .d)(21)()(ee tjtjFtutf在 的連續(xù)點(diǎn) t 處，有 )(tf(2) 根據(jù) Fourier 逆變換， (1) 由 Laplace 變換與 Fourier 變換的關(guān)系可知， 推導(dǎo) 第1頁/共25頁一、反演積分公式 Laplace 逆變換公式 1. 公式推導(dǎo) 在 的連續(xù)

2、點(diǎn) t 處，有 )(tf.d)(21)()(ee tjtjFtutf(2) 根據(jù) Fourier 逆變換， 推導(dǎo) (3) 將上式兩邊同乘 并由 有 ,et , js .d)(21)()(e jjt sssFjtutf . )0( t即得 ,d)(21)(e jjt sssFjtf 第2頁/共25頁稱 (B) 式為反演積分公式。 定義 該直線處于 的存在域中。 ,Re s)(sF注 反演積分公式中的積分路徑是 s 平面上的一條直線 c j j P227 ( 9.16 )式 一、反演積分公式 Laplace 逆變換公式 2. 反演積分公式 根據(jù)上面的推導(dǎo)，得到如下的 Laplace 變換對(duì): 第3

3、頁/共25頁二、求 Laplace 逆變換的方法1. 留數(shù)法 利用留數(shù)計(jì)算反演積分。 則 設(shè)函數(shù) 除在半平面 內(nèi)有有限個(gè)孤立奇點(diǎn) cs Re)(sF定理 且當(dāng) 時(shí)， s,0)(sFnsss,21外是解析的， , ,)(Rese1kt snkssF . )0( t jjt sssFjtf d)(21)(e證明 (略) t seP227定理 9.2 (進(jìn)入證明?)第4頁/共25頁二、求 Laplace 逆變換的方法2. 查表法 此外，還可以利用卷積定理來求象原函數(shù)。 利用 Laplace 變換的性質(zhì)，并根據(jù)一些已知函數(shù)的 Laplace變換來求逆變換。 大多數(shù)情況下，象函數(shù) 常常為(真)分式形式：

4、 )(sF,)()()(sQsPsF 其中，P(s) 和 Q(s) 是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。 由于真分式總能進(jìn)行部分分式分解，因此，利用查表法 很容易得到象原函數(shù)。 常用 (真分式的部分分式分解)第5頁/共25頁二、求 Laplace 逆變換的方法2. 查表法 幾個(gè)常用的 Laplace 逆變換的性質(zhì) 第6頁/共25頁二、求 Laplace 逆變換的方法2. 查表法 幾個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 逆變換 第7頁/共25頁)2( )1(15)( ssssF.21 sBsA(1) (單根) 解 方法一 利用查表法求解 有 (2) 由 11as ,eta )()(1sFtf .322eett 213112

5、11 ss2 3 第8頁/共25頁解 方法二 利用留數(shù)法求解 .322eett (1) 為 的一階極點(diǎn)， 2, 121 ss)(sF1ee2151,)(Res st st ssssF,2et 2ee1152,)(Res st st ssssF.32et (2) 2,)(Res1,)(Res)(eet st ssFsFtf 第9頁/共25頁.)1(122 sCsBsA(重根) 2)1( )2(1)( sssF(1) 解 方法一 利用查表法求解 )()(1sFtf .eee2tttt 1 1 1 有 (2) 由 11as ,eta 21)(1as ,etat P228 例9.17 第10頁/共25

6、頁解 方法二 利用留數(shù)法求解 (1) 分別為 的一階與二階極點(diǎn)， 1,221 ss)(sF22ee)1(12,)(Res st st sssF,2et 1)e(e21,)(Res st st sssF(2) 1,)(Res2,)(Res)(eet st ssFsFtf .eee2tttt .eettt 第11頁/共25頁)3( 4)1()1()(22 ssssF(1) 解 方法一 利用查表法求解 (復(fù)根) 3 sA,4)1(2 sCsB,2)1(2)1(22 sCsB, )3(2) 1(2) 1() 1(222 sCsBsAs令 得 ,3 s;2 A令 得 ,21is , )22( )22()

7、22(2 iCBii,1,1 CB2 1 1第12頁/共25頁)3( 4)1()1()(22 ssssF解 (1) 方法一 利用查表法求解 (重根)3 sA,4)1(2 sCsB,2)1(2)1(22 sCsB2 1 1,2)1(22)1(13122222 ssss(2) 由 11as ,eta 2212)1(1 ss,2cosett 2212)1(2 s,2sinett )()(1sFtf .2sin2cos2eee3ttttt 得 第13頁/共25頁解 方法二 利用留數(shù)法求解(略講) (1) 為 的一階極點(diǎn)， iss21,33,21 )(sF,23,)(Res3eett ssF .2121

8、,)(Res)21(eetit siisF .2sin2cos2eee3ttttt (2) tititiitf)21()21(3eee21212)( 第14頁/共25頁解 方法一 利用查表法求解 ,)1(1111)(2 ssssF.1)(eettttf 方法二 利用留數(shù)法求解 1,)(Res0,)(Res)(eet st ssFsFtf 分別為 的一階與二階極點(diǎn)， 1,021 ss)(sF 02)1(est ss1)e( st ss.1eettt 第15頁/共25頁解 方法三 利用卷積定理求解 .1eettt 1e tt t0d1e1)1(1121ss 21)1(11)( sstf方法四 利用

9、積分性質(zhì)求解 .d)()(101 tttgsGs.1eettt tttt0de tts021d)1(121)1(11)( sstf第16頁/共25頁 輕松一下第17頁/共25頁利用留數(shù)計(jì)算反演積分的定理證明 附： 證明 如圖，作閉曲線 ,RCLC 大時(shí)，可使 的所有奇點(diǎn)包含 t ssFe)(當(dāng) R 充分 在 C 圍成的區(qū)域內(nèi)。 R L CR 解析 Rj Rj 由留數(shù)定理有： Ct sssFd)(e, ,)(Res2e1kt snkssFi RCt sLt sssFssFd)(d)(ee由若爾當(dāng)引理(5.3), 當(dāng) 時(shí)， 0 t,0d)(lime RCt sRssF. ,)(Rese1kt sn

10、kssF jjt sssFj d)(21e即得 (返回)第18頁/共25頁將上式兩邊同乘以 得 )(as )()()()(1assQassP , )()()(11assQsPA 1. Q(s) 含單重一階因子的情況 , )()()(1sQassQ , )(as 若 Q(s) 含單重一階因子 即 )()()(sQsPsF )()()(1sQassP asA ,)()(11sQsP 則 將實(shí)系數(shù)真分式 化為部分分式 附： )(/ )()(sQsPsF ,as assQsPA )()(1.)()(1aQaP 令 即得 第19頁/共25頁2. Q(s) 含多重一階因子的情況 ,)(mas , )()(

11、)(2sQassQm 若 Q(s) 含多重一階因子 即 )()()(sQsPsF )()()(2sQassPm 則 ,)()()()(221110sQsPasAasAasAmmm 將上式兩邊同乘以 得 mas)( 1110)()(mmasAasAA)()(22sQsP,)(mas )()(2sQsP將實(shí)系數(shù)真分式 化為部分分式附： )(/ )()(sQsPsF 第20頁/共25頁2. Q(s) 含多重一階因子的情況 ,as 兩邊逐次求導(dǎo)，并令 即得 ,as assQsPA )()(20,)()(2aQaP 令 即得 askkksQsPskA )()(dd!12. )1,2,1( mk 1110

12、)()(mmasAasAA)()(22sQsP,)(mas )()(2sQsP將實(shí)系數(shù)真分式 化為部分分式附： )(/ )()(sQsPsF 第21頁/共25頁將實(shí)系數(shù)真分式 化為部分分式附： )(/ )()(sQsPsF 上面討論了 含單重和多重一階因子的情況，如果是 )(sQ在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解，這兩種情況已經(jīng)夠了。 但如果僅在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解，這兩種情況還不夠。 即如果復(fù)數(shù) 為 的零點(diǎn)，那么它的共軛復(fù)數(shù) jbaz )(sQ也必為 的零點(diǎn)。 jbaz )(sQ因此， 必含有(實(shí)的) )(sQ 由于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)零點(diǎn)總是互為共軛地成對(duì)出現(xiàn)的， 下面需進(jìn)一步討論含實(shí)二階因子的情況。 .)(

13、22bas )(zszs 二階因子 第22頁/共25頁, )()()(322sQbassQ )()(3sQsPbDasC )()()(33sQsP , )(22bas )()()()(322sQbassPsF 22)()(basbDasC)()(33sQsP則 ,)(22bas 將上式兩邊同乘以 得 3. Q(s) 含單重二階因子的情況 將實(shí)系數(shù)真分式 化為部分分式附： ,)(22bas 若 Q(s) 含單重二階因子 即 )(/ )()(sQsPsF 令 ,bjas )()(3jbaQjbaP ,bDjbC 有 第23頁/共25頁3. Q(s) 含單重二階因子的情況 將實(shí)系數(shù)真分式 化為部分分式