指數(shù)函數(shù)題型匯總精編版

1、最新資料推薦指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個基本初等函數(shù)，有關(guān)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的題目類型較多，同時也是學(xué)習(xí)后續(xù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)和高考 考查的重點，本文對此部分題目類型作了初步總結(jié)，與大家共同探討.1 .比較大小例1已知函數(shù)f(x) =x2 bx+c滿足f (1+x) =f(1 x),且f (0) =3 ,則f (bx)與f (cx)的大小關(guān)系是 .分析：先求b, c的值再比較大小，要注意 bx, cx的取值是否在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).解： f(1 +x) = f(1 -x), :函數(shù)f(x)的對稱軸是x =1 .故 b=2 ,又 f(0) =3, . c=3 .:函數(shù)f (x)在(q°

2、,1上遞減，在1,+8)上遞增.若 x>0 ,則 3x>2x>1 , . f (3x) > f (2x)；若 x<0 ,貝 U 3x <2x <1 ,f(3x) >f (2x).綜上可得 f(3x)> f(2x),即 f(cx)> f (bx).評注：比較大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函數(shù)的單調(diào)性或中間量等.對于含有參數(shù)的大小比較問題，有時需要對參 數(shù)進行討論.2 .求解有關(guān)指數(shù)不等式例2已知(a2 +2a +5)3x >(a2 +2a +5)1”,則x的取值范圍是 .分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，注意底數(shù)的取值范圍.

3、解：: a2 +2a +5 =(a +1)2 +4 > 4 >1 ,:函數(shù)y =(a2+2a+5)x在(q,+8)上是增函數(shù)，1 . . 一 13x >1 -x ,解得x >- .: x的取值范圍是.一，+00 .4 4評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式，并判斷底數(shù)與1的大小，對于含有參數(shù)的要注意對參數(shù)進行討論.3 .求定義域及值域問題例3求函數(shù)y =41 Gx2的定義域和值域.解：由題意可得1 -6、4> 0 ,即6、/0 1 ,. x 2 W 0,故x 0 2 . :函數(shù)f(x)的定義域是(q,2.令 t =6、二，則 y

4、 =VTt ,又.x< 2 , - x -2< 0. .- 0 <6x' < 1 ,即 0 <t W 1 .0< 1 -t <1 ,即 00 y <1 .:函數(shù)的值域是b,1).最新資料推薦評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域時，要注意定義域?qū)λ挠绊?4 .最值問題2x x例4函數(shù)y =a +2a -1(a >0且a =1)在區(qū)間1,1上有最大值14,則a的值是.分析：令t =ax可將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，需注意換元后t的取值范圍.解：令t =ax,則t >0 ,函數(shù)y =a2x +2ax -1可化為y =(t+1)2

5、-2 ,其對稱軸為t = 1 .:當(dāng) a >1 時，: xw _1,1 ,1 1 一 一_ < a a ,即 _ W t W a . aa.當(dāng) t=a 時，ymax =(a+1)2 _2=14.解彳導(dǎo)a =3或a = -5 (舍去)；當(dāng) 0 <a <1 時，: x w 1,1 ,a & ax 0 1 ,即 a & t & 1, aa11 t=一時，ymax = 一 +1 2 =14， aa111斛彳寸a =或a =(舍去)，：a的值是3或. 353評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值時注意一些方法的運用，比如：換元法，整體代入等.5 .解指數(shù)方程例5

6、解方程3x卡32" =80.x 2xx21解：原萬程可化為 9父(3) -80 X3 9=0 ,令t =3 (t >0),上述方程可化為 9t 80t 9 =0 ,解得t =9或t =(舍去)，93x =9，: x =2 ,經(jīng)檢驗原方程的解是 x =2 .評注：解指數(shù)方程通常是通過換元轉(zhuǎn)化成二次方程求解，要注意驗根.6 .圖象變換及應(yīng)用問題例6為了得到函數(shù)y =9 M3x+5的圖象，可以把函數(shù) y=3x的圖象().A.向左平移9個單位長度，再向上平移 5個單位長度8 .向右平移9個單位長度，再向下平移 5個單位長度9 .向左平移2個單位長度，再向上平移 5個單位長度10 向右平

7、移2個單位長度，再向下平移 5個單位長度xx 12分析：汪意先將函數(shù)y =9父3 +5轉(zhuǎn)化為t =3 +5 ,再利用圖象的平移規(guī)律進行判斷.解：y =9父3、+5=3、也十5 把函數(shù)y=3x的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，可得到函數(shù)丫=9父3、+5的圖象，故選(C).評注：用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，利用其直觀性實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基本函數(shù)的圖象，并掌握圖象的變 化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等.習(xí)題1、比較下列各組數(shù)的大?。?最新資料推薦11比較a >i >0,c>0a >&>0,c<0，比較a 與，比較a

8、與(4)aE(l.+cox>y>0 ,且小二/ ,比較a與b; ali(0Jx<j<0 ,且射二獷 ,比較a與b.解)由八I,故9M，此時函數(shù)”為減函數(shù).由Ta>b>0 - >1，故占 .又>1cO，故G1 一 ，因。2。，故占.又r <0 ,故(4)-1應(yīng)有a 6 .因若心6 ,則丁.又工0 ，故，這樣之肥.又因,故狀 沙.從的圖象，則C1軸右側(cè)令題則是由圖到矛盾.圖象來求解.分析：首先可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，確定c 1 。白1,。方1,在j.又工，故btd, dtc ,故應(yīng)選(功.a -x-,對應(yīng)的函數(shù)值由小到大依次為1 .,這樣有屋之

9、爐.又因了，且屁(0.1)，故與1的大小關(guān)系是().而丁' ,這與已知二矛盾.應(yīng)有a 2 .因若a ，則占.從而。W，這與已知。'=獷 小結(jié)：比較通常借助相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、2曲線分別是指數(shù)函數(shù) a<h<<c <d a<h<<d <c © b<a<<c <d(：；丁,，,1小結(jié)：這種類型題目是比較典型的數(shù)形結(jié)合的題目，第(1)題是由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，第(2)數(shù)的翻譯，它的主要目的是提高學(xué)生識圖，用圖的意識.求最值 3求下列函數(shù)的定義域與值域1(1)y=2x“； (2)y4x+2x+1+1.解：(

10、1) ;*，0, ：y=2 x4的定義域為 x | xG R且x，3.又二13x -32 x-1,1.y = 2x的值域為 y | y>0且y，1.(2)y =4x+2x+1+1 的定義域為 R. 2x>0, ：.y = 4x+2x+1+1 = (2 x) 2+2 - 2x+1 = (2 x+1) 2>1.:y = 4x+2x+1+1 的值域為 y | y>1 .4已知-1WxW2,求函數(shù)f(x)=3+2 3x+1-9x的最大值和最小值1解：設(shè) t=3x,因為-1 &xw 2,所以<t <9,且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故當(dāng) t=3

11、 即 x=1 時，f(x)取最大值 12,當(dāng) t=9 即 x=2 時 f(x)取3最小值-24 。1K-tx5、設(shè)0<x<2 ,求函數(shù) 尸4 2-3 2"+5 的最大值和最小值.分析：注意到4K =(2a/= 2" = (21)3，設(shè)2'，則原來的函數(shù)成為,山-% + 52,利用閉區(qū)間上二次函數(shù)的值域的求法，可求得函數(shù)的最值.解：設(shè) 2' ，由 2 知，4/ 1=T = 5(2)=#_ 1以二 _3我5J ,函數(shù)成為2,以外，對稱軸u = 3elT4故函數(shù)最小值為-3i-3 3+5 = -遠，故函數(shù)的最大值為6 (9分)已知函數(shù)y = a2x +

12、 2ax - 1(a > 1)在區(qū)間- 1,1上的最大值是14,求a的值.解： y = a2x+ 2ax -1(a >1),換元為 y =t2 +2t1-1(- a<t < a),對稱軸為t = -1.當(dāng)a a1 , t = a ,即x=i時取最大值，略解彳導(dǎo)a=3 (a= 5舍去)7.已知函數(shù)/(» = /一%*+2 (a>0且儀*1(i)求/W的最小值;的當(dāng)(2)若/<0，求工,:/=/-%*+2 =(八.解:(1)取值范圍.33/二大工二嘰5上即2時，有最小值為 4,了(2-%*+2=gm)«o,當(dāng)。>1 時，1%2 >

13、 工 > 0 .當(dāng)031時，1%2門<。、28 (10分)(1)已知f(x)=+m是奇函數(shù)，求常數(shù)m的值;3x -1解得<a <2._x 一一 . 一 x . . 一(2)回出函數(shù)y33 T|的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3 - 1 I = k無解？有一解？有兩解?解：（1）常數(shù)m=1 當(dāng)k<0時，直線y=k與函數(shù)y=|3x 1的圖象無交點，即方程無解；x當(dāng)k=0或k±1時，直線y=k與函數(shù)y T3 -1 1的圖象有唯一的交點，所以方程有一解x當(dāng)0<k<1時，直線y=k與函數(shù)y =|3 -1 |的圖象有兩個不同交點，所以方程有兩解

14、。/W = -T9,若函數(shù)2 -1是奇函數(shù)，求d的值.解：/為奇函數(shù)，-,1 1-a a即 L-12*-1,n 11121,12a 1 a =則 2。1 2一才一1 1-2*1-2"，1210.已知9x-10.3x+9<0,求函數(shù)y= ( 1 ) x-14 ( 1) x+2的最大值和最小值42解：由已知得(3x) 2-10 - 3x+9<0 得(3x-9) (3x-1) < 0K 3x< 9 故 0Wx02而 y=( 1 )x-1-4 ( 1 )x+2= 4-(1) 2x-4 - ( 1) x+24222.1 v 1,令 t=( 一 )x( EtE1)24貝U

15、 y=f (t) =4t2-4t+2=4 (t-1) 2+12當(dāng) t= 1 即 x=1 時，ymin = 12當(dāng) t=1 即 x=0 時，ymax=222工產(chǎn)y=(%11 .已知 4,求函數(shù) 2 的值域.解：由戶丐尸得盧«24，即/ + M-2X，解之得-,于是9r 5嗎，即上”，故所+寫寸求函數(shù)的值域為二x 2x 212 .（9分）求函數(shù)y = 2的定義域，值域和單調(diào)區(qū)間定義域為R值域（0, 8。（3）在（-8,1上是增函數(shù)在1, +00）上是減函數(shù)。13 求函數(shù)y =分析 這是復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的問題可設(shè)y =其中y=11為減函數(shù)3.u = x2-3x+2的減區(qū)間就是原函數(shù)的增區(qū)

16、間（即減減-增）u = x2-3x+2的增區(qū)間就是原函數(shù)的減區(qū)間（即減、增-減）解：設(shè)y =_ I ,u = x2-3x+2,y 關(guān)于 u 遞減, GJ3 一u為減函數(shù),當(dāng) xe (- 8,)時,2 .y關(guān)于x為增函數(shù);+8)時，u為增函數(shù)，y關(guān)于x為減函數(shù).xa14 已知函數(shù)f(x)=-1 L(a>0 且 a，1).求f(x)的定義域和值域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)討論f(x)的單調(diào)性.解：(1)易得f(x)的定義域為 x | xG R.ax 1一“yTy41y-1.1,解得a =- ; a>0當(dāng)且僅當(dāng)->0時，萬程有解.解->0得-1<y<1.

17、y 1y 1y 1:f(x)的值域為 y I -1 <v< 1.-x a (-x)=-a-1x1 - a =-f(x)且JE義域為R, ： f(x)是奇函數(shù).1 ax(ax 1) -2(3)f(x)=a 112xa 11 °當(dāng)a>1時，: ax+1為增函數(shù)，且 ax+1>0.2，一,一=一為減函數(shù)，從而f(x)ax 12 ax - 11-=a5為增函數(shù).2 0當(dāng)0<a<1時，類似地可得f(x)YV7''a 1 a 1ax - 1ax 1為減函數(shù).15、已知函數(shù)(1)(2),、2f (x) =a21求證：對任何 a G R,若f (x

18、)為奇函數(shù)時,(ae R),f (x)為增函數(shù).求a的值。(1)證明：設(shè)x1<x22(2x2-2”f 3)-f (f) =一() >0(1 2x1 )(1 2x2)故對任何a R, f (x)為增函數(shù).(2) ；xW R,又f (x)為奇函數(shù) .二 f (0) =0 得到 a1=0。即 a =12x16、定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期為2,且x'(0,1)時，f(x)=4x 1(1)求f(x)在 1, 1上的解析式；(2)判斷f (x)在(0, 1)上的單調(diào)性； (3)當(dāng)九為何值時，方程 “*)=K在x W -1,1上有實數(shù)解.又??？為最小正周期解(1): x e R上的奇函數(shù)：f(0)=0f (1) = f(2 -1) = f (1) = -f (1) =0設(shè) xG (1,0),則一xG (0, 1),-x 2 .f( -x) = x= -x4- 14x 1=-f (x)2一 f(x)4x 1f(x)=q2x24x 10)x(10)設(shè)x -1,0,10<xi <X2<1f(Xi)f(X2)=(2 x12x2) n . (2 xx ' 'I2x22x22 x1(4x11)(4x21)x (0,1) 0.(2x1 -2x2)(1(4