最新線性代數(shù)考試題及答案解析

1、精品文檔2009 2010 學年第一學期期末考試線性代數(shù)試卷題號一二三四五總分分數(shù)答卷說明： 1、本試卷共6 頁，五個大題，滿分100 分， 120 分鐘完卷。2 、閉卷考試。評閱人 : 總分人：】 1. 行列式(A) 0( 每小題 3 分 , 共 24 分 )3111131111311113(B)1(C)2(D)】 2. 設(shè)A為 3階方陣，數(shù)2， A 3，則 A(A) 24(B)24 (C)6(D)6】 3. 已知 A, B,為 n 階方陣，則下列式子一定正確的是(A) AB BA (B) (A B)2 A2 2AB B2(C) AB BA (D) (A B)(A B) A2 B2】 4.

2、設(shè) A為 3階方陣 , A a 0，則 A234(A) a( B) a (C) a (D) a】 5. 設(shè)矩陣A與 B 等價，則有(A) R(A) R(B) (B)R(A) R(B)精品文檔(C) R(A) R(B) (D)不能確定R(A)和 R(B)的大小【】 6. 設(shè) n 元齊次線性方程組Ax 0 的系數(shù)矩陣A的秩為 r ，則 Ax 0有非零解的充分必要條件是(A)r n (B)r n(C)r n (D) r n【 】 7. 向量組 a1,a2 ,am(m 2) 線性相關(guān)的充分必要條件是(A) a1 ,a2 , am 中至少有一個零向量(B) a1 ,a2 , am 中至少有兩個向量成比例

3、(C) a1 ,a2 , am 中每個向量都能由其余m1個向量線性表示(D) a1 ,a2 , am 中至少有一個向量可由其余m 1 個向量線性表示【 】 8. n 階方陣 A與對角陣相似的充分必要條件是(A) R(A) n(B)A有 n個互不相同的特征值(C) A有 n 個線性無關(guān)的特征向量(D)A一定是對稱陣( 每小題 3 分 , 共 15 分 )1. 已知 3 階行列式D 的第 2 行元素分別為1,2, 1 ，它們的余子式分別為1, 1,2 ，則D。2. 設(shè)矩陣方程016142X103. 設(shè) x 是非齊次線性方程組Ax b 的一個特解，1 , 2 為對應(yīng)齊次線性方程組Ax 0的基礎(chǔ)解系，

4、則非齊次線性方程組Ax b的通解為.4. 設(shè) m n 矩陣A的秩R(A) r ，則 n 元齊次線性方程組Ax 0的解集S的最大無S0的秩Rs0。5. 設(shè) 是方陣 A的特征值，則是 A2的特征值（ 每小題 8 分 , 共 40 分 ）.1 計算行列式11210252131013421022. 已知矩陣A2131，求其逆矩陣A 1 。4182, 3 是它的三個解向量且3. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知 1 ,1223 ，求該方程組的通解。344. 求矩陣A212225. 用配方法化二次型f x12x2 5x32x1x2 2x1x3 6x2x3 成標準型。（ 每小題 8 分 , 共

5、 16 分 ）1. 解下列非齊次線性方程組2x1 x2 x3 x4 14x1 2x2 2x3 x422x1 x2 x3 x4 12. 已知向量組求 (1) 向量組的秩；(2) 向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的向量用該最大無關(guān)組線性表示。得分五、證明題(5 分)證明：設(shè)n 階方陣A滿足A2 A 2E 0，證明A及 A 2E 都可逆，并求 A 1及 (A 2E) 1。一、單項選擇題。( 每小題 3 分 , 共 24 分1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C（ 每小題 3 分 , 共 15 分 ）242.43. xc1 1c2 2(c1,c2R) 4.n r 5

6、.( 每小題 8 分 , 共 40 分 ).1.解：11210221103451025232(14 113272 分）12. 已知矩陣A 24102501411=(00520001040102501411=(005200000=0(2分)021 3 ，求其逆矩陣A 1 。18102100解：(A,E )21 3 0 1 04180011001122r01040100161111221則 A 1401 (2 分）2 分）2 分）4 分）2 分）611精品文檔精品文檔3. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知 1 , 2, 3是它的三個解向量且1223 ，求該方程組的通解。34解：由已知

7、可得：對應(yīng)的齊次線性方程組Ax 0 的解集S的秩為4 3 1 ，因此齊次線性方程組Ax 0 的任意非零解即為它的一個基礎(chǔ)解系。（ 3 分）令 2 1 ( 23)則 A A2 1( 23 ) 2A 1 A 2 A 3 2b b b 0所以 （3,4,5,6）T 0 為齊次線性方程組Ax 0的一個基礎(chǔ)解系。（ 3 分）R)Ax b 的通解為：2 分）4. 求矩陣 A的特征值和特征向量。12解：A的特征多項式為：21A E（1）（3）124 分）所以 A的特征值為11, 2 3。（1）當 11 時，對應(yīng)的特征向量滿足1111 xx2100，解得：x1x2則 11 對應(yīng)的特征向量可取p12 分）11精

8、品文檔精品文檔（ 2）當1 3 時，對應(yīng)的特征向量滿足1 1x10 ，解得：x1 x211 x2012則 1 3 對應(yīng)的特征向量可取p211 （2 分）12225. 用配方法化二次型f x1 2x25x32x1x2 2x1x3 6x2x3 成標準型。222解： f x12x1x2 2x1x3 2x25x3 6x2x3222（x1x2x3）x24x3 4x2x3（x1x2x3）2（x22x3）2（4分）y1 x1 x2 x322令y2 x2 2x3 則把 f 化成標準型得：fy1y2 （4 分）y3 x3四綜合題（每小題8 分 , 共 16 分 ）1. 解下列非齊次線性方程組2x1 x2 x3

9、x4 14x1 2x2 2x3 x422x1 x2 x3 x4 1解：對增廣矩陣B 作初等行變換2111 121101rB4 221 20 00 1 0 （21111000 00由上式可寫出原方程組的通解為：5 分）精品文檔精品文檔x11002. 已知向量組x2x3x400(c1 ,c2 R)3 分）精品文檔求 （1） 向量組的秩；（2） 向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的向量用該最大無關(guān)組線性表示。123107r2 分）解： A 231 015(3116000則 RA 2 ，（2 分）故向量組的最大無關(guān)組有2 個向量，知a1 ,a2為向量組的一個最大無關(guān)組。（2 分）且 a37a1 5a2（2 分）五、證明題（5 分）證明：設(shè)n 階方陣 A滿足A2 A 2E 0 ，證明 A及 A 2E 都可逆，并求A 1及1（A 2E） 1 。證明：1（ 1） 由 已 知 可 得 ： A（A E） 2E A （A E）E ， 知 A 可 逆 ，211A （A E） （2 分）22) 由已知可得A2 A 6E (A 2E)(A 3E) 4E,1(A 2E) (3E A) E知 A 2E 可 逆41(A 2E) 1(3E