立體幾何核心知識(shí)點(diǎn)梳理

1、立體幾何核心知識(shí)點(diǎn)梳理江蘇省靖江高級(jí)中學(xué) 蔡正偉、考試內(nèi)容1平面；平面的基本性質(zhì)；平面圖形直觀圖的畫法2兩條直線的位置關(guān)系；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；對(duì)應(yīng)邊分別平行的角；異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念；異面直線的公垂線及距離三垂線定理及其逆定3直線和平面的位置關(guān)系；直線和平面平行的判定與性質(zhì)；直線和平面垂直的判定與性質(zhì)； 點(diǎn)到平面的距離； 斜線在平面上的射影；直線和平面所成的角； 理.4兩個(gè)平面的位置關(guān)系；平面平行的判定與性質(zhì)；平行平面間的距離；二面角及其平面角；兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)5（理科）空間向量共線、共面的充分必要條件，空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算，空間向量

2、的坐標(biāo)表示， 空間向量的數(shù)量積， 空間向量的共線與垂直， 直線的方向向量與平面 的法向量，利用空間向量求立體幾何中的角二、考試要求1掌握平面的基本性質(zhì)，空間兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系（特別是平行和垂直關(guān)系）以及它們所成的角與距離的概念.對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離 .2能運(yùn)用上述概念以及有關(guān)兩條直線、直線和平面、兩個(gè)平面的平行和垂直關(guān)系的性質(zhì)與判定，進(jìn)行論證和解決有關(guān)問題 .對(duì)于異面直線上兩點(diǎn)的距離公式不要求記憶3會(huì)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形（特別是正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形）的直觀圖 .能夠畫出空間兩條直線、兩個(gè)平面、直線和平面的各種

3、位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系4（理科）會(huì)用空間向量計(jì)算線線角，線面角，面面角三、考點(diǎn)簡(jiǎn)析1空間元素的位置關(guān)系空間由點(diǎn)，線，面 3 個(gè)元素構(gòu)成，立體幾何主要研究線和線，點(diǎn)和面，線和面，面和面 之間的關(guān)系 .兩條直線關(guān)系包括相交， 平行， 異面；直線和平面之間的關(guān)系包括線在面內(nèi)，線面相交（包括斜交和垂直），線面平行；面面關(guān)系包括面面相交（包括斜交和垂直），面面平行.2.平行、垂直位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化立體幾何中的證明只要圍繞著平行和垂直展開.線線平行，線面平行，面面平行證明是相互依賴的，線線垂直，線面垂直，面面垂直也是相互依賴.需要對(duì)每一種關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理充分理解，證明過程中，需

4、要列出相應(yīng)的條件，得出結(jié)論3.棱柱、棱錐、棱臺(tái)，球等空間幾何體空間幾何體一般是最為考題的載體，需要熟悉各種幾何體的定義.其中還會(huì)涉及一些幾何體的體積和表面積的相關(guān)問題，尤其是四面體體積的求法4.空間元素間的數(shù)量關(guān)系(1)角相交直線所成的角;異面直線所成的角轉(zhuǎn)化直線方向向量夾角；如果LT UUe1,e2分別是異面直線Ii,l2的方向向量，它們的夾角為，則cosLT LUe e2-LT-ee2當(dāng)COS0時(shí)，異面直線ll,l2所成的角即為當(dāng)cos0時(shí)，異面直線11,12所成的角即為直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量夾角;如果e是直線TT TI的方向向量，n是平面的法向量，e與n的夾

5、角為 ，則cos-T-en.直線I與平面所成的角等于二面角轉(zhuǎn)化成兩個(gè)平面的法向量夾角.設(shè)二面角的大小為，另個(gè)平面的法向量LT LU分另U為Al，門2，COSLT LTLT1島.因?yàn)槎娼堑娜≈捣秶?，所以二面角與這兩個(gè)平面的nin2法向量的夾角相等或互補(bǔ)，具體判斷必須借助具體圖形來確定（2）距離主要考點(diǎn)是點(diǎn)到面的距離，常用的方法有: 等體積法 構(gòu)造恰當(dāng)?shù)乃拿骟w，利用四面體的體積換底算兩面遍，求出相應(yīng)四面體的高;(理科) 向量法一一利用平面法向量和直線方向向量夾角，解直角三角形.求平面的uju rAB nr.n斜線段，在平面的法向量上的射影的長(zhǎng)度:四、典型例題解析例 i 女口圖，在六面體 AB

6、CD AiBiCiDi 中，AAi / CCi, AiB = AiD,AB= AD.求證:(1)AAi丄 BD ；(2)BBi / DDi.分析：題目條件中有兩個(gè)線段相等，即有兩個(gè)共底的等腰三角形，自然想到取底 BD的中點(diǎn)，找到線線垂直，從而通過證明線面垂直來證明AAi丄BD.題目條件中的線線平行可以證明線面平行，利用線面平行的性質(zhì)定理可以證明 BBi / DDi.解析：取BD的中點(diǎn)M,連結(jié)AM , AiM.因?yàn)锳iD = AiB ,AD = AB,所以又 AM nAiM = M , AM , AiM?平面 AiAM ,所以BD丄平面AiAM.因?yàn)锳Ai?平面AiAM，所以AAi丄BD.BD丄

7、 AM , BD丄 AiM.(2)因?yàn)?AAi / CCi, AAi?平面 DiDCCi, CCi?平面 DiDCCi,所以 AAi / 平面 DiDCCi.又 AAi?平面 AiADD i，平面 AiADDin 平面 DiDCCi= DDi，所以 AAi / DDi.同理可得AAi / BBi,所以BBi / DDi.點(diǎn)評(píng)：(i)要證明線線垂直有兩條思路：第一條：把其中一條直線平移，使得兩條直線在同一個(gè)平面，然后用平面幾何的知識(shí)證明垂直即可；第二條：通過證明線面垂直證明.即證明其中一條直線垂直另一個(gè)直線所在的平面.第二條思路用的較多， 要熟練，第一條用的較少,但也不能忘.(2)證明線線垂直也

8、主要有兩條思路，第一條：證明其中一條直線平行另一條直線所的平面，在用線面平行的性質(zhì)；第二條：先證明兩條直線所在的平面平行，再證明這兩條直線為第三個(gè)平面與兩平行平面所交的交線，即運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理.面面平行與線面平行的性質(zhì)定理在證明過程中容易被學(xué)忽視例2如圖所示，四邊形 ABCD為矩形，AD丄平面ABE, AE = EB= BC, F為CE上的點(diǎn),且BF丄平面ACE.(i)求證：AE丄BE;(2)設(shè)M在線段 AB上，且滿足 AM = 2MB，試在線段 CE上 確定一點(diǎn)N，使得 MN /平面DAE.B分析：題目條件中出現(xiàn)線面垂直， 三條線段相等，在證明線線垂直時(shí)候一般證明一條線段垂直經(jīng)過另一條

9、線段的一個(gè)平面.第二問是探索性問題，找點(diǎn)N使得過該點(diǎn)的直線和這個(gè)平面平行，也可找過該點(diǎn)的平面與這個(gè)平面平行，利用面面平行來證線面平行解析：（1）證明/ AD 丄平面 ABE, AD / BC,； BC丄平面 ABE，又 AE?平面 ABE，貝U AE丄 BC.又 BF丄平面 ACE,； AE丄BF,又 BFnBC= B；AE丄平面BCE , 又 BE?平面 BCE,； AE 丄 BE.解 在 ABE中過M點(diǎn)作MG / AE交BE于G點(diǎn)，在 BEC中過G點(diǎn)作GN / BC交EC于N點(diǎn)，連接MN，則由比例關(guān)系易得 CN = 3CE.3/ MG / AE, MG?平面 ADE , AE?平面 ADE

10、 , ；MG /平面 ADE.同理，GN/平面ADE.又 GN nMG = G,；平面MGN /平面ADE.又MN?平面MGN , ；MN /平面 ADE.；N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：解決探究性問題一般要采用執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā),尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不 到符合題目結(jié)果要求的條件 （出現(xiàn)矛盾），則不存在.例 3 如圖，在三棱柱 ABC AiBiCi 中，AA1 丄平面 ABC , AB= BC = AAi，且 AC = V2bC , 點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).證明：平面 ABC平面BiCD.勾股定

11、理證明線線垂直，這個(gè)是比較容易被忽視的分析：本題重點(diǎn)是尋找垂直的信息，AC=V2bc這個(gè)條件可以用解析：證明 / ABC AiBiCi 是棱柱，且 AB = BC= AAi= BBi,；四邊形BCCiBi是菱形, ；BiC丄BCi.由 AAi 丄平面 ABC, AAi/ BBi, 得 BBi 丄平面 ABC. AB?平面 ABC ,； BBi 丄 AB, 又 AB= BC，且 AC = V2BC ,； AB 丄 BC ,而 BB1 ABC = B, BB1, BC?平面 BCC1B1, AB 丄平面 BCC1B1，而 B1C?平面 BCC1B1, AB 丄 BiC,而 ABQBCi= B, A

12、B, BCi?平面 ABCi.- BiC丄平面 ABCi, 而 BiC?平面 BiCD,平面ABCi丄平面BiCD.點(diǎn)評(píng)：其實(shí)證明面面垂直就是證明線面垂直，不同的是需要我們找哪條直線垂直哪個(gè)平面,般方法是如果是要證明,那么就在內(nèi)找一條直線I證明丨 ，或者在 內(nèi)找一條直線a證明a如圖，正三棱柱 ABC AB,Ci的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CCi中點(diǎn).(1)求證：ABi丄平面A1BD ;求二面角 A AiD B的三角函數(shù)值；（理科學(xué)生研究）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.Ci（2 ）設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)G,在平面ABD中，作GF丄AD于F，連結(jié)AF，由（1） ABC為正三角形，AO丄BC .AB1連結(jié)B

13、1O ,在正方形BB1C1C中，O,D分別為BC, CC1的中點(diǎn),分析：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的 大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維 能力和運(yùn)算能力對(duì)于二面角的求法，可以先找后求，主要難點(diǎn)是在找的過程，這種求法目前已不做要求，有興趣可以去研究思考.求二面角也可以用空間向量來求，這個(gè)在附加卷中可能會(huì)出現(xiàn)，文科學(xué)生不必深究了 解析：解法一：（1）取BC中點(diǎn)0 ,連結(jié)AO .Q正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC丄平面BCCi Bi ,AO _L 平面 BCC1B .日0 丄 BD , AB1 丄 BD .在正方形 ABB1Ai中，AB1丄AB ,AB1

14、丄平面ABD .得AB1丄平面ABD .AF丄AD ,/ AFG為二面角AAD B的平面角.AGAF在 AA,D中，由等面積法可求得 AF1又Q AG -AB1 42 ,sin/ AFG25J10所以二面角A A1DB的正弦值為-一4(3) ABD 中，BD AD 75, AB 242$ A|BDV6 ,BCD 1 .在正三棱柱中， A到平面BCC B,的距離為73.設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為d .11由 VA| BCD VC A1BD，得 3 SA BCD3A1BD gd，33返 va.2d 3SSa A|BD點(diǎn)C到平面A1BD的距離為至2解法二：（1）取BC中點(diǎn)0 ,連結(jié)AO .Q ABC

15、為正三角形，AO丄BC .Q在正三棱柱 ABC AB1C1中，平面ABC丄平面BCCiBi ,AD丄平面BCCiBi .取B1C1中點(diǎn)01，以O(shè)為原點(diǎn)，OoB, 0）051，OA的方向?yàn)閄, y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則 B(1,0,0)，D( 1,1,0),Luur一 uuurAR(1,2, 兩，BD ( 2,1,0),UULT UUUQ ABgBDUULT UUU uur UUTAB 丄 BD , AB1 丄 BA1 .ABi丄平面（2）設(shè)平面A AD的法向量為n(X, y, z).uLurAD ( 1,1,島，Aa（0,2,0）.Qn 丄 AD , n 丄 AA：,uuurn

16、gAD 0,uuu ngAA 0,X y 73z2y 0,0,y 0，XJ3乙73,0,）為平面A AD的一個(gè)法向量.由（1）知AB丄平面ABD ,uuur出衛(wèi)笛AB1為平面A BD的法向量.ruuircos n , abuuur ngAB ,.luuir |n igAB12必面角AA D B的大小為arccos64（3）由（2）, ABr為平面ABD法向量,uluuurLQBC ( 2,0,0), AB (1,2, 73).點(diǎn)C到平面AiBD的距離duLur uuurBCgAB,=uuur=ABI 2| 返.242 2點(diǎn)評(píng)：本例中（3）采用了兩種方法求點(diǎn)到平面的距離 .解法二采用了平面向量的計(jì)算方法,K到平面AMB1的距離的計(jì)算這種方法可以避免復(fù)雜的幾何把不易直接求的B點(diǎn)到平面AMB1的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn)方法，這是