兩角和與差的余弦公式教案

1、課題：兩角和與差的余弦公式授課教師：北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 黎寧授課時(shí)間：2007年11月21日教學(xué)目標(biāo)：1 使學(xué)生理解兩角和與差的余弦公式,并能初步應(yīng)用它們解決簡(jiǎn)單的三角函數(shù)求值與恒等變換問(wèn)題。2 通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷從探索兩角差的余弦公式結(jié)構(gòu)到證明兩角差的余弦公式，再由此推導(dǎo)兩角和的余弦公式的過(guò)程,簡(jiǎn)單體會(huì)特殊與一般的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，換元的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、證明的推理能力。3 通過(guò)教學(xué)，形成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神。教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式的探究教學(xué)方式：發(fā)現(xiàn)式、探究式教學(xué)手段：電腦輔助教學(xué)、實(shí)

2、物投影儀教學(xué)基本流程：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引入研究課題由特殊值探索公式結(jié)構(gòu)引導(dǎo)學(xué)生證明公式通過(guò)例題體會(huì)公式的應(yīng)用課堂小結(jié)布置作業(yè)教學(xué)情景設(shè)計(jì)：?jiǎn)栴}師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖疑問(wèn)1：函數(shù)的最大值是多少？教師引導(dǎo)學(xué)生思考：函數(shù)與的最大值都是1，那么的最大值是不是2呢？不是，當(dāng)取得最大值1時(shí)，等于0假設(shè)能把轉(zhuǎn)化成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式就好了！這是學(xué)生學(xué)習(xí)第一章 三角函數(shù)時(shí)曾經(jīng)提過(guò)的問(wèn)題，將此問(wèn)題在這里提出，目的在于說(shuō)明學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)的必要性，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)的興趣。疑問(wèn)2：等于多少？15°= 45-30°，我們知道45°與30°的三角函數(shù)值，能否求出的值呢？是否有=

3、成立呢？=是否恒成立？學(xué)生自主研究得出結(jié)論不恒成立，但也不是總不成立。憑直覺(jué)得出=是學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，通過(guò)討論弄清結(jié)論，使學(xué)生明確“恒等”的含義，同時(shí)為進(jìn)一步明確本節(jié)課的探索目標(biāo)奠定了基礎(chǔ)，使得教學(xué)過(guò)程自然流暢。能否用角、的正、余弦來(lái)表示呢？引導(dǎo)學(xué)生探索兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)1研究90°-30°與cos90°、90°、cos30°、30°之間的關(guān)系；2研究120°-60°與cos120°、120°、cos60°、60°之間的關(guān)系；3研究135°-45°與

4、cos135°、135°、cos45°、45°之間的關(guān)系；發(fā)現(xiàn)規(guī)律：=cos cos+sinsin通過(guò)學(xué)生熟悉的特殊角的三角函數(shù)值來(lái)探索公式的結(jié)構(gòu)是比較自然的。在學(xué)生對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特性有了直觀感知和基本了解的基礎(chǔ)上，激發(fā)學(xué)生猜想，探求公式的欲望。能否證明=cos cos+sinsin？學(xué)生思考，教師巡視，引導(dǎo)學(xué)生利用向量的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題：如圖，作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角、，它們的終邊與單位圓O交于點(diǎn)A，B。則xyOAB=(cos, sin),=(cos,sin)= coscos+sinsin（1） 當(dāng)時(shí)，向量與的夾角就是，由向量數(shù)量積的定義，有=cos

5、 cos+sinsin2當(dāng)時(shí)，設(shè)與夾角為，有=cos。因此，對(duì)于任意角，有=cos cos+sinsin 師：有了公式，我們只要知道角、的正、余弦就可以求的值了。讓學(xué)生經(jīng)歷用向量知識(shí)解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量的工具作用及應(yīng)用價(jià)值。假設(shè)學(xué)生中有用非向量的方法證明的，可在課堂中展示不同證明方法，讓學(xué)生既體會(huì)向量法證明的簡(jiǎn)捷性，又培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性。例1本節(jié)課開(kāi)始時(shí)的疑問(wèn)2利用差角公式求的值。學(xué)生自行完成解：=cos(45°-30°)= cos45°cos30°+sin45°sin30°=通過(guò)練習(xí)使學(xué)生理解公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

6、能否用角、的正、余弦來(lái)表示呢？學(xué)生自主研究，解決問(wèn)題只要將公式中的換成即可得到。也可以將看成，利用公式證明。=coscos-sinsin 通過(guò)解決問(wèn)題使學(xué)生體會(huì)“換元”的思想。通過(guò)加法與減法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，幫助學(xué)生樹(shù)立對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)，提煉問(wèn)題本身蘊(yùn)涵著的化歸與轉(zhuǎn)化的思想。 例2求值：1cos72°cos12°+sin72°sin12°2cos34°cos26°-sin34°sin26°學(xué)生自行完成解：(1) cos72°cos12°+sin72°sin12°=cos(72&

7、#176;-12°)= cos60°=(2) cos34°cos26°-sin34°sin26°=cos(34°+26°)= cos60°=能否化簡(jiǎn)cos+sin？學(xué)生自行完成這是公式的逆用，鍛煉學(xué)生的逆向思維能力，同時(shí)也為解決本節(jié)課開(kāi)始時(shí)的疑問(wèn)1做好鋪墊。能否解決本節(jié)課開(kāi)始時(shí)的疑問(wèn)1？函數(shù)的最大值是多少？=cos+sin=所以最大值為。通過(guò)解決問(wèn)題體會(huì)兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也使得整堂課首尾照應(yīng)、渾然一體。通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)你有哪些收獲？學(xué)生自己思考，小結(jié)可以寫(xiě)在自己的筆記本上，也可以口頭交流。教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下方面進(jìn)行小結(jié)：1知識(shí)層面的小結(jié)對(duì)公式的探索過(guò)程及方法的啟示，用向量的數(shù)量積證明公式的主要思路以及公式的特點(diǎn)和功能；2. 數(shù)學(xué)思維能力層面的小結(jié)在學(xué)生小結(jié)的基礎(chǔ)上，教師概括提升包括本節(jié)課所涉及到的特殊與一般的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，換元的思想的表達(dá)，邏輯思維能力和運(yùn)算能力的提高以及對(duì)數(shù)學(xué)和諧美的欣賞讓學(xué)生通過(guò)小結(jié)，反思學(xué)習(xí)過(guò)程，加深對(duì)公式及其推