立體幾何的解題技巧

1、B1第六講立體幾何新題型的解題技巧【命題趨向】在2007年高考中立體幾何命題有如下特點：1. 線面位置關系突出平行和垂直，將側重于垂直關系2. 多面體中線面關系論證，空間“角”與“距離”的計算常在解答題中綜合出現3. 多面體及簡單多面體的概念、性質多在選擇題，填空題出現4. 有關三棱柱、四棱柱、三棱錐的問題，特別是與球有關的問題將是高考命題的熱點.此類題目分值一般在17-22分之間，題型一般為1個選擇題，1個填空題，1個解答題.【考點透視】（A）版.掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離.掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距

2、離的概念.掌握二面角、二面角的平面角、兩個平行平面間的距離的概念空間距離和角是高考考查的重點：特別是以兩點間距離，點到平面的距離，兩異面直線的距離，直線與平面的距離以及兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角等作為命題的重點內容，高考試題中常將上述內容綜合在一起放在解答題中進行考查，分為多個小問題，也可能作為客觀題進行單獨考查.考查空間距離和角的試題一般作為整套試卷的中檔題，但也可能在最后一問中設置有難度的問題不論是求空間距離還是空間角，都要按照“一作，二證，三算”的步驟來完成，即寓證明于運算之中，正是本專題的一大特色.求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統的幾何方法，二是利用空間向

3、量?！纠}解析】考點1點到平面的距離求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關鍵在于確定點在平面內的垂足，當然別忘了轉化法與等體積法的應用.典型例題例1（2007年福建卷理）如圖，正三棱柱ABCAEG的所有棱長都為2,D為CG中點（I）求證：AB1丄平面ABD；（H）求二面角aA,DB的大?。唬ùǎ┣簏cC到平面ABD的距離.考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.解答過程：解法一：（I）取BC中點O,連結AOQAABC為正三角形，AO丄BCQ正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC丄平面BCGB,AO丄

4、平面BCGB連結BO,在正方形BBGC中，O,D分別為BC,CG的中點，BO丄BD,AB1丄BD.在正方形ABBA中，AR丄AB,AB1丄平面ABD-(D)設ABi與AB交于點G,在平面ABD中，作GF丄AD于F,連結AF,由(I)得AB丄平面ABD.AF丄AD,/AFG為二面角AADB的平面角.在厶AAD中，由等面積法可求得AF4-5,5又QAG2ABi2,sin/AFG02空.2AF454所以二面角aADB的大小為arcsi4(川)ABD中，BDAD.5,AB2.2,Sabd6,Sbcd1.在正三棱柱中，A到平面BCGB1的距離為3.設點C到平面ABD的距離為d.由VABCDVCABD，得

5、AiBDB3SaBCDdSaa,bd點C到平面ABD的距離為2.2解法二：（I）取BC中點O,連結AO.QABC為正三角形，AO丄BC.Q在正三棱柱ABCAB1C1中，平面ABC丄平面BCC1B1,AD丄平面BCGBi.取B1G中點。1，以O為原點,uuuOB,uuunOO，OA的方向為X,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B(1,0,0),D(1,1,0),A(0,2,T3)，A(0,0j3),B1(1,2,0),uuurABuuuuiurBD(2,0),BA(1,2,3).uuuruuuQABgBDuuuruur2200,ABgBAAF,B1uuuruuuunruurAB丄BD,AB,

6、丄BA-AB平面ABD.(n)設平面AiAD的法向量為n(x,y,z).uur_unrAD(11V3),AA(020).屮ucuu-Qn丄AD,n丄AA,，uuu-ngAD0,xy.3z0,uuurngAA0,2y0,y0,x/3z.令z1得n(,3,0,1)為平面AAD的一個法向量.由(I)知AB丄平面ABD,AB：為平面abd的法向量.cosn,、3.32g22_6.4.面角AADB的大小為arccos64(出)111r.(n),ab為平面Abd法向量,uuuQBCumr_(20,0),AB(1,2,.3)點C到平面ABD的距離duuruuurBCgABi|返.uuurABi2一22小結：

7、本例中(川)采用了兩種方法求點到平面的距離解法二采用了平面向量的計算方法,把不易直接求的B點到平面AMB,的距離轉化為容易求的點方法，這是數學解題中常用的方法；解法一采用了等體積法,作圖，顯得更簡單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法K到平面AMBi的距離的計算這種方法可以避免復雜的幾何例2.(2006年湖南卷)如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCDIQABCD勺高分別為1和2,AB=4.(I)證明PQL平面ABCD(n)求異面直線AQ與PB所成的角；(川)求點P到平面QAD勺距離命題目的：本題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運

8、算能力.dCOB過程指引：方法一關鍵是用恰當的方法找到所求的空間距離和角；方法二關鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一由題條件，相關各點的坐標分別是P(0,0,1),A(2/2,0,0),Q(0,0,2),B(0,般方法解答過程：方法一（I）取AD的中點，連結PMQM因為PABC與Q-ABCD都是正四棱錐，所以ADLPMAD丄QIM從而ADL平面PQIM又PQ平面PQM所以PQLAD同理PQLAB所以PQL平面ABCD（H）連結從而P、A連接PNACBD設ACBDO，由PC丄平面ABCD及正四棱錐的性質可知O在PQ上,QC四點共面取OC的中點N,因為OQNONO1，所以空OAOC2OQNOO

9、A，從而AQ/PN/BPN（或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角因為PBJob2op2J(2>/2)23,pn.on2op2,(2)213.BNOB2ON2.(2-2)(2)2.10所以cosBPN=PB2+PN2BN22PBPN9310_32339從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos二？911（川）連結OM貝VOM1AB2丄00.22所以/MQP45°.由（I）知AD丄平面PMQ所以平面PMQ平面QAD過P作PH丄QM于H,PH丄平面QAD從而PH的長是點P到平面QAD勺距離.又PQPOQO3,PHPQsin4503血即點P到平面QAD的距離是2方法二（I）連結AC

10、BD設ACBDO.由PABCD與Q-ABCD都是正四棱錐，所以POL平面ABCDQOL平面ABCD從而P、OQ三點在一條直線上，所以PQQ平面ABCD（H）由題設知，ABCD!正方形，所以ACQBD由（I）,QOL平面ABCD故可分別以直線CADBQP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），zCByD02.2,0)所以AQ(2,2,0,2)ULW_PB(0,2,2,1)于是cosAQ,PB(川)由(n),點D的坐標是(0,2.2,0),AD(2.2,2.2,0),uur_PQ(0,0,3)，設n(x,y,z)是平面QAD的一個法向量，由nAQ0得.2xz0nAD0xy0取x=1,得n(1

11、,1,2)PQn3J2所以點P到平面QAD勺距離dr-竺2.n2考綱只要求掌握已給出公垂線段的考點2異面直線的距離此類題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法,異面直線的距離典型例題CA例3已知三棱錐SABC，底面是邊長為4.2的正三角形，棱SC的長為2,且垂直于底面E、D分別為BC、AB的中點，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設法將所求異面直線的距離，轉化成求直線與平面的距離，再進一步轉化成求點到平面的距離解答過程：如圖所示，取BD的中點F,連結EF,SF,CF,EF為BCD的中位線，EF/CD,CD/面SEF,CD到平面SEF的距離即為兩異面直線

12、間的距離又線面之間的距離可轉化為線CD上一點C到平面SEF的距離，設其為h,由題意知，BC4.2,DE、F分別是ABBCBD的中點，CDA2.6,EF-CD.6,DF2,SC22Vsc11:EFEFDFSC-6222.332323Rtsce中，sesc2CE223Rtscf中，sfSC2CF2424230在在EF,6,SsEF3由于VCSEFvSCEF3Ssefh，解得h3BD上任意一點到平面GBDi的距離皆為所求，以下求1平面A1ACC1GB1D1，兩個平面的交線是O1G,作OHO-G于H,則有0H平面GB-D-，即OH是O點到平面GBiDi的距離.在0-0G中，So-oG-010AO-22

13、2故CD與SE間的距離為3個不斷轉化的過程小結：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是考點3直線到平面的距離此類題目再加上平行平面間的距離，主要考查點面、線面、面面距離間的轉化典型例題例4.如圖，在棱長為2的正方體AC1中，G是AA的中點，求BD到平面GB1D1的距離.思路啟迪：把線面距離轉化為點面距離，再用點到平面距離的方法求解.解答過程：解析一BD/平面GB1D1,點O平面GB1D1的距離,B-D-ACi，BQAA，B-D-平面AACC-,又B1D1平面GB1D111(-又SOQG-OHOiG丄3OH222OH263即BD到平面GB1D1的距離等于2.63解析二BD/平面GB1D1,B

14、D上任意一點到平面GB1D1的距離皆為所求，以下求點B平面GB1D1的距離.設點B到平面GBU的距離為h,將它視為三棱錐BGB1D1的高，則即BD到平面GB1D1的距離等于2、63VBGB1D1VD1GBB1，由于SGB1D1丄222.36,f114u426VD1GBB13222253h、63，A小結：當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離所以求線面距離關鍵是選準恰當的點，轉化為點面距離本例解析一是根據選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離考點4異面直線所成的角此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角異面直線所成的角是高考考查的重

15、點典型例題例5(2007年北京卷文)如圖，在RtAAOB中，OAB丄，斜邊AB4.RtAOC可以通過6RtAOB以直線AO為軸旋轉得到，且二面角BAOC的直二面角.D是AB的中點.(I)求證：平面COD平面AOB;(II)求異面直線AO與CD所成角的大小.思路啟迪：(II)的關鍵是通過平移把異面直線轉化到一個三角形內.解答過程：解法1：(I)由題意，COAO,BOAO,BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又QAOIBOO,CO平面AOB,又CO平面COD.平面COD平面AOB.(II)作DEOB，垂足為E，連結CE(如圖)，則DE/AO,CDE是異面直線AO與CD所成的角.在RtACO

16、E中，COBO2，OE1BO1，2CECO2OE25.又DE1AO3°2在RtACDE中，tanCDECE.515.DE.33異面直線AO與CD所成角的大小為arctanJ°3解法2:(I)同解法1.(II)建立空間直角坐標系Oxyz，如圖，貝V0(0,0,0),A(0,0,23),C(2,0,0),D(0,1,3),urnOA(0,0,273),uuu-CD(2,1,3),cosuuuuurOACDuuruuuOAgCDuuuuuu-OAgCD6J3c2.24異面直線AO與CD所成角的大小為4小結：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線中

17、的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；補形法：把空間圖形補成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現兩條異面直線間的關系，如解析三一般來說，平移法是最常用的，應作為求異面直線所成的角的首選方法同時要特別注意異面直線所成的角的范圍:0,2例6.(2006年廣東卷)如圖所示，AFDE分別是OOOO的直徑AD與兩圓所在的平面均垂直，AD=8,BC是OO的直徑,AB=AC=6,OEI)求二面角BAD-F的大小;(n)求直線BD與EF所成的角命題目的：本題主要考查二面角以及異面直線所成的角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力過程指引：關鍵是用恰當的方

18、法找到所求的空間距離和角并掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法解答過程：(I)IAD與兩圓所在的平面均垂直，AD丄ABAD£AF,故/BAF是二面角BAD-F的平面角AF、BC是圓O的直徑，ABFC是矩形又ABAC6,ABFC是正方形由于ABFC1正方形，所以/BAF=45°.即二面角B-ADF的大小為45°(n)以O為原點，BCAF、OE所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系(如圖所示)，貝UO(0,0,0),A(0,3/2,0),B(3/2,0,0),D(0,3/2,8),E(0,0,8),F(0,32,0)所以，BD(32,3.、2,8),FE(0,32,

19、8)uuruuucosBD,FEuuruuuBDFE-uuu_uuu-|BD|FE|01864.100x828210設D到平面SAB的距離為h，由于VSABVSABD,得設異面直線BD與EF所成角為，則.cosuuuruuucosBD,FE.8210故直線BD與EF所成的角為屁arccos10考點5直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計算線面角在空間角中占有重要地位，是高考的?？純热莸湫屠}例7.(2007年全國卷I理)四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面AB2,BC22,SASB、3.(I)證明SABC;(n)求直線SD與平面SAB所成角的大小.考

20、查目的：本小題主要考查直線與直線，直線與平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.解答過程：解法一：(I)作SO丄BC,垂足為O，連結AO，由側面SBC丄底面ABCD,得SO丄底面ABCD.因為SASB，所以AOBO,又ZABC45o,故AOB為等腰直角三角形，AO丄BO,由二垂線定理，得(n)由(I)知SA丄BC.SA丄BC,依題設故SA丄AD,ADBC2.2,SO1,SDSAB的面積o1連結DB，得DAB的面積S2-ABgADsin1351hgS1IsOgS,，解得h2.33設SD與平面SAB所成角為，則sin所以，直線SD與平面SBC所

21、成的我為h_SD一11arcsin11222112C、2,o,1)Oxyz,C解法二：(I)作SO丄BC，垂足為O，連結AO，由側面SBC丄底面ABCD，得SO丄平面ABCD.因為SASB，所以AOBO.又/ABC45°,AOB為等腰直角三角形，AO丄OB.如圖，以O為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系A(邁,0,0),B(0,2,0),C(0,2,0),S(0,0,1),SAuunuiruunSA丄BCCB(0,2、2,0),SAg：B0,所以(n)取AB中點E,E二0,連結SE,取SE中點G,連結OG,G2,21.G_442SEgDG所以OG互余.42，SE0,ABgDGA

22、B(2,2,0)0,OG與平面SAB內兩條相交直線SE,AB垂直.平面SAB,OG與DS的夾角記為，SD與平面SAB所成的角記為，則D(.2,2.2,0),DS(.2,22,1).cos嚴邁盤sin晉,|OG|gDS1111V22arcsin11小結：求直線與平面所成的角時，應注意的問題是(1)先判斷直線和平面的位置關系；當直線和平面斜交時，常用以下步驟：構造一一作出斜線與射影所成的角，證明所以，直線SD與平面SAB所成的角為(2)論證作出的角為所求的角，計算常用解三角形的方法求角，結論點明直線和平面所成的角的值2，2，考點6二面角此類題主要是如何確定二面角的平面角，并將二面角的平面角轉化為線

23、線角放到一個合適的三角形中進行求解二面角是高考的熱點，應重視典型例題例8（2007年湖南卷文）如圖，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，BAP45°，直線CA和平面所成的角為30°.（I）證明BC丄PQ；（II）求二面角BACP的大小.命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力過程指引：（I）在平面內過點C作CO丄PQ于點O,連結OB.因為丄,IPQ，所以CO丄,又因為CACB，所以OAOB.而BAO45°，所以ABO45°,AOB90°,從而BO丄PQ，又CO丄PQ,CHAPB所以

24、PQ丄平面OBC因為BC平面OBC，故PQ丄BC.PQ,（II）解法一：由（I）知，BO丄PQ，又丄，IBO，所以BO丄過點O作OH丄AC于點H，連結BH，由三垂線定理知，BH丄AC.故BHO是二面角BACP的平面角.由（I）知，CO丄，所以CAO是CA和平面所成的角，則CAO30°,不妨設AC2，則AO,3,OH°AOsin30在RtOAB中，ABOBAO45°，所以BOAO.3,故二面角B解法二：由（線OB,OA,OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖）因為CO丄a，所以CAO是CA和平面所成的角，則CAO30°.不妨設AC2，則AO3，CO

25、1.在RtOAB中，ABOBAO45°,所以BOAO3則相關各點的坐標分別是O(0,0,0),B(、3,0,0),A(0,3,0),C(0,01).uuulluuurl所以AB(3,.3,0),AC(0,.31).ir設r1x,y,z是平面ABC的一個法向量,iruuungABiruuirmgAc0,uu易知（10,0）是平面的一個法向量.設二面角ACP的平面角為，由圖可知,iruun2所以cosiruu冊51故二面角ACP的大小為arccos55BO于是在RtABOH中，tarBHOOHACP的大小為arctar2.I）知，OC丄OA,OC丄OB,OA丄OB，故可以O為原點，分別以

26、直15是確定二面角的棱，進而找出二面角的平小結：本題是一個無棱二面角的求解問題.解法面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個面內的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個平面內的兩條平行直線找出棱，補形構造幾何體發(fā)現棱；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法，即當二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小例9.（2006年重慶卷）如圖，在四棱錐P-ABCDKCDAD=Ct=2ABE、F分別為PCCD的中點.（I）試證：CD平面BEF;故GH=GBDF(n)設PA=kAB且二面角E-BD-C的平面角大于30,求k的取值范圍命題目的：本題主要

27、考查直線與平面垂直、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力過程指引：方法一關鍵是用恰當的方法找到所求的空間距離和角；方法二關鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法解答過程：解法一：(I)證：由已知DF/AB且DAD為直角,ABFC是矩形，從而CDBF.又PA底面ABCDCDAD故由三垂線定理知CD在厶PDC中,E、F分別PCCD的中點，故EF/PD從而CDEF由此得CD面BEF(n)連結AC交BF于G易知G為AC的中點.連接EG則在PAC中易知EG/PA又因PA底面ABCD故EG底面ABCD在底面ABCDK過G作GHBD垂足為H連接EH由三垂線定理知EHBD從而EHG

28、二面角EBDC的平面角.設AB=a則在PAC中，有11E(=1PA=-ka.22以下計算GH考察底面的平面圖.連結GD因&gb=-BD-GHGBDF.22BD在厶ABD中，因為AB=a,AD=2a,得BD=.5a.11而GB：丄FB-AD=a,DF=AB從而得22“GBABaa.5GH=a.BD5a5.5k.EG1ka因此tan/EHG=Eg=2GH勺5由k>0知EHG是銳角，故要使EHG>30，必須于k>tan30=解之得,k的取值范圍為解法(I)如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，設AB=a則易知點A,B

29、,C,D,F的坐標分別為A(0,0,0),B(a,0,0),Q2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0從而DC=(2a,0,0),BF=(0,2a,0),DCBF=0,故DCBFK設PA=b,則P(0,0,b),而E為PC中點.故Eaa-2b從而BE=o,a,DCBE=0,故DCBE.2由此得CD面BEF(H)設E在xOy平面上的投影為G過G作GHBD垂足為H由三垂線定理知EHBD從而EHG為二面角EBDC的平面角.ka由PA=kAB得P(0,0,ka),Ea,a,Ga,a,0).2設Hx,y,0)，則GH=(x-a,y-a,0),BD=(-a,2a,0),由GHBD=0得-a(

30、x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a又因BH=(x-a,y,0),且BH與BD的方向相同，故xa=ya2a，即2x+y=2a34*2由解得x=-a,y=a,從而GH=a555'1-a,0,1GH5=a5uuuEGkatan/EHG由k>0知，/EHG巷銳角，由EHG>30,得tan/EH>tan30,即故k的取值范圍為k>.15考點7利用空間向量求空間距離和角眾所周知，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定.當掌握了用向量的方法解C1B1決立體幾何問題這套強有力的工具時，不僅會降低題目的難度，而且使得作題具有很強的操作性典型例題例10.(2007年

31、江蘇卷)如圖，已知ABCDABGD,是棱長為3的正方體，點E在AA,上，點F在CC,上，且AEFC,1.(1) 求證：E,B,F,D1四點共面；2(2) 若點G在BC上,BG，點M在BB1上,3GM丄BF，垂足為H，求證：EM丄平面BCCQ；(3)用表示截面EBFD1和側面BCC1B1所成的銳二面角的大小，求tan命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質、線線平行、線面垂直、二面角等基礎知識和基本運算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力.過程指引：解法一：B1C1FEMADH(1)如圖，在DD1上取點N，使DN1，連結EN,CN,則AEDN1,CFND12.因為AE/DN,ND1/CF,所

32、以四邊形ADNE,CFD1N都為平行四邊形.從而EN/AD,FD1/CN.又因為AD/BC，所以EN/BC，故四邊形BCNE是平行四邊形，由此推知CN/BE,從而FD1/BE.因此，E,B,F,D1四點共面.(2)如圖，GM丄BF，又BM丄BC，所以/BGM/CFB,BC23BMBGcfan/BGMBGgtan/CFBBGg1.因為AE/BM，所以ABME為平行四邊形，從而AB/EM.又AB丄平面BCC1B1，所以EM丄平面BCC1B1.(3)如圖，連結EH.因為MH丄BF,EM丄BF，所以BF丄平面EMH，得EH丄BF.于是/EHM是所求的二面角的平面角，即/EHM.因為/MBH/CFB，所

33、以313222BCBMgJbc2cf2解法二：MH313BMgsin/MBHBMgsin/CFBtan（1）建立如圖所示的坐標系，則uuuuuuu所以BDiBEuuuiuuuBF，故BD1又它們有公共點B，所以E,B,uuuu(2)如圖，設M(0,0,z)，則gmuuuuuuuuuu而BF(0,3,2)，由題設得GMgBFF,x0,uunBEuuuBE,評zggMH13(3,0,0),uuur因為M(0,0,1),E(3,0,1)，有MEumrumruiruuu又BB(0,0,3),BC(0,3,0)，所以MEgBBUUITUJUMEgBC0,從而ME丄BBi,ME丄BC.故ME丄平面BCGB

34、,.uuu(3)設向量BP(x,y,3）丄截面EBFD1，于是uuuBP丄uuuuuuuuuBE,BP丄BF.uuu而BE(3,0,),uuuBFuuuuuu(0,3,2)，得BPgBE3x3uuuuuurBPgBF3y0，解得uuux1,y2，所以BP(1,2,3).uuu又BA(3,0,0)丄平面uuruuuBCC1B1，所以BP和BA的夾角等于或n（為銳角）.曰疋cosuuuuuuBPgBAuuu|uuuBP|gBA故tan小結：向量法求二面角的大小關鍵是確定兩個平面的法向量的坐標,再用公式求夾角；點面距離一般轉化為AB在面BDF勺法向量n上的投影的絕對值例11.（2006年全國I卷）如

35、圖,l1-12是互相垂直的兩條異面直線,B在丨1上,C在l2上,AM=MB=MN（I）證明ACNBMN是它們的公垂線段，點A(II)若ACB60，求NB與平面ABC所成角的余弦值.命題目的：本題主要考查異面直線垂直、直線與平面所成角的有關知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力過程指引：方法一關鍵是用恰當的方法找到所求的空間角；方法二關鍵是掌握利用空間向量求空間角的一般方法.C解答過程：解法一：(I)由已知丨2丄MN丨2丄li,MNPli=M,可得AH12丄平面ABN由已知MNLli,AI=MB：MN可知AN=NBn且AN!NB又AN為AC在平面ABN內的射影.bAC丄NB(n)TRtC

36、ANRtCNB-AC=BC又已知/AC咅60°,因此ABC為正三角形./RtAN4RtCNB-NONAfNB因此N在平面ABC內的射影連結BH/NBH為NB與平面ABC所成的角.H是正三角形ABC的中心,在RtNHB,cosT.解法二：如圖，建立空間直角坐標系Mxyz.令MN=1,則有A1,0,0),B(1,0,0),N0,1,0),y(I)MN是l1、l2的公垂線,丨1丄12,|2丄平面ABN12平行于Z軸.故可設C(0,1,nm.是=(1,1,nm,=(1,1,0).=1+(1)+0=0ACLNB(n)=(1,1,n),=(1,1,n,-11=11,又已知/ACB60°

37、,ABC為正三角形,AOBC=AB=2.在RtCNB,NB=2,可得NC=,2,故C(0,1,2).連結MC作NHLMC于H設”0,入，.2入)(入0).=(0,1一入,.2入),=(0,1,.2)1=1入一2入=0,入=一，3"0,1£,可得=(0,2于)，連結BH則=(1,3于)，22=0+99=0，二丄，又MCPBH=H-HNL平面ABC/NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(1,1,0),4cos/NBH=考點8簡單多面體的有關概念及應用，主要考查多面體的概念、性質，主要以填空、選擇題為主，通常結合多面體的定義、性質進行判斷典型例題例12.如圖(1)，將邊長為1的

38、正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器，當這個正六棱柱容器的底面邊長為時容積最大.思路啟迪設四邊形一邊AD然后寫出六棱柱體積，利用均值不等式，求出體積取最值時AD長度即可.解答過程：如圖(2)設AD=a,易知/ABC=60°，且/ABD=30°AB=.3a.BD=2a正六棱柱體積為V.V=6丄(1一2a)sin60.3a=3(12a)a22=9(192a)(12a)4a<9(2)3883當且僅當12a=4aa=-時,體積最大,612此時底面邊長為12a=12x=.631答案為丄.6例13.如圖左，在正三角形ABC中,DE、

39、F分別為各邊的中點，GHI、J分別為AFADBEDE的中點，將ABC沿DEEFDF折成三棱錐后，GHWIJ所成角的度數為()A90°C45°D0思路啟迪畫出折疊后的圖形，可看出GHIJ是一對異面直線，即求異面直線所成角過點D分別作IJ和GH的平行線，即AD與DF,所以/ADF即為所求.貝Ucos2aa2l2.2同理COS2COSC222|222c2a+b+cCOSa+COS3+COS=2=1l2連接DC,/BC丄平面DCCD/BDC即是DB與平面DCC所成的角，不妨設/BDC=a,貝UCOS2aa2+b同理:2b2+c2cos3=2l22COSc2a2l2又/l2=a2+b

40、2+c2.22小2二COSa+COS3+COS2(a2+b2+c2)=2.因此GH與IJ所成角為60°,答案：B例14.長方體ABCD-ABCD中， 設對角線DB與自D出發(fā)的三條棱分別成、卩、角求證：COS2a+cos23+COS2=1 設DB與自D出發(fā)的三個面成a、3、角，求證:COSa+COS3+COS=2思路啟迪因為三個角有一個公共邊即DB,在構造的直角三角形中，角的鄰邊分別是從長方體一個頂點出發(fā)的三條棱，在解題中注意使用對角線長與棱長的關系 利用長方體性質，先找出a,3,，然后利用各邊 所構成的直角三角形來解解答過程：連接BG,設/BDC=a，長方體三條棱長分別為a,b,c,

41、設DB=l考點9.簡單多面體的側面積及體積和球的計算棱柱側面積轉化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側面積轉化成求三角形的面積直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.1棱錐體積V等于丄Sh其中S是底面積，h是棱錐的高3典型例題例15.如圖，在三棱柱ABC-ABC中，AB=P2a,=AA=a,A在底面ABC±的射影O在AC上 求AB與側面AC所成角；BC=CA 若O恰好是AC的中點，求此三棱柱的側面積.思路啟迪找出AB與側面AG所成角即是/CAB三棱錐側面積轉化成三個側面面積之和，側面BCCB是正方形，側面ACGAi和側面ABBA是平行四邊形，分別求其面積即可解答過程：點A在底面ABC的射影在A

42、C上,平面ACCAi丄平面ABC在厶ABC中，由BC=AC=a,AB=2a. /ACB=90°,.BCLAC BC丄平面ACCAi.即/CAB為AB與側面AC所成的角在RtAABC中，/CAB=45°. AB與側面AC所成角是45°.1O是AC中點，在RtAAO中，AAi=a,AO=a.2f AO=三a.213側面ACCAi面積S=ACAOa2.2又BC丄平面ACCAi,BCLCC.2又BB=BC=a,側面BCCB是正方形，面積S=a.過O作ODLAB于D,TAiO丄平面ABCAD丄AB1在RtAOD,AO=a，/CAD=45°2 OD=a4在RtAOD

43、中,AiD=.OD2+AQ2=.（二2a）2+（_3a）2=；a.側面ABBAi面積83=ABAD=.2a.7a=8三棱柱側面積S=S+s+s=-（2+-3+、7）a2.2例i6.等邊三角形ABC的邊長為4,MN分別為ABAC的中點，沿AMF折起，使得面AMN與面MNCBC所成的二面角為30°,則四棱錐AMNCB的體積為A-B、丄3C.3D322思路啟迪先找出二面角平面角，即/AKL,再在AKL中求出棱錐的高h,再利用V=1Sh即可.3解答過程：在平面圖中，過A作AL!BC交MN于K,交BC于L.則AK丄MNKL丄MN/AKL=30°.S=2+4SMNCBKL=33.vam

44、ncb13'332答案A例17.如圖，四棱錐PABCDP，底面是一個矩形，AB=3,AD=1,又PALABPA=4,ZPAD=60° 求四棱錐的體積； 求二面角P-BC-D的大小.思路啟迪找棱錐高線是關鍵，由題中條件可設PAD的高PH即是棱錐的高.找出二面角平面角/PEH在RtPHE中即可求出此角.解答過程：PALAB,ADLABABL面PAD又AB面ABCD面PADL面ABCD在面PAD內，作PHLAD交AD延長線于H.則PHL面ABCD,即卩PH就是四棱錐的高.A又/PAD=60PH=PAsin60=4=1VpABCD=TSabcd3PH=1312.3=2.3.3則四棱錐

45、A-MNC的高h=AKsin30=過H作HE!BC交BC延長線于E,連接PE貝UHE=AB=3.PHL面ABCDPEIBC/PEH為二面角P-BC-D的平面角.tan/PEH=PH=23HE32.3即二面角的大小為arctan4R294R29r/cosZOAOR而OO1=sinaR1故填-3【專題訓練與高考預測】一、選擇題如圖，在正三棱柱ABGABC中，1.已知且BD=1,若AD與側面AACC所成的角為（A.B.C.2.丄10arctan4D.直線a與平面成角，a是平面內與a異面的任意直線，則A.最小值，最大值C.最小值，無最大值AB=1,D在BB上，貝U的值為.6arcsin4的斜線，a與b

46、所成的角b是平面:）BiB.D.最小值最大值2無最小值,3.的另一平面所成的角為（）A.30B.45C.604.如圖，直平行六面體ABCEA1B1CD的棱長均為2,BAD60，則對角線AC與側面DC©所成的角的正弦值為（）在一個45的二面角的一平面內有一條直線與二面角的棱成最大值445角，則此直線與二面角D.90A.B.D.5. 已知在ABC中，AB=9,AO15,BAC120，它所在平面外一點P至UABC三頂點的距離都是14,那么點P到平面ABC的距離為（）A.13B.11C.9D.76. 如圖，在棱長為3的正方體ABCDABCD中，MN分別是棱DAB、AD的中點，92則點B到平面

47、AMN勺距離是（）A.B.C.6.55D.2QMN60的二二面角，則MP與NQ間的距離等于（）A.仝aB.3aC.6aD.244460，邊長MN=a的菱形MNP沿對角線NQ折成7將&二面角I的平面角為120，在內，ABI于B,AB=2,在內，CDI于D,C!=3,BD=1,M是棱I上的一個動點，則AMCM的最小值為（）A.2.5B.22C.26D.2,69. 空間四點AB、CD中，每兩點所連線段的長都等于a,動點P在線段AB上，動點Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為（）1 J2V3A.aB.aC.aD.a2 2210. 在一個正四棱錐，它的底面邊長與側棱長均為a，現有一張正方形包裝紙

48、將其完全包?。ú荒懿眉艏?，但可以折疊），那么包裝紙的最小邊長應為（）A.（26）aB.上6aC.（1,3）aD.13a2211. 已知長方體ABCDABiGD中，AA=AB=2,若棱AB上存在點P,使D1PPC，則棱AD的長的取值范圍是（）A.0,1B.0,2C.0,2D.1,、212.將正方形ABCD對角線AC折起，使點D在平面ABC外，則DB與平面ABC所成的角定不等于（）A.30B.45C.60D.90二、填空題1如圖，正方體ABCDABGD的棱長為1,E是AB的中點，則下列四個命題：1 E到平面ABCD的距離是丄；2 直線BC與平面ABCD所成角等于45； 空間四邊形ABC1在正方體六

49、個面內的射影圍成1面積最小值為-；2 BE與CD所成的角為arcsin10102.如圖，在四棱柱ABCD-ABCD中，P是AC上的動點，E為CD上的動點，四邊形ABC瞞足時，體積VAEB恒為定值（寫上你認為正確的一個答案即可）3邊長為1的等邊三角形ABC中,沿BC邊高線AD折起,使得折后二面角B-ADC為60°,則點A到BC的距離為，點D到平面ABC的距離為.4.在水平橫梁上AB兩點處各掛長為50cm的細繩，AMBNAB的長度為60cm在MN處掛長為60cm的木條，MN平行于橫梁，木條的中點為Q若木條繞過Q的鉛垂線旋轉60°,則木條比原來升高了5.多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的如圖正方體的一個頂點A在平面內.其余頂點在的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別是1、2和4.P是正方體其余四個頂點中的一個，則P到平面3;4;5;6;7.以上結論正確的為（寫出所有正確結論的編號.）6.如圖，棱長為1m的正方體密封容器的三個面上有三個銹蝕的小孔（不計小孔直徑）Q、Q、Q它們分別是所在面的中心.如果恰當放置容器，容器存水的最大容積是m3.三、解答題1.在正三棱柱ABC-A