測量誤差及其產(chǎn)生的原因

1、1第五章第五章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識2 當(dāng)對某觀測量進(jìn)行觀測，其觀測值與真值當(dāng)對某觀測量進(jìn)行觀測，其觀測值與真值( (客觀客觀存在或理論值存在或理論值) )之差，稱為測量誤差。之差，稱為測量誤差。 用數(shù)學(xué)式子表達(dá)：用數(shù)學(xué)式子表達(dá)： i = Li X i = Li X (i=1,2(i=1,2n) n) L L 觀測值觀測值 X X真值真值 ，每一種儀器具有一定的，每一種儀器具有一定的精確度，因而使觀測結(jié)果的精確度受到一定限制。精確度，因而使觀測結(jié)果的精確度受到一定限制。 測量誤差產(chǎn)生的原因很多，但概括起來主要有測量誤差產(chǎn)生的原因很多，但概括起來主要有以下三個方面：以下三個方面：3v

2、 DJ6DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀基本分劃為型光學(xué)經(jīng)緯儀基本分劃為11，難以確保分以下，難以確保分以下 估讀值完全準(zhǔn)確無誤。估讀值完全準(zhǔn)確無誤。v 使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，難以保證厘米使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，難以保證厘米以下估讀值的準(zhǔn)確性。以下估讀值的準(zhǔn)確性。 v水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)軸不平行，則測量結(jié)果中水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)軸不平行，則測量結(jié)果中含有含有i i 角誤差或交叉誤差。角誤差或交叉誤差。v水準(zhǔn)尺的分劃不均勻，必然產(chǎn)生水準(zhǔn)尺的分劃誤水準(zhǔn)尺的分劃不均勻，必然產(chǎn)生水準(zhǔn)尺的分劃誤差。差。4 觀測者感官鑒別能力有一定的局限性。觀測者的習(xí)慣觀測者感官鑒別能力有一定的局限性。觀測者的習(xí)慣因

3、素、工作態(tài)度、技術(shù)熟練程度等也會給觀測者成果帶來因素、工作態(tài)度、技術(shù)熟練程度等也會給觀測者成果帶來不同程度的影響。不同程度的影響。 例如：外界環(huán)境如溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素例如：外界環(huán)境如溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素的變化，均使觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差。的變化，均使觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差。 例如：溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮陽光曝曬使水準(zhǔn)氣泡偏例如：溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮陽光曝曬使水準(zhǔn)氣泡偏移，大氣折光使望遠(yuǎn)鏡的瞄準(zhǔn)產(chǎn)生偏差，風(fēng)力過大使儀器安置移，大氣折光使望遠(yuǎn)鏡的瞄準(zhǔn)產(chǎn)生偏差，風(fēng)力過大使儀器安置不穩(wěn)定等。不穩(wěn)定等。5 先作兩個前提假設(shè)：先作兩個前提假設(shè)： 觀測條件相同觀測條件相同. . 對某一量進(jìn)行

4、一系列的直接觀測在此基礎(chǔ)上對某一量進(jìn)行一系列的直接觀測在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值 、符號及變化規(guī)律、符號及變化規(guī)律。6 例例1 1：用名義長度為：用名義長度為3030米而實際長度為米而實際長度為30.0430.04米的鋼尺量距。米的鋼尺量距。 丈量結(jié)果見下表丈量結(jié)果見下表5-15-1： 表表5-15-1 誤差符號始終不變，具有規(guī)律性。誤差符號始終不變，具有規(guī)律性。 誤差大小與所量直線成誤差大小與所量直線成 正比，具有累積性。正比，具有累積性。 誤差對觀測結(jié)果的危害性很大。誤差對觀測結(jié)果的危害性很大。7 在厘米分劃的水準(zhǔn)尺上估讀毫米時，有時估讀過大，有時在厘米分劃的水準(zhǔn)尺

5、上估讀毫米時，有時估讀過大，有時估過小，每次估讀也不可能絕對相等，其影響大小，純屬偶估過小，每次估讀也不可能絕對相等，其影響大小，純屬偶然。然。 大氣折光使望遠(yuǎn)鏡中目標(biāo)成像不穩(wěn)定，則瞄準(zhǔn)目標(biāo)有時偏左、大氣折光使望遠(yuǎn)鏡中目標(biāo)成像不穩(wěn)定，則瞄準(zhǔn)目標(biāo)有時偏左、有時偏右。有時偏右?？梢钥闯觯嚎梢钥闯觯?從個別誤差來考察，其符號、數(shù)值始終變化，無任從個別誤差來考察，其符號、數(shù)值始終變化，無任 何規(guī)律性。何規(guī)律性。 多次重復(fù)觀測，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。多次重復(fù)觀測，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。8 - 在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列的觀測，如果

6、出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差”。 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差具有規(guī)律性。具有規(guī)律性。-在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列 的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面 上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差偶然誤差”。 個別偶然誤差雖無規(guī)律，但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律。個別偶然誤差雖無規(guī)律，但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律。-觀測中的錯誤叫觀

7、測中的錯誤叫粗差粗差。 例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標(biāo)等。例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標(biāo)等。 錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結(jié)果中不允許有錯誤。錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結(jié)果中不允許有錯誤。 一旦發(fā)現(xiàn)，應(yīng)及時更正或重測。一旦發(fā)現(xiàn)，應(yīng)及時更正或重測。引進(jìn)如下概念：引進(jìn)如下概念：9 在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時產(chǎn)生。在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時產(chǎn)生。 系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應(yīng)盡可能地加以改系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應(yīng)盡可能地加以改正、抵消或削弱。正、抵消或削弱。 對可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時間的多對可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可

8、采用不同時間的多次觀測，消弱其影響。次觀測，消弱其影響。 檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 求改正數(shù)：將觀測值加以改正，消除其影響。求改正數(shù)：將觀測值加以改正，消除其影響。 采用合理的觀測方法：如對向觀測。采用合理的觀測方法：如對向觀測。 研究偶然誤差是測量學(xué)的重要課題。研究偶然誤差是測量學(xué)的重要課題。 適當(dāng)提高儀器等級。適當(dāng)提高儀器等級。 進(jìn)行多余觀測，求最或是值。進(jìn)行多余觀測，求最或是值。10 若若i i= L= Li i X X （i=1,2,3,i=1,2,3,358,358） 負(fù) 誤 差 正 誤 差 合 計 誤差區(qū)間 d（） 個數(shù) k 頻率 k

9、/n 個數(shù) k 頻率 k/n 個數(shù) k 頻率 k/n 0 03 3 3 36 6 6 69 9 9 91212 12121515 15151818 18182121 21212424 2424 4545 4040 3333 2323 1717 1313 6 6 4 4 0 0 0.1260.126 0.1120.112 0.0920.092 0.0640.064 0.0470.047 0.0360.036 0.0170.017 0.0110.011 0 0 4646 4141 3333 2121 1616 1313 5 5 2 2 0 0 0.1280.128 0.1150.115 0.092

10、0.092 0.0590.059 0.0450.045 0.0360.036 0.0140.014 0.0060.006 0 0 9191 8181 6666 4444 3333 2626 1111 6 6 0 0 0.2450.245 0.2270.227 0.1840.184 0.1230.123 0.0920.092 0.0720.072 0.0310.031 0.0170.017 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.0001.000 11從表從表5-25-2中可以歸納出偶然誤差的特性中可以歸納出偶然誤差的特性 在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差在一定觀測條

11、件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；的絕對值不會超過一定的限值； 絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小；的誤差出現(xiàn)的頻率小； 絕對值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率；絕對值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率； 實踐表明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而實踐表明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而且，當(dāng)觀測的個數(shù)愈大且，當(dāng)觀測的個數(shù)愈大 時，這種特性就表現(xiàn)得愈明時，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。顯。 0limlim21 nnnnn12-24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+

12、21+24 x= 圖5-1 頻率直方圖dnk /)(/頻率nk 為了直觀地表示偶然誤差的正負(fù)和大小的分布情為了直觀地表示偶然誤差的正負(fù)和大小的分布情況，可以按表況，可以按表5-25-2的數(shù)據(jù)作的數(shù)據(jù)作( (見下圖見下圖) )。13 若誤差的個數(shù)無限增大若誤差的個數(shù)無限增大(n)(n)，同時又無限縮，同時又無限縮小誤差的區(qū)間小誤差的區(qū)間d d，則圖，則圖5-15-1中各小長條的頂邊的折中各小長條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為稱為“”，它完整地表示了偶然誤差，它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率P P。 即當(dāng)即當(dāng)nn時，

13、上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差時，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。 正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為 : : (5-3) 為為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差的平方為，標(biāo)準(zhǔn)差的平方為 方差方差。 方差為偶然誤差平方的理論平均值：方差為偶然誤差平方的理論平均值：efy221)(22214正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為 : : (5-3)(5-3) efy221)(22 nnnnn 2222212limlim nnnnlimlim2) 45 ( ) 55 ( 15 1 1.f(f() )是偶函數(shù)。即絕對值相等的正誤

14、差與負(fù)誤差求得是偶函數(shù)。即絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差求得的的f(f() )相等，所以曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三相等，所以曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。特性。 2.2.愈小，愈小，f(f() )愈大。當(dāng)愈大。當(dāng)=0=0時，時，f(f() )有最大值有最大值; ; 反之，反之，愈大，愈大，f(f() )愈小。當(dāng)愈小。當(dāng)nn時，時，f(f() 0,) 0,這就是偶然誤這就是偶然誤差的第一和第二特性。差的第一和第二特性。 3.3.如果求如果求f(f() )二階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐二階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐點橫坐標(biāo)：點橫坐標(biāo)： 拐拐= = 如果求如果求f(f(

15、) )在區(qū)間在區(qū)間 的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的相對次數(shù)是某個定值的相對次數(shù)是某個定值 ，所以當(dāng)，所以當(dāng) 愈小時，曲線將愈陡峭，愈小時，曲線將愈陡峭，即誤差分布比較密集；當(dāng)即誤差分布比較密集；當(dāng) 愈大時，曲線將愈平緩，即誤差愈大時，曲線將愈平緩，即誤差分布比較分散。由此可見，參數(shù)分布比較分散。由此可見，參數(shù) 的值表征了誤差擴散的特的值表征了誤差擴散的特征征。efy221)(2216f()+-11121-+f()2+-22122117v 觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù)觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù) ；v 觀測條件較差，誤差分布比較分散

16、，它具有較大的參數(shù)觀測條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù) ；v 具有較小具有較小 的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點向兩側(cè)以較的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點向兩側(cè)以較陡的趨勢迅速下降；陡的趨勢迅速下降；v 具有具有 較大較大 的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點向兩側(cè)以較的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點向兩側(cè)以較平緩的趨勢伸展。平緩的趨勢伸展。最大縱坐標(biāo)點：21efy221)(22185-2 5-2 衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)一一. .中誤差中誤差 誤差誤差的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為： 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 nmef221)(22 nnnnlimlim2 在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定

17、精度，一般采用下述在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述誤差公式：誤差公式： 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差中誤差中誤差 m m 的不同在于觀測個數(shù)的不同在于觀測個數(shù) n n 上；上； 標(biāo)準(zhǔn)差表征了一組同精度觀測在標(biāo)準(zhǔn)差表征了一組同精度觀測在(n)(n)時誤差分布的擴散特時誤差分布的擴散特征，即理論上的觀測指標(biāo)；征，即理論上的觀測指標(biāo)； 而中誤差則是一組同精度觀測在為而中誤差則是一組同精度觀測在為 n n 有限個數(shù)時求得的觀測精有限個數(shù)時求得的觀測精度指標(biāo)；度指標(biāo)； 所以中誤差是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值估值；所以中誤差是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值估值； 隨著隨著 n n 的增大，的增大，m m 將趨近于將趨近于

18、。 19同精度觀測值對應(yīng)著同一個誤差分布，即對應(yīng)著同一個標(biāo)同精度觀測值對應(yīng)著同一個誤差分布，即對應(yīng)著同一個標(biāo)準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)差的估計值即為中誤差。準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)差的估計值即為中誤差。 例例3:3: 設(shè)對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進(jìn)行了設(shè)對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進(jìn)行了1010次次觀測，求得每次觀測所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為觀測，求得每次觀測所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為 ； 第二組：第二組： 0, -1, -7,+2,+1,+1,- 8, 0, +3, -1.0, -1, -7,+2,+1,+1,- 8, 0, +3, -1. 試求這兩組觀測值的中誤差。試求這兩組觀測值的中誤差。

19、由由 解得：解得：m m1 1= =2.7 m2.7 m2 2= =3.6 3.6 可見：可見：第一組的觀測精度較第二組觀測精度高。第一組的觀測精度較第二組觀測精度高。nm20 根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d d中的概率：中的概率： p(p()=f()=f() ) d d 設(shè)以設(shè)以k k倍中誤差作為區(qū)間，則倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為：在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為： 分別以分別以k=1,2,3k=1,2,3代入上式，可得：代入上式，可得： P(P(m)=0.683=68.3m)=0.683=68.3 P( P(2m)=0.955=95.52m)=

20、0.955=95.5 P( P(3m)=0.997=99.73m)=0.997=99.7 由于一般情況下測量次數(shù)有限，由于一般情況下測量次數(shù)有限，3 3倍中誤差很少遇到，倍中誤差很少遇到， 故以故以2 2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“容許誤差容許誤差”，或或 稱為稱為“限差限差”即即容容=2=2m mkmkmdfkmP)()(21 在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質(zhì)量。還不能正確反映觀測的質(zhì)量。 例如例如: : 用鋼卷尺量用鋼卷尺量200200米和米和4040米兩段距離，量距

21、的中誤差米兩段距離，量距的中誤差都是都是2cm2cm，但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的，因為量距的，但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關(guān)。誤差與其長度有關(guān)。 為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質(zhì)量。即的質(zhì)量。即m/Lm/L來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。 相對中誤差又可要求寫成分子為相對中誤差又可要求寫成分子為1 1的分式，即的分式，即 。 上例為上例為 K K1 1= m= m1 1/L/L1 1=1/10000, =1/10000, K K2 2= m= m2 2

22、/L/L2 2=1/2000=1/2000 可見可見: : 前者的精度比后者高。前者的精度比后者高。 與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對誤差。對誤差。N1225-3 算術(shù)平均值及其中誤差算術(shù)平均值及其中誤差 設(shè)在相同的觀測條件下對未知量觀測了設(shè)在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次出該次出該未知量的最或然值。未知量的最或然值。 ，觀測值為，觀測值為L1、L2Ln，現(xiàn)，現(xiàn)在要根據(jù)這在要根據(jù)這n個觀測值確定個觀測值確定 設(shè)未知量的真值為設(shè)未知量的真值為X，寫出觀測值的真誤差公式為，寫出觀測值的真誤差公式為i= Li-X (i=1,2

23、n)將上式相加得將上式相加得或或故故nXLLLnn 2121 nXL nnLX23 設(shè)以設(shè)以x表示上式右邊第一項的觀測值的算術(shù)平均值，表示上式右邊第一項的觀測值的算術(shù)平均值， 即即以以X表示算術(shù)平均值的真誤差，即表示算術(shù)平均值的真誤差，即 代入上式，則得代入上式，則得由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時， x趨近于零，即趨近于零，即:也就是說，也就是說，n趨近無窮大時，算術(shù)平均值即為真值。趨近無窮大時，算術(shù)平均值即為真值。 nLx nxxxX0limxn24 現(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式?，F(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。 因為因為式中

24、，式中，1n為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設(shè)其中誤差均為設(shè)其中誤差均為m?，F(xiàn)以?，F(xiàn)以mx表示算術(shù)平均值的中誤表示算術(shù)平均值的中誤差，則可得算術(shù)平均值的中誤差為差，則可得算術(shù)平均值的中誤差為nLnLnLxn 21故 該式即算術(shù)平均值的中誤差公式。該式即算術(shù)平均值的中誤差公式。 nmmnmnmnmnx22222222111 項nmmx25 同精度觀測值中誤差的計算公式為同精度觀測值中誤差的計算公式為而而 這是利用觀測值真誤差求觀測值中誤差的定義公式，這是利用觀測值真誤差求觀測值中誤差的定義公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真誤差也就不知道由于未知量的真

25、值往往是不知道的，真誤差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求觀測值的中誤差。了。所以，一般不能直接利用上式求觀測值的中誤差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和觀測值的差但是未知量的最或然值是可以求得的，它和觀測值的差數(shù)也可以求得，即數(shù)也可以求得，即nmniXLii , 2 , 1niLxvii , 2 , 126因因n為有限值，故在實用上可以用為有限值，故在實用上可以用x的中誤差近似地代替的中誤差近似地代替x的真誤差，即的真誤差，即 為用改正數(shù)來求觀測值中誤差的公式，稱為白塞爾公為用改正數(shù)來求觀測值中誤差的公式，稱為白塞爾公式。式。 用改正數(shù)計算最或然值中誤差的公式為用改正數(shù)計算最或

26、然值中誤差的公式為 1nvvm ) 1( nnvvm27 在實際工作中有許多未知量不能直接觀測而求其值，在實際工作中有許多未知量不能直接觀測而求其值，需要由觀測值間接計算出來。例如某未知點需要由觀測值間接計算出來。例如某未知點B的高程的高程HB，是由起始點，是由起始點A的高程的高程HA加上從加上從A點到點到B點間進(jìn)行了點間進(jìn)行了若干站水準(zhǔn)測量而得來的觀測高差若干站水準(zhǔn)測量而得來的觀測高差h1hn求和得出的。求和得出的。這時未知點這時未知點B的高程的高程H。是各獨立觀測值的函數(shù)。那么。是各獨立觀測值的函數(shù)。那么如何根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)的中誤差呢？如何根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)的

27、中誤差呢？ 28 設(shè)有函數(shù)：設(shè)有函數(shù)： Z為觀測值的函數(shù)，為觀測值的函數(shù)，K為常數(shù)，為常數(shù)，X為觀測值，已知其為觀測值，已知其中誤差為中誤差為mx，求，求Z的中誤差的中誤差mZ。 設(shè)設(shè)x和和z的真誤差分別為的真誤差分別為x和和z則：則： 若對若對x 共觀測了共觀測了n次，則：次，則： 將上式平方，得：將上式平方，得： 求和，并除以求和，并除以n，得，得kxz xzk)2 , 1(nikxizi )2 , 1(222nikxizi nknxz22229，觀測值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀觀測值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘常數(shù)。測值中誤差乘常數(shù)。nmnmxxzz22xzxzkmmmkm22

28、2nmnmxxzz2230 例：例： 在在1：500比例尺地形圖上，量得比例尺地形圖上，量得A、 B兩點間兩點間的距離的距離SAB=23.4mm，其中誤差，其中誤差msab=土土0.2mm，求，求A、B間的實地距離間的實地距離SAB及其中誤差及其中誤差msAB。 解：由題意：解：由題意： SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7m mSAB500mSab500（士（士0.2） =土土100mm土土0.1m 最后答案為：最后答案為：SAB=11.7m士士0.1m31 設(shè)有函數(shù)：設(shè)有函數(shù)： Z為為x、y的和或差的函數(shù)，的和或差的函數(shù)，x、y為獨立觀測值，已為獨立觀測值，已知其

29、中誤差為知其中誤差為mx、my，求，求Z的中誤差的中誤差mZ。 設(shè)設(shè)x、y和和z的真誤差分別為的真誤差分別為x、y和和z則則 若對若對x、y 均觀測了均觀測了n次，則次，則 將上式平方，得將上式平方，得yxzyxz)2 , 1(niyixizi )2 , 1(2222niyii xyixizi 32 由于由于x、y均為偶然誤差，其符號為正或負(fù)的機會均為偶然誤差，其符號為正或負(fù)的機會相同，因為相同，因為x、y為獨立誤差，它們出現(xiàn)的正、負(fù)號為獨立誤差，它們出現(xiàn)的正、負(fù)號互不相關(guān)，所以其乘積互不相關(guān)，所以其乘積xy也具有正負(fù)機會相同的性也具有正負(fù)機會相同的性質(zhì)，在求質(zhì)，在求xy時其正值與負(fù)值有互相抵

30、消的可能；時其正值與負(fù)值有互相抵消的可能；當(dāng)當(dāng)n愈大時，上式中最后一項愈大時，上式中最后一項xy/n將趨近于零，將趨近于零，即即求和，并除以求和，并除以n，得，得 nnnnyxyxz22220limnnyx33 將滿足上式的誤差將滿足上式的誤差x、y稱為互相獨立的誤差，稱為互相獨立的誤差，簡稱獨立誤差，相應(yīng)的觀測值稱為獨立觀測值。對于簡稱獨立誤差，相應(yīng)的觀測值稱為獨立觀測值。對于獨立觀測值來說，即使獨立觀測值來說，即使n是有限量，是有限量，由于由于 式殘存的值不大，式殘存的值不大， 一般就忽視它的影響。根據(jù)中誤差定義，得一般就忽視它的影響。根據(jù)中誤差定義，得222yxzmmm 即，兩觀測值代數(shù)

31、和的中誤差平方，即，兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差的平方之和。等于兩觀測值中誤差的平方之和。0limnnyx34 當(dāng)當(dāng)z是一組觀測值是一組觀測值X1、X2Xn代數(shù)和（差）的函數(shù)代數(shù)和（差）的函數(shù)時，即時，即nxxxz 21可以得出函數(shù)可以得出函數(shù)Z的中誤差平方為：的中誤差平方為： 式中式中m mxixi是觀測值是觀測值x xi i的中誤差。的中誤差。即，即，n n個觀測值代數(shù)和（差）的中誤差平方，等于個觀測值代數(shù)和（差）的中誤差平方，等于n n個觀測值中誤差平方之和個觀測值中誤差平方之和。222221xnxxzmmmm 35 當(dāng)諸觀測值當(dāng)諸觀測值xi為同精度觀測值時，設(shè)其中誤差

32、為為同精度觀測值時，設(shè)其中誤差為m，即即 mx1=mx2=mxn=m則為則為這就是說，在同精度觀測時，觀測值代數(shù)和（差）的中這就是說，在同精度觀測時，觀測值代數(shù)和（差）的中誤差，與觀測值個數(shù)誤差，與觀測值個數(shù)n的平方根成正比。的平方根成正比。 例設(shè)用長為例設(shè)用長為L的卷尺量距，共丈量了的卷尺量距，共丈量了n個尺段，已知個尺段，已知每尺段量距的中誤差都為每尺段量距的中誤差都為m，求全長，求全長S的中誤差的中誤差ms。解：因為全長解：因為全長S=LLL（式中共有（式中共有n個個L）。）。而而L的中誤差為的中誤差為m。 nmmznmmS36 例如以例如以 30m長的鋼尺丈量長的鋼尺丈量 90m的距離

33、，當(dāng)?shù)木嚯x，當(dāng)每尺段量距的中誤差為每尺段量距的中誤差為5mm時，全長的中誤時，全長的中誤差為差為nmmSmmm7 . 8359037 當(dāng)使用量距的鋼尺長度相等，每尺段的量距中誤當(dāng)使用量距的鋼尺長度相等，每尺段的量距中誤差都為差都為mL，則每公里長度的量距中誤差，則每公里長度的量距中誤差mKm也是相等也是相等的。當(dāng)對長度為的。當(dāng)對長度為S公里的距離丈量時，全長的真誤差公里的距離丈量時，全長的真誤差將是將是S個一公里丈量真誤差的代數(shù)和，于是個一公里丈量真誤差的代數(shù)和，于是S公里的中公里的中誤差為誤差為 式中，式中，S的單位是公里。的單位是公里。即：即：kmsmsm38 例例: 為了求得為了求得A、

34、B兩水準(zhǔn)點間的高差，今自兩水準(zhǔn)點間的高差，今自A點開點開始進(jìn)行水準(zhǔn)測量，經(jīng)始進(jìn)行水準(zhǔn)測量，經(jīng)n站后測完。已知每站高差的中站后測完。已知每站高差的中誤差均為誤差均為m站站，求，求A、B兩點間高差的中誤差。兩點間高差的中誤差。 解：因為解：因為A、B兩點間高差兩點間高差hAB等于各站的觀測高等于各站的觀測高差差hi（i=l，2n）之和，）之和， 即即: hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 則則 即即站mnmABh39 在不同的水準(zhǔn)路線上，即使兩點間的路線長度相在不同的水準(zhǔn)路線上，即使兩點間的路線長度相同，設(shè)站數(shù)不同時，則兩點間高差的中誤差也不同。同，設(shè)站數(shù)不同時，則兩點間高差的中誤差也不同。

35、但是，當(dāng)水準(zhǔn)路線通過平坦地區(qū)時，每公里的水準(zhǔn)測但是，當(dāng)水準(zhǔn)路線通過平坦地區(qū)時，每公里的水準(zhǔn)測量高差的中誤差可以認(rèn)為相同，設(shè)為量高差的中誤差可以認(rèn)為相同，設(shè)為mkm。當(dāng)。當(dāng)A、B兩兩點間的水準(zhǔn)路線為點間的水準(zhǔn)路線為S公里時，公里時，A、B點間高差的中誤差點間高差的中誤差為為22222kmSkmkmkmhmSmmmmAB 個或或kmhmsmAB40 在水準(zhǔn)測量作業(yè)時，對于地形起伏不大的地區(qū)或平坦在水準(zhǔn)測量作業(yè)時，對于地形起伏不大的地區(qū)或平坦地區(qū)，可用地區(qū)，可用 式計算高差的中誤差；式計算高差的中誤差； 對于起伏較大的地區(qū)，則用對于起伏較大的地區(qū)，則用 式計算式計算高差的中誤差。高差的中誤差。 km

36、ABmSmh站mnmABh 例如，已知用某種儀器，按某種操作方法進(jìn)行水準(zhǔn)測例如，已知用某種儀器，按某種操作方法進(jìn)行水準(zhǔn)測量時，每公里高差的中誤差為量時，每公里高差的中誤差為20mm，則按這種水準(zhǔn)，則按這種水準(zhǔn)測量進(jìn)行了測量進(jìn)行了25km后，測得高差的中誤差為后，測得高差的中誤差為 mm100252041 設(shè)有線性函數(shù)：設(shè)有線性函數(shù)： 則有則有 例例 設(shè)有線性函救設(shè)有線性函救觀測量的中誤差分別為，觀測量的中誤差分別為，求求Z的中誤差的中誤差 nnxkxkxkz 221122222112)()()(nnzxkxkxkm 321141149144xxxzmmmmmmmmmxxx6,2,3321mmm

37、z6 . 161412149314422242 式中式中 xi (i=1，2n)為獨立觀測值，已知其中誤為獨立觀測值，已知其中誤差為差為mi(i=1 2n)，求，求z的中誤差。的中誤差。 當(dāng)當(dāng)xi具有真誤差具有真誤差時，函數(shù)時，函數(shù)Z相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差z。這些真誤差都是一個小值，由數(shù)學(xué)分析可知，變量的這些真誤差都是一個小值，由數(shù)學(xué)分析可知，變量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的全微分來表達(dá)。全微分來表達(dá)。nxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 212143式中式中 （i=l，2n）是函數(shù)對各個變量所取的偏）是函數(shù)對

38、各個變量所取的偏導(dǎo)數(shù)，以觀測值代人所算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，導(dǎo)數(shù)，以觀測值代人所算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)可為：因此上式是線性函數(shù)可為：ixfnnzmxfmxfmxfm22222212212 44 例例 設(shè)有某函數(shù)設(shè)有某函數(shù)z=Ssin 式中式中S=150.11m，其中誤差，其中誤差ms=士士005m； =1194500，其中誤差，其中誤差m=20.6；求；求z的中誤差的中誤差mz。解：因為解：因為z=Ssin，所以，所以z是是S及及a的一般函數(shù)。的一般函數(shù)。mmmmsmmzsz44cossin22222 45 1）按問題的要求寫出函數(shù)式：）按問題的要求寫出函數(shù)式： 2）對函數(shù)

39、式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測值真）對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測值真誤差之間的關(guān)系式：誤差之間的關(guān)系式：式中，式中， 是用觀測值代入求得的值。是用觀測值代入求得的值。 3）寫出函數(shù)中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式：）寫出函數(shù)中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式： ixfnxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 2121nnzmxfmxfmxfm22222212212 46例如，設(shè)有函數(shù)例如，設(shè)有函數(shù)z=xy，而，而y=3x，此時，此時， 。因為。因為x與與y不是獨立觀測值，不是獨立觀測值， 因為不論因為不論n值多少，恒有值多少，恒有因此，應(yīng)把因此，應(yīng)把Z化成獨立觀測值的函數(shù)，即化成

40、獨立觀測值的函數(shù)，即z=x+3x=4x上式中上式中X與與3X兩項是由同一個觀測值兩項是由同一個觀測值X組成的，必須組成的，必須先并項為先并項為z= 4x 而后求其中誤差，即而后求其中誤差，即mz= 4mx222yxzmmm2333xxxxxyxmnnn47 如果對某個未知量進(jìn)行如果對某個未知量進(jìn)行n n次同精度觀測，則其次同精度觀測，則其最或然值即為最或然值即為n n次觀測量的算術(shù)平均值：次觀測量的算術(shù)平均值：niinllllnnX1211)(148在相同條件下對某段長度進(jìn)行兩組丈量：在相同條件下對某段長度進(jìn)行兩組丈量：lll4,2,1 第一組第一組： 第二組第二組：lll10,6,5 算術(shù)平

41、均值分別為算術(shù)平均值分別為LL21,41421141)(41iillllL1051065261)(61jjllllL49,21mmLL其中誤差分別為：其中誤差分別為：2142mmLmmL262241mmL62mmL50 全部同精度觀測值的最或然值為：全部同精度觀測值的最或然值為： 101010541jjiilllX646421LLmmmmLmmLmmLLLL2222222122212151ppLpLpX2122111212121ppLLppXpi在在piLiXLi值的大小體現(xiàn)了值的大小體現(xiàn)了中比重的大小，中比重的大小，稱稱為為的權(quán)。的權(quán)。 令iiLLimmmp222252 若有不同精度觀測值若

42、有不同精度觀測值,21LLLn其權(quán)分別為其權(quán)分別為,11pppn該量的最或然值可擴充為該量的最或然值可擴充為： ppLXpppLpLpLpnnn212211稱之為廣義算術(shù)平均值（加權(quán)平均值）。稱之為廣義算術(shù)平均值（加權(quán)平均值）。53 當(dāng)各觀測值精度相同時當(dāng)各觀測值精度相同時ppppn21nppXniinLLLL121) 111 ()(mmmmn2154二、 權(quán) 定權(quán)的基本公式：mpii22稱為稱為中誤差中誤差，為單位權(quán)觀測值，為單位權(quán)觀測值，當(dāng)觀測值當(dāng)觀測值Limi1pi稱為單位權(quán)，稱為單位權(quán)，Li單位權(quán)中誤差。單位權(quán)中誤差。55 權(quán)的特性權(quán)的特性mmmmmmpppnnn22221222222

43、12211:1:1: 1 反映了觀測值的相互精度關(guān)系。反映了觀測值的相互精度關(guān)系。 3 不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關(guān)系不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關(guān)系 。值的值的 大小，對大小，對X值毫無影響。值毫無影響。256mmmmmmpppnnn2222122222212211:1:1: 4 若若Li同類量的觀測值，此時，權(quán)無單位。若同類量的觀測值，此時，權(quán)無單位。若 Li是不同類量的觀測值，權(quán)是否有單位不能是不同類量的觀測值，權(quán)是否有單位不能一概而論，而視具體情況而定。一概而論，而視具體情況而定。57例：已知例：已知LLL321,的中誤差分別為：的中誤差分別為：mmmmmmm

44、mm5,4,3321mmm31設(shè)設(shè)133222121mp16943222222mp25953222323mp若設(shè)若設(shè)mm454, 1,34321ppP5836. 0:56. 0:1:321321pppppp1 水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)例：例：常用定權(quán)公式常用定權(quán)公式h3Dh4ABCh1h2E59mnmiihncnmmnpiiii222 當(dāng)各測站觀測高差的精度相同時，水準(zhǔn)路線當(dāng)各測站觀測高差的精度相同時，水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)與測站數(shù)成反比。觀測高差的權(quán)與測站數(shù)成反比。四條水準(zhǔn)路線分別觀測了四條水準(zhǔn)路線分別觀測了3, 4, 6, 5 測站。測站。mc22604322npc令令c=3

45、,13311npc6333npc5344npcm223令令c=4,341/1npc442/2npc643/3npc544/4npcm22460. 0:50. 0:75. 0: 1:/4/3/2/14321pppppppp61 水準(zhǔn)路線的長分別為水準(zhǔn)路線的長分別為ssss4321,設(shè)每公里水準(zhǔn)測量觀測的中誤差為設(shè)每公里水準(zhǔn)測量觀測的中誤差為mkmmsmkmihismmspiikmkmi22262ckmm2mkmc22spiic 當(dāng)每公里水準(zhǔn)測量的精度相同時，水準(zhǔn)路線觀當(dāng)每公里水準(zhǔn)測量的精度相同時，水準(zhǔn)路線觀測的權(quán)與路線長度成反比。測的權(quán)與路線長度成反比。3102102104103, 2, 4,1

46、0443322114321scpscpscpscpssssc63當(dāng)當(dāng),10, 1csscp S= c =10公里公里 的水準(zhǔn)路線的觀測高差為單位權(quán)觀測。的水準(zhǔn)路線的觀測高差為單位權(quán)觀測。mmkm1010公里mmmckmkm公里1010每測站觀測高差精度相同時：每測站觀測高差精度相同時：iincp 每公里觀測高差精度相同時：每公里觀測高差精度相同時：iiscp 64例例 對某角作三組同精度觀測：對某角作三組同精度觀測： 第一組測第一組測4測回，算術(shù)平均值為測回，算術(shù)平均值為 1 第二組測第二組測6測回，算術(shù)平均值為測回，算術(shù)平均值為 第三組測第三組測8測回，算術(shù)平均值為測回，算術(shù)平均值為23nm

47、mii22 65222222mnnmmpiiii,22cmcmcnpii由不同個數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值，其權(quán)由不同個數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值，其權(quán)與觀測值個數(shù)成正比。與觀測值個數(shù)成正比。664 c令1441p5 . 1462p2483pppppppX321332211cnpii67 在同精度觀測中，觀測值的精度是相同的，在同精度觀測中，觀測值的精度是相同的，因此可用因此可用來計算觀測值的中誤差。在不同精度觀測中，來計算觀測值的中誤差。在不同精度觀測中，每個觀測值的精度不同，就必須先求出單位權(quán)每個觀測值的精度不同，就必須先求出單位權(quán)中誤差中誤差，然后根據(jù)，然后根據(jù) 求出各觀測值

48、的中誤差。求出各觀測值的中誤差。 1nvvmnm或iipm/以推導(dǎo)計算單位權(quán)中誤差的公式為以推導(dǎo)計算單位權(quán)中誤差的公式為np68 對于一組同精度或不同精度觀測值來說，對于一組同精度或不同精度觀測值來說，如果已經(jīng)知道它們的真誤差，則可按式如果已經(jīng)知道它們的真誤差，則可按式 計算觀測值的中誤差；計算觀測值的中誤差； 用用 式計算單位權(quán)中誤差。式計算單位權(quán)中誤差。nmnpvv69 上式就是由三角形閉合差計算的測角中誤差的公上式就是由三角形閉合差計算的測角中誤差的公式，名為式，名為。 在三角測量中，通常用它來初步評定測角精度在三角測量中，通常用它來初步評定測角精度。 nm370 在測量工作中，常常對一系列被觀測量各進(jìn)行在測量工作中，常常對一系列