大數(shù)定理與中心極限定理課件

1、大數(shù)定理與中心極限定理第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定理與中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科。隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有計規(guī)律性的學科。隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出來。也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去呈現(xiàn)出來。也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現(xiàn)象。尋求必然的法則，應該研究大量隨機現(xiàn)象。 研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究形式，由此導致對極限定理進行研究. 極極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的

2、有兩限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種種:下面我們先介紹大數(shù)定律下面我們先介紹大數(shù)定律1.解決大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定的大數(shù)定理表現(xiàn)正態(tài)分布在理論上、應用上重要性的 中心極限定理字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的廢品率廢品率大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率 大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景5.1 大數(shù)定律定理定理 1 （獨立同分布下的大數(shù)定律）（獨立同分布下的大數(shù)定律） 設設X1,X2, 是獨立同分布的隨機變量是獨立同分布的隨機變量序列，且序列，且 EXi = ， DXi = ， i=1,2

3、,則對任給則對任給 0,2 1|1|lim1 niinXnP幾個常見的大數(shù)定律幾個常見的大數(shù)定律定理表明：當n足夠大時，nii 11X=Xn 大大量量隨隨機機現(xiàn)現(xiàn)象象的的平平均均值值幾幾乎乎是是一一個個常常數(shù)數(shù)故將來在數(shù)理統(tǒng)計中，可用故將來在數(shù)理統(tǒng)計中，可用樣本均值來估計總體均值樣本均值來估計總體均值。定理定理2（貝努里大數(shù)定律）（貝努里大數(shù)定律） 設設nA是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發(fā)生的發(fā)生的 次數(shù)，次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，則對任給的發(fā)生的概率，則對任給的 0，有：，有：或或Annlim P|p |1n Annlim P|p |0n 貝努里大數(shù)定律表明，當重復試驗

4、次數(shù)貝努里大數(shù)定律表明，當重復試驗次數(shù)n充分大時，事件充分大時，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率nA/n與事件與事件A的概率的概率p有較大偏差的概率很小。有較大偏差的概率很小。 貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法。定事件概率的方法。定理定理 3（辛欽大數(shù)定律）（辛欽大數(shù)定律） 設隨機變量序列設隨機變量序列 X1, X2, 獨立同分獨立同分布，具有有限的數(shù)學期布，具有有限的數(shù)學期 EXi=, i=1,2,， 則對任給則對任給 0 ，1|1|lim1 niinXnP 大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學形式表達了隨大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：機現(xiàn)

5、象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性平均結(jié)果的穩(wěn)定性它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn)。它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn)。大數(shù)定律在理論和實際中都有廣泛的應用。大數(shù)定律在理論和實際中都有廣泛的應用。中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景在實際問題中，常常需要考慮許多隨機在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響因素所產(chǎn)生總影響. .例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響就受著許多隨機因素的影響. .5.2 中心極限定理自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布正態(tài)分布在自

6、然界中極在自然界中極為常見。為常見。觀察表明，如果一個量是由大量相互獨觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大。則這種量一素在總影響中所起的作用不大。則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布。般都服從或近似服從正態(tài)分布。由于無窮個隨機變量之和可能趨于由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們不研究故我們不研究n個隨機變量之和本身，而考個隨機變量之和本身，而考慮它的慮它的標準化標準化的隨機變量的隨機變量nnkkk 1k 1nnkk 1XE(X )YD(X ) 的分布函數(shù)的極限。的分布函數(shù)的極限。 可以證明，滿

7、足一定的條件，上述可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標準正態(tài)分布極限分布是標準正態(tài)分布. -中心極限定理中心極限定理在概率論中，習慣于把和的分布收在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極中心極限定理。限定理。我們只討論幾種簡單情形。我們只討論幾種簡單情形。下面給出的獨立同分布隨機變量序下面給出的獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理，也稱列的中心極限定理，也稱林德伯格林德伯格-列維列維（ Lindberg-Levy ）定理。定理。定理定理 4（獨立同分布下的中心極限定理獨立同分布下的中心極限定理）設設X1,X2, 是獨立同分布的隨機是獨立

8、同分布的隨機變量序列，且變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,，則，則2 2-t2-1edt2nxYnnnlimF ( x)limPYx( x) nkk 1nXnY N(0,1) n 也也即即nkk 1X N(,) 當當 n 很大時，可以求出近似分布很大時，可以求出近似分布:定理表明，當定理表明，當n充分大時，充分大時，n個具有相同期望和個具有相同期望和方差的獨立同分布的方差的獨立同分布的r.v之和之和,(一般分布很難求出一般分布很難求出),但但可以認為可以認為近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布。nkk 112nE()E( XX)E( X )E( Xn) n 1nkk 122n

9、D()D( X )D( X )D( X )nX 2n nkk 1nnkk 1XnY N(0,1)n1Xn N(0,1) n n2kk 12nkk 1XN(n,n)1 XX N(, )nn 中心極限定理的應用中心極限定理的應用例例1 根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為均值為100小時的指數(shù)分布。現(xiàn)隨機地取小時的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機地取16只只，設它們的壽命是相互獨立的，設它們的壽命是相互獨立的. 求這求這16只元件只元件的壽命的總和大于的壽命的總和大于1920小時的概率。小時的概率。解解: 設第設第 i 只元件的壽命為只元件的壽命為Xi , i=1, 2,

10、 , 16由題給條件知，由題給條件知，諸諸 Xi 獨立獨立，EXi =100, DXi =1000016只元件的壽命的總和為只元件的壽命的總和為16kk 1YX 由中心極限定理：由中心極限定理：Y N(,) 16kk 1E(Y )E(X ) 16kk 1D(Y )D(X ) 1600240016kk 1E( X ) 10016160016kk 1D( X ) 21000016400 所以所以 P (Y 1920) = 1-P( Y 1920 )Y1600192016001P()1(0.8)0.2119400400 例例 已知在某十字路口，一周事故發(fā)生數(shù)的已知在某十字路口，一周事故發(fā)生數(shù)的數(shù)學期

11、望為數(shù)學期望為2.22.2，標準差為，標準差為1.41.4（1 1）以）以 表示一年（表示一年（5252周）此十字路口事周）此十字路口事故發(fā)生數(shù)的算術(shù)平均，試用中心極限定理求故發(fā)生數(shù)的算術(shù)平均，試用中心極限定理求 的極限分布，并求的極限分布，并求XX2XP（2 2）求一年的事故發(fā)生數(shù)小于）求一年的事故發(fā)生數(shù)小于100100的概率的概率解：解：標準化后求解由周事故發(fā)生數(shù)第 )524 . 1, 2 . 2(521 )4 . 152, 2 . 252( 52.2 , 1k:X52122521kkkkkNXXNXk棣莫佛拉普拉斯定理（二項分布的正棣莫佛拉普拉斯定理（二項分布的正態(tài)近似）是上述定理的特殊

12、情況。態(tài)近似）是上述定理的特殊情況。定理定理 5 ( (棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理） 設隨機變量設隨機變量 服從參數(shù)服從參數(shù)n, p( (0p1) )的的二項分布，則對任意二項分布，則對任意x，有，有nnnnpPxnp 1p lim()2tx21edt2 定理表明，定理表明，當當n很大，服從很大，服從二項分布二項分布隨機隨機變量變量 可可近似近似認為服從認為服從正態(tài)分布：正態(tài)分布：nnnnp N(0 ,1 )np(1p)N(,) nnp(D(p)1 nE(n)p npnp(1p) 例例2 一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于一次波浪

13、的沖擊，縱搖角大于3的概率的概率p1/3，若船舶遭受了，若船舶遭受了90 000次波浪沖次波浪沖擊，問其中有擊，問其中有29 50030 500次次 縱搖角大于縱搖角大于3的概率是多少？的概率是多少？解：解： 在在90 000次波浪沖擊中縱搖角度大于次波浪沖擊中縱搖角度大于3的次數(shù)記為的次數(shù)記為X， 且有且有 Xb (90000，1/3)。所求概率為：。所求概率為： k90 000 k30 50029 500P 29 500X30 500 90 00012k33 利用中心極限定理來求它的利用中心極限定理來求它的近似值：近似值：XN(,) EXnp190000330000np(pDX1) 129000030032003000020000P 29 500X30 500 29 500npXnp30 500npPnp(1p)np(1p)np(1p) 29 50030000X3000030 50030000P200002000020000 30000300002000