材料力學(xué)內(nèi)部習(xí)習(xí)題集及答案

1、第二章 軸向拉伸和壓縮2-1 一圓截面直桿，其直徑d20mm, 長(zhǎng)L=40m，材料的彈性模量E=200GPa，容重80kN/m3, 桿的上端固定，下端作用有拉力F =4KN，試求此桿的：最大正應(yīng)力；最大線應(yīng)變；最大切應(yīng)力；下端處橫截面的位移。解：首先作直桿的軸力圖最大的軸向拉力為故最大正應(yīng)力為：最大線應(yīng)變?yōu)? 當(dāng)（為桿內(nèi)斜截面與橫截面的夾角）為時(shí)，取A點(diǎn)為軸起點(diǎn)，故下端處橫截面的位移為：2-2 試求垂直懸掛且僅受自重作用的等截面直桿的總伸長(zhǎng)L。已知桿橫截面面積為A，長(zhǎng)度為L(zhǎng),材料的容重為。解：距離為x處的軸力為 所以總伸長(zhǎng) 2-3 圖示結(jié)構(gòu)，已知兩桿的橫截面面積均為A=200mm2,材料的彈性

2、模量E=200GPa。在結(jié)點(diǎn)A處受荷載F作用，今通過試驗(yàn)測(cè)得兩桿的縱向線應(yīng)變分別為14×104，22×104，試確定荷載P及其方位角的大小。解: 由胡克定律得 相應(yīng)桿上的軸力為 取A節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，由力的平衡方程得 解上述方程組得 2-4 圖示桿受軸向荷載F1、F2作用，且F1F2F，已知桿的橫截面面積為A，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為cn，其中c、n為由試驗(yàn)測(cè)定的常數(shù)。(1) 試計(jì)算桿的總伸長(zhǎng)；(2) 如果用疊加法計(jì)算上述伸長(zhǎng)，則所得的結(jié)果如何(3) 當(dāng)n1時(shí)，上述兩解答是否相同由此可得什么結(jié)論解：（）軸力圖如圖（a）所示。根據(jù)：則（）采用疊加法。單獨(dú)作用F1時(shí)，軸力圖如圖（b）

3、所示。單獨(dú)作用F2時(shí)，軸力圖如圖（c）所示。則（）當(dāng)n=1時(shí)，上述兩解答相同。結(jié)論：只有當(dāng)與成線性關(guān)系時(shí)，疊加法才適用于求伸長(zhǎng)。2-5 試求圖示構(gòu)架點(diǎn)C的鉛垂位移和水平位移，已知兩根桿的抗拉剛度均為EA。解： 取C點(diǎn)分析受力情況，如圖（b）所示，得因此只有CD桿有伸長(zhǎng) 變形幾何圖如圖（c）所示 ，得 。2-6 剛性梁ABCD在B、D兩點(diǎn)用鋼絲繩懸掛，鋼絲繩繞過定滑輪G、H。已知鋼絲的E210GPa，繩橫截面面積A100mm2，荷載F20KN，試求C點(diǎn)的鉛垂位移（不計(jì)繩與滑輪間的摩擦）。解：首先要求繩的內(nèi)力。剛性梁的受力分析如圖，由平衡方程： 解得： 繩的原長(zhǎng) 繩的伸長(zhǎng)量為 在作用下結(jié)構(gòu)變形如圖

4、， 可得： 再由三角幾何關(guān)系得： 由、式聯(lián)立可得：又因?yàn)椋核裕?-7 圖示結(jié)構(gòu)中AB桿為剛性桿，桿AC為鋼質(zhì)圓截面桿，直徑d1=20mm，E1=200GPa；桿BD為銅質(zhì)圓截面桿，直徑d225mm，E2=100GPa，試求：(1) 外力F作用在何處(x)時(shí)AB梁保持水平(2) 如此時(shí)F30kN，則兩拉桿橫截面上的正應(yīng)力各為多少解：(1). 容易求得AC桿、BD桿的軸力分別為從而AC桿、BD桿的伸長(zhǎng)量若要AB梁保持水平，則兩桿伸長(zhǎng)量應(yīng)相等，即.于是, (2).當(dāng)時(shí)，兩拉桿橫截面上的正應(yīng)力分別為2-8 圖示五根桿的鉸接結(jié)構(gòu)，沿其對(duì)角線AC方向作用兩力F20 kN，各桿彈性模量E=200GPa，橫

5、截面面積A500mm2，L1m，試求：(1) AC之間的相對(duì)位移AC，(2) 若將兩力F改至BD點(diǎn)，則BD點(diǎn)之間的相對(duì)位移BD又如何解：(1)取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，受力分析如圖(b)由平衡方程： ,得同理，可得：節(jié)點(diǎn)受力分析如圖(c)，,四桿材料相同，受力大小相同，所以四個(gè)桿的應(yīng) 變能相同，可求得整個(gè)桿件應(yīng)變能為：力作的功為： 由彈性體的功能原理得： 當(dāng)兩力移至兩點(diǎn)時(shí)，可知，只有桿受力，軸力為所以 從而 2-9 圖示結(jié)構(gòu)，已知三根桿AF、CD、CE的橫截面面積均為A=200mm2, E=200GPa,試求每根桿橫截面上的應(yīng)力及荷載作用點(diǎn)B的豎向位移。解：取AB為研究對(duì)象，選取如圖所示坐標(biāo)軸，故，即

6、,即,于是得 ， ，即，于是 ，解得：，所有構(gòu)件的應(yīng)變能為由功能原理得，作的功在數(shù)值上等于該結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能即：所以 .2-10 圖示結(jié)構(gòu)，已知四根桿AC、CB、AD、BD的長(zhǎng)度均為a,抗拉剛度均為EA,試求各桿軸力，并求下端B點(diǎn)的位移。解：(1)以B結(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，受力圖如圖（a）所示由 得得以剛性桿為研究對(duì)象，受力圖如圖（b）所示由 得由 得(2)由于1，2桿的伸長(zhǎng)變形，引起CD剛性桿以及B結(jié)點(diǎn)的下降（如圖（c）由于3，4桿的伸長(zhǎng)引起B(yǎng)點(diǎn)的繼續(xù)下降（如圖（d）則2-11 重G=500N,邊長(zhǎng)為a=400mm的箱子，用麻繩套在箱子外面起吊如圖所示。已知此麻繩在290N的拉力作用下將被拉斷。(1)

7、 如麻繩長(zhǎng)為1.7m時(shí)，試問此時(shí)繩是否會(huì)拉斷(2) 如改變角使麻繩不斷，則麻繩的長(zhǎng)度至少應(yīng)為多少解：(1)取整體作為研究對(duì)象,經(jīng)分析得本受力體系為對(duì)稱體系. 由于箱子重G=500N,由豎直方向的受力平衡可知,每根繩子豎直方向受力為F=250N. 即 而則于是,此時(shí)繩子不會(huì)被拉斷.(2)繩子被拉斷時(shí)其中則解得:答：(1)N=417N (2)L=1.988m2-12 圖示結(jié)構(gòu)，BC為剛性桿, 長(zhǎng)度為L(zhǎng), 桿1、2的橫截面面積均為A，其容許應(yīng)力分別為1和2，且1=22，荷載可沿梁BC移動(dòng), 其移動(dòng)范圍0xL, 試從強(qiáng)度方面考慮，當(dāng)x取何值時(shí)，F(xiàn)的容許值最大，F(xiàn)max等于多少解：分析題意可知，由于1、

8、2兩桿橫截面積均為A，而1桿的容許應(yīng)力為2桿的二倍，則由公式可知，破壞時(shí)2桿的軸力也為1桿的二倍。本題要求F的容許值最大，即當(dāng)力F作用在距離B點(diǎn)的位置上時(shí)，1、2兩桿均達(dá)到破壞所需的軸力，即此時(shí)，對(duì)力的作用點(diǎn)求矩得：解得：此時(shí)，由豎直方向的受力平衡得：2-13 圖示結(jié)構(gòu)，AC為剛性桿, BD為斜撐桿, 荷載F可沿桿AC移動(dòng),試問：為使BD桿的重量最輕, BD桿與AC桿之間的夾角應(yīng)取何值解：如圖所示，取整體為研究對(duì)象，對(duì)A點(diǎn)取鉅，由得：而則要想使重量最輕，應(yīng)該使sin2最大，即2=90º 解得：=45º 2-14 鉸接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有桿件的許用應(yīng)力=12

9、5Mpa,試求AB桿和CD桿所需的橫截面面積。解：由零桿的判別條件知，圖中BC桿為零桿。取整體為研究對(duì)象，對(duì)A點(diǎn)取鉅，由得： 解得： 取D節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，由平衡方程得：則可以解得：同理，對(duì)于B節(jié)點(diǎn)，也有平衡方程：則可以解得：于是，由許用應(yīng)力定義得：2-15 圓截面鋼桿如圖所示，已知材料的E=200GPa，若桿內(nèi)應(yīng)變能U=4N·m,試求此桿橫截面上的最大正應(yīng)力。解：各截面壓力相同為應(yīng)變能 代入數(shù)據(jù) 可得kNMPa 2-16 圖示桿件的抗拉（壓）剛度為EA，試求此桿的應(yīng)變能。解：如圖所示，為桿件的軸力圖，則桿件的應(yīng)變能計(jì)算應(yīng)該分為兩部分。其中： 則：第三章 扭 轉(zhuǎn)3-1 直徑d =400

10、mm的實(shí)心圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面上最大切應(yīng)力max=100Mpa，試求圖示陰影區(qū)域內(nèi)所承擔(dān)的部分扭矩。解：法1 距圓心處切應(yīng)力為 陰影部分扭矩k法2:距離圓心處切應(yīng)力為 kN3-2 將空心管B和實(shí)心桿A牢固地粘結(jié)在一起而組成一實(shí)心圓桿，如圖所示。管B和桿A材料的剪切彈性模量分別為GB和GA。試分別求出該組合桿承受扭矩MT時(shí)，實(shí)心桿與空心管中的最大切應(yīng)力表達(dá)式。答：實(shí)心桿：，空心管：解：設(shè)實(shí)心桿受扭矩，空心管受扭矩，且兩桿的最大切應(yīng)力出現(xiàn)在外邊緣處，由已知得 +=；對(duì)兩桿接觸截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角相同，即=；且=，=；所以=，=；則實(shí)心桿：=，空心管：=3-3 圖示受扭軸，AB段因安裝手輪，截面為正方

11、形，試從強(qiáng)度方面考慮，軸的容許扭矩因此降低了多少（用百分比表示）解：由題意可知，從強(qiáng)度方面考慮，即： 截面為圓時(shí)， 當(dāng)截面為正方形時(shí)，如圖，邊長(zhǎng)查表可得，當(dāng)時(shí)， 所以 所以降低為： 3-4 受扭轉(zhuǎn)力偶作用的圓截面桿，長(zhǎng)L=1m，直徑d20mm，材料的剪切彈性模量G80GPa，兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角, 試求此桿外表面處沿圖示方向的切應(yīng)變、橫截面上的最大切應(yīng)力max和扭轉(zhuǎn)力偶矩Me。答：=1×103，max80 MPa，Mem解：由公式,=得出Mem且=80 MPa， 由，得=.3-5 圓截面橡膠棒的直徑d40mm，受扭后，原來表面上互相垂直的圓周線和縱向線間夾角變?yōu)?6º，如桿

12、長(zhǎng)L300mm,試求端截面的扭轉(zhuǎn)角；如果材料的G，試求桿橫截面上的最大切應(yīng)力和桿上的外力偶矩Me。解： rad所以 rad MPa另外 因?yàn)?所以 3-6 一根在A端固定的圓截面桿AB如圖所示，圖中的a、b及此桿的抗扭剛度GI均為已知。桿在B端焊有一根不計(jì)自重的剛性臂，在截面C處有一固定指針，當(dāng)桿未受荷載時(shí)，剛性臂及指針均處于水平位置。如現(xiàn)在剛性臂的端部懸掛一重量為F的重物，同時(shí)在桿上D和E處作用有扭轉(zhuǎn)力偶MD和ME。當(dāng)剛性臂及指針仍保持水平時(shí)，試求MD和ME。解：扭矩圖如圖（a）所示要保證指針及剛性臂保持水平則得 （1）得 （2）（1）、（2）兩式聯(lián)立 得 3-7 圖示圓截面桿，其全長(zhǎng)受集度

13、為m=的均布扭轉(zhuǎn)力偶作用，并在中點(diǎn)受其矩為T的扭轉(zhuǎn)力偶作用，試作此桿的扭矩圖，并求桿的應(yīng)變能。解：對(duì)1-1截面，有,.對(duì)2-2截面，有,.作出扭矩圖.(2)桿的應(yīng)變能.第四章 彎曲應(yīng)力4-1試作下列梁的剪力圖和彎矩圖。解：（a）1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AC段：CB段： 3、作剪力、彎矩圖（b）1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AB段： 3、作剪力、彎矩圖（c）1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AC段：CB段：3、作剪力、彎矩圖（d）1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、列剪力、彎

14、矩方程AC段：CB段：3、作剪力、彎矩圖4-2作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。解：（a）1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程CA段：AB段： 3、作剪力、彎矩圖（b）1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程CA段：AD段：DB段： 3、作剪力、彎矩圖（c）1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AB段：BC段： 3、作剪力、彎矩圖（d）1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AC段：CD段：DB段： 3、作剪力、彎矩圖（e）1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AB

15、段：BC段： 3、作剪力、彎矩圖（f）1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程CA段：AD段：DB段： 3、作剪力、彎矩圖4-3已知簡(jiǎn)支梁的剪力圖如圖所示，試作此梁的彎矩圖和荷載圖。梁內(nèi)若有集中力偶，則作用在右端。解：依據(jù)剪力與彎矩的微分關(guān)系作圖4-4已知簡(jiǎn)支梁的彎矩圖如圖所示，試作此梁的剪力圖和荷載圖。解：依據(jù)剪力與彎矩的微分關(guān)系作圖4-5試作圖示簡(jiǎn)單剛架的內(nèi)力圖。解：（a）1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 即 得 2、列內(nèi)力方程AB段：BC段： 3、作內(nèi)力圖（b）1、計(jì)算支反力 由平衡方程得 2、列內(nèi)力方程AB段：BC段： 3、作內(nèi)力圖（c）1、計(jì)算支

16、反力 由平衡方程得 2、列內(nèi)力方程AB段：BC段：CD段： 3、作內(nèi)力圖（d）1、計(jì)算支反力 由平衡方程得 2、列內(nèi)力方程AB段：BC段： CD段： 3、作內(nèi)力圖4-6試作圖示梁的內(nèi)力圖。解：對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析（如圖b1）由得 由得，由得因此圖示梁的內(nèi)力圖如圖b2所示。（M圖有問題）4-7試從彎矩來考慮，說明為什么雙杠的尺寸常設(shè)計(jì)成 解：由題意只需要考慮兩種臨界情況即可。1、當(dāng)力F在中間位置時(shí)，由對(duì)稱可知最大彎矩發(fā)生在正中，即2、當(dāng)力F在最邊緣位置時(shí)，由平衡條件： 即 得 即 得最大彎矩發(fā)生在B處，即所以，根據(jù)材料的許用強(qiáng)度可知，當(dāng)兩者相等時(shí)最佳，即 即4-8試推導(dǎo)梁受均布彎曲力偶m時(shí)的荷載與

17、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系。解：由題意如圖所示，由平衡條件： 即 得 即 得所以AB段：4-9已知懸臂梁及其剪力圖如圖a、b所示，若在梁的自由端無彎曲力偶作用，試作此梁的彎矩圖及荷載圖。從剪力圖和彎矩圖直接求出支反力和支反力偶，并在荷載圖上畫出其方向和轉(zhuǎn)向。解：由剪力圖知AC段受均布力作用，大小為；C點(diǎn)受集中力；BC段受均布力，大小為 則可作出荷載圖與彎矩圖如下：4-10一懸臂梁承受沿梁全長(zhǎng)作用的分布荷載，梁的彎矩方程為M（x）=ax3+bx2+c，其中a、b和c為有量綱的常數(shù)。x的坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的自由端，試求分布荷載的集度，并說明常數(shù)c的力學(xué)含義。解：當(dāng)x=0時(shí)， 因此c表示自由端作用的彎矩為

18、c。由為三元一次函數(shù)得知,集中荷載為一元一次函數(shù)，令 并且以自由端為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系（如圖所示）得即所以。4-11一端外伸的梁在其全長(zhǎng)L上有集度為q的均布荷載作用，如欲使梁在此荷載作用下的最大彎矩值為最小，試求外伸端的長(zhǎng)度a與梁長(zhǎng)L之比。解：1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、列剪力、彎矩方程AB段：BC段：3、作彎矩圖4、由彎矩圖可知，當(dāng)時(shí)，最大彎矩值最小，解得或（舍去）4-12獨(dú)輪車過跳板，如跳板的支座A是固定鉸支座，試從最大彎矩考慮，支座B放在什么位置時(shí)，跳板的受力最合理解：如圖（）所示，當(dāng)位于AB中點(diǎn)或者位于跳板的右端點(diǎn)D時(shí)，會(huì)在跳板上產(chǎn)生最大的彎矩。當(dāng)F位于C處時(shí)： 所以

19、又 所以 所以 此時(shí)彎矩圖如圖（b）所示。當(dāng)位于處時(shí)： 所以 所以 得 因此 此時(shí)彎矩圖如圖（c）所示。最合理時(shí) ，即， 得 ，因此當(dāng)時(shí)最合理。 4-13開口圓環(huán)，其受力如圖所示，已知環(huán)厚為h（垂直于紙面），p為均勻壓強(qiáng)，試求此環(huán)在任意截面1-1上的彎矩。解：如圖，在任意截面1-1處， 在1-1截面與開口之間取一小段長(zhǎng)為，寬為，則所受合力 對(duì)截面1-1處的彎矩為 所以對(duì)整段環(huán)的合彎矩為4-14如圖所示，已知b×h的矩形截面桿，其彈性模量為E，承受三角形分布載荷P（x），其方向與x軸夾角為，試導(dǎo)出桿的內(nèi)力與載荷的微分關(guān)系。解：取坐標(biāo)為和處的兩橫截面，設(shè)坐標(biāo)為處的橫截面上的軸力、剪力和彎

20、矩分別為、和。該處的荷載集度為，則在坐標(biāo)為處橫截面上的軸力、剪力和彎矩分別為、和。梁段在以上所有外力作用下平衡。故，即 ， 解得：；又 ，即 ,解得：；再由，即，二階無窮小項(xiàng)得：.4-15寬為b=30mm，厚為t = 4mm的鋼帶，繞裝在一個(gè)半徑為R的圓筒上。已知鋼帶的彈性模量E=200GPa，比例極限p=400MPa，若要求鋼帶在繞裝過程中應(yīng)力不超過p，試問圓筒的最小半徑R應(yīng)為多少解：由題意鋼帶的曲率為 即 可知越大，R越大； 所以4-16空心圓截面梁如圖所示。試求橫截面1-1上K點(diǎn)處的正應(yīng)力，并問哪個(gè)截面上相應(yīng)于此K點(diǎn)位置的正應(yīng)力最大，其值等于多少解：1、求支反力 由平衡方程 即 得 即

21、得 2、求1-1截面處的彎矩 3、求該截面上K點(diǎn)處的正應(yīng)力4、求 由于無均布荷載，根據(jù)微分關(guān)系可知最大彎矩在拐點(diǎn)處，其中 ， ， ，所以 ， 則4-17用相同材料制成的兩根梁，一根截面為圓形，另一根截面為正方形，它們的長(zhǎng)度、橫截面面積、荷載及約束均相同。試求兩梁橫截面上最大正應(yīng)力的比值。解：設(shè)截面面積為A，圓形截面直徑為d，正方形截面邊長(zhǎng)為a，則有 即 由公式得最大正應(yīng)力分別為 所以4-18 T形梁截面如圖所示。已知截面上M=·m，Iz=×106m4，試求截面上、下邊緣處的正應(yīng)力及中性軸以上部分截面的正應(yīng)力構(gòu)成的總壓力及壓力作用點(diǎn)的位置。解：根據(jù)得 （“-”號(hào)表示壓應(yīng)力）

22、解得4-19梁的橫截面如圖所示。如果已由實(shí)驗(yàn)測(cè)得上端縱向纖維的壓縮應(yīng)變=，下端縱向纖維拉伸應(yīng)變=。試求截面上陰影部分總的法向內(nèi)力。已知材料的E=200GPa。解：由及得：，由于同一截面上、及相同，故與成正比。由上端，下端得：,，故，陰影部分總的法向內(nèi)力為：4-20矩形截面梁的截面尺寸如圖所示。已知梁橫截面上作用有正彎矩M=16kN·m及剪力Fs=6kN，求圖中陰影面積及上的法向內(nèi)力及切向內(nèi)力。解：分析截面：由對(duì)稱知中性軸既是形心主軸 由積分得 （壓力） （拉力） 4-21為了提高梁的彎曲強(qiáng)度，如圖所示在矩形截面上增加肋板，如肋板的高度較小時(shí)，反而會(huì)使彎曲強(qiáng)度降低，已知尺寸b、b1、h

23、，試求抗彎強(qiáng)度為最低時(shí)的肋板高度h1。解：梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 由題意可知 而 ，所以只需求解，將梁截面分為三部分令 得： 所以4-22圖示圓形截面懸臂梁，受均布荷載q作用，試計(jì)算梁橫截面上最大切應(yīng)力、最大正應(yīng)力及它們兩者的比值。解：剪力圖，彎矩圖如圖所示。由圓形截面知所以，。4-23矩形截面梁高為h，試問在距中性軸多遠(yuǎn)處，橫截面上的切應(yīng)力等于平均切應(yīng)力解：距截面中性軸為y處的切應(yīng)力 題 423 圖其中為截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對(duì)中性軸的靜矩。則平均切應(yīng)力為，式中，要使截面上切應(yīng)力等于平均切應(yīng)力，即使，解得 4-24木制懸臂梁受載如圖所示。試求中性層上的最大切應(yīng)力及此層水平方向的

24、總剪力。答：max= Fs*=30kN解：分析截面 梁所受剪力為 則中性層上的最大切應(yīng)力為 此層水平方向的總剪力為4-25 T形截面梁如圖所示。已知Fs=100kN，Iz=11340×108m4，試求中性軸及翼緣與腹板交界點(diǎn)處的切應(yīng)力。解：分析截面 由得 中性軸上 交界點(diǎn)處4-26已知梁橫截面上的彎矩M=60kN·m，橫截面尺寸如圖所示。試求此截面上的最大正應(yīng)力。解：分析截面 所以4-27由50號(hào)工字鋼制成的簡(jiǎn)支梁如圖所示。試求橫截面上的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。 解：1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、作剪力圖與彎矩圖 由圖可知 3、求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力

25、4-28試求圖示梁橫截面上的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并繪出危險(xiǎn)截面上正應(yīng)力和切應(yīng)力的分布圖。 解：1、計(jì)算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、作剪力圖與彎矩圖 由圖可知 3、求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力分析截面 則 4、繪出危險(xiǎn)截面上正應(yīng)力和切應(yīng)力的分布圖4-29在圖中如以虛線所示的縱向面和橫向面從梁中截取一部分，試求在縱向面m上由微內(nèi)力dA所組成的合力，并說明它與什么力平衡，用圖表示。 解：求支反力：由平衡方程 即 得 即 得 求合力T：分析小塊，在處所受切應(yīng)力為 由受力平衡則 所受合力為 它與所在橫向面所受拉應(yīng)力平衡。4-30從圖示梁中取出一脫離體，試求其橫截面上：（）最大、最小正應(yīng)力；

26、（）最大、最小切應(yīng)力；（）正應(yīng)力組成的法向內(nèi)力N*；（）切應(yīng)力組成的切向內(nèi)力S*。（）縱向面上切向應(yīng)力。 解：（1）對(duì)于橫截面來說，段上的正應(yīng)力最大,其值為：，段上的正應(yīng)力最小,其值為：，（2）段上的切應(yīng)力最大，其值為：，段上的切應(yīng)力最小,其值為：，（3）正應(yīng)力組成的法向內(nèi)力為：（4）切應(yīng)力組成的切向內(nèi)力為：（5）縱向面AAcc上切應(yīng)力組成的切向應(yīng)力 4-31一根木梁的兩部分用單行螺釘連接而成，其橫截面尺寸如圖所示。已知剪力FS=3kN，IZ=×106 m4，螺釘?shù)娜菰S剪力為700N，試求螺釘沿梁縱向的間距a。解：截面上處由剪力引起的切應(yīng)力為，由切應(yīng)力互等定律木梁兩部分連接面上有切應(yīng)

27、力，所以一個(gè)螺釘所承受剪力為：容許剪力為所以所以間距 為 4-32用螺釘將四塊木板連接而成的箱形梁如圖a所示，每塊木板的截面均為150mm×25mm，如每一螺釘?shù)娜菰S剪力為，試確定螺釘?shù)拈g距a。又如改用圖b所示的截面形狀，其他條件不變，則螺釘?shù)拈g距a應(yīng)為多少答：（a）a=0.117m； （b）a=0.176m解：（a）由平衡條件得 則 則 分析截面（a）：由對(duì)稱知形心主軸即是對(duì)稱軸 則兩極連接處 所以在兩極連接處所受的切應(yīng)力為 由題意 即 解得（b）同理對(duì)截面有由 得 所以 解得4-33用20號(hào)工字鋼制成的簡(jiǎn)支梁如圖所示。由于正應(yīng)力強(qiáng)度不足，在梁中間一段的上下翼緣上各焊一塊截面為12

28、0mm×10mm的鋼板來加強(qiáng)，如材料的=160MPa，試求所加鋼板的最小長(zhǎng)度L1。解：經(jīng)查表得20號(hào)工字鋼的參數(shù) ，h=200mm，b=100mm。受力分析知簡(jiǎn)支梁的受力圖，剪力圖，彎矩圖（如圖1）由彎矩圖知，距中心處的彎矩為由帶入數(shù)據(jù)得最小長(zhǎng)度.4-34圖示鑄鐵T形截面梁，已知IZ=×106m4，材料的 t=40MPa，=60MPa，試校核此梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。 解：1、求支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、作剪力、彎矩圖3、校核正應(yīng)力強(qiáng)度由題意 則此梁不安全。4-35有一橋式起重機(jī)，跨度l=10.5m，用36的工字鋼作梁，工字鋼的IZ=15760cm4，WZ=875cm

29、3。梁的許用應(yīng)力=140MPa，電葫蘆自重12kN，若起重量為50kN時(shí)，梁的強(qiáng)度不夠，為此在工字鋼梁中段的上、下緣各焊一塊鋼板如圖，試校核加固后梁的強(qiáng)度，并求加固鋼板的最小長(zhǎng)度L。解：由題意當(dāng)電葫蘆在梁中間時(shí)，所受最大彎矩最大為 此時(shí)加固后 則 由題意臨界情況時(shí)，電葫蘆剛好在加固板一端，此時(shí) 由平衡條件 即 得則此時(shí) 解得 則4-36在圖示工字鋼梁截面的底層，裝置一變形儀，其放大倍數(shù)K=1000，標(biāo)距S=20mm。梁受力后，由變形儀讀得S=8mm。若L=1.5m，a=1m，E=210GPa，試求載荷F值。解：由題意1-1底層處發(fā)生的形變?yōu)?則此處所受拉應(yīng)力為 由對(duì)稱可知 則1-1處所受彎矩為

30、 在1-1底層所受壓應(yīng)力為 即 即 解得4-37已知直梁的橫截面如圖所示，橫向載荷作用在對(duì)稱平面xcz（即截面對(duì)稱軸z與軸線x組成的平面）內(nèi)，該截面上的彎矩M=12kN·m，剪力FS=12kN，試計(jì)算該截面上：（1）A、B兩點(diǎn)處的正應(yīng)力；（2）max和max；（3）沿aa的正應(yīng)力和切應(yīng)力分布圖。解：（1）分析截面： 由公式得（2）在中性軸處在B處所以4-38圖示簡(jiǎn)支梁受荷載F1，F(xiàn)2，q1，q2和m的共同作用。（1）試作梁的剪力、彎矩圖。（2）若梁為矩形截面，材料的容許拉壓應(yīng)力=6MPa，容許切應(yīng)力=1MPa，試校核此梁的強(qiáng)度。解：由得：，由得：，由彎矩圖得，最大拉應(yīng)力在端，最大拉應(yīng)

31、力為：，最大剪力為，最大切應(yīng)力為：<1MPa，所以此梁滿足強(qiáng)度要求，是安全的。4-39一懸臂梁長(zhǎng)度L=2m，自由端承受垂直于桿軸的集中力F=10kN，橫截面如圖b所示，其中a=100mm，=10mm。（1）若要求梁發(fā)生平面彎曲，且固端截面上A點(diǎn)處的拉應(yīng)力為最小，載荷F應(yīng)沿什么方向（2）在上述情況下，求固端截面A點(diǎn)處的正應(yīng)力和B點(diǎn)處的切應(yīng)力。解：（1）由題意要使只發(fā)生平面彎曲，即不發(fā)生扭轉(zhuǎn)等彎曲，根據(jù)切應(yīng)力分布可知荷載F作用線必過O點(diǎn)。 如圖，設(shè)F沿方向，建立坐標(biāo)系。其中原坐標(biāo)系為由公式 所以可知由數(shù)學(xué)分析，當(dāng)時(shí)，取最小。（2）當(dāng)時(shí)，第五章 梁彎曲時(shí)的位移5-1試畫出圖示梁撓曲線的大致形狀

32、。根據(jù)梁的彎矩圖確定梁撓曲線的大致形狀，M>0，撓曲線向下凸；M<0，撓曲線向上凸。5-2圖示各梁EI=常數(shù)。試寫出各梁的位移邊界條件，并畫出梁撓曲線的大致形狀。設(shè)梁的最左端斷點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸正方向向右。則各梁邊界條件、彎矩圖及梁的撓曲線大致形狀如下：(a) (b) (c) (d) (e) (f) 5-3試畫出圖示梁撓曲線的大致形狀。5-4如要使圖示結(jié)構(gòu)B端的撓度為零，則長(zhǎng)度x應(yīng)為多少試畫出此時(shí)AB梁的撓曲線大致形狀。答：解:固定端約束反力如圖所示。則AB梁上距離A端l處的橫截面上的彎矩為 M（l）=Fl-F（L-x） 由撓曲線微分方程得：EI”=-M（l）=F（L-x）-Fl積

33、分得：EI= F（L-x）l-l+C;再積分得：EI=（L-x）l-l+Cl+ C；由邊界條件l=0 ，=0得C=0；由=0得C=0 EI=（L-x）l-l；由題意知l=L時(shí)，=0得x=LAB梁撓曲線大致形狀：M（l）=Fl-L；0<l<時(shí)，M（l）<0; <l<L時(shí)，M（l）>05-5圖示剛架在端點(diǎn)C處受集中力F作用，試求當(dāng)B點(diǎn)的鉛垂位移為零時(shí)的比值。答：解：固定端約束反力如圖所示。則AB梁上距離A端l處的橫截面上的彎矩為 M（l）=Fl-F（L-a） 由撓曲線微分方程得：EI”=-M（l）=F（L-a）-Fl積分得：EI= F（L-a）l-l+C;再積分

34、得：EI=（L-a）l-l+Cl+ C；由邊界條件l=0 ，=0得C=0；由=0得C=0 EI=（L-a）l-l；由題意知l=L時(shí)，=0得a=L =5-6試用疊加法求圖示梁自由端撓度fB和轉(zhuǎn)角B，并畫出撓曲線的大致形狀。答： 解：（1）在均布荷載單獨(dú)作用下： 查表得=l=（4a）=a；=l=（4a）=a （2）集中荷載單獨(dú)作用下： = （3a）=a； =+a= （3a） + aa=a由疊加原理得：f=+=a +a=a=+=a+a=a5-7已知長(zhǎng)度為4a的靜定梁的撓曲線方程為，試用圖表示此梁所受荷載及梁的支座，并求梁內(nèi)最大彎矩。答：解：設(shè)F（x）=; 已知EIv”=M（x）;因此對(duì)F（x）求二階

35、導(dǎo)數(shù)得： M（x）=F （x）=； 由彎矩與剪力的微分關(guān)系得： 當(dāng)時(shí)，=0，彎矩絕對(duì)值最大， ； ； 可推斷知此梁所受荷載及梁的支座情況如圖：5-8已知直梁的撓曲線方程為。試求： 1）截面處的彎矩；2）最大彎矩；3）分布荷載q（x）；4）梁的支承情況。答：，q（x）=，梁為兩端鉸支的簡(jiǎn)支梁。解：設(shè) 已知；對(duì)F（x）求二階導(dǎo)數(shù)得：；（1）；（2）；令得；（3）；（4）；梁為兩端鉸支的簡(jiǎn)支梁。5-9一等截面懸臂梁抗彎剛度為EI，梁下有一曲面，其方程為y=Ax3，欲使梁變形后與該曲面正好貼和（曲面不受力），試問梁上需加什么樣的荷載答：在B端加F=6AEI的向上集中力和Me=6AEIL的順時(shí)針集中力偶

36、。解：欲使梁變形后與曲面正好貼合，則梁撓曲線方程與曲面方程相同。；則；由剪力，彎矩方程及邊界條件可知：需在梁B端加載的向上的集中力和的順時(shí)針的集中力偶。5-10梁ABCD原來是水平的，然后如圖所示那樣在C點(diǎn)施加向下集中力F，則梁向下?lián)锨?，如希望在B處加一向上集中力以使B點(diǎn)的位置回到原來的水平線ABCD上。試問在B點(diǎn)需加多大的力答：解：集中力不在梁中點(diǎn)，可采取疊加原理求解。查表得集中力不在梁中點(diǎn)時(shí)梁撓曲線方程為；（1）單獨(dú)在C點(diǎn)施加集中力F時(shí)，滿足條件：。代入方程得：；（2）單獨(dú)在B點(diǎn)施加集中力時(shí)，滿足條件：。代入方程得：；使B點(diǎn)位置回到原水平線ABCD上，則5-11重量為Q的直桿放在水平的剛性

37、平面上，在它的一端作用一大小為F=的力，試問由于此力的作用，桿從平面上被拉起的長(zhǎng)度a等于多少并求出其端部提起的高度。答：，解：由題意設(shè)段被拉起仍為平放段，整個(gè)桿上受力情況如圖（b）由于處 即 則由于 桿段B處可以簡(jiǎn)化為固定端，從而桿段簡(jiǎn)化模型為圖（c）提升高度 5-12變截面懸臂梁如圖所示，全梁承受均布載荷q的作用，試用疊加法求A截面的撓度。E，I為已知。答：解：利用疊加原理，原圖等效為以下四圖的疊加。如同所示：查表得懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角公式：（1）（2）（3）（4）疊加得： 5-13試用等截面梁的撓度、轉(zhuǎn)角表計(jì)算圖示簡(jiǎn)支梁跨度中點(diǎn)的撓度fC。答：解：利用應(yīng)變能求解，由于梁及荷載軸對(duì)稱，可

38、以只取左半段研究。由靜力學(xué)平衡易求得支座反力為，則得5-14試求圖示梁荷載作用點(diǎn)C的撓度。答：解：利用應(yīng)變能求解，由靜力學(xué)平衡方程易求得，向上。 以B端為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸正方向向左。則 左半段；所以對(duì)整個(gè)梁求應(yīng)變能：，從而得5-15試求圖示梁跨度中點(diǎn)C的撓度。答：解：利用應(yīng)變能求解，由靜力學(xué)平衡方程易求得，由對(duì)稱關(guān)系知梁的應(yīng)變能為：，得5-16圖中所示的梁具有中間鉸B和C，EI為已知。試畫出撓曲線的大致形狀，并用疊加法求F力作用處的撓度。解：, 為鉸接，受力如圖（a）力矩平衡可得 且 各點(diǎn)撓度 5-17圖示梁在B截面處支承一彈簧，彈簧剛度（即引起單位長(zhǎng)度變形之力）為k，試求A截面的撓度。EI為

39、已知。答：解：（1）彈簧受力，對(duì)梁：得（2）將梁AC等效為AB，BC兩部分，如圖：5-18設(shè)梁上受有均勻分布的切向載荷，其集度為t，若E為已知，試求A點(diǎn)的鉛垂位移（撓度）及軸向位移。答：，解：（1）由于荷載偏離梁的軸心，根據(jù)力的平移定理原荷載等效為集度為t的切向荷載均勻分布于梁的中性軸，同時(shí)附加一個(gè)力偶。（x為梁上任一截面到A點(diǎn)的距離）由得（負(fù)號(hào)表示位移向下）（2）因?yàn)檗D(zhuǎn)角表示梁中性軸一點(diǎn)相對(duì)原來軸線的轉(zhuǎn)角，由此引起A點(diǎn)的軸向位移水平向右；軸力引起的A點(diǎn)的軸向位移水平向左；A點(diǎn)總的軸向位移水平向右5-19簡(jiǎn)支梁的荷載情況及尺寸如圖所示，已知該梁材料的彈性模量為E，求梁下邊緣的總伸長(zhǎng)量。解：彎矩

40、圖如圖所示。 則下邊緣上各點(diǎn)正應(yīng)力取一微元為研究對(duì)象，其伸長(zhǎng)量， 則5-20等截面剛架如圖所示，E、A及I均為已知。試大致描出其變形曲線，并在下列兩種情況下求D截面的垂直位移及水平位移：（1）不考慮BC桿的軸向伸長(zhǎng)；（2）考慮BC桿的軸向伸長(zhǎng)。解： 首先對(duì)，桿進(jìn)行受力分析，分析如圖(b)，(c) 其中， ，所以，可得桿變形大致曲線如圖(d)(1)(2)考慮桿軸向伸長(zhǎng)時(shí)，如圖(e)5-21試求圖示各梁的應(yīng)變能。答：（a）（b）（c）解：（a）（b）易求得支座反力為，任一截面彎矩為由對(duì)稱關(guān)系得梁的應(yīng)變能為：（c）顯然梁的應(yīng)變能為：第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題6-1圖示由三根桿組成的結(jié)構(gòu),已知各桿的彈性

41、模量E、橫截面積A及桿長(zhǎng)L均相同，試求各桿軸力，畫出變形圖和受力圖。 解：如圖所示，取中間節(jié)點(diǎn)作為研究對(duì)象，由受力平衡得： 對(duì)于1、2、3桿，根據(jù)胡克定律，可知其變形量分別為： 再由幾何連續(xù)條件得： 于是，由上述方程聯(lián)立解得： 6-2如圖所示，三根同材料等長(zhǎng)度和等截面的柔索，互成，在O點(diǎn)相連接，各索預(yù)受張力10kN，索3在垂直方向。之后，在O點(diǎn)施加荷載F,試計(jì)算在三種不同情況下，各索所承受之力：（a）F=9kN (b)F=15kN (c)F=21kN。答：（a）F=9kN時(shí)， （b）F=15kN時(shí)， （c）F=21kN時(shí)，解：首先計(jì)算當(dāng)繩索3剛好無拉力時(shí)荷載F的值。 如圖所示，取節(jié)點(diǎn)O作為研究

42、對(duì)象。 由于繩索上實(shí)現(xiàn)施加了10KN的拉力，因此由節(jié)點(diǎn)的豎向平衡可知：則F=10KN(1) 由于F=9KN<10KN(不太明白怎么做)于是繩索3中仍然有拉力。(2) 由于F=15KN>10KN 于是繩索3中沒有拉力。 因此由節(jié)點(diǎn)的豎向平衡可知：則(3) 由于F=21KN>10KN 于是繩索3中沒有拉力。 因此由節(jié)點(diǎn)的豎向平衡可知：則6-3圖示對(duì)稱結(jié)構(gòu)中，桿BC為剛性桿，其余四根桿的EA均相同，試求荷載F作用下四根桿的軸力。解： 此題為對(duì)稱結(jié)構(gòu)上作用對(duì)稱荷載，因此結(jié)構(gòu)的受力和變形均對(duì)稱。 于是可得 取剛性桿BC作為研究對(duì)象，由豎直方向的受力平衡得： 再由胡克定律得： 且由于對(duì)稱

43、荷載作用，加載時(shí)剛性桿BC的運(yùn)動(dòng)為豎直方向的平動(dòng)。 有 由以上方程可以解得： 6-4圖示結(jié)構(gòu)，各桿抗拉剛度均為EA, 試求各桿的軸力。解： 此題為對(duì)稱結(jié)構(gòu)受對(duì)稱荷載作用,因此AB、BC桿的軸力相等，設(shè)為 則 對(duì)于DB桿，由于桿件在E點(diǎn)受集中力作用，則軸力應(yīng)該分為兩部分考慮。設(shè)DE段軸力為，EB段軸力為。 于是,其中 再由受力平衡條件得： 由變形協(xié)調(diào)條件得： 于是，由上式解得： 6-5剛性桿ABC由材料相同、橫截面積相等的三根桿懸掛，其結(jié)構(gòu)及受力如圖，試分析三根桿的受力分配比。解：本題為一次超靜定問題，由受力圖（b），得 則 （1）ABC桿為剛性桿，由變形幾何圖（c）可得變形協(xié)調(diào)條件 （2）物理

44、關(guān)系為： （3）由方程（1）（3）得 上式代入（2）得 （4）（3）再代入（4）得 再結(jié)合（1）得結(jié)論：三桿受力相同6-6一桿系如圖所示，1、2、3桿鉸接在滑塊E上，滑塊E能沿豎向移動(dòng)，桿2在豎直位置。圖中F、EA均為已知。各桿的EA相同，長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，試求E點(diǎn)處的支反力。 解： 由節(jié)點(diǎn)處的變形協(xié)調(diào)條件及幾何條件得： 由胡克定律得： 即 取滑塊E作為研究對(duì)象，由水平和豎直方向上的受力平衡得： 于是解得： 方向水平向右6-7圖示結(jié)構(gòu)中，BC為剛性桿，1、2兩桿的抗拉（壓）剛度均為EA, 試求兩桿的軸力。解： 如圖所示，取整體為研究對(duì)象，對(duì)B點(diǎn)取矩得： 由變形協(xié)調(diào)條件得： 其中： 于是，可以解得：6

45、-8剛性梁由材料相同、截面積相等的三根立柱支撐，其結(jié)構(gòu)和受力如圖所示，如使剛性梁保持水平，試求：（1）荷載F作用點(diǎn)的位置x；(2) 此時(shí)各立柱中的軸力。解： 由于梁要保持水平，所以 即 又由于 則 又 對(duì)1柱低端取矩， 由豎直方向的受力平衡得： 由以上三式得： 6-9 剛性梁懸掛在三根桿上，已知A鋼=2A銅，鋼=，E鋼=210GPa,銅=，E銅=100GPa, 試求當(dāng)溫度升高C時(shí)各桿橫截面上的應(yīng)力。解： 如圖所示，為對(duì)稱結(jié)構(gòu)受對(duì)稱荷載作用，因此剛性梁一定是平行移動(dòng)。即 由題中條件,可得以下四式: 由第一式和第四式分別得: 由以上四式聯(lián)立可以解得: ，6-10 如圖所示，斜桿DC的長(zhǎng)度比要求短，已知DB和DC桿的面積A=200mm2, 材料的E=200GPa。試求：裝配后DB桿和DC桿的軸力。解： 為剛性桿，假設(shè)其移動(dòng)到 如圖（b）所示由幾何關(guān)系知： （1）由物理關(guān)系知：（2） （3）由受力圖（c）知：（4）（