自主招生物理卷四

1、自主招生測試物理專項 (四 一、填空題(每題 5分,共 20分1. 某光滑曲面由曲線 ( y f x =繞豎直 y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成, 一自然半徑為 a 、 質(zhì)量為 m 、 勁度系數(shù)為 k 的彈性圓環(huán)置 于該曲面之上,能水平靜止于任意高度,則曲線方程為 。 2. 如圖所示的電阻框架為四維空間中的超立方體在三維空間中的投影模型(可視為內(nèi)外兩個立方體框架,對應頂點 互相連接起來 ,若該結(jié)構(gòu)中每條棱均由電阻 R 的材料構(gòu)成,則 AB 節(jié)點間的等效電阻為 。 3. 某種蜜蜂的眼睛能夠看到平均波長為 500nm 的光,它是由 5000個小眼構(gòu)成的復眼,小眼一個個密集排放在眼睛 的整個表面上,小眼構(gòu)造很精巧

2、,頂部有一個透光的圓形集光裝置,叫角膜鏡;下面連著圓錐形的透明晶體,使得 外部入射的光線匯聚到圓錐頂點連接的感光細胞上 (入射進入一個小眼的光線不會透過錐壁進入其他小眼 , 從而造 成一個 “影像點” (像素 ; 所有小眼的影像點就拼成了一個完整的像。 若將復眼看作球面圓錐, 球面半徑 1.5r mm =, 則蜜蜂小眼角膜鏡的最佳直徑 d 約為(請給出兩位有效數(shù)字 。4. 開路電壓 0U 與短路電流 SC I 是半導體 p-n 結(jié)光電池的兩個重要技術(shù)指標,試給出兩者之間的關(guān)系表達式:0U = , 式 中 各 符 號 代 表 的 物 理 量 分 別為 。 二、 (15分天體或微觀系統(tǒng)的運動可借助

3、計算機動態(tài)模擬軟件直觀顯示。這涉及幾何尺寸的按比例縮放。為使顯 示的運動對縮放后的系統(tǒng)而言是實際可發(fā)生的,運動時間也應縮放。1. 在牛頓力學框架中,設(shè)質(zhì)點在力場 ( F r 中作軌道運動,且有 ( ( kF r F r =, k 為常數(shù), r 為位矢。若幾何尺 寸按比率 縮放顯示,確定運行時間的縮放率 。2. 由此證明,行星繞太陽軌道運動周期的平方與軌道幾何尺寸的立方成正比。 三、 (20分在水平面上有兩根垂直相交的內(nèi)壁光滑的連通細管,管內(nèi)放置兩個質(zhì)量均為 m 、電荷量均為 q 的同號 帶點質(zhì)點 A 和 B 。初始時,質(zhì)點 A 至兩管交點 O 的距離為 d ,質(zhì)點 B 位于交點 O 處,速度相

4、互垂直,方向如圖所示,大小均為 0u =k 為靜電力常量。求在以后的運動 中,它們之間的最小距離。 四、 (10分熱機和熱泵利用物質(zhì)熱力學循環(huán)實現(xiàn)相反功 能:前者從高溫處吸熱,將部分熱量轉(zhuǎn)化為功對外輸出, 其余向低溫處放出; 后者依靠外界輸入功, 從低溫處吸熱, 連同外界做功轉(zhuǎn)化成的熱量一起排向高溫處,按熱力學第 二定律,無論熱機還是熱泵,若工作物質(zhì)循環(huán)過程中只與 溫度為 12, T T 的兩個熱源接觸, 則吸收的熱量 12, Q Q 滿足不等式 12120Q QT T +,其中熱量可正可負,分別表示從熱源吸熱與向熱源放熱。原供暖設(shè)備原本以溫度 T 0的鍋爐釋放的熱量向房間 直接供暖, 使室內(nèi)

5、溫度保持恒溫 T 1, 高于戶外溫度 T 2。 為提 高能源利用率,擬在利用原有能源的基礎(chǔ)上采用上述機器改進供暖方案,與直接供暖相比,能耗下降的理論極限可達到多少? 五、 (15分磁場會影響電子的運動,從而使存在磁場時的電流與電壓之間的關(guān)系偏離我們熟悉的歐姆定律,本 題研究的問題即為一例。設(shè) xoy 平面內(nèi)有密度(單位體積內(nèi)的電子數(shù)為 n 的二維電子氣。平面內(nèi)沿 x 軸方向存在均勻電場 E Ei =(i 為軸正方向的單位矢量 , 垂直于平面的 z 軸方向存在勻強磁場, 磁感應強度為 B Bk = (k 為 z 軸正方向的單位矢量 。 已知平面內(nèi)的電子運動受到的散射阻力與速度 v 成正比, 可等

6、效地用一時間參量 描述為 mv-, m為電子質(zhì)量,試求在穩(wěn)態(tài)沿 x 和 y 方向的電流密度(大小為垂直于電流方向單位長度的電流 x j 和 y j ,將結(jié)果用電子電荷量絕對值 e 、 n 、 m 、 E 、 及 表示出, eB m=。 六、 (25分如圖 A 所示的兩塊平行薄板,由理想導體構(gòu)成,板間距為 d , y 方向無限延伸。兩板間沿垂直于 y 方向傳播的電磁波沿 x 正方向以行波形式傳播,其電場可表述為 :022sin(sin(zxzxE E t =-式中 為圓頻率, t 為時間, , z x 為待定參量,這種結(jié)構(gòu)的組合可以制成實用的微波發(fā)射天線,用來代替?zhèn)鹘y(tǒng) 的巨大拋物面天線,可以大幅

7、度降低天線成本。 1. 證明 z 只能取如下值:2, 1, 2,3z dm m= . 2. 當 m=1時,求 z 。3. 如將一系列板間距相等而長度不等的理想導體相對于沿 y 方向無限延伸的線狀波源(與紙面交與 O 點平行 對稱疊排,板的右端對齊,面板的長度有一定的分布(此結(jié)構(gòu)與與紙面相交的截面圖如圖 B 所示 ,則在這一結(jié) 構(gòu)的右端可輸出沿 x 方向傳播的平面電磁波。試給出滿足這一要求的板堆在 xoz 截面內(nèi)左側(cè)邊緣(如圖 b 所示 所滿足的曲線方程。 (取 m=1,已知波源到板堆左端的水平距離為 L . 七、 (35分 1. 在經(jīng)典的氫原子模型中, 電子圍繞原子核做圓周運動, 電子的向心力

8、來自于核電場的作用。 可是,xz圖 A x Oz圖 B經(jīng)典的電磁理論表明電子做加速運動會發(fā)射電磁波,其發(fā)射功率可表示為(拉莫爾公式 :22306e a P c =,其中 a 為電子的加速度, c 為真空光速,014k=8.85410-12 F m -1, 電子電荷量絕對值 e =1.60210-19C 。 若不考慮相對論效應,試 估 計 在 經(jīng) 典 模 型 中 氫 原 子 的 壽 命 。 (實 驗 測 得 氫 原 子 的 結(jié) 合 能 是 13.6H E eV =, 電 子 的 靜 止 質(zhì) 量3109.10910m kg -=2. 帶點粒子加速后發(fā)射的電磁波也有重要的應用價值。當代科學研究中應用

9、廣泛的同步輻射即是由以接近光速運動的電子在磁場中作曲線運動改變運動方向時所產(chǎn)生的電磁輻射,電子存儲環(huán)是同步輻射光源裝置的核心,存儲環(huán)中 的電子束團通過偏轉(zhuǎn)磁鐵等裝置產(chǎn)生高性能的同步輻射光。上海光源是近年來建成的第三代同步輻射光源,它的部 分工作參數(shù)如下:環(huán)內(nèi)電子能量 3.50E GeV =, 電子束團流強 300I mA =,周長 L =432m , 單元數(shù)(裝有偏轉(zhuǎn)磁鐵的 彎道數(shù)量 N =20,偏轉(zhuǎn)磁鐵磁場的磁感應強度 B=1.27T。使計算該設(shè)備平均每個光口的輻射總功率 P 0 。(在電子接近光速時,若動量不變,牛頓第二定律仍然成立,但拉莫爾公式不再適用,相應的公式變化為22436e a

10、P c =,其中 20E m c =, E 為電子總能量, 20m c 為電子的靜止能量。 3. 由于存儲環(huán)內(nèi)的電子的速度接近光速, 所以同步輻射是一個沿電子軌道的切線方向的光錐, 光錐的半頂角為 ,由此可見電子的能量越高,方向性越好。試計算:上述設(shè)備在輻射方向上某點接受到的單個電子產(chǎn)生的輻射持續(xù)時間 T 。(本題結(jié)果均請以三位有效數(shù)字表示。 自主招生測試物理專項 (四 答案一、1、 222( y C x a mg=-(C 為任意常數(shù)。 2、712 R 3、 30m 4、 0ln 1SCS I kT U e I =+ ,式中 e 為電子電量的絕對值, k 為波爾茲曼常量, T 為絕對溫度, S

11、 I 為 p-n 結(jié)的反向飽和 電流。 評分標準: 本題共 20分。第 1、 2題每題填對均得 5分,第 3題只要答案在 27-30m 之間即得 5分,否則 0分。第 4題第一空格占 4分,第 二空格占 1分。二、 1. 設(shè)位矢、時間縮放分別為 /, , r r t t =故速度、加速度滿足關(guān)系/00lim lim t t r r v v t t = (1 /2200lim lim t t v v a v t t = (2 縮放前后質(zhì)點均滿足牛頓運動方程,即 ( ma F r = (3 /( ma F r = (4 利用(2式及 ( ( kF r F r =, (4式化簡為 12( k ma

12、F r -= (5對照(3式,得 12k -= (62. 萬有引力場中,有 2k =,設(shè)想軌道尺寸按/l = (7 縮放,則周期按 1/2= (8縮放,故有/22/33ll=(9評分標準: 本題共 15分第一小題占 10分,正確得出(6式得得 10分,其中正確得出(5式得 5分。 第二小題占 5分。正確得出(9式得 5分。三、兩質(zhì)點的相對位矢為 A B r r r =- ,記其單位矢量為 r re r=。由于質(zhì)點約束在管內(nèi)運動,所受合力必定沿運動方向,即靜電力沿運動方向的分力,兩質(zhì)點運動方程22( A r kq ma e i i r=-22( B r kq ma e j j r=(1相減可得2

13、2r kq ma e r=(2其中 B A a a a =-為 B 相對于 A 的加速度。 (2式表明, B 相對于 A 的運動即力心固定之庫侖勢場中質(zhì)點的 m 運動,其電勢能為:22kq U r= (3中心力場中運動質(zhì)點的角動量、能量守恒。此處角動量與能量均應為 B 相對 A 的運動的值,可由初始條件定出:00( L mdi u j u i =-+= (4222001( 22kq kq E m u j u i d d=-+= (5所求量即近力心點到力心的距離 m r ,該點速度 m u 必與矢徑 m r r e垂直,故有:m m mr u = (62222122m m kq kq mru r

14、 d+= (7從而解得14r d +=(8評分標準: 本題共 20分 正確得出(3式得 10分; (4 、 (5 、 (6、 (7與 (8各占 2分。四、 為表述方便,以下熱量均用絕對值表示?？梢圆捎脽釞C熱泵聯(lián)合供暖方案:利用熱機從鍋爐吸收熱量,轉(zhuǎn)化為功;此功驅(qū)動熱泵,從戶外吸熱,向室外放 熱。熱機的高溫熱源鍋爐,低溫熱源可選室內(nèi)或戶外環(huán)境。以室外為例,設(shè)熱機從鍋爐吸熱 0Q , 向室外放熱 10Q ,則 有010000Q Q T T - (1 熱泵的高、低溫熱源分別為室內(nèi)、戶外環(huán)境。設(shè)熱泵從戶外吸熱 2, Q 向室外放熱 12, Q 則有(2通過熱機、熱泵聯(lián)合工作,室內(nèi)獲得的總能量為1101

15、2Q Q Q =+ (3 將(1 、 (2兩式相加,得0210210Q Q Q T T T +- (4 若熱機以戶外環(huán)境為低溫熱源,同理可得上式。 由能量守恒定律給出 102Q Q Q =+ (5 直接供暖時,給室內(nèi)供熱 1, Q 鍋爐所釋放的熱量為 /01Q Q = (6 聯(lián)立(4 (5兩式,可得熱機熱泵供暖鍋爐釋放的熱量為 01201102(T T T Q Q T T T - (7能耗下降率為/00201/0102( Q Q T T T Q T T T - (8 理論極限為上式取等號。評分標準:本題共 10分,其中(4式占 4分。 六、 1.已知兩板間的電磁波的電場強度 E 為022sin

16、(sin(zxzxE E t =- (1由于是理想導體板,當 z=0和 d 時應有 E=0。從而22, , 1, 2,3. z zddm m m= (2 2. 對于(1式描述的電磁波,可以通過 1sin sin cos( cos(2=-+ (3 表達為兩列平面電磁波的疊加,12E E E =+10122cos( 2x z x z E E t =- (4 20122cos( 2x zx z E E t =+- 式中兩列電磁波的波長 0都可表達為222201112x z c =+= (5當 m=1,2, z d =z =(63.因此 ,x 方向的波速 x v 為( x x v =(7如圖所示,設(shè)板

17、堆左端任一點 P 到波源的距離 OP=R, OP 與水平線的交角為 。要使得輸出為沿水平方向的平面 波,應滿足,cos xR L R c v -=+ (8 由此可得,(1 R L = (912212Q Q T T -+評分標準:本題共 25分第一小題 5分,第二小題 10分,第三小題 10分; 其中(2式占 5分, (5式占 6分, (6式占 4分; (8式占 6分。 七、由方程 F ma = (12v a r= (222014e F r = (3可推導出電子的總能量為2008e U r -= (4由條件 13.6H E eV =-推導出氫原子的軌道半徑和運動速度分別為:1105.2910r

18、m -= (5 602.1910/v m s = (6 由拉莫爾公式得初始發(fā)射功率22306e a P c =6333240096e c m r = (7 在微小的時間間隔 t 中,輻射使電子的總能量 U 減少U P t =- (82220011( 88e e U r r r r r -=-=- (9其中 r 為電子軌道半徑的減少量,由此可導出時間和半徑 r 的變化方程:232222004124, c m r t r A r r e = (10 其中 322043c mA e =。構(gòu)造一個半徑為 r 0 的球體,則 24r r 即為距離球心為 r 的薄球殼的體積,在 0r 到 0的求和過程中可以算 出球的體積為 3043r 。對應本題情況解出電子軌道從 0r 減少到 0所需的時間為232230044c m r t e = (11代入數(shù)據(jù),得:111.5610s -= (122:對于高能電子有 v c = (1 2E mc = (22v a r= (3F eBc = (4 F ma = (5 以上條件可以得出電子的偏轉(zhuǎn)半徑: ER ecB= (6 儲存環(huán)中的電子數(shù)量:Q I t n e e= (7 其中 t 為電子旋轉(zhuǎn)一圈所花費的時間。由(3式及輻射條件可得每個電子每圈損失的總能量為(電子在直道上不輻射能量 : 22424300263neue a R e E