全國中學(xué)生物理競賽集錦(光學(xué))和答案

1、全國中學(xué)生物理競賽集錦（光學(xué)）第21屆預(yù)賽一、（15分）填空1d一個可見光光子的能量的數(shù)量級為_J。2已知某個平面鏡反射的光能量為入射光能量的80。試判斷下列說法是否正確，并簡述理由。a 反射光子數(shù)為入射光子數(shù)的80；b每個反射光子的能量是入射光子能量的80。六、（15分）有一種高腳酒杯，如圖所示。杯內(nèi)底面為一凸起的球面，球心在頂點O下方玻璃中的C點，球面的半徑R1.50cm，O到杯口平面的距離為8.0cm。在杯腳底中心處P點緊貼一張畫片，P點距O點6.3cm。這種酒杯未斟酒時，若在杯口處向杯底方向觀看，看不出畫片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口處向杯底方向觀看，將看到畫片上的景物。已知玻璃的

2、折射率n11.56，酒的折射率n21.34。試通過分析計算與論證解釋這一現(xiàn)象。第21屆復(fù)賽四、(20分)目前，大功率半導(dǎo)體激光器的主要結(jié)構(gòu)形式是由許多發(fā)光區(qū)等距離地排列在一條直線上的長條狀，通常稱為激光二極管條但這樣的半導(dǎo)體激光器發(fā)出的是很多束發(fā)散光束，光能分布很不集中，不利于傳輸和應(yīng)用為了解決這個問題，需要根據(jù)具體應(yīng)用的要求，對光束進(jìn)行必需的變換（或稱整形）如果能把一個半導(dǎo)體激光二極管條發(fā)出的光變換成一束很細(xì)的平行光束，對半導(dǎo)體激光的傳輸和應(yīng)用將是非常有意義的為此，有人提出了先把多束發(fā)散光會聚到一點，再變換為平行光的方案，其基本原理可通過如下所述的簡化了的情況來說明zLS1S3PaaS2ah

3、h如圖，S1、S2、S3 是等距離（h）地排列在一直線上的三個點光源，各自向垂直于它們的連線的同一方向發(fā)出半頂角為a =arctan的圓錐形光束請使用三個完全相同的、焦距為f = 1.50h、半徑為r =0.75 h的圓形薄凸透鏡，經(jīng)加工、組裝成一個三者在同一平面內(nèi)的組合透鏡，使三束光都能全部投射到這個組合透鏡上，且經(jīng)透鏡折射后的光線能全部會聚于z軸（以S2為起點，垂直于三個點光源連線，與光束中心線方向相同的射線）上距離S2為 L = 12.0 h處的P點（加工時可對透鏡進(jìn)行外形的改變，但不能改變透鏡焦距）1求出組合透鏡中每個透鏡光心的位置2說明對三個透鏡應(yīng)如何加工和組裝，并求出有關(guān)數(shù)據(jù)第20

4、屆預(yù)賽一、（20分）兩個薄透鏡L1和L2共軸放置，如圖所示已知L1的焦距f1=f , L2的焦距f2=f，兩透鏡間距離也是f小物體位于物面P上，物距u1 3f（1）小物體經(jīng)這兩個透鏡所成的像在L2的_邊，到L2的距離為_，是_倍（虛或?qū)崳像（正或倒），放大率為_。（2）現(xiàn)在把兩透鏡位置調(diào)換，若還要給定的原物體在原像處成像，兩透鏡作為整體應(yīng)沿光軸向_邊移動距離_這個新的像是_像（虛或?qū)崳?、_像（正或倒）放大率為_。第20屆復(fù)賽四、(20分)如圖所示，一半徑為、折射率為的玻璃半球，放在空氣中，平表面中央半徑為的區(qū)域被涂黑一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆蓋整個表面為以球心為原點，與平而垂直的

5、坐標(biāo)軸通過計算，求出坐標(biāo)軸上玻璃半球右邊有光線通過的各點（有光線段）和無光線通過的各點（無光線段）的分界點的坐標(biāo)第19屆預(yù)賽五、（20分）圖預(yù)19-5中，三棱鏡的頂角為60°，在三棱鏡兩側(cè)對稱位置上放置焦距均為 的兩個完全相同的凸透鏡L1和 L2若在L1的前焦面上距主光軸下方處放一單色點光源，已知其像與對該光學(xué)系統(tǒng)是左右對稱的試求該三棱鏡的折射率第19屆復(fù)賽五、（20分）薄凸透鏡放在空氣中時，兩側(cè)焦點與透鏡中心的距離相等。如果此薄透鏡兩側(cè)的介質(zhì)不同，其折射率分別為和，則透鏡兩側(cè)各有一個焦點（設(shè)為和），但、和透鏡中心的距離不相等，其值分別為和?，F(xiàn)有一個薄凸透鏡，已知此凸透鏡對平行光束起

6、會聚作用，在其左右兩側(cè)介質(zhì)的折射率及焦點的位置如圖復(fù)19-5所示。1試求出此時物距，像距，焦距、四者之間的關(guān)系式。2若有一傍軸光線射向透鏡中心，已知它與透鏡主軸的夾角為，則與之相應(yīng)的出射線與主軸的夾角多大？3，四者之間有何關(guān)系？ 六、（20分）在相對于實驗室靜止的平面直角坐標(biāo)系中，有一個光子，沿軸正方向射向一個靜止于坐標(biāo)原點的電子在軸方向探測到一個散射光子已知電子的靜止質(zhì)量為，光速為,入射光子的能量與散射光子的能量之差等于電子靜止能量的110 1試求電子運(yùn)動速度的大小,電子運(yùn)動的方向與軸的夾角；電子運(yùn)動到離原點距離為（作為已知量）的點所經(jīng)歷的時間2在電子以1中的速度開始運(yùn)動時，一觀察者相對于坐

7、標(biāo)系也以速度沿中電子運(yùn)動的方向運(yùn)動(即相對于電子靜止)，試求測出的的長度第18屆預(yù)賽三、（18分）一束平行光沿薄平凸透鏡的主光軸入射，經(jīng)透鏡折射后，會聚于透鏡 處，透鏡的折射率。若將此透鏡的凸面鍍銀，物置于平面前12處，求最后所成象的位置。第18屆復(fù)賽一、（22分）有一放在空氣中的玻璃棒，折射率，中心軸線長，一端是半徑為的凸球面1要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠(yuǎn)鏡（使主光軸上無限遠(yuǎn)處物成像于主光軸上無限遠(yuǎn)處的望遠(yuǎn)系統(tǒng)），取中心軸線為主光軸，玻璃棒另一端應(yīng)磨成什么樣的球面？2對于這個玻璃棒，由無限遠(yuǎn)物點射來的平行入射光柬與玻璃棒的主光軸成小角度時，從棒射出的平行光束與主光軸成小角度，求（

8、此比值等于此玻璃棒望遠(yuǎn)系統(tǒng)的視角放大率）第17屆預(yù)賽三、（15分）有一水平放置的平行平面玻璃板，厚3.0 cm，折射率。在其下表面下2.0 cm處有一小物；在玻璃扳上方有一薄凸透鏡，其焦距，透鏡的主軸與玻璃板面垂直；位于透鏡的主軸上，如圖預(yù)17-3所示。若透鏡上方的觀察者順著主軸方向觀察到的像就在處，問透鏡與玻璃板上表面的距離為多少?第17屆復(fù)賽二、（20分）如圖復(fù)17-2所示，在真空中有一個折射率為（，為真空的折射率）、半徑為的質(zhì)地均勻的小球。頻率為的細(xì)激光束在真空中沿直線傳播，直線與小球球心的距離為（），光束于小球體表面的點點經(jīng)折射進(jìn)入小球（小球成為光傳播的介質(zhì)），并于小球表面的點點又經(jīng)折

9、射進(jìn)入真空設(shè)激光束的頻率在上述兩次折射后保持不變求在兩次折射過程中激光束中一個光子對小球作用的平均力的大小六、（25分）普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細(xì)絲，由具有圓形截面的纖芯和包層組成，的折射率小于的折射率，光纖的端面和圓柱體的軸垂直，由一端面射入的光在很長的光纖中傳播時，在纖芯和包層的分界面上發(fā)生多次全反射現(xiàn)在利用普通光纖測量流體的折射率實驗方法如下：讓光纖的一端（出射端）浸在流體中令與光纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射后會聚光纖入射端面的中心，經(jīng)端面折射進(jìn)入光纖，在光纖中傳播由點出發(fā)的光束為圓錐形，已知其邊緣光線和軸的夾角為，如圖復(fù)17-6-1所示最后光從另一端面出射進(jìn)入流體在距出射端

10、面處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏，在上出現(xiàn)一圓形光斑，測出其直徑為，然后移動光屏至距光纖出射端面處，再測出圓形光斑的直徑，如圖復(fù)17-6-2所示 1若已知和的折射率分別為與，求被測流體的折射率的表達(dá)式 2若、和均為未知量，如何通過進(jìn)一步的實驗以測出的值?第16屆預(yù)賽五、（15分）一平凸透鏡焦距為，其平面上鍍了銀，現(xiàn)在其凸面一側(cè)距它處，垂直于主軸放置一高為的物，其下端在透鏡的主軸上（如圖預(yù)16-5）。1. 用作圖法畫出物經(jīng)鍍銀透鏡所成的像，并標(biāo)明該像是虛、是實。2. 用計算法求出此像的位置和大小。第16屆復(fù)賽二、（25分）兩個焦距分別是和的薄透鏡和，相距為，被共軸地安置在光具座上。 1. 若要求

11、入射光線和與之對應(yīng)的出射光線相互平行，問該入射光線應(yīng)滿足什么條件？ 2. 根據(jù)所得結(jié)果，分別畫出各種可能條件下的光路示意圖。全國中學(xué)生物理競賽集錦（光學(xué)）答案第21屆預(yù)賽一、1. d. 10192. a正確，b不正確。理由：反射時光頻率n 不變，這表明每個光子能量hn 不變。評分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分，第1問10分，每一空2分。第二問5分，其中結(jié)論占2分，理由占3分。圖1六、把酒杯放平，分析成像問題。 1未斟酒時，杯底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n1和n01。在圖1中，P為畫片中心，由P發(fā)出經(jīng)過球心C的光線PO經(jīng)過頂點不變方向進(jìn)入空氣中；由P發(fā)出的與PO成a 角的另一光線PA在A處折射。設(shè)A處入射

12、角為i，折射角為r，半徑CA與PO的夾角為q ，由折射定律和幾何關(guān)系可得n1sinin0sinr （1）q i+a （2）在PAC中，由正弦定理，有 （3）考慮近軸光線成像，a、i、r 都是小角度，則有 （4） （5）由（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R的數(shù)值及cm可得q 1.31i （6）r 1.56i （7）由（6）、（7）式有rq （8）由上式及圖1可知，折射線將與PO延長線相交于P¢，P¢ 即為P點的實像畫面將成實像于P¢ 處。在CAP¢ 中，由正弦定理有 （9）又有 rq +b (10)考慮到是近軸光線，由（9）、（l0）式可得 (11)

13、又有 （12）由以上各式并代入數(shù)據(jù)，可得 cm （13）由此可見，未斟酒時，畫片上景物所成實像在杯口距O點7.9 cm處。已知O到杯口平面的距離為8.0cm，當(dāng)人眼在杯口處向杯底方向觀看時，該實像離人眼太近，所以看不出畫片上的景物。圖22斟酒后，杯底凸球面兩側(cè)介質(zhì)分別為玻璃和酒，折射率分別為n1和n2，如圖2所示，考慮到近軸光線有 （14）代入n1和n2的值，可得r1.16i （15）與（6）式比較，可知rq （16）由上式及圖2可知，折射線將與OP延長線相交于P¢，P¢ 即為P點的虛像。畫面將成虛像于P¢ 處。計算可得 （17）又有 （18）由以上各式并代入數(shù)據(jù)

14、得 cm （19）由此可見，斟酒后畫片上景物成虛像于P¢處，距O點13cm即距杯口21 cm。雖然該虛像還要因酒液平表面的折射而向杯口處拉近一定距離，但仍然離杯口處足夠遠(yuǎn)，所以人眼在杯口處向杯底方向觀看時，可以看到畫片上景物的虛像。評分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分求得（13）式給5分，說明“看不出”再給2分；求出（l9）式，給5分，說明“看到”再給3分。第21屆復(fù)賽 zaLS1PaS2ahhS3O1O2(S2)O3圖1MMu四、1考慮到使3個點光源的3束光分別通過3個透鏡都成實像于P點的要求，組合透鏡所在的平面應(yīng)垂直于z軸，三個光心O1、O2、O3的連線平行于3個光源的連線，O2位于z軸上，如圖

15、1所示圖中表示組合透鏡的平面，、為三個光束中心光線與該平面的交點 u就是物距根據(jù)透鏡成像公式 (1)可解得 因為要保證經(jīng)透鏡折射后的光線都能全部會聚于P點，來自各光源的光線在投射到透鏡之前不能交叉，必須有2utana h即u2h在上式中取“”號，代入f 和L的值，算得 1.757h (2)此解滿足上面的條件 分別作3個點光源與P點的連線為使3個點光源都能同時成像于P點，3個透鏡的光心O1、O2、O3應(yīng)分別位于這3條連線上（如圖1）由幾何關(guān)系知，有 (3) 即光心O1的位置應(yīng)在之下與的距離為(4)同理，O3的位置應(yīng)在之上與的距離為0.146h處由(3)式可知組合透鏡中相鄰薄透鏡中心之間距離必須等

16、于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P點2現(xiàn)在討論如何把三個透鏡L1、L2、L3加工組裝成組合透鏡因為三個透鏡的半徑r = 0.75h，將它們的光心分別放置到O1、O2、O3處時，由于0.854h<2r，透鏡必然發(fā)生相互重疊，必須對透鏡進(jìn)行加工，各切去一部分，然后再將它們粘起來，才能滿足(3)式的要求由于對稱關(guān)系，我們只需討論上半部分的情況圖2畫出了L1、L2放在平面內(nèi)時相互交疊的情況（紙面為平面）圖中C1、C2表示L1、L2的邊緣，、為光束中心光線與透鏡的交點，W1、W2分別為C1、C2與O1O2的交點0.146h0.854h0.439h0.439hhS1O2 (S2)O1

17、W1W2QQNNTTC1C2圓1圓2圖2x2x1K為圓心的圓1和以（與O2重合）為圓心的圓2分別是光源S1和S2投射到L1和L2時產(chǎn)生的光斑的邊緣，其半徑均為 (5)根據(jù)題意，圓1和圓2內(nèi)的光線必須能全部進(jìn)入透鏡首先，圓1的K點（見圖2）是否落在L1上？由幾何關(guān)系可知 (6)故從S1發(fā)出的光束能全部進(jìn)入L1為了保證全部光束能進(jìn)入透鏡組合，對L1和L2進(jìn)行加工時必須保留圓1和圓2內(nèi)的透鏡部分下面舉出一種對透鏡進(jìn)行加工、組裝的方法在O1和O2之間作垂直于O1O2且分別與圓1和圓2相切的切線和若沿位于和之間且與它們平行的任意直線對透鏡L1和L2進(jìn)行切割，去掉兩透鏡的弓形部分，然后把它們沿此線粘合就得

18、到符合所需組合透鏡的上半部同理，對L2的下半部和L3進(jìn)行切割，然后將L2的下半部和L3粘合起來，就得到符合需要的整個組合透鏡這個組合透鏡可以將S1、S2、S3發(fā)出的全部光線都會聚到P點現(xiàn)在計算和的位置以及對各個透鏡切去部分的大小應(yīng)符合的條件設(shè)透鏡L1被切去部分沿O1O2方向的長度為x1，透鏡L2被切去部分沿O1O2方向的長度為x2，如圖2所示，則對任意一條切割線， x1、x2之和為 （7）由于必須在和之間，從圖2可看出，沿切割時，x1達(dá)最大值(x1M)，x2達(dá)最小值(x2m)， 代入r，r 和的值，得(8)代入(7)式，得(9)由圖2可看出，沿切割時，x2達(dá)最大值(x2M)，x1達(dá)最小值(x1

19、m)， 代入r和r 的值，得(10)（11）由對稱性，對L3的加工與對L1相同，對L2下半部的加工與對上半部的加工相同評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分第1問10分，其中（2）式5分，（3）式5分，第2問10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分如果學(xué)生解答中沒有(7)(11)式，但說了“將圖2中三個圓錐光束照射到透鏡部分全部保留，透鏡其它部分可根據(jù)需要磨去（或切割掉）”給3分，再說明將加工后的透鏡組裝成透鏡組合時必須保證O1O2=O1O2=0.854h，再給1分，即給(7)(11)式的全分（4分）第20屆預(yù)賽一、參考解答（1） 右 f 實

20、倒 1 。（2） 左 2f 實 倒 1 。評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分，每空2分。第20屆復(fù)賽四、參考解答圖復(fù)解20-4-1中畫出的是進(jìn)入玻璃半球的任一光線的光路（圖中陰影處是無光線進(jìn)入的區(qū)域），光線在球面上的入射角和折射角分別為和，折射光線與坐標(biāo)軸的交點在。令軸上的距離為，的距離為，根據(jù)折射定律，有 （1）在中 （2） （3）由式（1）和式（2）得 再由式（3）得 設(shè)點到的距離為，有 得 （4）解式（4）可得 （5）為排除上式中應(yīng)舍棄的解，令，則處應(yīng)為玻璃半球在光軸上的傍軸焦點，由上式由圖可知，應(yīng)有，故式（5）中應(yīng)排除±號中的負(fù)號，所以應(yīng)表示為 （6）上式給出隨變化的關(guān)系。因為半球平表面中

21、心有涂黑的面積，所以進(jìn)入玻璃半球的光線都有，其中折射光線與軸交點最遠(yuǎn)處的坐標(biāo)為 （7）在軸上處，無光線通過。隨增大，球面上入射角增大，當(dāng)大于臨界角時，即會發(fā)生全反射，沒有折射光線。與臨界角相應(yīng)的光線有 這光線的折射線與軸線的交點處于 （8）在軸上處沒有折射光線通過。由以上分析可知，在軸上玻璃半球以右 （9）的一段為有光線段，其它各點屬于無光線段。與就是所要求的分界點，如圖復(fù)解20-4-2所示 評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。求得式（7）并指出在軸上處無光線通過，給10分；求得式（8）并指出在軸上處無光線通過，給6分；得到式（9）并指出上有光線段的位置，給4分。第19屆預(yù)賽五、參考解答由于光學(xué)系統(tǒng)是左右對

22、稱的，物、像又是左右對稱的，光路一定是左右對稱的。該光線在棱鏡中的部分與光軸平行。由射向光心的光線的光路圖如圖預(yù)解19-5所示。由對稱性可知 由幾何關(guān)系得 由圖可見 又從的邊角關(guān)系得 代入數(shù)值得 由、與式得，根據(jù)折射定律，求得 評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分1. 圖預(yù)解19-5的光路圖4分。未說明這是兩個左右對稱性的結(jié)果只給2分。2. 、式各給2分，式給3分，式給1分，式給4分。第19屆復(fù)賽五、參考解答QQ¢P¢PF1F2uvn1n2yy¢f1f2圖復(fù)解 19-5-1利用焦點的性質(zhì)，用作圖法可求得小物的像，如下圖所示。（1）用和分別表示物和像的大小，則由圖中的幾何關(guān)系可得

23、（1） 簡化后即得物像距公式，即，之間的關(guān)系式 （2）（2）薄透鏡中心附近可視為籌薄平行板，入射光線經(jīng)過兩次折射后射出，放大后的光路如圖復(fù)解19-5-2所示。圖中為入射角，為與之相應(yīng)的出射角，為平行板中的光線與法線的夾角。設(shè)透鏡的折射率為，則由折射定律得 （3）對傍軸光線，、1，得，因而得n1n2q1q2ggn圖復(fù)解 19-5-2 （4）（3）由物點射向中心的入射線，經(jīng)折射后，出射線應(yīng)射向，如圖復(fù)解19-5-3所示，QQ¢PP¢F1F2Lq2uvuyq1y¢n1n2圖復(fù)解 19-5-3 在傍軸的條件下，有 （5）二式相除并利用（4）式，得 （6）用（1）式的代入（

24、6）式，得 即 （7）用（1）式的代入（6）式，得 即 （8）從而得，之間關(guān)系式 （9）六、參考解答（1）由能量與速度關(guān)系及題給條件可知運(yùn)動電子的能量為 （1）由此可解得 （2）圖復(fù)解 19-6光子散射方向光子入射方向光子入射方向電子qA入射光子和散射光子的動量分別為和，方向如圖復(fù)解19-6所示。電子的動量為，為運(yùn)動電子的相對論質(zhì)量。由動量守恒定律可得 （3） （4）已知 （5）由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得 （6） （7） （8）電子從點運(yùn)動到所需時間為 （9）（2）當(dāng)觀察者相對于沿方向以速度運(yùn)動時，由狹義相對論的長度收縮效應(yīng)得 （10） （11）第18屆預(yù)賽三、參考解答1先求凸球

25、面的曲率半徑。平行于主光軸的光線與平面垂直，不發(fā)生折射，它在球面上發(fā)生折射，交主光軸于點，如圖預(yù)解18-3-1所示。點為球面的球心，由正弦定理，可得 （1）由折射定律知 （2）當(dāng)、很小時，由以上兩式得 （3）所以 （4）2. 凸面鍍銀后將成為半徑為的凹面鏡，如圖預(yù)解18-3-2所示令表示物所在位置，點經(jīng)平面折射成像，根據(jù)折射定律可推出 （5）由于這是一個薄透鏡，與凹面鏡的距離可認(rèn)為等于，設(shè)反射后成像于，則由球面鏡成像公式可得 （6）由此可解得，可知位于平面的左方，對平面折射來說，是一個虛物，經(jīng)平面折射后，成實像于點。 （7）所以 （8）最后所成實像在透鏡左方24 cm處。評分標(biāo)準(zhǔn)：本題18分（

26、1）、（2）式各2分；（3）或（4）式2分；（5）式2分；（6）式3分；（7）式4分；（8）式3分。第18屆復(fù)賽一、參考解答1. 對于一個望遠(yuǎn)系統(tǒng)來說，從主光軸上無限遠(yuǎn)處的物點發(fā)出的入射光為平行于主光軸的光線，它經(jīng)過系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點也在主光軸上無限遠(yuǎn)處，如圖復(fù)解18-1-1所示，圖中為左端球面的球心由正弦定理、折射定律和小角度近似得 （1）即 （2）光線射到另一端面時，其折射光線為平行于主光軸的光線，由此可知該端面的球心一定在端面頂點的左方，等于球面的半徑，如圖復(fù)解18-1-1仿照上面對左端球面上折射的關(guān)系可得 （3）又有 （4）由（2）、（3）、（4）式并代入數(shù)值可得

27、 （5）即右端為半徑等于5的向外凸的球面2. 設(shè)從無限遠(yuǎn)處物點射入的平行光線用、表示，令過，過，如圖復(fù)解18-1-2所示，則這兩條光線經(jīng)左端球面折射后的相交點，即為左端球面對此無限遠(yuǎn)物點成的像點現(xiàn)在求點的位置。在中 （6）又 （7）已知，均為小角度，則有 （8）與（2）式比較可知，即位于過垂直于主光軸的平面上上面已知，玻璃棒為天文望遠(yuǎn)系統(tǒng)，則凡是過點的傍軸光線從棒的右端面射出時都將是相互平行的光線容易看出，從射出的光線將沿原方向射出，這也就是過點的任意光線（包括光線、）從玻璃棒射出的平行光線的方向。此方向與主光軸的夾角即為，由圖復(fù)18-1-2可得 （9）由（2）、（3）式可得則 （10）第17

28、屆預(yù)賽三、參考解答物體通過平行玻璃板及透鏡成三次像才能被觀察到。設(shè)透鏡的主軸與玻璃板下表面和上表面的交點分別為和，作為物，通過玻璃板的下表面折射成像于點處，由圖預(yù)解17-3，根據(jù)折射定律，有 式中是空氣的折射率，對傍軸光線，、很小，則 式中為物距，為像距，有 （1）將作為物，再通過玻璃板的上表面折射成像于點處，這時物距為同樣根據(jù)折射定律可得像距 （2）將作為物，通過透鏡成像，設(shè)透鏡與上表面的距離為，則物距根據(jù)題意知最后所成像的像距，代入透鏡成像公式，有 （3）由（1）、（2）、（3）式代入數(shù)據(jù)可求得 （4）即應(yīng)置于距玻璃板上表面1.0 cm 處。第17屆復(fù)賽二、參考解答在由直線與小球球心所確定

29、的平面中，激光光束兩次折射的光路如圖復(fù)解17-2所示，圖中入射光線與出射光線的延長線交于，按照光的折射定律有 （1）式中與分別是相應(yīng)的入射角和折射角，由幾何關(guān)系還可知 （2）激光光束經(jīng)兩次折射，頻率保持不變，故在兩次折射前后，光束中一個光子的動量的大小和相等，即 （3）式中為真空中的光速，為普朗克常量因射入小球的光束中光子的動量沿方向，射出小球的光束中光子的動量沿方向，光子動量的方向由于光束的折射而偏轉(zhuǎn)了一個角度，由圖中幾何關(guān)系可知 （4）若取線段的長度正比于光子動量，的長度正比于光子動量，則線段的長度正比于光子動量的改變量，由幾何關(guān)系得 （5）為等腰三角形，其底邊上的高與平行，故光子動量的改

30、變量的方向沿垂直的方向，且由指向球心光子與小球作用的時間可認(rèn)為是光束在小球內(nèi)的傳播時間，即 （6）式中是光在小球內(nèi)的傳播速率。按照牛頓第二定律，光子所受小球的平均作用力的大小為 （7）按照牛頓第三定律，光子對小球的平均作用力大小，即 （8）力的方向由點指向點由（1）、（2）、（4）及（8）式，經(jīng)過三角函數(shù)關(guān)系運(yùn)算，最后可得 （9）評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分（1）式1分，（5）式8分，（6）式4分，（8）式3分，得到（9）式再給4分。六、參考解答1由于光纖內(nèi)所有光線都從軸上的點出發(fā)，在光纖中傳播的光線都與軸相交，位于通過軸的縱剖面內(nèi)，圖復(fù)解17-6-1為縱剖面內(nèi)的光路圖，設(shè)由點發(fā)出的與軸的夾角為的光線

31、，射至、分界面的入射角為，反射角也為該光線在光纖中多次反射時的入射角均為，射至出射端面時的入射角為若該光線折射后的折射角為，則由幾何關(guān)系和折射定律可得 （1） （2）當(dāng)大于全反射臨界角時將發(fā)生全反射，沒有光能損失，相應(yīng)的光線將以不變的光強(qiáng)射向出射端面，而的光線則因在發(fā)生反射時有部分光線通過折射進(jìn)入，反射光強(qiáng)隨著反射次數(shù)的增大而越來越弱，以致在未到達(dá)出射端面之前就已經(jīng)衰減為零了因而能射向出射端面的光線的的數(shù)值一定大于或等于，的值由下式?jīng)Q定 （3）與對應(yīng)的值為 （4）當(dāng)時，即時，或時，由發(fā)出的光束中，只有的光線才滿足的條件，才能射向端面，此時出射端面處的最大值為 （5）若，即時，則由發(fā)出的光線都能

32、滿足的條件，因而都能射向端面，此時出射端面處的最大值為 （6）端面處入射角最大時，折射角也達(dá)最大值，設(shè)為，由（2）式可知 （7）由（6）、（7）式可得，當(dāng)時 （8）由（3）至（7）式可得，當(dāng)時 （9）的數(shù)值可由圖復(fù)解17-6-2上的幾何關(guān)系求得 （10）于是的表達(dá)式應(yīng)為 （） （11） （） （12）2. 可將輸出端介質(zhì)改為空氣，光源保持不變，按同樣手續(xù)再做一次測量，可測得、，這里打撇的量與前面未打撇的量意義相同已知空氣的折射率等于1，故有當(dāng)時 （13）當(dāng)時 （14）將（11）、（12）兩式分別與（13）、（14）相除，均得 （15）這結(jié)果適用于為任何值的情況。評分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分1. 18分。（8）式、（9）式各6分，求得（11）式、（12）式再各給3分2. 7分。（13）式、（14）式各2分，求得（15）式再給3分。如果利用已知其折射率的液體代替空氣，結(jié)果正確，照樣給分。第16屆預(yù)賽五、參考解答1. 用作圖法求得物，的像及所用各條光線的光路如圖預(yù)解16-5所示。說明：平凸薄透鏡平面上鍍銀后構(gòu)成一個由會聚透鏡和與它密接的平面鏡的組合，如圖預(yù)解16-5所示圖中為的光心，為主軸，和為的兩個焦點，為物，作圖時利用了下列三條特征