高數(shù)1-1函數(shù),.

1、1（上冊）2 初等數(shù)學是常量數(shù)學，主要研究常量。初等數(shù)學是常量數(shù)學，主要研究常量。 高等數(shù)學是變量數(shù)學，主要研究變量。高等數(shù)學是變量數(shù)學，主要研究變量。 函數(shù)是變量之間的依賴關系函數(shù)是變量之間的依賴關系函數(shù)是高等數(shù)學的研究對象。極限的方法是研究函函數(shù)是高等數(shù)學的研究對象。極限的方法是研究函數(shù)的基本方法，貫穿于高等數(shù)學的始終，它是初等數(shù)的基本方法，貫穿于高等數(shù)學的始終，它是初等數(shù)學與高等數(shù)學的分水嶺。因此理解函數(shù)的概念，數(shù)學與高等數(shù)學的分水嶺。因此理解函數(shù)的概念，掌握極限的理論是學好高等數(shù)學的基礎。掌握極限的理論是學好高等數(shù)學的基礎。3本章先學習函數(shù)及其相關概念，介紹函數(shù)的基本性質本章先學習函數(shù)

2、及其相關概念，介紹函數(shù)的基本性質和常見的初等函數(shù)；接著討論數(shù)列、函數(shù)的極限，包括極限和常見的初等函數(shù)；接著討論數(shù)列、函數(shù)的極限，包括極限的定義和求幾種不同形式極限的常用方法；然后介紹無窮小的定義和求幾種不同形式極限的常用方法；然后介紹無窮小量和無窮大量，包括無窮小的比較；最后說明函數(shù)的連續(xù)性，量和無窮大量，包括無窮小的比較；最后說明函數(shù)的連續(xù)性，并介紹利用連續(xù)函數(shù)的性質求解一些常見問題的方法。并介紹利用連續(xù)函數(shù)的性質求解一些常見問題的方法。41 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 x設在某個變化過程中有兩個變量設在某個變化過程中有兩個變量和和，y變量變量xD中中在一個給定的數(shù)集在一個給定的數(shù)集D中取值。中取

3、值。 如果對于如果對于每個確定每個確定 1-p記作記作 xfy 數(shù)集數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域叫做這個函數(shù)的定義域x叫自變量叫自變量y叫因變量叫因變量構成函數(shù)的基本要素：對應法則構成函數(shù)的基本要素：對應法則 定義域定義域單值函數(shù)：滿足上述定義的函數(shù)單值函數(shù)：滿足上述定義的函數(shù)多值函數(shù)：對于多值函數(shù)：對于D中某些中某些x的值，有多于一個的值，有多于一個y值與之對應值與之對應一。函數(shù)的概念一。函數(shù)的概念y是是x的函數(shù)。的函數(shù)。確定的數(shù)值與之對應，則稱確定的數(shù)值與之對應，則稱x的取值的取值，x變量變量y按照一按照一 定的法則總有唯一定的法則總有唯一的變量的變量本書只討論單值函數(shù)本書只討論單值函數(shù)5最

4、最近近的的整整數(shù)數(shù)的的距距離離，到到離離是是設設xxx)( 。的的表表達達式式并并畫畫出出其其圖圖形形求求)(x 解解遠遠。離離的的距距離離近近離離則則表表示示整整數(shù)數(shù)，若若設設1,21 nnxnxnn 121121)(nxnxnnxnnxx 2121252312xy的圖形：的圖形：)(x 6 分段函數(shù)是由幾個不同解析式表示的分段函數(shù)是由幾個不同解析式表示的一個一個函數(shù)函數(shù)。不能。不能把它看作多個函數(shù)。只不過在定義域的不同集合上，有不同的把它看作多個函數(shù)。只不過在定義域的不同集合上，有不同的解析式而已。解析式而已。分段函數(shù)的圖像也可以是一條不斷開的曲線。分段函數(shù)的圖像也可以是一條不斷開的曲線。

5、 x y O 例例2 2 絕對值函數(shù)絕對值函數(shù)00 xxxxxy 2 2 分段函數(shù)：分段函數(shù)： 函數(shù)的對應法則由兩個或兩個以上的解函數(shù)的對應法則由兩個或兩個以上的解 析表達式表示。析表達式表示。分段函數(shù)的定義域分段函數(shù)的定義域: :是所有部分定義域的并集。是所有部分定義域的并集。要注意各段的分界點。要注意各段的分界點。求分界點處的函數(shù)值要注意分界點在哪個求分界點處的函數(shù)值要注意分界點在哪個區(qū)間。不同定義區(qū)間的自變量，按對應區(qū)區(qū)間。不同定義區(qū)間的自變量，按對應區(qū)間的函數(shù)表達式求函數(shù)值。間的函數(shù)表達式求函數(shù)值。例例 1 即為即為分段分段函數(shù)函數(shù)7。-1。10 xy0 , 10, 0,0, 1,sg

6、nxxxxy當當當例例3 3 符號函數(shù)符號函數(shù) ; 21.34- ; 12 . 075 )( 的最大整數(shù)部分不超過x xy 例例4 4 取整函數(shù)取整函數(shù) .。.-1。3y.。x12123-1-2-30.-2-3.。階梯曲線階梯曲線 8狄利克雷函數(shù)：狄利克雷函數(shù)： 是是無無理理數(shù)數(shù)當當是是有有理理數(shù)數(shù)當當xxxDy,0, 1)(。，的的定定義義域域。求求設設)3()2()1()1()(22000102)(ffffxfxxxxxxf 例例6解解.1)3(,2)2(,2)1(1)1(),( ffff，定定義義域域為為例例5圖像分段的函數(shù)不一定是分段函數(shù)，圖像分段的函數(shù)不一定是分段函數(shù)，分段函數(shù)的圖像

7、也可以是一條不斷開的曲線。分段函數(shù)的圖像也可以是一條不斷開的曲線。xytan=例如例如如例如例19二二 反函數(shù)與復合函數(shù)反函數(shù)與復合函數(shù) 在同一個坐標系中，在同一個坐標系中， x= f -1 (y) 和和 y=f (x) 的圖像是同一的圖像是同一條曲線，只不過自變量條曲線，只不過自變量 所在的坐標軸不同。所在的坐標軸不同。習慣上，總是以習慣上，總是以 x 作為自變量，函數(shù)記做：作為自變量，函數(shù)記做：y= f -1 (x), 在同一個坐標系中，在同一個坐標系中，y= f -1 (x)和和 y=f(x) 的圖像是不同的兩條的圖像是不同的兩條 曲線，它們關于直線曲線，它們關于直線 y =x 對稱。對

8、稱。相對于相對于 x= f -1 (y)， y=f (x) 稱為稱為直接函數(shù)直接函數(shù)WWDxfy如如果果對對于于值值域域為為其其定定義義域域為為給給定定函函數(shù)數(shù),),( (1) 反函數(shù)反函數(shù) P-4則則稱稱在在使使中中有有唯唯一一的的必必定定在在中中任任一一值值,)(,0000yxfxDyy WyyfxxfyW )()(1的反函數(shù)。記作：的反函數(shù)。記作：上確定了上確定了上上是是一一一一對對應應的的。在在此此時時也也稱稱DWyDxxfy),)( 一般的，直接函數(shù)與反函數(shù)的對應法則、定義域、值域不相同。一般的，直接函數(shù)與反函數(shù)的對應法則、定義域、值域不相同。102xyxyOyyy因而沒有反函數(shù)。因

9、而沒有反函數(shù)。 2xy xy 2xy 其反函數(shù)都存在，可寫成其反函數(shù)都存在，可寫成 上上是是一一一一對對應應的的，在在 xey.) ,( 上上不不是是一一一一對對應應的的在在 但是，當把但是，當把看成分別定義在看成分別定義在 0， 或或 ，0上的兩個函數(shù)時，它們分別是一一對應。上的兩個函數(shù)時，它們分別是一一對應。 , 0D , 0Wxy , 0D 0, W圖在下頁圖在下頁反函數(shù)存在的條件反函數(shù)存在的條件 Dxfy在在 上存在反函數(shù)上存在反函數(shù) Dxf在上是一一對應上是一一對應單調函數(shù)是一一對應的，一定存在反函數(shù)。單調函數(shù)是一一對應的，一定存在反函數(shù)。直接函數(shù)的定義域直接函數(shù)的定義域= =反函數(shù)

10、的值域反函數(shù)的值域直接函數(shù)的值域直接函數(shù)的值域= =反函數(shù)的定義域反函數(shù)的定義域11oxy2xy xy xy 11xy 12 反三角函數(shù)反三角函數(shù) xyarcsinxy11O2 2 xyarccos yx112 O 反三角函數(shù)：反三角函數(shù)：反正弦函數(shù)反正弦函數(shù) 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù) 反正切函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)反余切函數(shù)xArcyxArcyxArcyxArcycottancossinxyarcsin-= 13它們都是多值函數(shù)，選取其單值支，相應得到單值函數(shù)：它們都是多值函數(shù)，選取其單值支，相應得到單值函數(shù)：xyarctan2 2 Oyxxarcycot2 Oyxxarcyxyxyxycot,

11、arctan,arccos,arcsin14(2) (2) 復合函數(shù)復合函數(shù)復合函數(shù)例如復合函數(shù)例如1 xey可看成是將可看成是將1 xu代入到代入到uey 中的運算稱為函數(shù)的復合運算，所得函數(shù)稱為復合函數(shù)中的運算稱為函數(shù)的復合運算，所得函數(shù)稱為復合函數(shù)定義定義(p-5)(p-5)值域為值域為,2W且且.12DW 則對于任一則對于任一,2Dx 通過通過 xgu 有唯一確定的有唯一確定的2Wu ,12DW 與之對應。由于與之對應。由于因此對于因此對于這個這個u值，再通過值，再通過 ufy 有唯一確定的有唯一確定的y值與之對應值與之對應之中而得到的。之中而得到的。在一定條件下，在一定條件下，將一個

12、函數(shù)將一個函數(shù)代入代入到另一個函數(shù)到另一個函數(shù)一個以一個以x為自變量為自變量y為因變量的函數(shù)。稱這為因變量的函數(shù)。稱這從而得到從而得到 ufy 的定義域為的定義域為，1D xgu 的定義域為的定義域為，2D若若這樣，對于任一這樣，對于任一,2Dx 通過通過u有確定的有確定的y值與之對應值與之對應個函數(shù)為由個函數(shù)為由 ufy 和和 xgu 復合而成得復合函數(shù)。復合而成得復合函數(shù)。 xgfy 記為：記為：稱為中間變量稱為中間變量u15注注2 2. .不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的。不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的。 12DW復合條件復合條件,arcsinuy 例如例如;22x

13、u )2arcsin(2xy 1 1. .復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成。復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成。,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv xg也被稱為也被稱為內層函數(shù)內層函數(shù)。 uf外層函數(shù)。外層函數(shù)。16內層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內內層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內復合條件在實際應用時常取形式復合條件在實際應用時常取形式12DW 若若12DW 但但 12DW也可復合也可復合例如例如21uy 1 xu , 01D ,2W12DW ,2D ,012DW若縮小若縮小 , 12D從而縮小從而縮小 , 02W使使12DW 則兩個函數(shù)仍然可以復合

14、成則兩個函數(shù)仍然可以復合成）（1 -1 xxy173 3。復合函數(shù)是說明函數(shù)對應法則的某種表達方式的復合函數(shù)是說明函數(shù)對應法則的某種表達方式的一個概念。利用復合這個概念，可以把一個復雜函數(shù)一個概念。利用復合這個概念，可以把一個復雜函數(shù)分解成幾個簡單函數(shù)的運算，也可把幾個簡單函數(shù)復分解成幾個簡單函數(shù)的運算，也可把幾個簡單函數(shù)復合成一個較復雜的函數(shù)。合成一個較復雜的函數(shù)。18例例1 設設, 1, 0, 1)(xf, 1; 1; 1xxx.)(xexg求求. )(xfg、)(xgf, 1, 0, 1)(xgf, 1)(; 1)(; 1)(xgxgxg, 1, 0, 1, 1; 1; 1xxxeee,

15、 1, 0, 1, 0; 0; 0 xxx)()(xfexfg; 1xe ，; 11x ，; 11xe ，19三三 初等函數(shù)初等函數(shù) 1 1。六種六種基本初等函數(shù)：基本初等函數(shù)： 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和常數(shù)函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。常數(shù)函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 2 2。初等函數(shù)。初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成的并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。步驟所構成的并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。3 3。復合函數(shù)的分解。復

16、合函數(shù)的分解分析一個復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)經(jīng)過怎樣的過程復分析一個復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)經(jīng)過怎樣的過程復合而成的。合而成的。分解分解 12sin xfy是由是由uysin vfu 12 xv復合而成復合而成重要記住重要記住P-620一般情況下，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，一般情況下，分段函數(shù)不是初等函數(shù)， 特別的特別的: :.0,;0,xxxxxy是初等函數(shù)。因為：是初等函數(shù)。因為： 2xxy是是 2,xuuy復合而成的。復合而成的。 214 4。鄰域鄰域 aa+ a- U（a, ）=（a- , a+ ） 為為點點a 的的鄰域鄰域,記為記為U(a,). ., axxaUaa+ a- ax

17、x 0為為點點a 的去心的去心鄰域鄰域, , 記為記為 ., aU .0,U axxa即即 。叫叫做做鄰鄰域域的的半半徑徑。叫叫做做鄰鄰域域的的中中心心； a，稱稱集集合合及及任任意意正正數(shù)數(shù)對對給給定定的的數(shù)數(shù) a稱集合稱集合的的一一切切點點的的全全體體。的的距距離離小小于于表表示示數(shù)數(shù)軸軸上上與與點點間間的的距距離離與與點點表表示示點點 aaUaxax), (,-225。 極坐標極坐標（1） 平面極坐標系平面極坐標系，再再規(guī)規(guī)定定一一個個引引一一條條射射線線從從在在平平面面上上任任取取一一定定點點OxOO,，這這樣樣就就確確定定通通常常取取逆逆時時針針方方向向正正方方向向長長度度單單位位和

18、和計計算算角角度度的的)(叫叫做做極極軸軸。叫叫做做極極點點。射射線線定定點點了了一一個個平平面面極極坐坐標標系系。OxOOOxPr 平面上任一點的極坐標平面上任一點的極坐標的的長長度度的的位位置置可可以以用用線線段段任任一一點點在在極極坐坐標標系系下下，平平面面上上OPP來來確確定定。的的角角度度到到及及從從 OPOxr),r(PP),r( 的的極極坐坐標標，記記為為稱稱為為點點有有序序實實數(shù)數(shù)對對極角極角極徑極徑 - r，極極角角可可取取任任意意值值。極極徑徑為為的的極極坐坐標標為為極極點點0), 0( OO),( r23Ox),2,( nr)(Zn),( r對于給定的極坐標對于給定的極坐

19、標 ，平面上有唯一的點與之對應；，平面上有唯一的點與之對應； 都可以作為它的極坐標。都可以作為它的極坐標。 和和),( r),( r之間，一般沒有一一對應的關系。之間，一般沒有一一對應的關系。 因此，平面上的點與有序實數(shù)對因此，平面上的點與有序實數(shù)對., 0.20 , 0 rorr但若規(guī)定但若規(guī)定O除極點除極點外，平面上的點與極坐標外，平面上的點與極坐標 之間就一一對應了。之間就一一對應了。 ),( rP r對于平面上的點對于平面上的點 ，P24例例1已知已知),6, 6( P寫出它關于極軸、極點、過極點寫出它關于極軸、極點、過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標，使且垂直于極軸的直線的對稱

20、點的極坐標，使 .20 ,02.,01 rr解解 )65,6()65,6()6,6(1321 ppp Ox)6, 6( p1p2p3p )65,6()67,6()611,6(2321 ppp25（2）極坐標方程）極坐標方程)( rrr 之之間間的的關關系系可可以以用用式式與與曲曲線線上上點點的的極極坐坐標標為為曲曲線線的的極極坐坐標標方方程程。表表示示，稱稱)( rr ar 極坐標方程為：極坐標方程為：),( aP)0 ,(aaxOx)0 ,(a),( rPr cos2ar 極坐標方程為：極坐標方程為：o26等速螺線（阿基米德螺線）等速螺線（阿基米德螺線）4 極坐標方程為：極坐標方程為：4 )

21、4,( rPOx),( rPO)0 ,(0rMxMOlO轉轉動動，同同時時點點作作等等角角速速度度繞繞點點出出發(fā)發(fā)的的射射線線從從 arrMvl 0)(。其其方方程程為為動動的的軌軌跡跡稱稱為為等等速速螺螺線線運運兩兩種種運運動動的的合合成成。點點為為作作勻勻速速直直線線運運動動，速速度度上上在在 vavrrvtrrtPtM 00)2()1()2()1(,有有：代代入入將將后后運運動動到到點點經(jīng)經(jīng)過過時時間間設設點點l27（3） 極坐標與直角坐標的關系極坐標與直角坐標的關系OxyO),(),( ryxPxyr sincosryrx xyyxr tan222所所在在的的象象限限確確定定。根根據(jù)據(jù)

22、點點 M 5169)4,3( r的的極極坐坐標標為為直直角角坐坐標標)34arctan, 5(34arctan34tan 28kkxy tan直直線線： cossinkbrbkxy RrRyx 222圓：圓： cos22)(22222RrRxyxRyRx RyyxRRyx2)(22222 )cos1( ar心形線：心形線： sin2Rr ), 0( xOy)0 ,2( a 2, a圖見書圖見書 P-177xyo 29 2cos22ar 雙紐線雙紐線xy圖見書圖見書173頁頁40 4345 247 30四四 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性 （有界性、單調性、奇偶性、周期性）（有界性、單調性、奇偶性

23、、周期性） M-Myxoy=f(x)X)(xfy ,DX , 00XxM使得使得 ,)(0Mxf稱稱 在在 上無上無界。界。 )(xfX, 0XxM 若若恒有恒有 ,)(Mxf 上上有有界界。在在則則稱稱Xxf)(P-3的定義域為的定義域為D，數(shù)集數(shù)集 設函數(shù)設函數(shù)與之間xMy My有界函數(shù)的圖形總是位于與有界函數(shù)的圖形總是位于與軸平行的直線軸平行的直線成立。時，恒有當M)(-, 0 xfMXxM31xyarctan 2 Mxyarctan ,xy11,0 ,2arctan xy上是有界的。上是有界的。例例1 說明函數(shù)說明函數(shù)在在上有界。上有界。在在上無界。上無界。解：解：取取，當，當 ,x時

24、，時，由定義知由定義知在在 MMxxy 1111由定義知由定義知上無界上無界。 ,101在在xxy11101101MMM取取，達不到它的界達不到它的界1xM1xarctan為有界函數(shù)為有界函數(shù)xy132有上（下）界函數(shù)的圖形總是位于平行于 軸的直線 的下（上）方x1ky 2ky )(xfy ,DX 的定義域為的定義域為D D，數(shù)集數(shù)集 設函數(shù)設函數(shù),2XxK 恒有恒有 ,)(2Kxf 稱稱 在在 上有上有下界。下界。 )(xfX,1K 恒有恒有 ,Xx,)(1Kxf 稱稱 在在 上有上有上界。上界。 )(xfXxyO1ky 2xy yxO 2ky xy2 xy 2133例例2 2 說明說明在在

25、 xxf1 ，1上有界上有界 xxg2 在在),(上有下界上有下界 2xxh 在在),(上有上界上有上界解解(1)(1)取取1 M當當 ,1x 11 xxfM分析分析 ,1x110 x也可取大于也可取大于1 1的任何常數(shù)的任何常數(shù)21 x1 1是其最小的是其最小的界且可達到界且可達到的界的界(2)(2)取取02 k,x，當，當時，恒有時，恒有02 xx2在在 ,上有下界上有下界由定義知由定義知0 0是其一個達不到的下界、最大下界，沒有可達到下界是其一個達不到的下界、最大下界，沒有可達到下界34由定義知由定義知(3)取取01 k,x，當當時，恒有時，恒有02 x2x 在在 ,上有上界上有上界0 0是其一個可達到的上界，最小上界。是其一個可達到的上界，