高中數(shù)學(xué)講義函數(shù)求值域的十種方法

1、前言：總有人求助如何學(xué)好數(shù)學(xué)，這個(gè)問(wèn)題很寬泛，并非寥寥數(shù)語(yǔ)能夠厘清。有一點(diǎn)很明確，學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件是了解數(shù)學(xué)。高中數(shù)學(xué)可以歸結(jié)為兩個(gè)“三位一體”：教學(xué)體系的三位一體和知識(shí)結(jié)構(gòu)的三位一體。知識(shí)結(jié)構(gòu)的三位一體：數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法，典型習(xí)題。三要素之間的關(guān)系：典型習(xí)題歸納數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)方法解決典型習(xí)題。數(shù)學(xué)思想舉例：數(shù)形結(jié)合的思想等。數(shù)學(xué)方法舉例：配方法、反證法、倍差法等。典型習(xí)題舉例：恒成立問(wèn)題、是否存在問(wèn)題等。教學(xué)體系的三位一體：教、學(xué)、練。老師教什么：數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。熟練掌握各種方法的是優(yōu)秀學(xué)生，深入理解各種思想的是頂尖學(xué)生。學(xué)生怎么學(xué)：課堂緊跟老師，課下善于提問(wèn)。

2、如何做練習(xí)：01，選題：中學(xué)數(shù)學(xué)最大的誤區(qū)就是題海戰(zhàn)術(shù)，有的老師不學(xué)無(wú)術(shù)只會(huì)告訴你多做題。多做題沒(méi)用，多做類型才有用。典型習(xí)題，做一頂百。02，做題：一題多解。對(duì)于選定的習(xí)題，運(yùn)用盡量多的方法去解決，然后比較各個(gè)方法的優(yōu)劣，歸納出某類型題對(duì)應(yīng)的最佳方法。03，總結(jié)：針對(duì)錯(cuò)題。大量統(tǒng)計(jì)表明，我們?cè)诳荚囍兴傅腻e(cuò)誤大多是重復(fù)性的。通過(guò)總結(jié)，避免兩次踏入同一條水溝。由上可知，我講數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是方法論、重總結(jié)。工欲善其事，必先利其器：各種數(shù)學(xué)方法就是我們解決難題的利器?？偤翱搭}就沒(méi)思路的童鞋，回憶一下高中階段你能說(shuō)出多少種方法。說(shuō)不出？有思路才怪！言歸正傳，今天我們就來(lái)總結(jié)一下“函數(shù)求值域的十種方法”（

3、高中數(shù)學(xué)最重要就是函數(shù)，函數(shù)之于高中數(shù)學(xué)好比力學(xué)之于高中物理。高中數(shù)學(xué)函數(shù)的要點(diǎn)無(wú)非：三要素，四變換，五常見(jiàn)，六性質(zhì)。三要素中的求值域就是本講的主題）方法一：配方法用于解決二次函數(shù)值域問(wèn)題，考試中幾乎不會(huì)單獨(dú)考察配方法（太簡(jiǎn)單），但常與其他方法綜合使用。y=ax2+bx+c（a0） 經(jīng)過(guò)配方得到 y=a（x-m）2 +n 的形式，可直接觀察出值域。方法二：函數(shù)性質(zhì)法高中階段函數(shù)六性：奇偶性，單調(diào)性，周期性，對(duì)稱性，凸凹性，有界性（前三為重點(diǎn)）。巧用函數(shù)性質(zhì)，往往可以大幅簡(jiǎn)化過(guò)程，最常用的性質(zhì)是單調(diào)性（熟練掌握導(dǎo)數(shù)工具）。方法三：換元法換元法分為：代數(shù)換元與三角換元。前者針對(duì)非齊次，后者針對(duì)齊次

4、。（詳見(jiàn)例題）方法四：判別式法常用于二次分式或無(wú)理式求值域。將y視為系數(shù)，整理為關(guān)于x的二次方程。由于方程有解，所以判別式大于等于零，得到一個(gè)關(guān)于y的不等式，解之。利用判別式法時(shí)，要注意自變量的取值范圍。判別式法運(yùn)算往往較為繁瑣，請(qǐng)優(yōu)先考慮其他方法。方法五：不等式法均值不等式：兩個(gè)正數(shù)（可以拓展到N個(gè)）的平方平均值 代數(shù)平均值 幾何平均值 調(diào)和平均值。利用特殊不等式的性質(zhì)來(lái)求值域，要注意等號(hào)成立的條件。 方法六：分離常量法常用于分式求值域，利用多項(xiàng)式除法分離出常數(shù)，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題。方法七：反函數(shù)法原函數(shù)的值域等于反函數(shù)的定義域，求原函數(shù)值域可以轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)定義域問(wèn)題。使用本方法的前提是原函數(shù)存

5、在反函數(shù)。方法八：函數(shù)圖象法基礎(chǔ)函數(shù)值域易求，經(jīng)過(guò)變換得到的新函數(shù)的值域亦可由此得到。常見(jiàn)的函數(shù)圖象變換：平移，對(duì)稱，伸縮，翻折。方法九：幾何意義法（來(lái)源于數(shù)形結(jié)合的思想）常用的幾何意義有距離和斜率。方法十：綜合法綜合使用以上九種方法中的若干種，廢話一句，但考題往往需要綜合法解決。例題不難但很典型且可利用多種方法求解，重點(diǎn)為方法的應(yīng)用條件與注意事項(xiàng)。例1：y=x+解法一，代數(shù)換元法（題目中包括x的一次及二分之一次，屬于非齊次）設(shè)t= （t0）易得x=t2+1，則y=t2+t+1=（t+）2+，易犯錯(cuò)誤 y實(shí)際上由于t0，t不可能取到-，因此y不可能取到（換元后要注意新變量的取值范圍）。 正確解

6、法：易得t=0時(shí)，y取到最小值1解法二，函數(shù)性質(zhì)法（單調(diào)性） x1 易知y=x與y=均為增函數(shù)，則y=x+亦為增函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)，y取到最小值1可見(jiàn)性質(zhì)法簡(jiǎn)單得多，幾乎目測(cè)可得結(jié)果。例2：y = x+解法一，判別式法移項(xiàng) y-x=平方 y2-2xy+x2=1-x2整理 2x2-2yx+y2-1=0關(guān)于x的方程在區(qū)間-1,1上有解，除判別式大于等于零外，還需考慮其他條件，較為繁瑣。解法二，三角換元（+前后x的最高次均為一次，屬于齊次）設(shè) x=sin 則=cos 由于sin無(wú)符號(hào)限制，而cos大于等于零，可以設(shè)-，（換元后要注意新變量的取值范圍）則 y=sin+cos=sin（+ ） -，+/4-，

7、 y-1， 例3：y = x+解法一：函數(shù)性質(zhì)法（單調(diào)性，奇偶性）當(dāng)x0時(shí)，求導(dǎo) y= 1- x（0，1）時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于零，單調(diào)遞減。x（1，+）時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于零，單調(diào)遞增。x=1時(shí)，取到最小值2因此x0時(shí)，y2根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，x0時(shí)，y-2綜上y（-，-22，+）解法二：不等式法當(dāng)x0時(shí)，y=x+ 2= 2根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，x0時(shí)，y-2綜上y（-，-22，+）例4：y= 解法一：判別式法，不再贅敘解法二：分離常量法x=0時(shí)，y=1x0時(shí) y= =1+=1+ （-，-22，+） y,1）（1，綜上y，可見(jiàn)某些形式的二次分式求值域，分離常量法比判別式法簡(jiǎn)便得多。例5：y= 解法一：萬(wàn)能公式+判別式法

8、設(shè)tan=t sinx= cosx=y= 下略解法二：輔助角公式+函數(shù)性質(zhì)法（有界性）2y+ycosx=1+sinxsinx-ycosx=2y-1six(x+)=2y-1six(x+)= 利用正弦函數(shù)的有界性，得到-1，1解得y0，解法三：幾何意義法（斜率）y= 該式的幾何意義為(cosx,sinx)與(-2,-1)兩點(diǎn)連線的斜率(cosx,sinx)為單位圓上的任意一點(diǎn)，畫圖。通過(guò)幾何方法確定單位圓上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)(-2,-1)連線斜率的取值范圍，過(guò)程略。完整使用三種方法得到正確答案的童鞋可以自行比較三種方法的繁簡(jiǎn)程度。例6：y=解法一：函數(shù)圖像法（分類討論去絕對(duì)值，化為分段函數(shù)，畫草圖觀察值

9、域）解法二：幾何意義法（距離）的幾何意義為數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到-3及+1兩個(gè)定點(diǎn)距離之和，易得y4例7：y= 解法：幾何意義法（距離）y=上式的幾何意義為x軸上的動(dòng)點(diǎn)（x，0）到兩個(gè)定點(diǎn)（0,2）與（1,3）的距離之和畫圖：A點(diǎn)為（0,2），B點(diǎn)為（1,3），做出A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A。連結(jié)A與B 線段的距離即為y的最小值。 線段與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為y取最小值時(shí)x的取值。例8：y=解法一：函數(shù)圖象法y= - = -1+據(jù)上式可知所求函數(shù)可由函數(shù)y= 向左平移3個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到。 據(jù)圖像易得 y(-，-1)(-1，+）解法二：反函數(shù)法 y= xy+3y=5-x xy+x=5-3y x= 原函數(shù)的反函數(shù)為 y= 反函數(shù)的定義域?yàn)?-，-1)(-1，+） 原函數(shù)的值域亦為(-，-1)(-1，+）例9：y=解法一：分離常量法y=1- 2x0 2x+11 (0，2) y(-1