第10章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量

1、10-1 基本概念基本概念10-4 單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率 功率因數(shù)功率因數(shù)10-5 單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率10-7 正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理10-8 對稱三相電路對稱三相電路10-6 復(fù)功率復(fù)功率 復(fù)功率守恒復(fù)功率守恒10-9 不對稱三相電路不對稱三相電路10-10 三相功率及其測量三相功率及其測量 10-2 電阻的平均功率電阻的平均功率10-3 電感、電容的平均儲能電感、電容的平均儲能 若在若在dt時間內(nèi)，由時間內(nèi)，由a點(diǎn)轉(zhuǎn)移到點(diǎn)轉(zhuǎn)移到b點(diǎn)的正電荷為點(diǎn)的正電荷為dq，且由且由a到到b為電壓降為電壓降u，則正電荷失去的能量，即，則正電荷失去

2、的能量，即ab段段電路消耗或吸收的能量為電路消耗或吸收的能量為dw = udqp(t)0時，時， 電路吸收功率電路吸收功率p(t) 0 耗能元件耗能元件L、C: p 0 吸收功率吸收功率 p 0 吸收功率；吸收功率；p 0 (2) p 隨時間變化，變化的角頻率為隨時間變化，變化的角頻率為2 ，是電壓或電流，是電壓或電流 角頻率的角頻率的2倍。倍。 0 tipuuip210-2 電阻的平均功率電阻的平均功率P =T1T0 0UmIm1 12 2UmIm cos (2 t)1dt1 12 2=UmIm = UI1 12 2P =P = I2RR U2P =平均功率的大小與電流的頻率及初相角無關(guān)平均

3、功率的大小與電流的頻率及初相角無關(guān)電壓超前電流電壓超前電流90 90 ；U +1+j0相量圖相量圖I 波形圖波形圖i t0uU I 電壓與電流相量式電壓與電流相量式 = j XL10-3 電感、電容的平均儲能電感、電容的平均儲能設(shè)設(shè): u(t) = Umcos t i(t) = Imsin t +uLi1 1p(t) = Umcos t Imsin t =2 2UmImsin2 t 0tipuuip2 A. p按正弦規(guī)律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍。按正弦規(guī)律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍。 B. p 0 吸收功率；吸收功率；P 0 吸收功率；吸收功率；P 0 放出功

4、率放出功率P = 0不消耗電能不消耗電能 21 1p(t) = Umcos t Imsin t = UmImsin2 t UI sin2 t UIQC 平均貯能：平均貯能：221CUWC 瞬時能量瞬時能量)2cos(121)(cos21212222tCUtCUCuwmC QC = UI = CU2= 2 WC(一一) 純電阻元件交流電路純電阻元件交流電路u = iR 電壓與電流相量表達(dá)式電壓與電流相量表達(dá)式 U=RI平均功率平均功率 P = IU = RI2didtu= L U I 電壓與電流相量式電壓與電流相量式 = j XL(二二) 純電感元件交流電路純電感元件交流電路平均功率平均功率 P

5、 =0無功功率無功功率Q =UI=XLI2= 2 WLdudti= C (三三) 純電容元件交流電路純電容元件交流電路平均功率平均功率 P =0無功功率無功功率 Q =UI= XC I2 = 2 WC 電壓與電流相量式電壓與電流相量式 = XC U jI 10-4 單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率 功率因數(shù)功率因數(shù)設(shè)設(shè) u(t) = Umcos( t +j ju)i(t) = Imcos( t+j ji)p(t)=UmImcos( t+j ju)cos( t+j ji)UmImcos(j ju- -j ji)+cos(2 t +j ju+j ji)21=UmImcos(j ju- -j j

6、i) +UmImcos(2 t +j ju+j ji)2121=Ni(t)電電源源+u(t) 一一. 瞬時功率瞬時功率 2cos cos =cos( - - )+cos( + )uip0 tipu2二二. 平均功率平均功率 =1 12 2UmIm cos(j ju - - j ji) = UIcos(j ju - - j ji)P =T1pdtT0 01 12 21 12 2=UmIm cos(j ju - - j ji) +UmIm cos(2 t + j ju + j ji)dtT1T0 0)cos(iuUIPj jj j 如果如果N不含獨(dú)立源不含獨(dú)立源 u i = j j 阻抗角阻抗角

7、P =1 12UmImcos j j = UIcosj jP = PKnK=1N0+IUj j ZIUIUZ)(iu有功功率守恒有功功率守恒j j ： 功率因數(shù)角功率因數(shù)角 = cosj j 功率因數(shù)功率因數(shù) 在一般交流電路中，在一般交流電路中，可將電路等效為可將電路等效為RLC的串聯(lián)。的串聯(lián)。I UURULj jUCULUCRLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路相量圖相量圖10-5 單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率和視在功率單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率和視在功率UXS = P 2 + Q2X = XL XC UXULUC =+ Q = QL QCSQUURUXRX ZPj j功率三角形功率三角形S2 = P2 + Q2S = P2

8、 + Q2S=UIQ= UXIP= URIj jj j : :功率因數(shù)角功率因數(shù)角coscosj j : :功率因數(shù)功率因數(shù) SP j j cos一一 有功功率有功功率 P = UI cos j j 瓦（瓦（W）Q = QKnK=1Q = UIsinj j 乏乏(var) 電感取正，電容取負(fù)電感取正，電容取負(fù)無功功率守恒無功功率守恒S = UI 單位單位VA KSS10-5 單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率和視在功率單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率和視在功率 例例1: 試求電路中的有功功率試求電路中的有功功率P , 無功功率無功功率Q ，視，視在功率在功率S 及功率因數(shù)及功率因數(shù)cosj j，已知：，已知： =100 0

9、V。UIj4 3 +U I1I2 j2 解：方法一解：方法一Z= (3+j4)( j2) 3+j4j26j+8 3+j2=10 36.873.6 33.69=2.78 70.56 I=UZ=100 02.78 70.56 =36 70.56 AP=UIcosj j=10036cos( 70.56 )=1200WQ=UIsinj j=10036sin( 70.56 )= 3400varS=UI=100 36=3600V Acosj j= cos( 70.56)=0.33 解：方法解：方法 二二I1= U|Z1|=100 5=20AI2= U|Z2|100 2=50AP=I12R=2023=120

10、0WQL= I12XL=2024=1600varQC= I22XC=5022=5000varQ= QL + QC =16005000=3400varj j=arctgQ/P= 70.56 cosj j= cos( 70.56)=0.33 S = P2 + Q2=3600VAUIj4 3 +U I1I2 j2 例例1: 試求電路中的有功功率試求電路中的有功功率P , 無功功率無功功率Q ，視，視在功率在功率S 及功率因數(shù)及功率因數(shù)cosj j，已知：，已知： =100 0V。解解: : 例例2：R、L、C串聯(lián)交流電路如圖所示。已知：串聯(lián)交流電路如圖所示。已知：R = 30 、L=127mH、C=

11、40 F， 求：求：(1)電流電流 i 及各部分電壓及各部分電壓uR，uL，uC；(2) 求功率求功率P 和和Q。V)20314cos(2220o tu +L +uCRiuLuCuR + + 40101273143LXL 801040314116CXC 80)-40( j30)j( CLXXRZ 5350)40j30(V20220 UA734.4535020220 ZUIA)73314cos(24 . 4 ti(1)得得A73132734 . 430 IRURV)73314cos(2132 tuRV163176734.4j40j IXULLV)163314cos(2176 tuLV173527

12、34 . 480jj IXUCCV)17314cos(2352 tuCCLRUUUU CLRUUUU )53cos(4 . 4220cos j jUIPW8 .5806 . 04 . 4220 )53sin(4 . 4220sin j jUIQvar4 .774)8 . 0(4 . 4220 注意：注意：（2）電路為電容性電路為電容性 +L +uCRiuLuCuR + +功率因數(shù)低引起的問題功率因數(shù)低引起的問題有功功率有功功率 P=U P=UN NI IN N coscosj j 功率因數(shù)功率因數(shù)( (1) 1) 電源設(shè)備的容量不能充分利用電源設(shè)備的容量不能充分利用(2) (2) 增加輸電線路

13、和發(fā)電機(jī)繞組的功率損耗增加輸電線路和發(fā)電機(jī)繞組的功率損耗在在P P、U U一定的情況下，一定的情況下， coscosj j越低，越低，I I 越大，損耗越大。越大，損耗越大。情況下，情況下，coscosj j 越低，越低，P P越小，設(shè)備得不到充分利用。越小，設(shè)備得不到充分利用。P=UI cos j j電壓與電流的相位電壓與電流的相位差差、阻抗角、阻抗角、功率因數(shù)角功率因數(shù)角在電源設(shè)備在電源設(shè)備U UN N、I IN N一定的一定的j j2222cos1)(UPrrIP 1、提高提高功率因數(shù)的意義功率因數(shù)的意義提高提高功率因數(shù)的方法功率因數(shù)的方法+uiiRLLRCiCI ICIRLUj j1j

14、 j電路功率因數(shù)低的原因電路功率因數(shù)低的原因 并聯(lián)電容后，并聯(lián)電容后，電感性負(fù)載的工作電感性負(fù)載的工作狀態(tài)沒變，狀態(tài)沒變，但電源電壓與電路中總電但電源電壓與電路中總電流的相位差角減小，即提高了流的相位差角減小，即提高了整個整個電電路路的功率因數(shù)。的功率因數(shù)。通常是由于通常是由于存在存在電電感性負(fù)載感性負(fù)載將適當(dāng)?shù)碾娙菖c電將適當(dāng)?shù)碾娙菖c電感性負(fù)載感性負(fù)載并聯(lián)并聯(lián)因因j j cos j j 12、提高提高功率因數(shù)功率因數(shù)cosj j 的方法的方法例例3 設(shè)有一臺設(shè)有一臺220V、50Hz、50kW的感應(yīng)電動機(jī)，功率因的感應(yīng)電動機(jī)，功率因數(shù)為數(shù)為0.5（1）電源供應(yīng)的電流是多少，無功功率是多少？）電

15、源供應(yīng)的電流是多少，無功功率是多少？（2）如果并聯(lián)電容使功率因數(shù)為）如果并聯(lián)電容使功率因數(shù)為0.9，所需電容是多大，所需電容是多大，此時電源提供的電流是多少？此時電源提供的電流是多少？解：解：（1） PL= UIL cosj jL +uiLPL= 50kWiCiCA4555 . 02201050cos3LLL j jUPIQL = UIL sinj jL= 220 455 0.866 = 86.7 kvarcosj jL= 0.5 j jL= 60 例例3 設(shè)有一臺設(shè)有一臺220V、50Hz、50kW的感應(yīng)電動機(jī)，功率因的感應(yīng)電動機(jī)，功率因數(shù)為數(shù)為0.5（1）電源供應(yīng)的電流是多少，無功功率是多

16、少？）電源供應(yīng)的電流是多少，無功功率是多少？（2）如果并聯(lián)電容使功率因數(shù)為）如果并聯(lián)電容使功率因數(shù)為0.9，所需電容是多大，所需電容是多大，此時電源提供的電流是多少？此時電源提供的電流是多少？+uiLPL= 50kWiCiC（2）并聯(lián)電容后，電源提供的無功功率并聯(lián)電容后，電源提供的無功功率vark2 .2448. 05084.25tan PQ解：解：cosj j =0.9 j j =25.84 vark5 .627 .862 .24 LCQQQ由由QC = CU2F4112220502105 .62232 UQCCP=UI cosj jA2529 . 02201050cos3 j jUPI復(fù)功

17、率復(fù)功率 = UI (j ju + j ji)IU= UI (j ju - - j ji)I*U= UI cos(j ju - - j ji) + jUI sin(j ju - - j ji) P =U Icos (j ju - - j ji) Q =U Isin (j ju - - j ji) 10-6 復(fù)功率復(fù)功率 復(fù)功率守恒復(fù)功率守恒S = P + jQ = = UI (j ju - - j ji) = S j jI*U復(fù)功率守恒：復(fù)功率守恒：復(fù)功率的實(shí)部復(fù)功率的實(shí)部P為網(wǎng)絡(luò)中各電阻元件消耗為網(wǎng)絡(luò)中各電阻元件消耗功率的總和；功率的總和；虛部虛部Q為網(wǎng)絡(luò)中各動態(tài)元件無功功率的代為網(wǎng)絡(luò)中各動

18、態(tài)元件無功功率的代數(shù)和。數(shù)和。即無功功率即無功功率Q=QL+ QC 注意注意QL為正為正, QC為負(fù)。為負(fù)。= I j jiI*電流共軛相量電流共軛相量j jQSPNi(t)電源電源+u(t)- -= U j ju U= I j jiI設(shè)設(shè)10-6 復(fù)功率復(fù)功率 復(fù)功率守恒復(fù)功率守恒例例1：電路如圖，求兩負(fù)載吸收的總復(fù)功率，并求輸入：電路如圖，求兩負(fù)載吸收的總復(fù)功率，并求輸入電流有效值和總功率因數(shù)。已知電流有效值和總功率因數(shù)。已知U=2300V15kW =0.6感性感性10kW =0.8容性容性iu解：解： 每一負(fù)載的復(fù)功率每一負(fù)載的復(fù)功率VA125008 . 010103111 PSvar7

19、500)9 .36sin(12500)8 . 0arccossin(sin1111 SSQj jVA7500j100001 S同理同理VA0002j150002 SVA26.5627951VA0052j12500021 SSS則總復(fù)功率則總復(fù)功率A2 .12230027951 USI 56.26coscosj j 感性負(fù)載感性負(fù)載L: P = 0 Q = UI WL =12LI2C: P = 0 Q = UI WC =12CU2Um Imcos j j12P =U Icosj j P =12Q =U Isin j j Q =Um Imsin j jj j = j ju - - j jiS =

20、UIS = P + jQ (無獨(dú)立源單口網(wǎng)絡(luò)無獨(dú)立源單口網(wǎng)絡(luò))正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 小結(jié)小結(jié)Ni(t)電源電源+u(t)- -R: P = UI = I2R =U2R =PS= cos j j10-7 正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理 Z0ZLI+UOC- -+UL- -(1) ZL=RL+ jXL RL和和XL都可變都可變Z0 + ZL UOC(R0 + RL) + j(X0 + XL) =I = UOC= (R0 + RL)2 + (X0 + XL)2 UOC (- - arctgR0 + RL)X0 + XL求負(fù)載獲得最大功率的條件求負(fù)載獲得最大功率的條件

21、設(shè)設(shè) UOC、Z0不變，不變，ZL可變，可變， (R0 + RL)2 + (X0 + XL)2 UOC2 RLPL = I2RL =(R0 + RL )2 UOC2 RLPL =dPL (R0 + RL)2 2RL(R0 + RL) = 0dRL= UOC2 (R0 + RL)4 (R0 + RL)2 2RL(R0 + RL) = 0R0 + RL 2RL = 0RL = R0負(fù)載獲得最大功率的條件：負(fù)載獲得最大功率的條件：共軛匹配共軛匹配:RL = R0 XL = X0*ZL = Z0= (R0 + RL)2 + (X0 + XL)2 UOC ( arctgR0 + RL)X0 + XLZ0

22、ZLI+UOC- -+UL- -I(R0 + RL )2 UOC2 RL =PLmax =4R0 UOC2PLmax =4RO UOC2 =12 4RO UOCm2獲得獲得的的最大功率最大功率Z0ZLI+UOC- -+UL- -負(fù)載獲得最大功率的條件：負(fù)載獲得最大功率的條件：共軛匹配共軛匹配:RL = R0 XL = X0*ZL = Z0(R0 + RL )2 +X02 UOC2 RLPL = (2) 負(fù)載為純電阻負(fù)載為純電阻 RLdPL (R0 + RL)2 + X02 2RL(R0 + RL) dRL= (R0 + RL)2 + X022UOC2 = 0 (R0 + RL)2 + X02

23、2RL(R0 + RL) = 0R02 + 2R0RL + RL2 + X02 2R0RL 2 RL2 = 0R02 RL2 + X02 = 0 RL2 = R02 + X02RL = R02 + X02 = Z0 模匹配模匹配PLmax = I2RZ0ZLI+UOC- -+UL- -1 12 2Im2RPLmax = (3) 負(fù)載負(fù)載ZL的阻抗角固定而?？筛淖兊淖杩菇枪潭ǘ？筛淖?ZL = R02 + X02 = Z0 模匹配模匹配阻抗阻抗三角形三角形XL RL j jZLZL = RL + jXL =|ZL|j j 在這種情況下，可以證明，負(fù)在這種情況下，可以證明，負(fù)載獲得最大功率的條件

24、為：載獲得最大功率的條件為：負(fù)載阻負(fù)載阻抗的模應(yīng)與電源內(nèi)阻抗的模相等，抗的模應(yīng)與電源內(nèi)阻抗的模相等，稱為模匹配。稱為模匹配。 在這種情況下，負(fù)載所獲得的最大在這種情況下，負(fù)載所獲得的最大功率并非為可能獲得的最大值。如果負(fù)功率并非為可能獲得的最大值。如果負(fù)載阻抗的阻抗角也可調(diào)節(jié)，還能使負(fù)載載阻抗的阻抗角也可調(diào)節(jié)，還能使負(fù)載得到更大一些的功率。得到更大一些的功率。Z0ZLI+UOC- -+UL- -例例1：電路如圖，求：電路如圖，求：(1) 獲得最大功率時獲得最大功率時ZL為何值？為何值？ (2) 最大功率值；最大功率值；(3) 若若ZL為純電阻，為純電阻，ZL獲得的最大功率。獲得的最大功率。解：

25、解：Z0 =(2 + 2) 103 j4 103(2 + 2) 103 + j4 103=j16 1034 + j4= 2 + j2 = 2 2 45 K（1） ZL = 2 j2 K 時獲得最大功率時獲得最大功率= 212 2 45V=212 j42 + j2UOC =2 1032 103 + ( 2 103 + j4 103) 212 0 10-3 j4 103（2）ZL212 0mAj4K2K2K+UOC212 0mAj4K2K2K12 103UOC + (12 1031j4 103+)U1 = 02U1 UOC = 414 0 2U1 + (2 j)UOC = 0(12 103)U11

26、2 10312 103+UOC = 212 10-3 0 UOC =2 4142 02 12 2 j=8284 j2 2=8282 j2= 212 2 45V（2）計算開路電壓的另一種方法）計算開路電壓的另一種方法節(jié)點(diǎn)分析法節(jié)點(diǎn)分析法+UOC212 0mAj4K2K2K1UZL = 2 2 103 = 2.83K時時獲得最大功率獲得最大功率I =(2 + j2 + 2.83) 103 UOC =212 2 45(4.83 + j2) 103= 57.34 22.51 mAPmax = I2RL = (57.34 10-3)2 2.83 103 = 9.3WIZ0ZLUOCUOC = 212 2

27、 45V(2)Pmax =4 2 103= UOC2(212 2)28 103= 11.24W(R0 + RL )2 UOC2 RL =PLmax =4RO UOC2獲得獲得的的最大功率最大功率ZL = 2 j2 K 時獲得最大功率時獲得最大功率（3）若）若ZL為純電阻，求為純電阻，求ZL獲得的最大功率獲得的最大功率例例2 圖示電路中電壓源在圖示電路中電壓源在 =400rad/s和超前功率因數(shù)和超前功率因數(shù)0.8之下供電（即電流超前電壓）。之下供電（即電流超前電壓）。 消耗在電阻上的功率是消耗在電阻上的功率是100W，試確定，試確定R和和C的值。的值。 解：解：cosj j = 0.8 j j

28、 = arccos0.8 = 36.87 R2 + ( C 1)2UI =RC 1 = 0.75 400 = 300 1j C1 CR 1= R2 + ( C)2Z = R + arctg()tg(36.87) = 0.75Rj C1I+U = 100 0VR2 + ( C 1)2U2P = I2R = R= 2C2RU21 + 2C2R2= 100 = 100 (2) 2C2RU21 + 2C2R2 = 300 (1)RC 1300C 1300 52.08 10-6 =R = 1 = 64300 1代入代入 (2) C = 52.08 F RC =Rj C1I+U = 100 0V 例例3：

29、電路如圖所示，：電路如圖所示， 。 （1）求）求200 負(fù)載的功率負(fù)載的功率P； （2）求從電源看的電路功率因數(shù)）求從電源看的電路功率因數(shù) ； （3）求）求100 電阻上消耗的功率；電阻上消耗的功率； （4）如果在負(fù)載兩端并聯(lián)電容）如果在負(fù)載兩端并聯(lián)電容C，若使負(fù)載獲得，若使負(fù)載獲得最大功率，問最大功率，問C該多大，負(fù)載得到的功率以及該多大，負(fù)載得到的功率以及100 電阻消耗的功率各是多少電阻消耗的功率各是多少?us(t) = 1002 cos200t V2H200 +us100 j400 RiRL200 +Us100 I1 15I = 100 0300 + j400= 100 0500 53

30、.1= (53.1) A P200 = I2RL = ( 1 15)2 200 = 8W(2) = cos(j ju j ji) = cos53.1 = 0.6 (滯后滯后)(3) P100 = I2Ri = ( 1 15)2 100 = 4W解：解： (1) US = 100 0 Vj400 RiRL200 +Us100 I(4) IS =100 0100 + j400 (76) A1 17=Y =100 + j400+ j200C +11200= (1700) + j(200C - -141700+1200)200C =41700C =1700 2004= 11.76 Fj400 200

31、+Us100 I 1j200CS 1200ISj200CSIS 1100 + j400=1 17 (76) 178.947 = 43.4 (76)U =IY=1 17 (76) 17001+12001PL =U2RL=(43.4)2200= 9.42WI =100 + j400 +15 10-3 + j4017 10-3US=264 + j323= 0.24 (50.8) A100 0P100 = I2R = (0.24)2 100 = 5.76W 例例4.圖示電路中，圖示電路中，L=0.159 H，C=15.9PF，RS=5，RL=2000，試證明當(dāng)頻率為試證明當(dāng)頻率為108Hz時，在時，在

32、c.d端對端對RL 的等效內(nèi)阻恰為的等效內(nèi)阻恰為2000。問。問在頻率為在頻率為107Hz時，仍能如此嗎？若時，仍能如此嗎？若 ，試求在頻率為試求在頻率為108Hz及及107Hz時時RL的功率。的功率。uS(t) = 2cos t V解：解： f = 108 Hz = 2 f = 2 108 radsZL = jXL = j2 108 0.159 10-6 j100 ZC = j C 1= j2 108 15.9 10-12 1 j100 ZCd =(5 + j100) j100(5 + j100) ( j100)= 2000 j100 2000 CRSRLa+usLbcdf = 107 HzZL = j L = j2 107 0.159 10-6 j10 ZC = j C 1= j2 107 15.9 10-12 1 j1000 ZCd =(5 + j10) - - j10