姚孟臣概率統(tǒng)計第一章

1、中國人民大學出版社中國人民大學出版社 12345隨機事件隨機事件概率概率條件概率與全概公式條件概率與全概公式本章小結本章小結事件的獨立性與伯努利概型事件的獨立性與伯努利概型隨機事件及其概率隨機事件及其概率第一章第一章中國人民大學出版社中國人民大學出版社1.1隨機事件隨機事件（一）（一）（二）（二）（三）（三）隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象隨機試驗隨機試驗隨機事件隨機事件（四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社在一定條件下，必然發(fā)生某一結果或必然不發(fā)生某一結果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象. .1. 確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 “同性電荷必然互斥”；“在標準大氣壓下，純水加熱

2、到100度會沸騰”；實例自然界所觀察到的現(xiàn)象自然界所觀察到的現(xiàn)象: :確定性現(xiàn)象、確定性現(xiàn)象、 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象“函數(shù)在間斷點處不存在導數(shù)” 等.確定性現(xiàn)象的特征：確定性現(xiàn)象的特征： 條件完全決定結果條件完全決定結果.（一）（一）隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象注注中國人民大學出版社中國人民大學出版社 在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象.實例1 在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.2. 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象 結果:有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.（一）（一）隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象實例2 從一批含有正品和次品的產品中任意抽取一個產品.其結果可能為: 正品、次品.中國人民大學出版社中

3、國人民大學出版社結果有可能為: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.實例3 拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).實例4 過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈.實例5 出生的嬰兒可能是男，也可能是女.實例6 明天的天氣可能是晴 ， 也可能是多云或雨.（一）（一）隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象的特征隨機現(xiàn)象的特征: 條件不能完全決定結果條件不能完全決定結果.注注中國人民大學出版社中國人民大學出版社概率論就是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科概率論就是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科.隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結果具有偶然性, 但在大量試驗或觀察中, 這種結果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性, 概率論

4、就是研究隨機現(xiàn)象這種本質規(guī)律的一門數(shù)學學科.說明說明（一）（一）隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象中國人民大學出版社中國人民大學出版社 1. 重復性：可以在相同的條件下重復地進行; 2. 明確性：每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結果; 3. 隨機性：進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn). 在概率論中, 隨機試驗具有以下三個特征（二）（二）隨機試驗隨機試驗為研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性而進行的各種科學實驗或對事物某種特征進行的觀察稱為隨機試驗隨機試驗.簡稱簡稱試驗，記為試驗，記為E中國人民大學出版社中國人民大學出版社說明說明 1. 隨機試驗簡稱為試驗, 是一個廣泛的術語.它包括各種各樣的科

5、學實驗, 也包括對客觀事物進行的 “調查”、“觀察”或 “測量” 等.實例 “拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況”.分析(1) 試驗可以在相同的條件下重復地進行;(2) 試驗的所有可能結果:字面、花面;（二）（二）隨機試驗隨機試驗中國人民大學出版社中國人民大學出版社E1. 拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)；E2. 從一批產品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與 次品的件數(shù)；同理可知下列試驗都為隨機試驗.(3) 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn).故為隨機試驗.E4. 考察某地區(qū) 10 月份的平均氣溫；E3. 從一批燈泡中任取一只,測試其壽命. （二）（二）隨機試驗隨機試驗中國人民大學出版社中

6、國人民大學出版社隨機事件 隨機試驗 E 的樣本空間 S 的子集稱為 E 的隨機事件, 簡稱事件.試驗中,骰子“出現(xiàn)1點”, “出現(xiàn)2點”, ,“出現(xiàn)6點”,“點數(shù)不大于4”, “點數(shù)為偶數(shù)” 等都為隨機事件.實例 拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù).1. 基本概念基本概念（三）（三）隨機事件隨機事件中國人民大學出版社中國人民大學出版社實例 上述試驗中 “點數(shù)不大于6” 就是必然事件.必然事件 隨機試驗中必然會出現(xiàn)的結果.不可能事件 隨機試驗中不可能出現(xiàn)的結果. 實例 上述試驗中 “點數(shù)大于6” 就是不可能事件. 必然事件的對立面是不可能事件,不可能事件的對立面是必然事件,它們互稱為對立事件.實例

7、“出現(xiàn)1點”,“出現(xiàn)2點”,“出現(xiàn)6點”.基本事件基本事件 由一個樣本點組成的單點集.（三）（三）隨機事件隨機事件中國人民大學出版社中國人民大學出版社2. 幾點說明幾點說明例如 拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù). 可設 A = “點數(shù)不大于4”,B = “點數(shù)為奇數(shù)” 等等. 隨機事件可簡稱為事件, 并以大寫英文字母 A, B, C, 來表示事件（三）（三）隨機事件隨機事件中國人民大學出版社中國人民大學出版社（三）（三）隨機事件隨機事件(2)隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系 每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間, 樣本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗樣本空間子集隨機事件隨機事件 基本事件 必然事

8、件不可能事件復合事件 互為對立事件中國人民大學出版社中國人民大學出版社, , (1,2,).kEAB Ak設試驗的樣 本空間為而是的子集 1. 包含關系包含關系若事件 A 出現(xiàn), 必然導致 B 出現(xiàn) ,則稱事件 B 包含事件 A,記作.BAAB 或或實例 “長度不合格” 必然導致 “產品不合格”所以“產品不合格” 包含“長度不合格”.圖示 B 包含 A.SBA（四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社2. A等于等于B 若事件 A 包含事件 B，而且事件B 包含事件 A，則稱事件 A 與事件 B 相等，記作 A=B.3. 事件事件 A 與與 B 的并的并(

9、 (和事件和事件) ) .ABx xAxBABABAB事件或稱為事件與事件 的記作或和和事事件件實例 某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此 “產品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.S SB BA ABA（四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社; , , , 211的的和和事事件件個個事事件件為為稱稱推推廣廣nknkAAAnA 4. 事件事件 A 與與 B 的交的交 ( (積事件積事件) ).ABBA或或積積事事件件也也可可記記作作 . , ,211的的和和事事件件為為可可列列個個事事件件稱稱AAAkk . 積積事事件件

10、的的與與事事件件稱稱為為事事件件且且事事件件BABxAxxBA （四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社圖示事件A與B 的積事件.SABAB實例 某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.（四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社和事件與積事件的運算性質和事件與積事件的運算性質,AAA ,SSA ,AA ,AAA ,ASA . A; , , ,211的的積積事事件件個個事事件件為為稱稱推推廣廣nnkkAAAnA . , ,211的的積積事事件件為

11、為可可列列個個事事件件稱稱AAAkk （四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社5. . 事件事件 A 與與 B 互不相容互不相容 ( (互斥）互斥） 若事件 A 的出現(xiàn)必然導致事件 B 不出現(xiàn), B 出現(xiàn)也必然導致 A不出現(xiàn),則稱事件 A與B互不相容, 即. ABBA實例 拋擲一枚硬幣, “出現(xiàn)花面” 與 “出現(xiàn)字面”是互不相容的兩個事件.（四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社“骰子出現(xiàn)1點” “骰子出現(xiàn)2點”圖示 A 與 B 互斥.SAB互斥實例實例 拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù) . （四）（四）事件的關系與

12、運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社6. . 事件事件 A 與與 B 的差的差 由事件 A 出現(xiàn)而事件 B 不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件 A 與 B 的差. 記作 A- B.圖示 A 與 B 的差.SA AB BSABAB AB BA BA 實例 “長度合格但直徑不合格” 是 “長度合格” 與 “直徑合格” 的差.（四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社 設 A 表示“事件 A 出現(xiàn)”, 則“事件 A 不出現(xiàn)”稱為事件 A 的對立事件或逆事件. 記作.A實例實例 “骰子出現(xiàn)1點” “骰子不出現(xiàn)0點”圖示 A 與 B 的對立. .SBA

13、若 A 與 B 互逆,則有. ABSBA且且A7. . 事件事件 A 的對立事件的對立事件對立對立（四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社對立事件與互斥事件的區(qū)別對立事件與互斥事件的區(qū)別SSABABA A、B 對立A、B 互斥 ABSBA且且 AB互互 斥斥對對 立立（四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社8.完備事件組完備事件組（四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社事件間的運算規(guī)律事件間的運算規(guī)律.,) 1 (BAABABBA 交交換換律律),()()2(CBACBA 結

14、合律結合律,)()()()3(BCACCBCACBA 分分配配律律.,:(4)BABABABA 摩摩根根律律德德則有則有為事件為事件設設 ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA （四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社設設A A, , B B, , C C 表示三個隨機事件表示三個隨機事件, ,試將試將下列事件用下列事件用A A, , B B, , C C 表示出來表示出來. .(1) (1) A A 出現(xiàn)出現(xiàn), , B B, , C C 不出現(xiàn)不出現(xiàn); ;(5) (5) 三個事件都不出現(xiàn)三個事件都不出現(xiàn); ;(2)

15、(2) A A, , B B都出現(xiàn)都出現(xiàn), , C C 不出現(xiàn)不出現(xiàn); ;(3) (3) 三個事件都出現(xiàn)三個事件都出現(xiàn); ;(4) (4) 三個事件至少有一個出現(xiàn)三個事件至少有一個出現(xiàn); ;(6) (6) 不多于一個事件出現(xiàn)不多于一個事件出現(xiàn); ;（四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算解解例1中國人民大學出版社中國人民大學出版社(7) (7) 不多于兩個事件出現(xiàn)不多于兩個事件出現(xiàn); ;(8) (8) 三個事件至少有兩個出現(xiàn)三個事件至少有兩個出現(xiàn); ;(9) (9) A A, , B B 至少有一個出現(xiàn)至少有一個出現(xiàn), , C C 不出現(xiàn)不出現(xiàn); ;(10) (10) A A, , B B

16、, , C C 中恰好有兩個出現(xiàn)中恰好有兩個出現(xiàn). .解解;)1(CBA;)2(CAB;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA（四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社;)8(BCACBACABABC ;)()9(CBA.)10(BCACBACAB ;ABC或或;)6(CBACBACBACBA ,)7(BCACBACABCBACBACBACBA （四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社(1) 沒有一個是次品;(2) 至少有一個是次品;(3) 只有一個是次品;(4) 至少有三個不是次品;(5) 恰好有三個是次品;(6

17、) 至多有一個是次品.;)1(4321AAAA:, )4, 3, 2, 1(,各各事事件件表表示示下下列列試試用用個個零零件件是是正正品品的的第第表表示示他他生生產產零零件件設設一一個個工工人人生生產產了了四四個個iiAiiA （四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算解解例2中國人民大學出版社中國人民大學出版社4321432143214321)2(AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA ,4321AAAA ;4321AAAA或或;

18、)3(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321)4(AAAAAAAAAAAAAAAA ;4321AAAA （四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社; )5(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA .)6(43214321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA （四）（四）事件的關系與運算事件的關系與運算中國人民大學出版社中國人民大學出版社1.2概率概率（一）（一）概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義（二）（二）概率的古典定義概率的古典定義（三）（三）概率

19、的幾何定義概率的幾何定義（四）（四）概率的公理化定義與性質概率的公理化定義與性質中國人民大學出版社中國人民大學出版社（一）（一）概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義定義定義1.11.11.頻率的定義中國人民大學出版社中國人民大學出版社設設 A 是隨機試驗是隨機試驗 E 的任一事件的任一事件, , 則則; 1)(0)1( Afn(2) ( ) 1,( ) 0;ff ).()()()(,)3(212121knnnkkAfAfAfAAAfAAA 則則是兩兩互不相容的事件是兩兩互不相容的事件若若（一）（一）概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義2.頻率的性質中國人民大學出版社中國人民大學出版社實例實例 將一枚硬幣拋擲將

20、一枚硬幣拋擲 5 次、次、50 次、次、500 次次, , 各做各做7 遍遍, , 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率. .試驗試驗序號序號5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502處處波波動動較較大大在在21波動最小波動最小隨隨n的增大的增大, 頻率頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性呈現(xiàn)出穩(wěn)定性處處波波動動較

21、較小小在在21（一）（一）概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義中國人民大學出版社中國人民大學出版社從上述數(shù)據(jù)可得(2) 拋硬幣次數(shù)n 較小時, 頻率f 的隨機波動幅度較大, 但隨n 的增大 , 頻率f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當 n 逐漸增大時頻率f 總是在 0.5 附近擺動, 且逐漸穩(wěn)定于0.5.(1) 頻率有隨機波動性,即對于同樣的n, 所得的f 不一定相同;（一）（一）概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義中國人民大學出版社中國人民大學出版社實驗者實驗者德德 摩根摩根蒲蒲 豐豐nHnf皮爾遜皮爾遜 K皮爾遜皮爾遜 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000

22、120120.5005)(Hf逐漸增大逐漸增大n.21（一）（一）概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義中國人民大學出版社中國人民大學出版社重要結論重要結論頻率當n 較小時波動幅度比較大，當n 逐漸增大時，頻率趨于穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值從本質上反映了事件在試驗中出現(xiàn)可能性的大小它就是事件的概概率率（一）（一）概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義中國人民大學出版社中國人民大學出版社（一）（一）概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義定義定義1.21.23.概率的統(tǒng)計定義中國人民大學出版社中國人民大學出版社定義定義1.31.31.古典型隨機試驗（二）（二）概率的古典定義概率的古典定義中國人民大學出版社中國人民大學出版社定義定義1.

23、41.42.概率的古典定義（二）（二）概率的古典定義概率的古典定義中國人民大學出版社中國人民大學出版社2.概率的古典定義（二）（二）概率的古典定義概率的古典定義例1解解中國人民大學出版社中國人民大學出版社2.概率的古典定義（二）（二）概率的古典定義概率的古典定義例2解解中國人民大學出版社中國人民大學出版社2.概率的古典定義（二）（二）概率的古典定義概率的古典定義例3解解中國人民大學出版社中國人民大學出版社2.概率的古典定義（二）（二）概率的古典定義概率的古典定義例4解解中國人民大學出版社中國人民大學出版社2.概率的古典定義（二）（二）概率的古典定義概率的古典定義例5解解中國人民大學出版社中國人

24、民大學出版社（三）（三）概率的幾何定義概率的幾何定義定義定義1.51.51.幾何型試驗中國人民大學出版社中國人民大學出版社（一）（一）概率的幾何定義概率的幾何定義定義定義1.61.61.概率的幾何定義中國人民大學出版社中國人民大學出版社（一）（一）概率的幾何定義概率的幾何定義2.概率的幾何定義例6解解中國人民大學出版社中國人民大學出版社（三）（三）概率的幾何定義概率的幾何定義2.概率的幾何定義例7解解中國人民大學出版社中國人民大學出版社定義定義1.71.71.概率的公理化定義（四）（四）概率的公理化定義與性質概率的公理化定義與性質中國人民大學出版社中國人民大學出版社2.概率的性質（四）（四）概

25、率的公理化定義與性質概率的公理化定義與性質性質性質1性質性質2性質性質3( )1( ).P AP A ( )1( ).P AP A 中國人民大學出版社中國人民大學出版社2.概率的性質（四）（四）概率的公理化定義與性質概率的公理化定義與性質性質性質4性質性質5中國人民大學出版社中國人民大學出版社2.概率的性質（四）（四）概率的公理化定義與性質概率的公理化定義與性質解解例8中國人民大學出版社中國人民大學出版社2.概率的性質（四）（四）概率的公理化定義與性質概率的公理化定義與性質解解例9中國人民大學出版社中國人民大學出版社2.概率的性質（四）（四）概率的公理化定義與性質概率的公理化定義與性質解解例1

26、0中國人民大學出版社中國人民大學出版社1.3條件概率與全概公式條件概率與全概公式（一）（一）條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式（二）（二）全概公式與逆概公式全概公式與逆概公式中國人民大學出版社中國人民大學出版社（一）（一）條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式解解例1中國人民大學出版社中國人民大學出版社（一）（一）條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式定義定義1.81.81.條件概率的定義中國人民大學出版社中國人民大學出版社（一）（一）條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式2.乘法公式中國人民大學出版社中國人民大學出版社（一）（一）條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式2.乘法公式解解例2中國人民大

27、學出版社中國人民大學出版社（一）（一）條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式2.乘法公式解解例3中國人民大學出版社中國人民大學出版社（一）（一）條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式2.乘法公式解解例3中國人民大學出版社中國人民大學出版社（二）（二）全概公式與逆概公式全概公式與逆概公式定理定理1.1稱此式為全概率公式全概率公式中國人民大學出版社中國人民大學出版社（二）（二）全概公式與逆概公式全概公式與逆概公式ijA A 由()()ijBABA12( )()()()nP AP BAP BAP BA圖示圖示B1A2A3A1nAnA證明證明12()nBBBAAA 12.nBABABA1122() ( )

28、() ()() ().nnP BA P AP BA P AP BA P A化整為零化整為零各個擊破各個擊破中國人民大學出版社中國人民大學出版社（二）（二）全概公式與逆概公式全概公式與逆概公式解解例4中國人民大學出版社中國人民大學出版社（二）（二）全概公式與逆概公式全概公式與逆概公式解解例5中國人民大學出版社中國人民大學出版社（二）（二）全概公式與逆概公式全概公式與逆概公式稱此為貝葉斯公式、逆概公式貝葉斯公式、逆概公式121. ,( )0,( ( )0)() ()(),1,2, .( ) ()nijjjniiiEAAAP AEB P BP A P B AP A BjnP A P B A設試驗 的樣本空間為為一個完備事件組且則對 的任意事件有定理定理1.1中國人民大學出版社中國人民大學出版社（二）（二）全概公式與逆概公式全概公式與逆概公式解解例6中國人民大學出版社中國人民大學出版社1.4事件的獨立性與伯努利概型事件的獨立性與伯努利概型（一）（一）事件的獨立性事件的獨立性（二）（二）伯努利概型伯努利概型中國人民大學出版社中國人民大學出版社（一）（一）事件的獨立性事件的獨立性定義定義1.91.91.兩個事件相互獨立的定義,()( )( ),.ABP ABP A P BA BA B對于事件 和