8.2 單服務(wù)臺排隊模型

1、整理ppt1顧客源隊 列服務(wù)機構(gòu)排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)顧客服務(wù)完離開復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)： 排隊規(guī)則服務(wù)規(guī)則排隊系統(tǒng)的三個基本組成部分. 輸入過程 （有限、無限；單個、成批；確定型、隨機型。相繼到達時間間隔相繼到達時間間隔顧客到達顧客到達整理ppt2排隊規(guī)則 等待制、損失制、混合制服務(wù)機構(gòu) 1、機構(gòu)形式：單列、多列、服務(wù)臺的數(shù)量2、服務(wù)方式： 單個、成批3、服務(wù)時間：確定型、隨機型顧客顧客整理ppt3 排隊系統(tǒng)運行情況的分析，就是在給定輸入排隊系統(tǒng)運行情況的分析，就是在給定輸入與服務(wù)條件下，通過求解系統(tǒng)狀態(tài)為與服務(wù)條件下，通過求解系統(tǒng)狀態(tài)為n(n(有有n n個顧客個顧客) )的概率的概率P Pn n，再進行計

2、算其主要的運行指標(biāo)：，再進行計算其主要的運行指標(biāo)： 系統(tǒng)中顧客數(shù)系統(tǒng)中顧客數(shù)( (隊長隊長) )L L； 排隊等待的顧客數(shù)排隊等待的顧客數(shù)( (排隊長排隊長) )L Lq q； 顧客在系統(tǒng)中全部時間顧客在系統(tǒng)中全部時間( (逗留時間逗留時間) )W W； 顧客排隊等待時間顧客排隊等待時間W Wq q。整理ppt4排隊模型的符號定義為：排隊模型的符號定義為： A A/B/C/m/N/B/C/m/N A A 顧客到達間隔時間概率分布顧客到達間隔時間概率分布; ; B B 服務(wù)時間的概率分布服務(wù)時間的概率分布; ; C C 服務(wù)臺數(shù)；服務(wù)臺數(shù)； m m 顧客源總數(shù)顧客源總數(shù) N N 系統(tǒng)內(nèi)顧客的容量

3、系統(tǒng)內(nèi)顧客的容量 整理ppt5排隊系統(tǒng)的常見分布排隊系統(tǒng)的常見分布 1 1、泊松分布、泊松分布 設(shè)設(shè)N(N(t)t)表示在時間區(qū)間表示在時間區(qū)間 t,t+t,t+t)t)內(nèi)到達的顧客內(nèi)到達的顧客數(shù)，是隨機變量。當(dāng)數(shù)，是隨機變量。當(dāng)N(N(t)t)滿足下列三個條件時，滿足下列三個條件時，我們我們說顧客的到達符合泊說顧客的到達符合泊松分布松分布。這三個條件是：。這三個條件是： (1) (1)平穩(wěn)性平穩(wěn)性 在時間區(qū)間在時間區(qū)間 t,t+t,t+t)t)內(nèi)到達的顧客數(shù)內(nèi)到達的顧客數(shù)N(N(t)t)，只與區(qū)間長度只與區(qū)間長度t t有關(guān)而與時間起點有關(guān)而與時間起點t t無關(guān)。無關(guān)。 (2) (2)無后效性

4、無后效性 在時間區(qū)間在時間區(qū)間 t,t+t,t+t)t)內(nèi)到達的顧客內(nèi)到達的顧客數(shù)數(shù)N(N(t)t)，與與t t以前到達的顧客數(shù)獨立。以前到達的顧客數(shù)獨立。整理ppt6(3)普通性普通性 在充分短的時間區(qū)間在充分短的時間區(qū)間t內(nèi)，到達兩個或兩內(nèi)，到達兩個或兩個以上顧客的概率極小，可以忽略不計，即個以上顧客的概率極小，可以忽略不計，即02lim()0ntnP tt 其中其中表示單位時間平均到達的顧客數(shù)，即為到達率。表示單位時間平均到達的顧客數(shù)，即為到達率。在長為在長為 t 的時間內(nèi)到達的時間內(nèi)到達n個顧客的概率為：個顧客的概率為： ()( )(0)0,1,2,!ntntP tetnn整理ppt7

5、整理ppt8當(dāng)當(dāng)t=1時，時， 0,1,2,!nnPenn表示單位時間內(nèi)到達表示單位時間內(nèi)到達n個顧客的概率。個顧客的概率。 容易計算容易計算Poisson分布的總體均數(shù)與總體方差相等，分布的總體均數(shù)與總體方差相等，均為均為。 整理ppt92、負(fù)指數(shù)分布、負(fù)指數(shù)分布 當(dāng)顧客到達符合泊當(dāng)顧客到達符合泊松分布時松分布時，顧客相繼到達的間隔時間，顧客相繼到達的間隔時間T必服從負(fù)指數(shù)分布。必服從負(fù)指數(shù)分布。 顧客服務(wù)時間常用概率分布也是負(fù)指數(shù)分布顧客服務(wù)時間常用概率分布也是負(fù)指數(shù)分布 ( )(0)tf tet其中其中表示單位時間內(nèi)完成服務(wù)的顧客數(shù)，也稱平均服表示單位時間內(nèi)完成服務(wù)的顧客數(shù)，也稱平均服務(wù)

6、率。務(wù)率。( )(0)tTftet整理ppt10整理ppt11例例8-1 某醫(yī)院外科手術(shù)室任意抽查了某醫(yī)院外科手術(shù)室任意抽查了100個工作小時，個工作小時，每小時患者到達數(shù)每小時患者到達數(shù)n的出現(xiàn)次數(shù)如表，問每小時患者的的出現(xiàn)次數(shù)如表，問每小時患者的到達數(shù)是否服從泊松分布。到達數(shù)是否服從泊松分布。到達到達數(shù)數(shù)n01234567出現(xiàn)出現(xiàn)次數(shù)次數(shù)fn1028291610610患者在單位時間內(nèi)到達數(shù)的頻數(shù)分布患者在單位時間內(nèi)到達數(shù)的頻數(shù)分布 2.1/100nnfx（人 小時）整理ppt121、原理、原理 判斷樣本觀察頻數(shù)（判斷樣本觀察頻數(shù)（A）與理論）與理論(期望期望)頻數(shù)（頻數(shù)（T ）之差是否由抽

7、樣誤差所引起。之差是否由抽樣誤差所引起。 注意：理論頻數(shù)注意：理論頻數(shù)Ti不宜過小（如不小于不宜過?。ㄈ绮恍∮?），否則需要合并組段?。?，否則需要合并組段！整理ppt132、計算公式、計算公式 221(),1kiiiiATkaaT 為參數(shù)的個數(shù)為參數(shù)的個數(shù) 整理ppt142、計算公式、計算公式 221()1.3026kiiiiATT16 1 14ka 20.05(4)9.488220.05(4)1.30269.488而0.05P整理ppt15卡方分布下的檢驗水準(zhǔn)及其臨界值卡方分布下的檢驗水準(zhǔn)及其臨界值接受假設(shè)，即患者到達數(shù)的經(jīng)驗分布適合接受假設(shè)，即患者到達數(shù)的經(jīng)驗分布適合=2.1=2.1的的泊

8、松分布。泊松分布。整理ppt16第二節(jié)第二節(jié) 單服務(wù)臺單服務(wù)臺M/M/1排隊模型排隊模型 第八章 排隊論整理ppt17M/M/1/ 模型模型 1、模型條件、模型條件 （1 1）輸入過程）輸入過程顧客源是無限的，單個到來，到顧客源是無限的，單個到來，到達過程服從泊松分布，即顧客到達間隔時間服從達過程服從泊松分布，即顧客到達間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布；負(fù)指數(shù)分布；（2 2）排隊規(guī)則）排隊規(guī)則單隊，且隊長沒有限制，先到先單隊，且隊長沒有限制，先到先服務(wù)；服務(wù)；（3 3）服務(wù)機構(gòu)）服務(wù)機構(gòu)單服務(wù)臺，服務(wù)時間的長短是隨單服務(wù)臺，服務(wù)時間的長短是隨機的，服從相同的負(fù)指數(shù)分布機的，服從相同的負(fù)指數(shù)分布 。整理p

9、pt18 排隊系統(tǒng)的狀態(tài)排隊系統(tǒng)的狀態(tài)n隨時間變化的過程稱為生滅過程，隨時間變化的過程稱為生滅過程，設(shè)平均到達率為設(shè)平均到達率為,平均服務(wù)率為平均服務(wù)率為,負(fù)指數(shù)分布排隊系統(tǒng)負(fù)指數(shù)分布排隊系統(tǒng)（M/M/1/）的生滅過程可用下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示：）的生滅過程可用下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示：01 n-1n n+1. 整理ppt19100PP狀態(tài) ：11()1,2,3,nnnPPPn狀態(tài)n：10PP021()PPPn=1：020()PPP220()PP132()PPPn=2：20302()PPP330()PP整理ppt20類似可得類似可得 0()nnPP由概率性質(zhì)可知，由概率性質(zhì)可知， 01nnP000(

10、 )nnnnPP0( )nnPP 令001( )nnP 01(1)nnPP 0其中P是空閑概率，為利用率（服務(wù)臺處于繁忙的概率）0111P 整理ppt21對于對于M MM M1/1/模型有如下公式：模型有如下公式： 10P)1 (nnP1L2()qL LWqqLW整理ppt22例例8-2 設(shè)某醫(yī)院藥房只有一名藥劑員，取藥的患者按設(shè)某醫(yī)院藥房只有一名藥劑員，取藥的患者按泊松分布到達，平均每小時泊松分布到達，平均每小時20人，藥劑員配藥時間服人，藥劑員配藥時間服從指數(shù)分布，平均每人為從指數(shù)分布，平均每人為2.5分鐘。試分析該藥房排分鐘。試分析該藥房排隊系統(tǒng)的狀態(tài)概率和運行指標(biāo)。隊系統(tǒng)的狀態(tài)概率和運

11、行指標(biāo)。解：這是一個解：這是一個M/M/1/系統(tǒng)，單列，系統(tǒng)，單列，F(xiàn)CFS規(guī)則規(guī)則 根據(jù)題意已知，根據(jù)題意已知，20/人 小時1/2.5/分鐘 人11/6024/2.52.5人 分鐘=人 小時整理ppt23（1）藥劑員空閑率）藥劑員空閑率 0201110.166716.67%24P 20/人 小時24/人 小時（2）隊長）隊長 若按每天若按每天8小時工作時間計算，該藥劑員每天的空閑小時工作時間計算，該藥劑員每天的空閑時間約有時間約有80.1667=1.33小時。小時。2052420L（人）整理ppt24（3）等待隊長）等待隊長 20/人 小時24/人 小時（4）平均等待時間）平均等待時間 2

12、2204.167()24 (2420)qL （人）4.1670.208312.520qqLW（小時）（分鐘）整理ppt25（5）平均逗留時間）平均逗留時間 20/人 小時24/人 小時50.251520LW（小時）（分鐘）（6）系統(tǒng)內(nèi)有）系統(tǒng)內(nèi)有n個患者取藥的概率個患者取藥的概率 2020(1)(1)()1,2,3,2424nnnPn12313.89%11.57%9.65%PPP整理ppt26如果醫(yī)院希望有足夠的座位給取藥的病人坐，或者說如果醫(yī)院希望有足夠的座位給取藥的病人坐，或者說病人來取藥沒有座位的概率不超過病人來取藥沒有座位的概率不超過5%，試問至少應(yīng)為，試問至少應(yīng)為病人準(zhǔn)備多少座位？病

13、人準(zhǔn)備多少座位？095%nkkP0(1)nkk 1195%n 15%n15.416n 解得即至少為病人準(zhǔn)備即至少為病人準(zhǔn)備15個座位（正在取藥的人除外）。個座位（正在取藥的人除外）。整理ppt27例例8-3 某醫(yī)院欲購一臺某醫(yī)院欲購一臺X光機，現(xiàn)有四種可供選擇的光機，現(xiàn)有四種可供選擇的機型。已知就診者按泊松分布到達，到達率每小時機型。已知就診者按泊松分布到達，到達率每小時4人。四種機型的服務(wù)時間均服從指數(shù)分布，其不同機人。四種機型的服務(wù)時間均服從指數(shù)分布，其不同機型的固定費用型的固定費用C1，操作費，操作費C2，服務(wù)率，服務(wù)率 見表。若每位見表。若每位就診者在系統(tǒng)中逗留所造成的損失費為每小時就

14、診者在系統(tǒng)中逗留所造成的損失費為每小時1515元，元，試確定選購哪一類機型可使綜合費（固定費試確定選購哪一類機型可使綜合費（固定費+ +操作費操作費+ +逗留損失費）最低。逗留損失費）最低。整理ppt28整理ppt29第三節(jié)第三節(jié) 多服務(wù)臺多服務(wù)臺M/M/排隊模型排隊模型 第八章 排隊論整理ppt30一、一、M/M/C/ 模型模型 1、模型條件、模型條件 （1 1）輸入過程）輸入過程顧客源是無限的，單個到來，到顧客源是無限的，單個到來，到達過程服從泊松分布，即顧客到達間隔時間服從負(fù)達過程服從泊松分布，即顧客到達間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布；指數(shù)分布；（2 2）排隊規(guī)則）排隊規(guī)則單隊，且隊長沒有限制，

15、先到先單隊，且隊長沒有限制，先到先服務(wù)；服務(wù)；（3 3）服務(wù)機構(gòu)）服務(wù)機構(gòu)多服務(wù)臺且相互獨立，服務(wù)時間多服務(wù)臺且相互獨立，服務(wù)時間的長短是隨機的，平均服務(wù)率相同，服從相同的負(fù)的長短是隨機的，平均服務(wù)率相同，服從相同的負(fù)指數(shù)分布指數(shù)分布 。整理ppt31整理ppt321、狀態(tài)概率、狀態(tài)概率110kk011C1k1CCP！CPCOPPn!C 1Cnn10nCn0nn！C整理ppt332、主要運行指標(biāo)、主要運行指標(biāo)qqLW 1qWLW 02()!(1)cqcLPcqLL整理ppt34例例8-6 某醫(yī)院康復(fù)科有某醫(yī)院康復(fù)科有4臺超短波理療儀，患者的到達臺超短波理療儀，患者的到達服從泊松分布。平均每小時

16、到達服從泊松分布。平均每小時到達12人，每人理療時間人，每人理療時間服從指數(shù)分布，每臺每小時平均服務(wù)服從指數(shù)分布，每臺每小時平均服務(wù)4人，患者到達后人，患者到達后排成一列，一次就診。求：排成一列，一次就診。求：4臺一起同時空閑的概率臺一起同時空閑的概率計算系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)；計算系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)；患者到達后必須等待的概率。患者到達后必須等待的概率。整理ppt35二、二、M/M/C模型與模型與C個個M/M/1模型的比較模型的比較 整理ppt36 例例 某醫(yī)院掛號室有三個窗口，就診者的到達服從某醫(yī)院掛號室有三個窗口，就診者的到達服從泊松分布，平均到達率為每分鐘泊松分布，平均到達率為每分鐘0.9人，掛號員

17、服務(wù)時人，掛號員服務(wù)時間服從指數(shù)分布，平均服務(wù)率每分鐘間服從指數(shù)分布，平均服務(wù)率每分鐘0.4人，現(xiàn)假設(shè)就人，現(xiàn)假設(shè)就診者到達后排成一隊，依次向空閑的窗口掛號，顯然診者到達后排成一隊，依次向空閑的窗口掛號，顯然系統(tǒng)的容量和顧客源是不限的，屬于系統(tǒng)的容量和顧客源是不限的，屬于M/M/CM/M/C型的排隊服型的排隊服務(wù)模型。求：該系統(tǒng)的運行指標(biāo)。務(wù)模型。求：該系統(tǒng)的運行指標(biāo)。3,0.9/0.4/0.93C3 0.44C解：人 分鐘，人 分鐘，整理ppt37 0748. 03/2.251132.2522.2512.2502.251132100！整個掛號間空閑的概率P 人稱隊列長等待掛號的平均人數(shù)或7

18、. 10748. 0!34/32.2523qL 人稱隊長掛號間平均逗留人數(shù)或95. 325. 27 . 13qLL整理ppt38 分鐘在掛號間平均逗留時間分鐘等候掛號的平均時間4.390.411.89589.19 .07 .14WWq 57. 00748. 04/132.253363！閑）的概率人或各掛號員都沒有空者不少于（即系統(tǒng)中就診就診者到達后必須等待NP整理ppt39 如果在上例中，就診者到達后在每個掛號窗口各自如果在上例中，就診者到達后在每個掛號窗口各自排成一隊，即排成排成一隊，即排成3 3隊，且進入隊列后不離開，各列間隊，且進入隊列后不離開，各列間也互不串換，這就形成也互不串換，這就

19、形成3 3個隊列，而前例中的其它條件個隊列，而前例中的其它條件不變。假設(shè)每個隊列平均到達率相等且為：不變。假設(shè)每個隊列平均到達率相等且為：1 12 23 30.9/30.9/30.30.3（人（人/ /分鐘）分鐘）這樣，原來的這樣，原來的M/M/3M/M/3系統(tǒng)就變成了系統(tǒng)就變成了3 3個個M/M/1M/M/1型的子系統(tǒng)。型的子系統(tǒng)。 現(xiàn)按現(xiàn)按M/M/1M/M/1型計算主要運行指標(biāo)，并與上面的例子進型計算主要運行指標(biāo)，并與上面的例子進行對比分析，結(jié)果見表行對比分析，結(jié)果見表整理ppt4030.3/0.4/解： 個M/M/1系統(tǒng)，人 分鐘，人 分鐘，（1）掛號間空閑的概率）掛號間空閑的概率 10P0.3110.4 10.254（2）就診者必須等待的概率）就診者必須等待的概率 0(1)11 0.250.75P NP 整理ppt4130.3/0.4/解： 個M/M/1系統(tǒng)，人 分鐘，人 分鐘，（3）每個系統(tǒng)的平均等待隊長）每個系統(tǒng)的平均