函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)ppt課件

1、一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱(chēng)為自變量在點(diǎn)稱(chēng)為自變量在點(diǎn)內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果函數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限存在時(shí)的

2、極限存在, ,且等于它在且等于它在點(diǎn)點(diǎn)0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱(chēng)函數(shù)那末就稱(chēng)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù). .:定義定義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)00000( )(,(0)(),( );f xxxf xf xf xx 若若函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)

3、內(nèi)有有定定義義且且則則稱(chēng)稱(chēng)在在點(diǎn)點(diǎn)處處左左連連續(xù)續(xù)定理定理00( )( ).f xxf xx函函數(shù)數(shù)在在處處連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)00000( ),),(0)(),( ).f xxxf xf xf xx 若若函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義且且則則稱(chēng)稱(chēng)在在點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) x

4、xf4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng)處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例例3 3.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos

5、(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)任意對(duì)任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy例例4.4.設(shè)設(shè)f(x)f(x)定義在區(qū)間定義在區(qū)間(,) 上上 ,x y有有()()()fxyfxfy , 假設(shè)假設(shè) f (x) 在在連續(xù)連續(xù),0 x 提示提示:lim()0fxxx lim ()()0fxfxx ()(0)fxf(0)fx()fx 且對(duì)任意實(shí)數(shù)且對(duì)任意實(shí)數(shù)證明證明 f (x) 對(duì)一切對(duì)一切 x 都連續(xù)都連續(xù) .二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn):)(0條

6、件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱(chēng)點(diǎn)并稱(chēng)點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng)要有一個(gè)不滿足要有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只xfxxxf1.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf 例例5 5.0, 0

7、,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy2.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)處處無(wú)無(wú)定定在在點(diǎn)點(diǎn)或或但但處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)

8、(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn). .如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) xoxy1123.第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn).)(,)(00的的第第二二類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)在在右右極極限限

9、至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存處處的的左左、在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱(chēng)為無(wú)窮間這種情況稱(chēng)為無(wú)窮間例例8 8.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為第二類(lèi)間斷點(diǎn)為第二類(lèi)間斷點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱(chēng)稱(chēng)為為的的振振蕩蕩間間注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為

10、函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn). . , 0, 1)(是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類(lèi)間且都是第二類(lèi)間斷點(diǎn)斷點(diǎn). ,)(是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxf僅在僅在x=0處連續(xù)處連續(xù), 其余各點(diǎn)處處間斷其余各點(diǎn)處處間斷.o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxf在定義域在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, 但其絕對(duì)值處但其絕對(duì)值處處連續(xù)處連續(xù).判斷下列間斷點(diǎn)類(lèi)型判斷下列間斷點(diǎn)類(lèi)型:例例9 9：

11、 確定函數(shù)確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型間斷點(diǎn)的類(lèi)型. .11( )1xxf xe 解解: 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)0,1xx0lim( )xf x, 0 x 為無(wú)窮間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn);1,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1xx ,( )0f x1,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1xx ,( )1f x故故1x 為跳躍間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn). 0,1,x 在在處處( ).f x 連連續(xù)續(xù)( )()(1)xebf xxax 有無(wú)窮間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)0 x 及可去間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)1,x 解解:為無(wú)窮間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn),0 x 0lim()(1)xxebxax 所以所以0()(1)limxxxaxeb 1ab 0 0,1ab為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) ,1x 1

12、lim(1)xxebx x 極限存在極限存在1lim()0 xxeb1limxxbee 例例10.10.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 及及 b .例例11. 求求的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn), 并判別其類(lèi)型并判別其類(lèi)型.解解:(1)sin( )(1)(1)xxf xx xx 1(1)sinlim(1)(1)xxxx xx 1sin12 x = 1 為第一類(lèi)可去間斷點(diǎn)為第一類(lèi)可去間斷點(diǎn)1lim( )xf x x = 1 為第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn)為第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn)0lim( )1,xf x 0lim( )1,xf x x = 0 為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)三、小結(jié)三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn):可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn):無(wú)窮型無(wú)窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖)可去型可去型第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x思考題思考題思考題解答思考題解答)(x