結構動力學習習題2..

1、結構動力學習題參考答案332.3一根剛梁AB，用力在彈簧BC上去激勵它，其C點的運動規(guī)定為Z（t）,如圖P2.3. 按B點的垂直運動來確定系統(tǒng)的運動方程，假定運動是微小的。 解：以在重力作用下的平衡位置作為基準點，則方程建立時不考慮重力。根據(jù)達朗貝爾原理，通過對A點取矩建立平衡方程，剛體上作用有彈簧彈力，以及阻尼力，慣性力。B點的垂直位移是，則有幾何關系知處的位移為。根據(jù)位移圖和受力圖可得：其中 代入式得： 合并化簡得：2.5 系統(tǒng)如圖P2.5 , 確定按下形式的運動方程：。其中為E點的垂直運動。假定薄剛桿AE的質量為M,其轉動很小。 解：根據(jù)牛頓定律，運動幾何關系，對B點取矩得化簡合并得：2

2、.13 一根均勻桿，圖P2.13 其單位體積質量密度，并具有頂部質量M，應用假定法來推導該系統(tǒng)軸向自由振動的運動方程。假定常數(shù)。解： 由虛功原理，有： 其中非保守力為端部集中力，慣性力包括頂部質量M和均勻桿的所受的慣性力，計算如下： 把上式代入式，化簡合并得： 因為可取任意值，所以得運動方程： 2.14 應用重做習題2.13解： 由習題2.13可得 合并化簡得： 2.17一均勻懸臂梁作用有一水平力N和一與時俱變的橫向分布荷載，如圖P2.17.采用一簡單多項式來推導懸臂梁橫向振動的運動方程。 解：設，由虛功原理得 其中非保守力包括三角形均布力，軸向壓力N，以及阻尼力；慣性力為均勻梁所受的慣性力，

3、計算如下： 為了簡化計算，假設多項式, 則，代入以上各式得 代入式，合并化簡得令= , = , = , = ，得懸臂梁橫向振動方程如下：+=3.3 一根柔桿總質量為M，它的彎曲剛度為EI。一個集中質量作用在桿的頂部，如圖P3.3，由于頂部質量的慣性與幾何剛度的影響，確定其的近似表達式。可應用題2.9中假定的振型表達式，以及采用靜位移函數(shù)，均勻梁用作集中橫向端部力（見圖P2.18）。 解：在廣義參數(shù)模型中單自由度系統(tǒng)的運動 方程可表示為 += 所以 =，應用例題2.3得 代入的表達式可得 = 在懸臂端作用橫向力P時，撓曲線方程為代入式，積分可得3.4 一個22Kg質量的用一根彈簧懸掛著，彈簧的彈

4、簧常數(shù)k=17KN/m。第二個質量，由高度h=0.2m處降落，并附著在質量上，如圖P3.4。 （a）確定兩個質量相碰瞬間后運動表達式 （b）確定兩個質量的最大位移 解：（a）以兩個物體在重力作用下的平衡位置為原點建立運動微分方程 則標準運動方程為 于是 確定運動的初始條件，即碰撞發(fā)生瞬間時，的位置和速度 因為碰撞發(fā)生在僅有時的平衡位置，所以 又由動量守恒（完全非彈性碰撞），得 由公式3.17得 （b）相對平衡位置，二者的最大位移 相對運動初始位置二者最大位移 3.8 模擬風渦輪成一個集中質量（渦輪的）在一根無重量，長度為L的塔頂上。確定該系統(tǒng)的動力特性，塔旁用一臺大型起重機，而且沿著渦輪軸給一

5、橫向力P=200 1b，如圖P3.8,這樣引起1.0 in的水平位移。連在渦輪到起重機的繩索立即突然切斷，記錄到渦輪的自由振動結果。在兩個整循環(huán)后，時間為1.25s，其幅值為0.64 in。 根據(jù)以上數(shù)據(jù)確定如下： （a） 無阻尼固有頻率（b） 有效剛度。（c） 有效質量（d） 有效阻尼因素解: 因為通常情況下系統(tǒng)所受的阻尼很小，由題目已知條件，可用阻尼固有頻率近似計算無阻尼固有頻率。有效剛度通過定義求解。有效阻尼因素由對數(shù)衰減法計算。具體計算如下：(a) (b) (c) (d) 4.13 機械設備經(jīng)常使用轉動裝置，它可使支承結構受力增加，例如建筑物屋頂上的空氣調(diào)節(jié)設備。根據(jù)圖4.11來判斷，

6、使用隔振裝置可以減少支承結構的受力。假定一臺機器以20Hz運行，并希望應用彈簧形式的隔振裝置來使傳遞的力減少90%，即（a）根據(jù)強迫頻率函數(shù)和靜彎曲來確定已知力減少百分比的表達式。（b）計算靜彎曲，其條件如上，即在20Hz時減少90%，以毫米表示。 解：傳遞到支承結構的力 故力的傳遞率 所以已知力減少百分比的表達式為 ） 又因為隔振裝置為彈簧式，所以，化簡表達式得 （b）把=90%,，代入上式的，得 解得 即，所以4.14 安裝在實驗室的一個隔振塊，使之鄰近工廠運轉試驗不會產(chǎn)生振動干擾。如隔振塊重2000 1b,而四周地面和基礎振動為24Hz 時的振幅為0.01 in，計算隔振塊僅產(chǎn)生0.00

7、2 in的幅值時振動系統(tǒng)的剛度。 解：根據(jù)隔振的含義，本題所指隔振塊的振幅應為絕對振動振幅，有公式得隔振塊的絕對運動與基礎運動幅值比為 因為忽略阻尼，所以 又， 代入數(shù)據(jù)，得 4.17 在振動的結構上一個點，已知其運動為=cos ()。（a）用一加速度計其阻尼因數(shù)和共振頻率來確定振動記錄。 (b) 加速度計是否會引起有效幅值或相位畸變？ 解：（a）振動記錄可以看作由兩部分組成。一部分由激勵引起，一部分由激勵引起?？偟恼駝佑涗浻蛇@兩部和疊加而成。 首先計算 其中 則可以表示為 = 其中 所以 = 計算 其中 則可以表示為 = 其中 所以 = 所以 =+ （b）由相位畸變和幅值畸變的定義，由第一步

8、的計算可知 所以=,分別表示,的加速度幅值，所以輸出與加速度輸入成正比，所以不會發(fā)生幅值畸變或相位畸變。5.2 運送一件儀器設備重40 1b，是用泡沫包裝在一容器內(nèi)。該容器的有效剛度k=100 1b/in，有效阻尼因數(shù)，若整個容器和它的包裝以垂直速度V=150 in/s碰撞在地面上，求泡沫包裝在儀器設備的最大總應力。（如圖P5.2所示） 解： 由有阻尼SDOF系統(tǒng)脈沖響應函數(shù)得儀器設備的振動位移函數(shù)為 其中 方法 直接求加速度的最大值近似計算用代替，并令 對求三次導得 為了求得的極值，令得 解得 ，代入的表達式得 代入數(shù)據(jù)得 所以泡沫包裝作用在儀器設備上的最大總力 方法 由，求極值得到總力的最

9、大值 因為的表達式中含有很多的參數(shù)，用符號表達式計算求導過程會使計算復雜化，故求導時直接代入數(shù)據(jù)計算。 代入數(shù)據(jù)，計算得 對求一次導得 令得 把代入得表達式計算得 考慮到數(shù)據(jù)誤差，方法與方法所得的結果一致。6.5 例題4.3中的車輛，已知當滿載時以速度通過一半正弦曲線形的凸起路面，凸起長度為，如圖P6.5所示。（1）計算質量在。（2）確定被彈簧支承的質量所受的最大力，并與（1）比較。 解：分析：質量所受的最大力與其絕對加速度成正比，要求得絕對加速度的最大值就可以先求出質量相對運動的運動方程的表達式，然后再求的極值即可。其中的表達式可以用SDOF系統(tǒng)在簡諧激勵下的公式計算，也可以用杜哈梅積分計算

10、。 汽車自振頻率的計算如下：方法 通過求解運動為運動微分方程求解的表達式 車輛的振動方程為當時，車輛為正弦型荷載作用下的強迫振動，運動方程如下：初始條件當時，車輛為有阻尼的自由振動，運動方程如下：初始條件求解運動方程，得的表達式：解得其中代入初始條件計算得A=0.0424 , B=0.2886所以把代入上式求得，代入自由振動解公式得在自由振動階段的振動方程（）：對求兩次導得(本題的求導過程都是通過matlab求解的) 由于的表達式很復雜，要求得兩個時間段下的最大值，可以通過Matlab作出兩個時間段下的圖形，進而得到的最大值。通過作圖知當時，取到負的最大，最大值；時， =； 。 用matlab

11、繪制加速度隨時間變化的曲線如下： 所以， 被彈簧支承的質量受到的最大力為 方法 通過杜哈梅積分求解的表達式 當時，車輛為正弦型荷載作用下的強迫振動，的表達式由杜哈梅積分（強迫振動部分）和自由振動兩部分表達式組成 其中 對上式積分可得（用matlab計算） 與解微分方程的結果比較可知，忽略數(shù)據(jù)誤差，二者的結果可以認為一致，與理論相符。 當時，車輛為有阻尼的自由振動，此時表達式得求法與方法相同。 當用杜哈梅積分求得的表達式以后，其余的計算步驟同方法，二者所得結果相同 9.5 一均勻薄剛桿BC的質量m，長度L附在一根均勻柔性梁AB上，設側向位移很小，用哈密頓原理推導柔性梁AB的運動方程和邊界條件。

12、解： 哈密頓原理可以表示為 對于薄壁長梁的橫向振動可以忽略梁的剪切變形和轉動慣量， 則對整體有 動能 勢能 外力功 求變分 因為在處，所以 把以上各式代入哈密頓公式得又對于均勻梁有，代入上式，化簡整理得所以運動方程為=0邊界條件為10.5 有許多結構梁，既不是固定端的也非簡直的，而可以考慮成局部彎曲。確定如圖P10.5所示梁的特征方程，其中是個控制參數(shù)，控制轉動約束的大小。 解：梁的振動方程為 ，通解如下： 彈性約束邊界條件，即 根據(jù)公式，對求兩次導得1 代入以上邊界條件得令=A,寫成矩陣的形式，如下 若這組齊次方程方程有非零解，則系數(shù)行列式必須為零，這樣得到特征方程：11.9 應用拉格朗日方

13、程推導下面系統(tǒng)的運動方程式（設圖P11.19中兩根剛桿的轉動很小）。 解：以在重力作用下系統(tǒng)的平衡位置作為基準點建立運動方程，則計算時不考慮重力勢能的影響。廣義坐標， 系統(tǒng)動能系統(tǒng)勢能外力虛構所以廣義力由拉格朗日公式，有所以可得關于第一個自由度的運動方程 又 所以可得關于第二個自由度的運動方程寫成矩陣形式：11.26 一根懸臂梁是用2-DOF假定振型模型來模擬的，如圖P11.26所示，它的廣義坐標是以自由度端的撓曲與斜率（很小）表示，即與。圖示符合形函數(shù)的振型。 （a）根據(jù)一般多項式來推導與多項式形式的形函數(shù) （b）推導這個2-DOF模型的運動方程 解：（a）對有邊界條件如下 ， 代入求解得

14、， 所以= 對有邊界條件如下 ， 代入求解得 ， 所以= 綜上 (b) , ， 求剛度矩陣 求質量矩陣 所以運動方程如下： 12.1 有一兩層建筑結構的剛度與剛度矩陣如下： ，（a） 求該結構的兩個固有周期（b） 求相應的兩個振型，按比例畫出兩個模態(tài)圖，其最大位移為1.0。 解：（a）振動方程如下 設簡諧解為 ，代入振動方程得代數(shù)特征值問題： 得特征方程如下： 解得，or 所以 （b）把代入方程得 代入計算得 12.8 有一2-DOF均勻懸臂梁的橫向振動，根據(jù) ,（a） 推導出該2-DOF模型的運動方程（b） 計算固有頻率。比較該頻率與例題10.3的精確頻率，并比較該頻率與例題10.4的頻率值

15、。 解：（a）推導振動方程 , ， 求剛度矩陣 求質量矩陣 所以運動方程如下： （b）求固有頻率 設簡諧解為 ，代入振動方程得代數(shù)特征值問題： 根據(jù)系數(shù)行列式矩陣等于零得特征方程如下： 化簡整理得 + 令,化簡上式得 解得，or 所以 比較：1. 由計算可知，所有的近似解都大于精確解。2用瑞利法求解頻率時往往得到精確解的上限。3. 用二階假定振型模擬振動計算得到的頻率解要比用一階假定振型模擬振動計算得到的對應頻率解精確。4. 假定振型越接近物體實際振動形式，求得的頻率解越精確?？梢赃x用適當?shù)恼裥停瑥睦碚撋蠠o限地接近精確解。16-2假定一根長度為L，總質量為m的等截面剛性桿，由一個彈性的無質量彎曲彈簧支承，并且承受均勻分布的，隨時間變化的