離散數(shù)學(xué)101-103群ppt課件

1、第10章 群與環(huán)離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國地質(zhì)大學(xué)本科生課程中國地質(zhì)大學(xué)本科生課程10.1 10.1 群的定義與性質(zhì)群的定義與性質(zhì)10.2 10.2 子群與群的陪集分解子群與群的陪集分解10.3 10.3 循環(huán)群與置換群循環(huán)群與置換群 本章總結(jié)本章總結(jié) 例題選講例題選講 作業(yè)作業(yè)10.1 10.1 群的定義及性質(zhì)群的定義及性質(zhì)q 半群與獨異點都是具有一個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)。半群與獨異點都是具有一個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)。q 半群與獨異點的定義，及其子代數(shù)的說明。半群與獨異點的定義，及其子代數(shù)的說明。q 半群與獨異點的冪運算。半群與獨異點的冪運算。q 半群與獨異點的同態(tài)映射。半群與獨異點的同態(tài)映射。

2、半群與獨異點半群與獨異點 定義定義10.1 10.1 (1)(1)設(shè)設(shè)V VS, 是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)，為二元運算，如果運算是可為二元運算，如果運算是可結(jié)合的，則稱結(jié)合的，則稱V V為半群為半群semigroupsemigroup）。）。(2)(2)設(shè)設(shè)V VS, 是半群是半群, ,若若eSeS是關(guān)于是關(guān)于運算的單位元運算的單位元, ,則稱則稱V V是含幺半群，也叫做獨異點是含幺半群，也叫做獨異點monoidmonoid）。）。有時也將獨異點有時也將獨異點V V記作記作V VSe。 半群與獨異點的實例半群與獨異點的實例q ，都是半群都是半群,+,+是普通加是普通加法。這些半群中除法。這些半群

3、中除外都是獨異點。外都是獨異點。q 設(shè)設(shè)n n是大于是大于1 1的正整數(shù)的正整數(shù),和和都是半群都是半群, ,也都也都是獨異點是獨異點, ,其中其中+ +和和分別表示矩陣加法和矩陣乘法。分別表示矩陣加法和矩陣乘法。q P(B), 為半群為半群, ,也是獨異點也是獨異點, ,其中其中為集合的對稱差運算。為集合的對稱差運算。q Zn, 為半群為半群, ,也是獨異點也是獨異點, ,其中其中ZnZn0,1,n-1,0,1,n-1,為模為模n n加法。加法。q AA, 為半群為半群, ,也是獨異點也是獨異點, ,其中其中為函數(shù)的復(fù)合運算。為函數(shù)的復(fù)合運算。q R 為半群為半群, ,其中其中R R為非零實數(shù)

4、集合為非零實數(shù)集合, ,運算定義如下：運算定義如下：q x,yRx,yR, x, xy yy y10.1 10.1 群的定義與性質(zhì)群的定義與性質(zhì)q 群是特殊的半群和獨異點。群是特殊的半群和獨異點。q 群論中常用的概念或術(shù)語：群論中常用的概念或術(shù)語：q有限群、無限群、平凡群、交換群、元素的冪和階有限群、無限群、平凡群、交換群、元素的冪和階。q 群的運算規(guī)則。群的運算規(guī)則。群的定義群的定義 定義定義10.110.1（3 3設(shè)設(shè)G, 是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)，為二元運算。假設(shè)為二元運算。假設(shè)運算是可結(jié)合運算是可結(jié)合的，存在單位元的，存在單位元eGeG，并且對，并且對G G中的任何元素中的任何元素x x

5、都有都有x-1G,x-1G,則稱則稱G G為群為群groupgroup）。）。舉例考慮例舉例考慮例10.110.1），），(1),(1),都是群都是群, ,而而和和不是群。不是群。(2)(2)是群是群, ,而而不是群。因為并非所有的不是群。因為并非所有的n n階實階實矩陣都有逆陣。矩陣都有逆陣。(3)P(B),(3) 是群，因為對任何是群，因為對任何B B的子集的子集A A，A A的逆元就是的逆元就是A A自身。自身。(4)Zn,(4) 是群。是群。0 0是是ZnZn中的單位元。中的單位元。xZnxZn，若，若x x0 0，x x的逆元就的逆元就是是0 0，若，若x0 x0，則，則n-xn-x

6、是是x x的逆元。的逆元。(5)AA,(5) ，當(dāng)，當(dāng)|A|2|A|2時不是群。時不是群。KleinKlein四元群四元群設(shè)設(shè)G Ga,b,c,da,b,c,d，為為G G上的二元運算，見下表。上的二元運算，見下表。 e ea ab bc ce ee ea ab bc ca aa ae ec cb bb bb bc ce ea ac cc cb ba ae eG G是一個群：是一個群：e e為為G G中的單位元；中的單位元；運算是可結(jié)合的；運算是可結(jié)合的；運算是可交換的；運算是可交換的；G G中任何元素的逆元就是它自己；中任何元素的逆元就是它自己；在在a,b,ca,b,c三個元素中三個元素中,

7、 ,任何兩個元素任何兩個元素運算的結(jié)果都等于另一個元素。運算的結(jié)果都等于另一個元素。稱這個群為稱這個群為KleinKlein四元群四元群, ,簡稱四元群。簡稱四元群。群論中常用的概念或術(shù)語群論中常用的概念或術(shù)語定義定義10.210.2(1)(1)若群若群G G是有窮集是有窮集, ,則稱則稱G G是有限群，否則稱為無限群。是有限群，否則稱為無限群。 群群G G的基數(shù)稱為群的基數(shù)稱為群G G的階，有限群的階，有限群G G的階記作的階記作|G|G|。(2)(2)只含單位元的群稱為平凡群。只含單位元的群稱為平凡群。(3)(3)若群若群G G中的二元運算是可交換的，則稱中的二元運算是可交換的，則稱G G

8、為交換群或阿貝爾為交換群或阿貝爾(Abel)(Abel)群。群。例例q ,是無限群。是無限群。q Zn, 是有限群，也是是有限群，也是n n階群。階群。q KleinKlein四元群是四元群是4 4階群。階群。q 是平凡群。是平凡群。q 上述所有的群都是交換群。上述所有的群都是交換群。q 但但n n階階(n2)(n2)實可逆矩陣的集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是實可逆矩陣的集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是非交換群，因為矩陣乘法不滿足交換律。非交換群，因為矩陣乘法不滿足交換律。 群中元素的群中元素的n n次冪次冪定義定義10.3 10.3 設(shè)設(shè)G G是群，是群，aGaG，nZnZ，則，則a a的的n n次冪

9、次冪q與半群和獨異點不同的是：群中元素可以定義負(fù)整數(shù)次冪。與半群和獨異點不同的是：群中元素可以定義負(fù)整數(shù)次冪。q在在Z3, 中有中有q 2-3 2-3(2-1)3(2-1)313131 11 11 10 0q在在中有中有q 3-5 3-5(3-1)5(3-1)5(-3)5(-3)5(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)-15-15mnnanaaneamnn,0)(0011群中元素的階群中元素的階定義定義10.410.4設(shè)設(shè)G G是群，是群，aGaG，使得等式，使得等式 akake e成立的最小正整數(shù)成立的最小正整數(shù)k k稱為稱為a a的

10、階，記作的階，記作|a|a|k k，這時也稱，這時也稱a a為為k k階元。若不存在這樣的正整數(shù)階元。若不存在這樣的正整數(shù)k,k,則稱則稱a a為無限階元。為無限階元。舉例舉例在在Z6, 中，中，2 2和和4 4是是3 3階元，階元，3 3是是2 2階元，而階元，而1 1和和5 5是是6 6階元，階元，0 0是是1 1階元。階元。在在中，中，0 0是是1 1階元，其它的整數(shù)都是無限階元。階元，其它的整數(shù)都是無限階元。在在KleinKlein四元群中，四元群中，e e為為1 1階元，其它元素都是階元，其它元素都是2 2階元。階元。群的性質(zhì)群的性質(zhì)群的冪運算規(guī)則群的冪運算規(guī)則 定理定理10.1 1

11、0.1 設(shè)設(shè)G G為群為群, ,則則G G中的冪運算滿足：中的冪運算滿足：(1) aG,(a-1)-1(1) aG,(a-1)-1a a。(2) a,bG(2) a,bG，(ab)-1(ab)-1b-1a-1b-1a-1。(3) aG(3) aG，anamanaman+man+m，n,mZn,mZ。(4) aG(4) aG，(an)m(an)manmanm，n,mZn,mZ。(5) (5) 若若G G為交換群，那么為交換群，那么(ab)n(ab)nanbnanbn。分析：分析：(1)(1)和和(2)(2)可以根據(jù)定義證明?？梢愿鶕?jù)定義證明。(3)(3)、(4)(4)、(5)(5)中的等式中的等

12、式, ,先利用數(shù)學(xué)歸納法對于自然數(shù)先利用數(shù)學(xué)歸納法對于自然數(shù)n n和和m m證出相應(yīng)的結(jié)果，然后討論證出相應(yīng)的結(jié)果，然后討論n n或或m m為負(fù)數(shù)的情況。為負(fù)數(shù)的情況。定理定理10.110.1的證明的證明(1) aG,(a-1)-1(1) aG,(a-1)-1a a。(a-1)-1(a-1)-1是是a-1a-1的逆元，的逆元，a a也是也是a-1a-1的逆元。的逆元。（或者：（或者：a-1a-1是是a a的逆元，的逆元，a a也是也是a-1a-1的逆元。）的逆元。）根據(jù)逆元的唯一性，根據(jù)逆元的唯一性， (a-1)-1 (a-1)-1a a。(2) a,bG(2) a,bG，(ab)-1(ab)

13、-1b-1a-1b-1a-1。(b-1a-1)(ab)(b-1a-1)(ab)b-1(a-1a)bb-1(a-1a)bb-1bb-1be e (ab)(b-1a-1)(ab)(b-1a-1)a(bb-1)a-1a(bb-1)a-1aa-1aa-1e e故故 b-1a-1 b-1a-1是是 ab ab 的逆元。的逆元。根據(jù)逆元的唯一性等式得證。根據(jù)逆元的唯一性等式得證。定理定理10.110.1的證明的證明(3) aG(3) aG，anamanaman+man+m，n,mZn,mZ。先考慮先考慮n,mn,m都是自然數(shù)的情況。任意給定都是自然數(shù)的情況。任意給定n n，對，對m m進行歸納。進行歸納。

14、m m0 0，有，有ana0ana0aneaneananan+0an+0成立。成立。假設(shè)對一切假設(shè)對一切mNmN有有anamanaman+man+m成立，則有成立，則有anam+1anam+1an(ama)an(ama)(anam)a(anam)aan+maan+maan+m+1an+m+1由歸納法等式得證。由歸納法等式得證。下面考慮存在負(fù)整數(shù)次冪的情況。下面考慮存在負(fù)整數(shù)次冪的情況。設(shè)設(shè)n0n0，m0m0，令，令n n-t-t，tZ+tZ+，那么，那么anamanama-tama-tam(a-(a-1)tam1)tama-(t-m)a-(t-m)am-tam-tan+man+mtmtmam-

15、tam-tan+man+mtmtm對于對于n0,m0n0,m0以及以及n0,m0n0,m0的情況同理可證。的情況同理可證。(5) (5) 若若G G為交換群，那么為交換群，那么(ab)n(ab)nanbnanbn。當(dāng)當(dāng)n n為自然數(shù)時，對為自然數(shù)時，對n n進行歸納。進行歸納。(ab)n(ab)n (ba)n(ba)n (ba)-(ba)-m m(ba)-1)m(ba)-1)m (a-1b-1)m(a-1b-1)m(a-1)m(b-(a-1)m(b-1)m1)ma-mb-a-mb-m manbnanbnn n0 0，有，有 (ab)0(ab)0 e e eeee a0b0a0b0。假設(shè)假設(shè)(a

16、b)k(ab)kakbkakbk，則，則有有(ab)k+(ab)k+1 1(ab)k(ab)(ab)k(ab) (akbk)ab(akbk)abak(bka)bak(bka)bak(abk)bak(abk)b (aka)(bkb)(aka)(bkb) (ak+1)(bk+1)(ak+1)(bk+1)由歸納法等式得證。由歸納法等式得證。設(shè)設(shè)n0n0m0，那么，那么定理定理10.110.1說明說明q 定理定理10.1(2)10.1(2)中的結(jié)果可以推廣到有限多個元素的情況中的結(jié)果可以推廣到有限多個元素的情況, ,即即11111121aaaaaarrr 個nnababababq 注意上述定理中的最后

17、一個等式只對交換群成立。注意上述定理中的最后一個等式只對交換群成立。q 如果如果G G是非交換群是非交換群, ,那么只有那么只有消去律消去律 定理定理10.2 10.2 G G為群為群, ,則則G G中適合消去律，即對任意中適合消去律，即對任意a,b,cG a,b,cG 有有(1)(1)若若ababacac，則，則b bc c。(2)(2)若若babacaca，則，則b bc c。證明：證明：(1)ab(1)abacac a-1(ab) a-1(ab)a-1(ac)a-1(ac) (a-1a)b (a-1a)b(a-1a)c(a-1a)c eb ebecec b bc c(2)(2)略略例例1

18、0.510.5例例10.5 10.5 設(shè)設(shè)G Ga1,a2,ana1,a2,an是是n n階群，令階群，令 aiGaiGaiaj|j=1,2,naiaj|j=1,2,n證明證明 aiG aiGG G。證明：由群中運算的封閉性有證明：由群中運算的封閉性有aiG aiG G G。假設(shè)假設(shè)aiG aiG G G，即，即|aiG|n|aiG|n。必有必有aj,akG aj,akG 使得使得aiajaiajaiak aiak （jkjk）由消去律得由消去律得 aj=ak, aj=ak,與與|G|G|n n矛盾。矛盾。群中元素的階的性質(zhì)群中元素的階的性質(zhì)定理定理10.3 G10.3 G為群，為群，aGaG

19、且且|a|a|r r。設(shè)。設(shè)k k是整數(shù)是整數(shù), ,那么那么(1) ak(1) ake e當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) r|k r|k(2) |a|(2) |a|a-1|a-1|證明：證明：(1)(1)充分性。充分性。由于由于r|kr|k，必存在整數(shù)，必存在整數(shù)m m使得使得k kmrmr，所以有，所以有akakamramr(ar)m(ar)memem e e。必要性。必要性。根據(jù)除法，存在整數(shù)根據(jù)除法，存在整數(shù)m m和和i i使得使得k kmr+imr+i，0ir-10ir-1從而有從而有e eakakamr+iamr+i(ar)mai(ar)mai eaieai aiai由于由于|a|a|r,r,必有

20、必有i i0 0。這就證明了。這就證明了r|kr|k。定理定理10.3(2)10.3(2)證明證明(2) |a|(2) |a|a-1|a-1|由由(a-1)r(a-1)r(ar)-1(ar)-1e-1e-1e e，可知，可知 a-1 a-1 的階存在。的階存在。令令|a-1|a-1|t t，根據(jù)上面的證明有，根據(jù)上面的證明有 t|r t|r。這說明這說明a a的逆元的階是的逆元的階是a a的階的階r r的因子。的因子。而而a a又是又是a-1a-1的逆元，的逆元，根據(jù)條件有根據(jù)條件有|a-1|a-1|(a-1)-1|(a-1)-1|a|a|，所以所以a a的階也是的階也是a-1a-1的階的因子

21、，故有的階的因子，故有r|tr|t。從而證明了從而證明了r rt,t,即即|a|a|a-1|a-1|。證明元素的階相等的方法證明元素的階相等的方法證明證明|x|x|y|y|的方法：的方法：令令|x|x|r r，|y|y|s s驗證驗證 (x)s (x)se e r|s r|s驗證驗證 (y)r (y)re e s|r s|r因此因此 r rs s，即，即 |x| |x|y|y|。例例10.610.6例例10.6 10.6 設(shè)設(shè)G G是群，是群，a,bGa,bG是有限階元。證明是有限階元。證明(1)|b-1ab|(1)|b-1ab|a|a|(2)|ab|(2)|ab|ba|ba|證明：證明：(1

22、)(1)設(shè)設(shè)|a|a|r,|b-1ab|r,|b-1ab|t t，則有，則有(b-(b-1ab)r1ab)r(b-1ab)(b-1ab)(b-1ab) (r(b-1ab)(b-1ab)(b-1ab) (r個個b-b-1ab)1ab)b-b-1arb1arbb-1ebb-1ebe e根據(jù)定理根據(jù)定理10.310.3，可知，可知b-1abb-1ab的階是的階是a a的階的因子，即的階的因子，即t|rt|r。另一方面，另一方面，a ab(b-1ab)b-1b(b-1ab)b-1(b-1)-1(b-1ab)b-1(b-1)-1(b-1ab)b-1可知可知,(b-1)-1(b-1ab)b-1,(b-1)

23、-1(b-1ab)b-1的階是的階是b-1abb-1ab的階的因子，即的階的因子，即r|tr|t。從而有從而有|b-1ab|=|a|b-1ab|=|a|。例例10.6(2)10.6(2)證明證明(2)|ab|(2)|ab|ba|ba|設(shè)設(shè)|ab|ab|r,|ba|r,|ba|t t，則有，則有(ab)t+1(ab)t+1 (ab)(ab)(ab) (ab)(ab)(ab)t+1t+1個個abab a(ba)(ba)(ba)b a(ba)(ba)(ba)bt t個個baba a(ba)tb a(ba)tb aeb aeb ab ab由消去律得由消去律得(ab)t(ab)te e，從而可知，從而可

24、知，r|t.r|t.同理可證同理可證 t|r t|r。因此，因此，|ab|ab|ba|ba|。例例10.710.7例例10.7 10.7 設(shè)設(shè)G G為有限群，則為有限群，則G G中階大于中階大于2 2的元素有偶數(shù)個。的元素有偶數(shù)個。證明：根據(jù)定理證明：根據(jù)定理10.3 10.3 可知，對于任意可知，對于任意aGaG，有，有a2a2e e |a| |a|1 1 或或 |a| |a|2 2若若a2a2e e，則有，則有 a-1a2 a-1a2a-1ea-1e，即，即 a aa-1a-1。反之，若反之，若a aa-1a-1，則有則有 a2 a2aaaaaa-1aa-1e e，這就推出，這就推出a2a

25、2e e a aa-1a-1。綜合上述可知，對綜合上述可知，對G G中階大于中階大于2 2的元素的元素a a，必有，必有aa-1aa-1。又由于又由于|a|a|a-1|a-1|，所以，所以G G中階大于中階大于2 2的元素一定成對出現(xiàn)。的元素一定成對出現(xiàn)。G G中若含有階大于中若含有階大于2 2的元素，一定是偶數(shù)個。的元素，一定是偶數(shù)個。若若G G中不含階大于中不含階大于2 2的元素，而的元素，而0 0也是偶數(shù)。也是偶數(shù)。本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容q 集合集合G G和二元運算構(gòu)成群的條件封閉性、結(jié)合律、單位和二元運算構(gòu)成群的條件封閉性、結(jié)合律、單位元、每個元素有逆元）。元、每個元素有逆元）。q

26、特殊群的定義有限與無限群、特殊群的定義有限與無限群、AbelAbel群、平凡群與群的群、平凡群與群的階。階。q 元素的冪與元素的階元素的冪與元素的階q 群的性質(zhì)：冪運算規(guī)則、消去律、有關(guān)元素的階的性質(zhì)。群的性質(zhì)：冪運算規(guī)則、消去律、有關(guān)元素的階的性質(zhì)。10.2 10.2 子群與群的陪集子群與群的陪集q 子群就是群的子代數(shù)子群就是群的子代數(shù)q 子群的定義子群的定義q 子群的三個判定方法子群的三個判定方法q 重要子群的實例重要子群的實例q 生成群、中心生成群、中心定義定義10.5 10.5 設(shè)設(shè)G G是群，是群，H H是是G G的非空子集，如果的非空子集，如果H H關(guān)于關(guān)于G G中的運算構(gòu)成中的運

27、算構(gòu)成群，則稱群，則稱H H是是G G的子群的子群(subgroup)(subgroup)，記作，記作 HG HG。若若H H是是G G的子群，且的子群，且H HG G，則稱，則稱H H是是G G的真子群的真子群(proper (proper subgroup)subgroup)，記作，記作 H HG G。闡明：對任何群闡明：對任何群G G都存在子群。都存在子群。G G和和ee都是都是G G的子群，稱為的子群，稱為G G的平凡子群的平凡子群(trivial subgroup) (trivial subgroup) 。 舉例：舉例：nZnZn n是自然數(shù)是整數(shù)加群是自然數(shù)是整數(shù)加群Z,+Z,+的

28、子群。的子群。當(dāng)當(dāng)n1n1時時,nZ,nZ是是Z Z的真子群。的真子群。子群的判定定理一子群的判定定理一定理定理10.410.4判定定理一設(shè)判定定理一設(shè)G G為群，為群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。H H是是G G的子的子群當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件成立：群當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件成立：(1) (1) a,bHa,bH，有，有 abH abH。(2) (2) aHaH，有，有 a-1H a-1H。證明：必要性是顯然的。證明：必要性是顯然的。為證明充分性，只需證明為證明充分性，只需證明eHeH。（為什么？）。（為什么？）因為因為H H非空，必存在非空，必存在aHaH。由條件由條件(2)(2)可知，

29、可知，a-1Ha-1H，再使用條件再使用條件(1)(1)有有 aa-1H aa-1H，即，即eHeH。子群的判定定理二子群的判定定理二定理定理10.510.5判定定理二）判定定理二） 設(shè)設(shè)G G為群，為群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。H H是是G G的的子群當(dāng)且僅當(dāng)子群當(dāng)且僅當(dāng)a,bHa,bH有有ab-1Hab-1H。證明：必要性。證明：必要性。任取任取a,bHa,bH，由于，由于H H是是G G的子群，必有的子群，必有b-1Hb-1H，由封閉性有由封閉性有 ab-1H ab-1H。充分性。充分性。因為因為H H非空，必存在非空，必存在aHaH。根據(jù)給定條件得根據(jù)給定條件得 aa-

30、1H aa-1H，即，即eHeH。任取任取aHaH，由，由e,aH e,aH 得得 ea-1H ea-1H，即，即a-1Ha-1H。任取任取a,bHa,bH，由剛才的證明知，由剛才的證明知 b-1H b-1H。再利用給定條件得再利用給定條件得a(b-1)-1Ha(b-1)-1H，即，即 abH abH。綜合所述，根據(jù)判定定理一，可知綜合所述，根據(jù)判定定理一，可知 H H是是G G的子群。的子群。子群的判定定理三子群的判定定理三定理定理10.6(10.6(判定定理三判定定理三) ) 設(shè)設(shè)G G為群，為群，H H是是G G的非空子集。如果的非空子集。如果H H是是有窮集，則有窮集，則H H是是G

31、G的子群當(dāng)且僅當(dāng)?shù)淖尤寒?dāng)且僅當(dāng) a,bHa,bH有有abHabH。證明：必要性是顯然的。證明：必要性是顯然的。充分性。只需證明充分性。只需證明 aHaH有有a-1Ha-1H。任取任取aHaH，若，若a ae e，則，則a-1a-1e-1e-1eHeH。若若ae,ae,令令 S Sa,a2,a,a2,，則，則S SH H。由于由于H H是有窮集，必有是有窮集，必有aiaiajajiji1j-i1，由此得，由此得aj-i-1aaj-i-1ae e 和和 aaj-i-1 aaj-i-1e e從而證明了從而證明了 a-1 a-1aj-i-1Haj-i-1H。 子群實例子群實例生成子群生成子群 例例10

32、.8 10.8 設(shè)設(shè)G G為群，為群，aGaG，令，令H Hak|kZak|kZ，即，即a a的所有的冪構(gòu)成的所有的冪構(gòu)成的集合，則的集合，則H H是是G G的子群，稱為由的子群，稱為由a a生成的子群，記作生成的子群，記作。證明：由證明：由aa知道，知道，。任取任取am,alam,al， 那么那么am(al)-1am(al)-1ama-lama-l am-lam-l根據(jù)判定定理二可知根據(jù)判定定理二可知GG。舉例舉例(1)(1)整數(shù)加群，由整數(shù)加群，由2 2生成的子群是生成的子群是2k|kZ2k|kZ2Z2Z(2)(2)群群Z6, 中，由中，由2 2生成的子群由生成的子群由 20 200 0，

33、21212 2，22224 4，23=023=0，構(gòu)成，構(gòu)成， 即即 0,2,40,2,4(3)Klein(3)Klein四元群四元群G Ge,a,b,ce,a,b,c的所有生成子群是：的所有生成子群是： ee，e,ae,a，e,be,b，e,ce,c。子群實例子群實例中心中心例例10.9 10.9 設(shè)設(shè)G G為群，令為群，令C C是與是與G G中所有的元素都可交換的元素構(gòu)成的集中所有的元素都可交換的元素構(gòu)成的集合，即合，即C Ca|aGxG(axa|aGxG(axxa)xa)則則C C是是G G的子群，稱為的子群，稱為G G的中心。的中心。 證明：由證明：由e e與與G G中所有元素的交換性

34、可知，中所有元素的交換性可知，eCeC。C C是是G G的非空子集。的非空子集。任取任取a,bCa,bC，為證明，為證明ab-1Cab-1C，只需證明，只需證明ab-1ab-1與與G G中所有的元素都中所有的元素都可交換?？山粨Q。xGxG，有，有(ab-(ab-1)x1)xab-1xab-1xab-1(x-ab-1(x-1)-11)-1a(x-1b)-a(x-1b)-1 1a(bx-1)-a(bx-1)-1 1a(xb-1)a(xb-1) (ax)b-(ax)b-1 1(xa)b-(xa)b-1 1x(ab-1)x(ab-1)由判定定理二可知，由判定定理二可知，CGCG。中心的說明中心的說明q

35、 對于阿貝爾群對于阿貝爾群G G，因為，因為G G中所有的元素互相都可交換，中所有的元素互相都可交換，G G的中心的中心就等于就等于G G。q 但是對某些非交換群但是對某些非交換群G G，它的中心是，它的中心是ee。例例10.10 10.10 例例10.10 10.10 設(shè)設(shè)G G是群，是群，H,KH,K是是G G的子群。證明的子群。證明(1) HK(1) HK也是也是G G的子群。的子群。(2) HK(2) HK是是G G的子群當(dāng)且僅當(dāng)?shù)淖尤寒?dāng)且僅當(dāng) H HK K 或或 K KH H。證明：證明：(1) (1) 由由eHK eHK 知知 HK HK非空。非空。任取任取a,bHKa,bHK，那

36、么，那么 aH aH，aKaK，bHbH，bKbK。由于由于H H和和K K是是G G的子群，必有的子群，必有 ab-1H ab-1H 和和 ab-1K ab-1K，從而推出從而推出 ab-1HK ab-1HK。根據(jù)判定定理二，命題得證。根據(jù)判定定理二，命題得證。例例10.1010.102 2）(2) HK(2) HK是是G G的子群當(dāng)且僅當(dāng)?shù)淖尤寒?dāng)且僅當(dāng) H HK K 或或 K KH H。充分性是顯然的。充分性是顯然的。必要性，用反證法。必要性，用反證法。假設(shè)假設(shè) H HK K 且且 K KH H，那么存在，那么存在h h和和k k使得使得hHhhHhK K 并且并且 kKk kKkH H這

37、就推出這就推出 hk hkH H。若不然，由若不然，由h-1Hh-1H可得可得 k kh-1(hk)Hh-1(hk)H，與假設(shè)矛盾。，與假設(shè)矛盾。同理可證，同理可證，hkhkK K。從而得到從而得到 hk hkHKHK。這與這與HKHK是子群矛盾。是子群矛盾。如何找到有限群的全部子群如何找到有限群的全部子群第第0 0層：層：ee是是G G的平凡子群，也是最小的子群，放在第的平凡子群，也是最小的子群，放在第0 0層。層。第第1 1層：任取層：任取a aG G，a ae e，那么，那么是是a a由生成的子群。由生成的子群。假設(shè)假設(shè)GG且不存在且不存在是是的真子群，則將的真子群，則將放在第放在第1

38、1層。層。 如果如果G G中所有的非單位元生成的子群都等于中所有的非單位元生成的子群都等于G G，則構(gòu)造結(jié)束，則構(gòu)造結(jié)束，并將并將G G放在第放在第1 1層。層。 如果如果a,ba,bG G，abab，但，但，這時取，這時?。ɑ颍ɑ颍?。）。第第2 2層：假設(shè)層：假設(shè)在第在第1 1層，并且層，并且G G中存在其它元素中存在其它元素b b滿足滿足，同時不存在元素同時不存在元素c c使得使得，那么，那么放在第放在第2 2層。層。 此外，第此外，第2 2層還包含有第層還包含有第1 1層的子群的并集生成的更大的子群。層的子群的并集生成的更大的子群。如何找到有限群的全部子群如何找到有限群的全部子群任取第任

39、取第1 1層的兩個子群層的兩個子群H1,H2H1,H2，令，令B BH1H2H1H2，如果，如果H1H1H2H2，H1H1H2 ,H2 ,那么那么H1H2H1H2不是不是G G的子群，而只是的子群，而只是G G的子集，將的子集，將G G的所的所有包含有包含B B的子群的交記作的子群的交記作，即，即H|BH|BHHGHHG。易見易見是是G G的子群，稱為由的子群，稱為由B B生成的子群，生成的子群，中的元素恰為如中的元素恰為如下形式：下形式：a1a2ak,kZ+a1a2ak,kZ+其中其中aiai是是B B中元素或中元素或B B中元素的逆元。不難證明，中元素的逆元。不難證明，是包含了是包含了H1

40、H1和和H2H2的最小子群。的最小子群。按照這樣的方法，構(gòu)造按照這樣的方法，構(gòu)造，假設(shè)，假設(shè)GG且第且第2 2層不層不存在其他子群是存在其他子群是的真子群，則將的真子群，則將放在第放在第2 2層層。從而由第。從而由第1 1層的子群生成第層的子群生成第2 2層的所有子群。當(dāng)然，不同的層的所有子群。當(dāng)然，不同的子群可能會生成相同的新子群。子群可能會生成相同的新子群。按照這種辦法繼續(xù)下去，每層構(gòu)造時先檢查是否還有單元素生按照這種辦法繼續(xù)下去，每層構(gòu)造時先檢查是否還有單元素生成的新子群，然后利用前一層子群的并集生成新子群。由于成的新子群，然后利用前一層子群的并集生成新子群。由于G G是有限群，經(jīng)過有限

41、步生成后，總可得到最高層的唯一的平是有限群，經(jīng)過有限步生成后，總可得到最高層的唯一的平凡子群凡子群G G，這時構(gòu)造過程結(jié)束。，這時構(gòu)造過程結(jié)束。如何找到有限群的全部子群如何找到有限群的全部子群例如：例如：G Ge,a,b,ce,a,b,c是是KleinKlein四元群，根據(jù)上述的構(gòu)造性方法得到四元群，根據(jù)上述的構(gòu)造性方法得到G G的全部子群如下：的全部子群如下：第第2 2層層 G G第第1 1層層 e,a, e,a, e,b, e,b, e,ce,c第第0 0層層 ee例如：例如：G GZ6Z60,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5，模，模6 6加群。則加群。則G G的全部子群如下：的全

42、部子群如下：第第2 2層層 G G第第1 1層層 0,2,4, 0,2,4, 0,3 0,3 第第0 0層層 00如何找到有限群的全部子群如何找到有限群的全部子群設(shè)設(shè)G G為群，令為群，令S SH|HH|H是是G G的子群的子群 ，在，在S S上定義關(guān)系上定義關(guān)系R R如下：如下：A,BA,BS,ARB S,ARB A A是是B B的子群的子群那么那么構(gòu)成偏序集，稱為群構(gòu)成偏序集，稱為群G G的子群格。的子群格。 KleinKlein四元群四元群G G與模與模1212加群加群Z12Z12的子群格如圖所示。的子群格如圖所示。本節(jié)主要內(nèi)容及學(xué)習(xí)要求本節(jié)主要內(nèi)容及學(xué)習(xí)要求 q 主要內(nèi)容主要內(nèi)容q 子

43、群的定義。子群的定義。q 子群的三個判定定理及其應(yīng)用。子群的三個判定定理及其應(yīng)用。q 典型子群：由元素生成的子群典型子群：由元素生成的子群,群群G G的中心的中心C C，若干個子，若干個子群的交集。群的交集。q 學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求q 會證明群的子集是子群。會證明群的子集是子群。q 了解幾個典型子群的定義。了解幾個典型子群的定義。10.210.2續(xù)群的陪集分解續(xù)群的陪集分解q 本節(jié)主要討論群的分解本節(jié)主要討論群的分解q 陪集的定義、實例、性質(zhì)陪集的定義、實例、性質(zhì)q 拉格朗日定理拉格朗日定理陪集陪集定義定義10.6 10.6 設(shè)設(shè)H H是是G G的子群，的子群，aGaG。令。令HaHaha|hHh

44、a|hH稱稱HaHa是子群是子群H H在在G G中的右陪集中的右陪集(right coset)(right coset)。稱。稱a a為為HaHa的的代表元素。代表元素。實例：實例：10.1110.11設(shè)設(shè)G Ge,a,b,ce,a,b,c是是KleinKlein四元群，四元群，H He,ae,a是是G G的子的子群。群。H H所有的右陪集是：所有的右陪集是：HeHee,ae,aH H HaHaa,ea,eH H HbHbb,cb,c HcHcc,bc,b不同的右陪集只有兩個，即不同的右陪集只有兩個，即H H和和b,cb,c。陪集的實例陪集的實例設(shè)設(shè)A A1,2,3,f1,f2,f61,2,3

45、,f1,f2,f6是是A A上的雙射函數(shù)。其中上的雙射函數(shù)。其中f1f1,f2f2,f3f3,f4f4,f5f5,f6f6,令令G Gf1,f2,f6f1,f2,f6，則，則G G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運算構(gòu)成群。關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運算構(gòu)成群?？紤]考慮G G的子群的子群H Hf1,f2f1,f2。做出。做出H H的全體右陪集如右面所示：的全體右陪集如右面所示：Hf1Hf1f1f1f1,f2f1,f2f1f1f1,f2f1,f2H HHf2Hf2f1f1f2,f2f2,f2f2f2f2,f1f2,f1H HHf3Hf3f1f1f3,f2f3,f2f3f3f3,f5f3,f5Hf4Hf4f1f1f4,f2f4

46、,f2f4f4f4,f6f4,f6Hf5Hf5f1f1f5,f2f5,f2f5f5f5,f3f5,f3Hf6Hf6f1f1f6,f2f6,f2f6f6f6,f4f6,f4易見，不同的右陪集只有三個，每個右陪集都是易見，不同的右陪集只有三個，每個右陪集都是G G的子集。的子集。陪集的基本性質(zhì)陪集的基本性質(zhì)定理定理10.7 10.7 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群，那么的子群，那么(1) He(1) HeH H。(2) (2) aGaG有有 aHa aHa。證明：證明：(1) He(1) He he|hHhe|hH h|hHh|hH H H(2) (2) 任取任取aGaG，由由a aeaea和和e

47、aHa eaHa 得得aHaaHa。定理定理10.8 10.8 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群，那么的子群，那么a,bG a,bG 有有aHb aHb ab-1H ab-1H Ha HaHbHb證明：先證證明：先證 aHb aHb ab-1H ab-1H。aHbaHb h(hHah(hHahb)hb) h(hHab-1h(hHab-1h)h) ab-1H ab-1H 反之，任取反之，任取h1bHbh1bHb，則有，則有再證：再證：aHb aHb Ha HaHbHb。充分性。若充分性。若HaHaHbHb，由由aHaaHa可知，必有可知，必有aHbaHb。必要性。由必要性。由aHbaHb可知，可知

48、， 存在存在hH hH 使得使得a ahbhb，即，即b bh-1ah-1a。任取任取h1aHah1aHa，則有，則有h1ah1ah1(hb)h1(hb) (h1h)bHb(h1h)bHb從而得到從而得到 Ha HaHbHb。h1bh1bh1(h-1a)h1(h-1a)(h1h-1)aHa(h1h-1)aHa從而得到從而得到 Hb HbHaHa。綜上所述，綜上所述，HaHaHbHb得證。得證。定理定理10.810.8的說明的說明q 該定理給出了兩個右陪集相等的充分必要條件，并且說明在該定理給出了兩個右陪集相等的充分必要條件，并且說明在右陪集中的任何元素都可以作為它的代表元素。右陪集中的任何元素

49、都可以作為它的代表元素。q 在例在例10.1110.11中，中， H Hf1,f2f1,f2qf3f3, f5f5,q Hf3Hf3f1f1f3,f2f3,f2f3f3f3,f5f3,f5 Hf5Hf5f1f1f5,f2f5,f2f5f5f5,f3f5,f3q可以看出可以看出f3Hf5f3Hf5，所以，所以 Hf3 Hf3Hf5Hf5。q同時有同時有f3f3f5-1f5-1f3f3f6f6f2Hf2H定理定理10.910.9定理定理10.9 10.9 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群，在的子群，在G G上定義二元關(guān)系上定義二元關(guān)系R R：a,bGa,bG，R R ab-1H ab-1H則則R R

50、是是G G上的等價關(guān)系，且上的等價關(guān)系，且aRaRHaHa。證明：先證明證明：先證明R R為為G G上的等價關(guān)系。上的等價關(guān)系。任取任取aG,aG,由由aa-1aa-1eH eH R R可知可知R R在在G G上是自反的。上是自反的。任取任取a,bGa,bG，那么，那么RR ab-1H ab-1H (ab-1)-1H (ab-1)-1H ba-1H ba-1H R R 所以所以R R是對稱的。是對稱的。定理定理10.910.9baRbaR任取任取a,b,cGa,b,cG，那，那么么RRRR ab-1Hbc-1H ab-1Hbc-1H ac-1R ac-1R R R所以所以R R是傳遞的。是傳遞

51、的。綜上所述，綜上所述，R R是是G G上的等價關(guān)系。上的等價關(guān)系。下面證明：下面證明：aG,aRaG,aRHaHa。任取任取bGbG，則有，則有 R R ab-1H ab-1H根據(jù)定理根據(jù)定理10.910.9有有ab-1Hab-1H Ha HaHbHb bHa bHa這就推出這就推出 baR baR bHa bHa，從而證明了，從而證明了aRaRHaHa。 (ab-1)(bc-1)H (ab-1)(bc-1)H定理定理10.910.9推論推論推論推論 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群，那么的子群，那么(1)(1)任取任取a,bGa,bG，HaHaHb Hb 或或 HaHb HaHb(2)Ha|

52、aG(2)Ha|aGG G 證明：由定理證明：由定理10.910.9和和7.147.14可得?？傻?。重要結(jié)果：給定群重要結(jié)果：給定群G G的一個子群的一個子群H H，H H的所有右陪集的集合的所有右陪集的集合Ha|aGHa|aG恰好構(gòu)成恰好構(gòu)成G G的一個劃分。的一個劃分。舉例：考慮舉例：考慮KleinKlein四元群四元群G Ge,a,b,ce,a,b,c，H He,ae,a是是G G的子群。的子群。H H在在G G中的右陪集是中的右陪集是H H和和HbHb，其中，其中HbHbb,cb,c。那么那么H,HbH,Hb構(gòu)成了構(gòu)成了G G的一個劃分。的一個劃分。右陪集右陪集H H的右陪集定義，即的

53、右陪集定義，即HaHaha|hHha|hH，aGaG右陪集的性質(zhì)：右陪集的性質(zhì)：1.He1.HeH H2.2.aGaG，aHa aHa 3.3.a,bGa,bG，aHbaHbab-1H ab-1H HaHaHbHb4.4.若在若在G G上定義二元關(guān)系上定義二元關(guān)系R R，a,bG,Ra,bG,Rab-ab-1H1H則則R R是是G G上的等價關(guān)系，上的等價關(guān)系，且且aRaRHaHa。5.5.aGaG，HHaHHa。H H的左陪集定義，即的左陪集定義，即aHaHah|hHah|hH，aGaG左陪集的性質(zhì)：左陪集的性質(zhì)：1.eH1.eHH H2.2.aGaG，aaH aaH 3.3.a,bGa,b

54、G，abH abH b-1aH b-1aH aHaHbHbH4.4.若在若在G G上定義二元關(guān)系上定義二元關(guān)系R R，a,bG,Ra,bG,Rb-b-1aH1aH則則R R是是G G上的等價關(guān)系，上的等價關(guān)系，且且aRaRaHaH。5.5.aGaG，HaHHaH。左陪集舉例左陪集舉例群群G Gf1,f2,f6f1,f2,f6。令。令H Hf1,f2f1,f2，則，則H H在在G G中的全體左陪集如下中的全體左陪集如下：f1Hf1Hf1f1f1,f1f1,f1f2f2f1,f2f1,f2H Hf2Hf2Hf1f1f2,f2f2,f2f2f2f2,f1f2,f1H Hf3Hf3Hf3f3f1,f3

55、f1,f3f2f2f3,f6f3,f6f4Hf4Hf4f4f1,f4f1,f4f2f2f4,f5f4,f5f5Hf5Hf5f5f1,f5f1,f5f2f2f5,f4f5,f4f6Hf6Hf6f6f1,f6f1,f6f2f2f6,f3 f6,f3 和和H H的右陪集相比較的右陪集相比較, ,不難看出有不難看出有 Hf1 Hf1f1Hf1H，Hf2Hf2f2Hf2H，Hf3f3HHf3f3H，Hf4f4HHf4f4H，Hf5f5HHf5f5H，Hf6f6HHf6f6H結(jié)論：一般來說，對于群結(jié)論：一般來說，對于群G G的每個子群的每個子群H H不能保證有不能保證有HaHaaHaH。但是對。但是對某些

56、特殊的子群某些特殊的子群H H，aGaG都有都有HaHaaHaH，稱這些子群為，稱這些子群為G G的正規(guī)子群。的正規(guī)子群。Hf1Hf1f1f1f1,f2f1,f2f1f1f1,f2f1,f2H HHf2Hf2f1f1f2,f2f2,f2f2f2f2,f1f2,f1H HHf3Hf3f1f1f3,f2f3,f2f3f3f3,f5f3,f5Hf4Hf4f1f1f4,f2f4,f2f4f4f4,f6f4,f6Hf5Hf5f1f1f5,f2f5,f2f5f5f5,f3f5,f3Hf6Hf6f1f1f6,f2f6,f2f6f6f6,f4f6,f4左右陪集個數(shù)相等左右陪集個數(shù)相等令令 S SHa|aHa|

57、aG TG TaH|aaH|aGG分別表示分別表示H H的右陪集和左陪集的集合，定義：的右陪集和左陪集的集合，定義： f:ST f:ST，f(Ha)f(Ha)a-1Ha-1H，a aG G 可以證明可以證明f f是是S S到到T T的雙射函數(shù)。的雙射函數(shù)。對對a a，b bG G 有有 HaHaHbHb ab-1H ab-1H (ab-1 )-1H (ab-1 )-1H (b-1)-1a- (b-1)-1a-1H1H a-1H a-1Hb-b-1H1H這說明對于任意的這說明對于任意的HaSHaS，必有唯一的，必有唯一的f(Ha)Tf(Ha)T與之對應(yīng)，與之對應(yīng)，即即f f是函數(shù)。是函數(shù)。同時可

58、知：若同時可知：若f(Ha)f(Ha)f(Hb)f(Hb)，必有，必有HaHaHbHb，即，即f f是單射。是單射。任取任取bHTbHT，則則Hb-1SHb-1S，且有且有f(Hb-1)f(Hb-1)(b-1)-1H(b-1)-1HbHbH從而證明了從而證明了f f的滿射性。的滿射性。因此因此STST。關(guān)于陪集的進一步說明關(guān)于陪集的進一步說明q 對于子群對于子群H H和元素和元素a a，它的左陪集，它的左陪集aHaH與右陪集與右陪集HaHa一般說來是一般說來是不等的。不等的。q H H的左陪集個數(shù)與右陪集個數(shù)是相等的，因為可以證明的左陪集個數(shù)與右陪集個數(shù)是相等的，因為可以證明f(Ha)f(Ha

59、)a-1Ha-1H，f f在在H H的右陪集和左陪集之間建立了一一對的右陪集和左陪集之間建立了一一對應(yīng)。應(yīng)。q 今后不再區(qū)分今后不再區(qū)分H H的右陪集數(shù)和左陪集數(shù)，統(tǒng)稱為的右陪集數(shù)和左陪集數(shù)，統(tǒng)稱為H H在在G G中的中的陪集數(shù)，也叫做陪集數(shù)，也叫做H H在在G G中的指數(shù)，記作中的指數(shù)，記作G:HG:H。q 對于有限群對于有限群G G，H H在在G G中的指數(shù)中的指數(shù) G:H G:H 和和 |G|,|H|G|,|H|有密切的有密切的關(guān)系，這就是著名的拉格朗日定理。關(guān)系，這就是著名的拉格朗日定理。拉格朗日定理拉格朗日定理定理定理10.10 10.10 設(shè)設(shè)G G是有限群，是有限群，H H是是G

60、 G的子群，那么的子群，那么|G|G|H|G:H|H|G:H證明：證明：設(shè)設(shè)G:HG:Hr r，a1,a2,ara1,a2,ar分別是分別是H H的的r r個右陪集的代表元素。個右陪集的代表元素。根據(jù)定理根據(jù)定理11.1011.10的推論有的推論有G GHa1Ha2HarHa1Ha2Har由于這由于這r r個右陪集是兩兩不交的，所以有個右陪集是兩兩不交的，所以有|G|G|Ha1|+|Ha2|+|Har|Ha1|+|Ha2|+|Har|由定理由定理11.1111.11可知，可知，|Hai|Hai|H|H|，i i1,2,r1,2,r。將這些等式代入上式得將這些等式代入上式得|G|G|H|r|H|