樣本均值的抽樣分布

1、總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量的對應(yīng)關(guān)系1如何理解統(tǒng)計量的抽樣分布2構(gòu)造均值的抽樣分布3樣本均值的抽樣分布4樣本均值抽樣分布的應(yīng)用與計算5總體參數(shù)總體參數(shù)符號表示符號表示樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量一個總體一個總體均值比例方差兩個總體兩個總體均值之差比例之差方差比21212PP2212x p2s12xx12pp2212ssP一、總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量的對應(yīng)關(guān)系設(shè) 是從某總體X中抽取的容量為n的一個樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個函數(shù) ，不依賴任何未知參數(shù)，則稱函數(shù) 是一個統(tǒng)計量如：12, ,nX XX12( , , , )nTX XX12( , , , )nTX XX11=niiXXn2211()niiSXXn6.1.

2、2 常用統(tǒng)計量常用統(tǒng)計量11=niiXXn2211()niiSXXn/VSX11nkkiimXn11()nkkiivXXn3232311() /()nniiiinXXXX242411() /()3nniiiinXXXX+你認(rèn)為 會恰好等于總體均值 嗎？+如果又抽取一個樣本，它的均值會與第一個樣本均值相等嗎？它又會與總體均值相等嗎？+怎樣才叫“接近”？如何測量接近的程度？+重復(fù)抽樣得到的統(tǒng)計量是如何分布的？+樣本統(tǒng)計量的抽樣分布是所有來自同一總體、容量完全相同的樣本在某一個統(tǒng)計量上的取值的概率分布情況x【例】設(shè)一個總體，含有4個元素（個體），即總體單位數(shù)N=4。4 個個體分別為X1=1、X2=2

3、、X3=3 、X4=4 ?？傮w的均值、方差及分布如下111234=2.54niiXN 22122221()1 2.522.532.542.5=1.254niiXN三、構(gòu)造均值的抽樣分布現(xiàn)從總體中抽取n2的簡單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結(jié)果如下表計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布111.0 1.54.02.516nxiixM2222211(1.02.5)(4.02.5)()0.62516nxixixMn抽樣分布抽樣分布 = 2.5 2 =1.25總體分布總體分布14230.1.2.31.00.1.2.31.53.04.03.52.02.55 .

4、 2x625. 02x+計算總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差+計算所有可能的樣本均值+構(gòu)造樣本均值的抽樣分布+計算抽樣分布的均值、方差+將樣本和總體的均值、方差進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)了什么嗎？+對于任意分布總體，當(dāng)總體期望值為 ，方差為 ，則樣本均值的期望值為 ，方差為用公式表示為：22nxxE )(nx222nx當(dāng)總體分布為正態(tài)分布 時，可以得到下面的結(jié)果： 的抽樣分布仍為正態(tài)分布， 數(shù)學(xué)期望為 ，方差為 ，則 2,N X2n)/,(),1 ,0(/2nNXNnX或從正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布也服從正態(tài)分布, 那么從非正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布呢？ 中心極限定理：設(shè)從均值為 ，方差為 （有限）的任意一個總

5、體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值 的抽樣分布近似服從均值為 、方差為 的正態(tài)分布。2X2n當(dāng)樣本容量足夠大時(n 30) ，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布 xn 一個任意分布的總體 x X+當(dāng)樣本量n逐漸增大時，樣本均值的抽樣分布到底發(fā)生了什么樣的變化？+當(dāng)用樣本均值估計總體均值時，平均來說沒有偏差（無偏性），即n逐漸增大時，樣本均值的期望值不發(fā)生變化；+當(dāng)n越來越大時， 樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差變小，即樣本均值分布變窄，其分散程度越來越小，意味著樣本均值對總體均值的估計越來越準(zhǔn)確五、樣本均值抽樣分布的應(yīng)用與計算+計算樣本均值的概率+根據(jù)樣本均值的概率計算其所在的區(qū)間例1.設(shè)從一個

6、均值為10，標(biāo)準(zhǔn)差為0.6的總體中隨機(jī)選取容量為36的樣本。假設(shè)該總體不是很偏，要求：（1）計算樣本均值小于9.9的近似概率（2）計算樣本均值超過9.9的近似概率（3）計算樣本均值在總體均值附近0.1范圍內(nèi)的近似概率根據(jù)中心極限定理，不論總體分布是什么形狀，當(dāng)n充分大時，樣本均值的分布近似服從正態(tài)分布 109.9 109.91110.10.1XP XP 9.919.9P XP X 9.9 101010.1 109.910.10.10.10.1211XPXP)36/6 . 0 ,10(2NX+例2a:某國際幼兒園孩子身高近似服從正態(tài)分布，均值為39英寸，標(biāo)準(zhǔn)差為2英寸，抽取由25個孩子構(gòu)成的隨機(jī)樣本