實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10111 1一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)二、正交向量組的概念二、正交向量組的概念三、正交矩陣三、正交矩陣四、施密特正交規(guī)范化法四、施密特正交規(guī)范化法五、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)五、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)六、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法六、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法七、小結(jié)七、小結(jié)Page 21212(,) ,(,)TnTnna aab bb 兩兩個(gè)個(gè) 維維實(shí)實(shí)向向量量的的內(nèi)內(nèi)積積定定義義為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)定義定義1 1一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)1 122( ,)TTnna ba ba b ，( ,)

2、記記為為。( ,)0 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，則則稱稱 與與 正正交交。 ,:x y內(nèi)內(nèi)積積是是向向量量的的一一種種運(yùn)運(yùn)算算 如如果果都都是是列列向向量量 內(nèi)內(nèi)積積可可用用矩矩陣陣記記號(hào)號(hào)表表示示為為說(shuō)明說(shuō)明 ,.TTx yyy xxPage 3內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)( ,)( , ) (1) (1) (, )( , )( , ) (2) (2) (,)( ,),kkkR (3) (3) 0( , )0;0( , )0 (4) (4) 00T(5) (0, )(5) (0, )11221122 (, ) (, )(, )(, )mmmmkkkkkk (6)(6)(4),( , )0( , ) 由由為為

3、非非負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，定定義義為為向向量量的的，記記為為( (度度或或長(zhǎng)長(zhǎng)) )。長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為1 1的的向向量量稱稱為為(unit vect(unit vect單單位位向向量量or)or)。Page 4142,112 ，10 ，用用數(shù)數(shù)乘乘 叫叫做做對(duì)對(duì) 單單位位化化，( ,)0,; 則則( , )6;21; 1 所所得得向向量量是是單單位位向向量量, ,111. 即即例例1 1Page 5二、正交向量組的概念二、正交向量組的概念nnRnR 定定義義了了內(nèi)內(nèi)積積的的實(shí)實(shí)向向量量空空間間稱稱為為 維維，在在歐歐幾幾里里得得空空間間中中，12,(,)0,mijij (1)(1)如如果果向向量量組組(I

4、)(I)不不含含零零向向量量，且且 (I) (I)中中向向量量?jī)蓛蓛蓛烧唤唬醇?，則則稱稱 (I) (I)是是一一個(gè)個(gè)正正交交組組；規(guī)規(guī)( (范范2)2)正正交交由由單單位位向向量量構(gòu)構(gòu)成成的的正正交交組組叫叫做做( (組組 標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)或或正正交交組組) )；定義定義2 2Page 60,(,)1,ijijijij . . 1234001212001212,.121200001212eeee 例如例如12,nnnR (3)(3)稱稱含含有有 個(gè)個(gè)向向量量的的規(guī)規(guī)范范正正交交組組(II)(II) 規(guī)規(guī)范范正正交交基基標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正 為為的的一一個(gè)個(gè)( (或或) )，即即 ( (交交基基II)II

5、)滿滿足足Page 7.1000,0100,0010,00014321 同理可同理可知知.4的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基也為也為R ,0,1,2,3,4.,1,1,2,3,4.ijije eiji je eiji j 且且由由于于且且.,44321的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基為為所以所以ReeeePage 8nR 中中的的任任意意正正交交組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)。12,nmR 設(shè)設(shè)(1)(1)是是的的一一個(gè)個(gè)正正交交組組，考考慮慮1 兩兩端端分分別別與與作作內(nèi)內(nèi)積積，11220mmkkk，112211(,)(0,)mmkkk，由由內(nèi)內(nèi)積積的的性性質(zhì)質(zhì)，11122111(,)(,)(,)(0

6、,)mmkkk ，例例2 2證明：證明：11(0,)0,(,)0(2,)jjm 上上式式中中 1111(,)00kk 故故。20,0mkk同同理理可可得得，從從而而(1)(1)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)。Page 9 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的列向量的列向量和和行向量都是標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交基行向量都是標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交基AA證明證明TAEA E nA若若 階階實(shí)實(shí)矩矩陣陣 滿滿足足例例3 3112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa三、正交矩陣三、正交矩陣定義定義3 3 1,TTTA AAAEAA 即即 .A則則稱稱 為

7、為 正正交交矩矩陣陣Page 10 1212,TTnTnE 121111222212TTTnTTTnTTTnnnnE 1,;,1,2,0,Tijijiji jnij 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)Page 11又又由由定定義義知知TAA正正交交正正交交TA的的列列向向量量組組是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基, ,A的的行行向向量量組組是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基. .12,n 是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基，Page 12四、施密特正交規(guī)范化法四、施密特正交規(guī)范化法12,nmR 設(shè)設(shè)(1)(1)是是中中的的一一個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組，令令11, 2122111(,),(,) 313233121122(,)(,),(,)(,) 12

8、1121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmmmm 定理定理1 1（1 1）正交化，）正交化，Page 13(1,2,)jjm 將將單單位位化化( (又又叫叫規(guī)規(guī)范范化化) )得得1(1,2,)jjjjm ，(1,2,)jjm 則則是是一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交組組，1212,(1,2,)jjjm 且且滿滿足足與與等等價(jià)價(jià)。（2 2）規(guī)范化，）規(guī)范化，11 , .rr上上述述由由線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組構(gòu)構(gòu)造造出出正正交交向向量量組組的的過(guò)過(guò)程程 稱稱為為施密特正交化過(guò)施密特正交化過(guò)程程Page 14例例4 4 用施密特正交化方法，將向量用施密特正交化方法，將向量組組

9、)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交規(guī)范化正交規(guī)范化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1222111,b ababb b 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取Page 15 132333121122,b ab ababbb bb b 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再單位化單位化， 22212130, 2, 1,30,14141414beb 333111

10、21,1, 2,0,06666beb 得規(guī)范正交向量組如得規(guī)范正交向量組如下下 11111 1 1 11,1,1,1,22 2 2 2bebPage 161231231 1 ,1,. 已已知知求求一一組組非非零零向向量量使使兩兩兩兩正正交交例例5 5解解.110,10121 它的基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為231123,0, 0.TXxxx 應(yīng)應(yīng)滿滿足足方方程程即即Page 17把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取取 1211,1,2, 其其中中于于是是得得210,1 301111102.22111 21, 1232111(,)(,) Page 18 ,AX 設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)

11、 為為對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 的的特特征征值值 復(fù)復(fù)向向量量 為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量定理定理2 2實(shí)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù). .證明證明 ,0.AXXX 即即, 的的表示表示用用 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù) AXAX 則則 .AXXX五、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)五、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)說(shuō)明說(shuō)明：以下所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別：以下所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說(shuō)說(shuō)明，均指明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣 ,XX表表示示 的的共軛復(fù)向量共軛復(fù)向量Page 19于是于是有有TX AX TX AX及及 TXXA TXX ,TX X TXX A TAXX TXX .TX X 兩式相減，兩式相減，得得 0

12、.TX X 0,X 但但因因?yàn)闉?, 0 , 即即.是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)由此可得由此可得 211 0,nnTiiiiiX Xx xx所所以以Page 20定理定理2 2的意的意義義 , ()0,0,.iiiAEA XEA 由由于于對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 的的特特征征值值 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 所所以以齊齊次次線線性性方方程程組組是是實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)方方程程組組 由由知知從從而而對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的必必有有實(shí)實(shí)的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系特特征征向向量量取取實(shí)實(shí)向向量量Page 2112121212,.Apppp 設(shè)設(shè)是是對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣的的兩兩個(gè)個(gè)特特征征值值是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量 若若則則 與與 正正交交證明證明,2122

13、2111 AppApp,AAAT 對(duì)稱對(duì)稱 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT定理定理3 3Page 22定理定理3 3的意的意義義 1nAn對(duì)對(duì)于于 階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣，由由以以上上定定理理， 的的 個(gè)個(gè)屬屬于于不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量組組構(gòu)構(gòu)成成正正交交組組。 2A屬屬于于 的的同同一一個(gè)個(gè)特特征征值值的的一一組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量不不一一定定相相互互正正交交， 可可用用施施密密特特正正交交化化方

14、方法法將將其其正正交交化化，A 得得到到 的的屬屬于于該該特特征征值值的的正正交交特特征征向向量量組組。 3AnA特特別別地地， 有有 個(gè)個(gè)正正交交的的特特征征向向量量， 相相似似于于對(duì)對(duì)角角形形矩矩陣陣，我我們們有有以以下下的的重重要要結(jié)結(jié)論論。Page 231AnQQ AQA 若若 為為 階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣，則則一一定定存存在在正正交交矩矩陣陣 ，使使正正交交相相得得為為對(duì)對(duì)角角似似于于對(duì)對(duì)角角形形矩矩陣陣( (稱稱為為形形矩矩陣陣).). nAn階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 存存在在 個(gè)個(gè)正正交交的的單單位位特特征征向向量量。定理定理4 4推論推論P(yáng)age 24六、利用正交矩陣將對(duì)稱矩

15、陣六、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣 對(duì)角化的方法對(duì)角化的方法 (1,2,)iirimA (1)(1)，設(shè)設(shè)其其重重?cái)?shù)數(shù)求求出出 的的全全部部不不為為同同的的特特征征值值；1AQQ AQ 對(duì)對(duì)于于實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 ，求求正正交交矩矩陣陣 ，使使得得為為對(duì)對(duì)角角形形矩矩陣陣的的方方法法：1(1,2,)()0imiiiArAimEAAnXr (2)(2)， 得得到到 的的 個(gè)個(gè)屬屬于于 的的正正交交求求出出的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系，將將其其正正交交化化特特征征向向量量。 共共求求出出 的的個(gè)個(gè)正正交交特特征征向向量量；Page 25nQ(3)(3)，由由所所得得向向量量 作作將將以以上上 個(gè)個(gè)正正交交特特

16、征征向向量量為為列列構(gòu)構(gòu)成成正正單單化化交交矩矩陣陣位位，則則11(,)TmQ AQQ AQdiag 。將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量單位化將特征向量單位化.4.2. 0,;iEA XA 由由求求出出 的的特特征征向向量量1.;的特征值的特征值求求A即以下四步即以下四步Page 26解解22021202EA 412 0 . 2, 1, 4321 得得220212 ,020A 例例6 6 對(duì)下列實(shí)對(duì)稱矩陣，求出正交矩陣對(duì)下列實(shí)對(duì)稱矩陣，求出正交矩陣 ，使使 為對(duì)角陣為對(duì)角陣.APP1 P第一步第一步 求求 的特征值的特征值A(chǔ)Page 27 0,iEA XA 第第二二步步由由求求

17、出出 的的特特征征向向量量 14,40,EA X 對(duì)對(duì)由由得得 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 .1221 21,0,EA X 對(duì)對(duì)由由得得 0202202323121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解解之得基礎(chǔ)解系系.2122 Page 28 32,20,EA X 對(duì)對(duì)由由得得 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2213 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化.,3, 321321故它們必兩兩正交故它們必兩兩正交的特征向量的特征向量個(gè)不同特征值個(gè)不同特征值的的是屬于是屬于由于由于 A第四步第四步 將特征向

18、量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令Page 29,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則Page 301 1將一組極大無(wú)關(guān)組規(guī)范正交化的方法：將一組極大無(wú)關(guān)組規(guī)范正交化的方法： 先用施密特正交化方法將極大無(wú)關(guān)組正交化，先用施密特正交化方法將極大無(wú)關(guān)組正交化，然后再將其單位化然后再將其單位化 ;11TAA ;2EAAT 3;A的的列列 行行 向向量量是是兩兩兩兩正正交交的的單單位位向向量量七、小結(jié)七、小結(jié)2 2 為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：APage 313.對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：對(duì)稱矩陣的性質(zhì)： (1) (