二次函數(shù)知識點及其應用的總結

1、1二次函數(shù)知識點總結知識結構框圖一、 二次函數(shù)的概念形如y =ax2 bx c（a,b,c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，其中x, 是自變量，a、b c 分別是函數(shù)表達式的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a=0，而 b, c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).二、 二次函數(shù)的一般表達式1、 一般式：y =ax2 bx c（ a ,b, c 為常數(shù),a = 0）；2、頂點式：y二a（x -h）2 k（ a ,h,k為常數(shù),a = 0）其中h b, k =4ac_b；2a4a3、 雙根式：y =a（x-xj（x-x2）（其中 8=0,石，乂2是 y

2、=ax2bx - c 與 x 軸交點的橫坐標）二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式， 通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的 解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3.已知拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以 寫成交點式，只有拋物線與 x 軸有交點，即 b2-4ac_0 時，拋物線的解析式

3、才可以用 交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化三、次函數(shù)y =ax2 bx c的圖像性質（軸對稱圖形）1. 當a 0時，拋物線開口向上,2對稱軸為bx =2a頂點坐標為1_b_ 4ac -b2J2a 4a3四、二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)之間的關系1.二次項系數(shù) a2二次函數(shù)y =ax bx c中，a作為二次項系數(shù)，顯然a. 當a 0時，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越小，反之 a 的值越小，開口越大; 當a：:0時，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之 a 的值越大，開口越大.總結起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小.2.一次

4、項系數(shù)b在二次項系數(shù) a 確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸. 在a 0的前提下，當b 0時，一匕：0，即拋物線的對稱軸在y軸左側；2a當b =0時，一2 =0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2a當b 0時，P.O，即拋物線對稱軸在y軸的右側.2a 在a：0的前提下，結論剛好與上述相反，即當b 0時，0，即拋物線的對稱軸在y軸右側;2a當b =0時，P =0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2a當b 0時，一b：0，即拋物線對稱軸在y軸的左側.2ay軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與總結起來， c 決定了拋物線與y軸交點的位置.總之，

5、只要 a , b, c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.當 x 時，y 隨 x 的增大而減?。?a當 x ._2 時，y 隨 x 的增大而增大；當2ax時，y有最小值4ac 一22.當a：0時，拋物線開口向下，對稱軸x -舟，頂點坐標為b 4ac-b22a 4a當法時，y隨x的增大而增大；當時，y隨 x 的增大而減小；當bx =2a時,y有最大值4acb24a總結起來， 在 a 確定的前提下, 總結：b決定了拋物線對稱軸的位置.3.常數(shù)項 c當c - 0時，拋物線與當c =0時，拋物線與 當c：: 0時，拋物線y軸交點的縱坐標為正；y軸交點的縱坐標為0;y軸交點的縱坐標為負.4五、二次函

6、數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與x 軸交點情況）：一兀二次方程 ax bx c =0 是二次函數(shù)y =ax bx c當函數(shù)值 y = 0 時的特殊情況. 圖像與 x 軸的交點個數(shù)：1當二 b?4ac0 時，圖像與 x 軸交于兩點 A Xi,0 , Bx?,0（為，其中的 x，x是一元二次方程 ax2 bx c =0 a = 0 的兩根.人，x?和的一半恰好是對稱軸的橫坐標.2當厶=0時，圖像與x軸只有一個交點；3當.：0時，圖像與 x 軸沒有交點.1當a 0時，圖像落在 x 軸的上方，無論 x 為任何實數(shù)，都有 y .0 ;2當a：0時，圖像落在 x 軸的下方，

7、無論 x 為任何實數(shù)，都有 y：0 .2. 拋物線 y =ax2 bx c 的圖像與y軸一定相交，交點坐標為 （0 , c）；3.二次函數(shù)常用解題方法總結： 求二次函數(shù)的圖像與 x 軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉化為頂點式；或者 依據(jù)函數(shù)特點確定自變量能使函數(shù)取得最大值的值，并將其帶入到表達式中求出最值；2 _y 二 ax bx c 中 a , b , c 的符號，或由二次函數(shù)中 a ,b, c 的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合；（4）二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，可通過聯(lián)立方程求解，從而求出交點坐標。六、二次函數(shù)的幾個特殊的基本形

8、式1.二次函數(shù)基本形式： y =ax2的性質:根據(jù)圖象的5結論：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 總結：6a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a =0向上（0 ,。）y軸X0時，y隨 x 的增大而增大；X0時，y隨 X 的增大而減小；X =0時，y有最小值0a 0向上（0，c）y軸x0時，y隨 X 的增大而增大；X0時，y隨 X 的增大而減?。籜=0時，y有最小值 c a 0時，y隨 x 的增大而減?。籜0時，y隨 X 的增大而增大；X一0時，y有最大值 c 23.y=a x-h 的性質:7結論：左加右減。總結：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a 0向上(h，0)X=hxh時，y隨 x 的增大而增大；x ch時，y隨 x 的增大而減小；x = h時，y有最小值0.a h時，y隨 x 的增大而減小；x ch時，y隨 x 的增大而增大；x = h時，y有最大值0.4.y 二 a xh $ k 的性質:8總結:a 的符號開