正弦函數、余弦函數的圖象

1、1.4 1.4 三角函數的圖象與性質三角函數的圖象與性質1.4.11.4.1正弦函數、余弦函數的圖象正弦函數、余弦函數的圖象 2.2.任意給定一個實數任意給定一個實數x x，對應的正弦值，對應的正弦值（sinxsinx）、余弦值）、余弦值(cosx(cosx) )是否存在？惟一？是否存在？惟一？t57301p21.1.在單位圓中，角在單位圓中，角的正弦線、余弦線的正弦線、余弦線分別是什么？分別是什么？P P（x x，y y）O Ox xy yMsin=MPcos=OM4.4.一個函數總具有許多基本性質，要直一個函數總具有許多基本性質，要直觀、全面了解正、余弦函數的基本特性，觀、全面了解正、余弦

2、函數的基本特性，我們應從哪個方面人手？我們應從哪個方面人手？3.3.設實數設實數x x對應的角的正弦值為對應的角的正弦值為y y，則對，則對應關系應關系y=sinxy=sinx就是一個函數，稱為就是一個函數，稱為正弦正弦函數函數；同樣；同樣y= cosxy= cosx也是一個函數，稱為也是一個函數，稱為余弦函數余弦函數，這兩個函數的定義域是什么？，這兩個函數的定義域是什么？問題問題1 1：作函數圖象最原始的方法是什么？作函數圖象最原始的方法是什么？思考思考1 1：用描點法作正弦函數用描點法作正弦函數y=sinxy=sinx在在00，22內的圖象，可取哪些點？內的圖象，可取哪些點？思考思考2 2

3、：如何在直角坐標系中比較精確地如何在直角坐標系中比較精確地描出這些點，并畫出描出這些點，并畫出y=sinxy=sinx在在00，22內的圖象？內的圖象？xy1-1O222p32psin ,0,2yx x觀察函數觀察函數y=sinxy=sinx在在00，22內的圖象，內的圖象，其形狀、位置、凸向等有何變化規(guī)律？其形狀、位置、凸向等有何變化規(guī)律？問題問題2 2：在函數在函數y=sinxy=sinx，x0 x0，22的的圖象上，起關鍵作用的點有哪幾個？圖象上，起關鍵作用的點有哪幾個？x-1O222p32p1y y思考思考3 3：當當x2x2，4, -24, -2，0,0,時，時，y=sinxy=si

4、nx的圖象如何？的圖象如何？y-1xO123456-2-3-4-5-6-知識遷移：知識遷移：一般地，函數一般地，函數y=f(xy=f(xa)(aa)(a0)0)的圖象是由函數的圖象是由函數y=f(xy=f(x) )的圖象的圖象經過怎樣的變換而得到的？經過怎樣的變換而得到的？ 向左平移向左平移a a個單位個單位. . 思考思考5 5：設想由正弦函數的圖象作出余弦設想由正弦函數的圖象作出余弦函數的圖象，那么先要將余弦函數函數的圖象，那么先要將余弦函數y=cosxy=cosx轉化為正弦函數，你可以根據哪轉化為正弦函數，你可以根據哪個公式完成這個轉化？個公式完成這個轉化？由誘導公式可知，由誘導公式可知

5、，y=cosxy=cosx與與 是同一個函數，如何作函是同一個函數，如何作函數數 在在00，22內的圖象？內的圖象？sin ()2yxp=+sin ()2yxp=+xy yO221y=sinxy=sinx22-1-1思考思考4 4：函數函數y=cosxy=cosx，x0 x0，22的圖象如何？其中起關鍵的圖象如何？其中起關鍵作用的點有哪幾個？作用的點有哪幾個？xy yO22122-1-1 例例1 1 用用“五點法五點法”畫出下列函數的畫出下列函數的簡圖：簡圖： (1)(1)y=1+sinxy=1+sinx，x0 x0，22； (2)(2)y=-cosxy=-cosx，x0 x0，2 .2 .x

6、 xsinxsinx1+sinx1+sinx1 10 02p32pp2p0 00 00 01 1-1-11 12 20 01 1x-1O222p32p1y y2y=1+sinxy=1+sinxx xcosxcosx-cosx-cosx1 10 02p32pp2p1 10 00 01 1-1-1-1-10 00 0-1-1x-1O222p32p1y yy=-cosxy=-cosx 例例2 2 當當x0 x0，22時，求不等式時，求不等式 的解集的解集. .1cos2x50,233pppUxy yO22122-1-112y=1.1.正、余弦函數的圖象每相隔正、余弦函數的圖象每相隔22個單位個單位重

7、復出現，因此，只要記住它們在重復出現，因此，只要記住它們在00，22內的圖象形態(tài)，就可以畫出正弦曲內的圖象形態(tài)，就可以畫出正弦曲線和余弦曲線線和余弦曲線. .2.2.作與正、余弦函數有關的函數圖象，作與正、余弦函數有關的函數圖象，是解題的基本要求，用是解題的基本要求，用“五點法五點法”作圖作圖是常用的方法是常用的方法. .3.3.正、余弦函數的圖象不僅是進一步研正、余弦函數的圖象不僅是進一步研究函數性質的基礎，也是解決有關三角究函數性質的基礎，也是解決有關三角函數問題的工具，這是一種數形結合的函數問題的工具，這是一種數形結合的數學思想數學思想. .作業(yè)：作業(yè)：P34P34練習：練習：2 2 P

8、46 P46習題習題1.4 A1.4 A組組: : 1 1分兩次做作業(yè)！中間空開！分兩次做作業(yè)！中間空開！學案相應課時！學案相應課時！第一課時第一課時 正弦函數、余弦函數的性質正弦函數、余弦函數的性質 t57301p21.1.正弦函數和余弦函數的圖象分別是什么？二者有何相互聯系？正弦函數和余弦函數的圖象分別是什么？二者有何相互聯系？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222222222222y=cosxy=cosxt57301p22.2.世界上有許多事物都呈現世界上有許多事物都呈現“周而復始周而復始”的變化規(guī)律，如年有四的變化規(guī)律，如年有四季更替

9、，月有陰晴圓缺季更替，月有陰晴圓缺. .這種現象在數學上稱為這種現象在數學上稱為周期性周期性，在函數領，在函數領域里，周期性是函數的一個重要性質域里，周期性是函數的一個重要性質. .思考思考1 1：由正弦函數的圖象可知由正弦函數的圖象可知, , 正弦曲正弦曲線每相隔線每相隔22個單位重復出現，個單位重復出現， 這一規(guī)這一規(guī)律的理論依據是什么？律的理論依據是什么？sin(2)sin()xkx kZ.思考2：設設f(x)=sinxf(x)=sinx，則，則 可以怎樣表示？其數學意義如何？可以怎樣表示？其數學意義如何？ sin(2)sinxkx思考思考3 3：為了突出函數的這個特性，我們?yōu)榱送怀龊瘮?/p>

10、的這個特性，我們把函數把函數f(x)=sinxf(x)=sinx稱為稱為周期函數周期函數，2k2k為為這個函數的周期這個函數的周期. .一般地，如何定義周期一般地，如何定義周期函數？函數？ 對于函數對于函數f(xf(x) )，如果存在一個非，如果存在一個非零常數零常數T T，使得當，使得當x x取定義域內的每一取定義域內的每一個值時，都有個值時，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x),), 那么函數那么函數f(xf(x) )就叫做周期函數，非零常數就叫做周期函數，非零常數T T就叫就叫做這個函數的周期做這個函數的周期. .思考思考4 4：周期函數的周期是否惟一？正弦周期函數的周期是否惟

11、一？正弦函數的周期有哪些？函數的周期有哪些？思考思考5 5：如果在周期函數如果在周期函數f(xf(x) )的所有周期的所有周期中存在一個最小的正數中存在一個最小的正數, , 則這個最小正則這個最小正數叫做數叫做f(xf(x) )的的最小正周期最小正周期. .那么那么, , 正弦函正弦函數的最小正周期是多少？為什么？數的最小正周期是多少？為什么？ 正、余弦函數是周期函數，正、余弦函數是周期函數，2k2k（kZkZ, k0, k0）都是它的周期，最小都是它的周期，最小正周期是正周期是22思考思考6 6：就周期性而言，對正弦函數有就周期性而言，對正弦函數有什么結論？對余弦函數呢？什么結論？對余弦函數

12、呢？思考思考1 1：函數函數f(x)=sinxf(x)=sinx（x0 x0）是否為）是否為周期函數？函數周期函數？函數f(x)=sinxf(x)=sinx（x0 x0）是）是否為周期函數？否為周期函數？思考思考2 2：函數函數f(x)=sinxf(x)=sinx（x x0 0）是否為）是否為周期函數？函數周期函數？函數f(x)=sinxf(x)=sinx（x3kx3k）是否為周期函數？是否為周期函數？思考思考3 3：函數函數f(x)=sinxf(x)=sinx，x0 x0，1010是否為周期函數？周期函數的定義域有是否為周期函數？周期函數的定義域有什么特點？什么特點？ 思考思考4 4：函數函

13、數y=3sin(2xy=3sin(2x4)4)的最小正的最小正周期是多少？周期是多少？ si n()yAxwj=+(0,0)Aw思考思考5 5：一般地，函數一般地，函數 的最小正周期是多少的最小正周期是多少? ? 思考思考6 6：如果函數如果函數y=f(xy=f(x) )的周期是的周期是T T，那，那么函數么函數y=f(xy=f(x)的周期是多少？的周期是多少？例例1 1 求下列函數的周期：求下列函數的周期：（1）y=3cosx; xRxR（2）y=sin2x，xR R； 2 sin ()26xyp=-（3 3） ， xRxR ；（4 4）y=|sinx| xRy=|sinx| xR. . 例

14、例2 2 已知定義在已知定義在R R上的函數上的函數f(xf(x) )滿足滿足f(xf(x2)2)f(xf(x)=0)=0，試判斷，試判斷f(xf(x) )是否為周是否為周期函數？期函數？ 例例3 3 已知定義在已知定義在R R上的函數上的函數f(xf(x) )滿足滿足f(xf(x1)=f(x1)=f(x1)1)，且當，且當x0 x0，22時，時，f(xf(x)=x)=x4 4，求，求f(10)f(10)的值的值. .1.1.函數的周期性是函數的一個基本性質，函數的周期性是函數的一個基本性質，判斷一個函數是否為周期函數，一般以判斷一個函數是否為周期函數，一般以定義為依據，即存在非零常數定義為依

15、據，即存在非零常數T T，使，使f(xf(xT)=f(xT)=f(x) )恒成立恒成立. .2.2.周期函數的周期與函數的定義域有關，周期函數的周期與函數的定義域有關，周期函數不一定存在最小正周期周期函數不一定存在最小正周期. .3.3.周期函數的周期有許多個，若周期函數的周期有許多個，若T T為周期為周期函數函數f(xf(x) )的周期，則的周期，則T T的整數倍也是的整數倍也是f(xf(x) )的周期的周期. .4.4.函數函數 和和 的最小正周期都是的最小正周期都是 ，這，這是正、余弦函數的周期公式，解題時可是正、余弦函數的周期公式，解題時可以直接應用以直接應用. .si n()yAxw

16、j=+cos()yAxwj=+(0,0)Aw2pw作業(yè)：作業(yè)：P36P36練習：練習：1 1，2 2，1.4.2 1.4.2 正弦函數、余弦函數的性質正弦函數、余弦函數的性質 第二課時第二課時1.1.周期函數是怎樣定義的？周期函數是怎樣定義的？ 對于函數對于函數f(xf(x) )，如果存在一個非，如果存在一個非零常數零常數T T，使得當，使得當x x取定義域內的每一取定義域內的每一個值時，都有個值時，都有f(x +T)=f(xf(x +T)=f(x),), 那么函那么函數數f(xf(x) )就叫做周期函數，非零常數就叫做周期函數，非零常數T T就就叫做這個函數的周期叫做這個函數的周期. .2.

17、2.正、余弦函數的最小正周期是多少？正、余弦函數的最小正周期是多少？函數函數 和和 的最小正周期是多少？的最小正周期是多少？si n()yAxwj=+cos()yAxwj=+(0,0)Aw3.3.周期性是正、余弦函數所具有的一個周期性是正、余弦函數所具有的一個基本性質，此外，正、余弦函數還具有基本性質，此外，正、余弦函數還具有哪些性質呢？我們將對此作進一步探究哪些性質呢？我們將對此作進一步探究. .思考思考1 1：觀察下列正弦曲線和余弦曲線的觀察下列正弦曲線和余弦曲線的對稱性，你有什么發(fā)現？對稱性，你有什么發(fā)現？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-

18、1222222222222y=cosxy=cosx思考思考2 2：上述對稱性反映出正、余弦函數上述對稱性反映出正、余弦函數分別具有什么性質？如何從理論上加以分別具有什么性質？如何從理論上加以驗證？驗證？正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數. .思考思考3 3：觀察正弦曲線，正弦函數在哪些觀察正弦曲線，正弦函數在哪些區(qū)間上是增函數？在哪些區(qū)間上是減函區(qū)間上是增函數？在哪些區(qū)間上是減函數？如何將這些單調區(qū)間進行整合？數？如何將這些單調區(qū)間進行整合？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinx正弦函數在每一個閉區(qū)間正弦函數在每一個閉區(qū)間上都

19、是增函數；在每一個閉區(qū)間上都是增函數；在每一個閉區(qū)間 上都是減函數上都是減函數.222kk222kk 思考思考4 4：類似地，余弦函數在哪些區(qū)間上類似地，余弦函數在哪些區(qū)間上是增函數？在哪些區(qū)間上是減函數？是增函數？在哪些區(qū)間上是減函數？余弦函數在每一個閉區(qū)間余弦函數在每一個閉區(qū)間上都是增函數；在每一個閉區(qū)間上都是增函數；在每一個閉區(qū)間 上都是減函數上都是減函數. .22kk22kkxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx思考思考5 5：正弦函數在每一個開區(qū)間正弦函數在每一個開區(qū)間（2k2k， 2k2k） (kZ(kZ) )上都是增函上都是增函數，能否認為正弦函數在第一象限

20、是增數，能否認為正弦函數在第一象限是增函數？函數？2思考思考1 1：觀察正弦曲線和余弦曲線，正、觀察正弦曲線和余弦曲線，正、余弦函數是否存在最大值和最小值？若余弦函數是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分別為多少？存在，其最大值和最小值分別為多少？思考思考2 2：當自變量當自變量x x分別取何值時，正弦分別取何值時，正弦函數函數y=sinxy=sinx取得最大值取得最大值1 1和最小值和最小值1 1？正弦函數當且僅當正弦函數當且僅當 時取最大時取最大值值1, 1, 當且僅當當且僅當 時取最小值時取最小值-1 -1 2xk 2xk 思考思考3 3：當自變量當自變量x x分別取何值時，

21、余弦分別取何值時，余弦函數函數y=cosxy=cosx取得最大值取得最大值1 1和最小值和最小值1 1？余弦函數當且僅當余弦函數當且僅當 時取最大值時取最大值1, 1, 當且僅當當且僅當 時取最小值時取最小值-1. -1. 2xk(21)xk思考思考4 4：根據上述結論，正、余弦函數的根據上述結論，正、余弦函數的值域是什么？函數值域是什么？函數y=Asinxy=Asinx（A0A0）的值域是什么？的值域是什么？思考思考5 5：正弦曲線除了關于原點對稱外，正弦曲線除了關于原點對稱外，是否還關于其它的點和直線對稱？是否還關于其它的點和直線對稱？ 正弦曲線關于點正弦曲線關于點（kk，0 0）和直線和

22、直線 對稱對稱. .()2xkkZpp=+-|A|-|A|，|A|A|思考思考6 6：余弦曲線除了關于余弦曲線除了關于y y軸對稱外，軸對稱外，是否還關于其它的點和直線對稱？是否還關于其它的點和直線對稱？余弦曲線關于點余弦曲線關于點 和直線和直線x=kx=k對稱對稱. .(,0)2kpp+ 例例1 1 求下列函數的最大值和最小值，并求下列函數的最大值和最小值，并寫出取最大值、最小值時自變量寫出取最大值、最小值時自變量x x的集合的集合 （1 1） y=cosxy=cosx1 1，xRxR； （2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xRxR. . 例例3 3 求函數求函數 ，xx22，22的

23、單調遞增區(qū)間的單調遞增區(qū)間. .1sin()23yx 例例2 2 比較下列各組數的大小比較下列各組數的大小: :(1) sin()sin();1810與2317(2) cos()cos().5與1. 1. 正、余弦函數的基本性質主要指周期正、余弦函數的基本性質主要指周期性、奇偶性、單調性、對稱性和最值，性、奇偶性、單調性、對稱性和最值，它們都是結合圖象得出來的，要求熟練它們都是結合圖象得出來的，要求熟練掌握掌握. .2.2.正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數數. .一般地，一般地，y=Asinxy=Asinx是奇函數，是奇函數，y=Acosxy=Acosx（A0

24、A0）是偶函數）是偶函數. .作業(yè)：作業(yè)：P40-41P40-41練習：練習：1 1，2 2，3 3，5 5，6.6.3.3.正、余弦函數有無數個單調區(qū)間和無正、余弦函數有無數個單調區(qū)間和無數個最值點，簡單復合函數的性質應轉數個最值點，簡單復合函數的性質應轉化為基本函數處理化為基本函數處理. . 1.4.3 1.4.3 正切函數的圖象與性質正切函數的圖象與性質 1.1.正、余弦函數的圖象是通過什么方法正、余弦函數的圖象是通過什么方法作出的？作出的？ 2.2.正、余弦函數的基本性質包括哪些內正、余弦函數的基本性質包括哪些內容？這些性質是怎樣得到的？容？這些性質是怎樣得到的？3.3.三角函數包括正

25、、余弦函數和正切函三角函數包括正、余弦函數和正切函數，我們已經研究了正、余弦函數的圖數，我們已經研究了正、余弦函數的圖象和性質，象和性質， 因此因此, , 進一步研究正切函數進一步研究正切函數的性質與圖象就成為學習的必然的性質與圖象就成為學習的必然. . 知識探究（一）：正切函數的性質知識探究（一）：正切函數的性質思考思考1 1：正切函數的定義域是什么？用區(qū)正切函數的定義域是什么？用區(qū)間如何表示？間如何表示？思考思考2 2：根據相關誘導公式，你能判斷正根據相關誘導公式，你能判斷正切函數是周期函數嗎？其最小正周期為切函數是周期函數嗎？其最小正周期為多少？多少？正切函數是周期函數，周期是正切函數是

26、周期函數，周期是.(2kk 思考思考3 3：函數函數 的周期為多少？的周期為多少？一般地，函數一般地，函數 的周期是什么？的周期是什么？ta n (2)8yxtan()(0)yx 思考思考4 4：根據相關誘導公式，你能判斷正根據相關誘導公式，你能判斷正切函數具有奇偶性嗎？切函數具有奇偶性嗎？正切函數是奇函數正切函數是奇函數思考思考5 5：觀察下圖中的正切線，當角觀察下圖中的正切線，當角x x在在 內增加時，正切函數值發(fā)生內增加時，正切函數值發(fā)生什么變化？由此反映出一個什么性質？什么變化？由此反映出一個什么性質？(,)22T T1 1OxyA AT T2 2O思考思考6 6：結合正切函數的周期性

27、，正切結合正切函數的周期性，正切函數的單調性如何？函數的單調性如何？正切函數在開區(qū)間正切函數在開區(qū)間 都是增函數都是增函數 (2kk 思考思考7 7：正切函數在整個定義域內是增函正切函數在整個定義域內是增函數嗎？正切函數會不會在某一區(qū)間內是數嗎？正切函數會不會在某一區(qū)間內是減函數？減函數？思考思考8 8：當當x x大于大于 且無限接近且無限接近 時，正時，正切值如何變化？當切值如何變化？當x x小于小于 且無限接近且無限接近 時時, , 正切值又如何變化？由此分析，正切值又如何變化？由此分析，正切函數的值域是什么正切函數的值域是什么? ?2222正切函數的值域是正切函數的值域是R.R.T T1

28、 1OxyA AT T2 2OOxy22思考思考2 2：上圖中上圖中, ,直線直線 和和 與正與正切函數的圖象的位置關系如何？圖象的切函數的圖象的位置關系如何？圖象的凸向有什么特點？凸向有什么特點？2xp=2xp= -思考思考3 3：結合正切函數的周期性結合正切函數的周期性, , 如何畫如何畫出正切函數在整個定義域內的圖象？出正切函數在整個定義域內的圖象？ 22yOx22思考思考4 4：正切函數在整個定義域內的圖象正切函數在整個定義域內的圖象叫做叫做正切曲線正切曲線. .因為正切函數是奇函數，因為正切函數是奇函數，所以正切曲線關于原點對稱，此外，正所以正切曲線關于原點對稱，此外，正切曲線是否還關于其它的點和直線對稱？切曲線是否還關于其它的點和直線對稱？正切曲線關于點正切曲線關于點 對稱對稱. . (,0 )2k p思考思考5 5：根據正切曲線如何理解正切函數根據正切曲線如何理解正切函數的基本性質？一條平行于的基本性質？一條平行于x x軸的直線與相軸的直線與相鄰兩支曲線的交點的距離為多少？鄰兩支曲線的交點的距離為多少？ 例例1 1 求函數求函數 的定義域、的定義域、周期和單調區(qū)間周期和單調區(qū)