實(shí)驗(yàn)4水箱的流量問(wèn)題綜合實(shí)驗(yàn)

1、項(xiàng)目三 多元函數(shù)微積分實(shí)驗(yàn)4 水箱的流量問(wèn)題（綜合實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握應(yīng)用最小二乘擬合原理分析和解決實(shí)際問(wèn)題的思想和方法,能通過(guò)觀察測(cè)試數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,并用所學(xué)知識(shí)分析和解決所給問(wèn)題.問(wèn)題 (1991年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的A題. 問(wèn)題中使用的長(zhǎng)度單位為E(英尺, 1 E=30.24cm), 容積單位是G(加侖, 1 G=3.785L).某些州的用水管理機(jī)構(gòu)需估計(jì)公眾的用水速度(單位:G/h)和每天的總用水量. 許多供水單位由于沒(méi)有測(cè)量流入或流出量的設(shè)備, 而只能測(cè)量水箱中的水位(誤差不超過(guò)5%). 當(dāng)水箱水位低于水位L時(shí), 水泵開(kāi)始工作將水灌入水箱, 直至水位達(dá)到最高水位

2、H為止. 但是依然無(wú)法測(cè)量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作時(shí)無(wú)法立即將水箱中的水位和水量聯(lián)系起來(lái). 水泵一天灌水12次, 每次約2h. 試估計(jì)在任一時(shí)刻(包括水泵灌水期間) t流出水箱的流量并估計(jì)一天的總用水量.表1給出了某鎮(zhèn)某一天的真實(shí)用水?dāng)?shù)據(jù). 水箱是直徑為57E, 高為40E的正圓柱體. 當(dāng)水位落到27E以下, 水泵自動(dòng)啟動(dòng)把水灌入水箱; 當(dāng)水位回升至35.5E時(shí), 水泵停止工作.表1 時(shí)間/s水位E時(shí)間/s水位E033166635106191393717921212402522328543322843593239332394354331831753110305429942947289

3、22850279527522697泵水泵水355034454663649953539365725460574645546853571854750217925482649859688995393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340模型假設(shè)(1) 影響水箱流量的唯一因素是該區(qū)公眾對(duì)水的普通需求. 所給數(shù)據(jù)反映該鎮(zhèn)在通常情況下一天的用水量, 不包括任何非常情況, 如水泵故障、水管破裂、自然災(zāi)害等. 并且認(rèn)為水位高度、大氣情況、溫度變化等物理因素對(duì)水的流速均無(wú)直接影響;(2) 水泵的灌水速度為常數(shù);(3) 從水箱中流出水的最大流

4、速小于水泵的灌水速度. 為了滿足公眾的用水需求不讓水箱中的水用盡, 這是顯然的要求;(4) 因?yàn)楣妼?duì)水的消耗量是以全天的活動(dòng)(諸如洗澡、做飯、洗衣服等)為基礎(chǔ)的, 所以,可以認(rèn)為每天的用水量分布都是相似的;(5) 水箱的水流量速度可用光滑曲線來(lái)近似.問(wèn)題分析與模型建立為方便起見(jiàn),記V表示水的容積;表示時(shí)刻 (單位:h)水的容積;表示流出水箱的水的流速(單位;G/h),它是時(shí)間的函數(shù);p表示水泵的灌水速度(G/h).先將表1中數(shù)據(jù)作變換, 時(shí)間單位用小時(shí)(h), 水位高轉(zhuǎn)換成水的體積(單位: ). 輸入tt=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,

5、28543,32284,35932,39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,79254,82649,85968,89953,93270/3600/Nvv=Pi*(57/2)2*3175,3110,3054,2994,2947,2892, 2850,2795,2752,2697,no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,2697,no_data,no_data,3475,3397,3340*10(-2)*

6、7.481/103/N則輸出下表.表2 時(shí)間/h水量/G時(shí)間/h水量/G0.0.9211111.843062.949723.871394.978065.97.006397.928618.967789.9811110.925610.954212.0328606.098593.69583.571.546562.574552.074544.057533.557525.349514.849no_datano_data677.685657.6412.954413.8755814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.01522.958123.8

7、824.986925.9083639.505622.324604.571598.299574.982558.756542.529528.212514.849no_datano_data663.367648.477637.593由于要求的是水箱流量與時(shí)間的關(guān)系, 因此須由表2的數(shù)據(jù)計(jì)算出相鄰時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)及在時(shí)間區(qū)間內(nèi)水箱中流出的水的平均速度.平均流速=(區(qū)間左端點(diǎn)的水量-區(qū)間右端點(diǎn)的水量)/時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度輸入tt1=Table(tti+1+tti)/2,i,27vv1=Table(vvi-vvi+1)/(tti+1-tti),i,27則輸出下表表3 時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)值/h平均水流量/G/h時(shí)間區(qū)間

8、的中點(diǎn)值/h平均水流量/G/h0.4605561.382082.396393.410564.424725.439036.453197.46758.448199.4744410.453310.939911.493512.493613.47111.595310.34989.734719.487358.696499.489748.9008610.1036no_datano_datano_data18.583319.676613.415114.42915.443116.36517.378918.484619.498520.399321.427122.486523.41924.433525.447618

9、.646616.046316.569715.524814.67714.673315.529415.1898no_datano_datano_data13.451411.8095模型求解為了作出時(shí)間tt1與平均水流量vv1之間的散點(diǎn)圖, 先輸入調(diào)用統(tǒng)計(jì)軟件包的命令 <<StatisticsDataManipulation.m執(zhí)行以后再輸入ClearL;L=TransposeDropNonNumericColumntt1,vv1*103(*命令中vv1*103,使平均水流量vv1的單位變?yōu)镚/h*)g1=ListPlotL則輸出圖4.1圖4.1圖中空白區(qū)域?yàn)楸盟畷r(shí)間. 從中可以看出數(shù)據(jù)

10、分布不均勻. 我們采用8階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合. 輸入 ft=FitL,Tableti,i,0,8,t則輸出這就是流出水箱的水的流速關(guān)于時(shí)間t的函數(shù). 為作出其擬合曲線圖, 輸入fg=Plotft,t,0,26,DisplayFunction->Identity;Showg1,fg,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出圖4.2.圖4.2求解結(jié)果將h和h代入到水的流速擬合函數(shù)我們得到這兩時(shí)刻的流速分別近似為13532.5G/h和13196.1G/h,相差僅2.48587%, 從而可以認(rèn)為能近似表達(dá)一天的用水流量.于是, 一天里的用水總量近似地等于函數(shù)在24小時(shí)周期內(nèi)的積分. 輸入Integrateft,t,0.46,24.46則輸出336013.G若按常規(guī)每1000人的用水量為105000G/d, 因此估計(jì)出這個(gè)地區(qū)大約有3200人.模型評(píng)價(jià)該模型數(shù)學(xué)概念簡(jiǎn)單, 并且容易實(shí)現(xiàn), 任意時(shí)刻從水箱中流出水的速度都可通過(guò)該模型計(jì)算出來(lái), 可以推測(cè)速度. 但數(shù)據(jù)太少, 只能參照一天的數(shù)據(jù). 另外, 如果知道水泵的灌水速度, 就能更準(zhǔn)確地估算水泵灌水期間水的流速.實(shí)驗(yàn)報(bào)告某裝飾材料商店欲以每瓶2元的成本價(jià)購(gòu)進(jìn)一批彩漆. 一般來(lái)說(shuō), 隨著彩漆售價(jià)的提高,預(yù)期銷(xiāo)售量將減少, 對(duì)此進(jìn)行了估算, 見(jiàn)下表.為了盡快