第5章_線性定常系統(tǒng)的綜合

1、第第5章章 線性定常系統(tǒng)的綜合線性定常系統(tǒng)的綜合5.1 5.1 線性反饋控制系統(tǒng)的基本形式及其特性線性反饋控制系統(tǒng)的基本形式及其特性5.2 5.2 極點配置問題極點配置問題5.3 5.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題系統(tǒng)的分析與綜合：l系統(tǒng)分析：已知系統(tǒng)的結構和參數(shù)及已知外輸入作用，研究系統(tǒng)運動的定性行為(如能控性、能觀測性、穩(wěn)定性)和定量的變化規(guī)律(如系統(tǒng)的解)。相應問題稱為系統(tǒng)分析問題。l系統(tǒng)綜合：已知系統(tǒng)的結構和參數(shù)，以及所期望的系統(tǒng)運動形式或某些特征，要確定的則是需要施加于系統(tǒng)的外部輸入作用即控制作用的規(guī)律(簡稱控制律)。相應問題稱為系統(tǒng)綜合問題。l一般控制作用(控制律)常取反饋的形式(狀

2、態(tài)反饋或輸出反饋)。 一、綜合問題一、綜合問題 給定線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述：給定線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述：) 1 (0) 0(,0 xxxCytxxBuA， A、B、C均為常陣且給定。 再給出所期望的性能指標： (1)對系統(tǒng)狀態(tài)運動期望形式所規(guī)定的某些特征量。 (2)對其運動過程所規(guī)定的某種期望形式或需取極?。ɑ驑O大）值的一個性能函數(shù)。綜合：尋找一個控制作用 u ，使得在其作用下，系統(tǒng)的運動行為滿足所給出的期望性能指標。 通常 u 可通過系統(tǒng)的實際響應（輸出或狀態(tài)）來構造。 形式為： u = K x + v 狀態(tài)反饋控制狀態(tài)反饋控制 （2） u = H y + v 輸出反饋控制輸出反饋控制 （3）

3、其中：v為參考輸入向量，與輸入u維數(shù)(r維)相同。 K 為 rn常陣，稱為狀態(tài)反饋矩陣。 H為 rm常陣，稱為輸出反饋矩陣。 二、性能指標的類型二、性能指標的類型 非優(yōu)化型性能指標：是一類不等式型的指標，即只要性能達到或好于期望指標就算實現(xiàn)了綜合目標。優(yōu)化型性能指標：是一類極值型指標，綜合的目的是要使性能指標在所有可能值中取為極小(或極大)值。性能指標1.常用的非優(yōu)化型性能指標：(1)以漸近穩(wěn)定性為性能指標，相應的綜合問題稱為鎮(zhèn)定問題。(2)以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點作為性能指標，相應的綜合問題為極點配置問題。系統(tǒng)運動的形態(tài)，即動態(tài)性能（如超調量、過渡過程）主要由極點的位置所決定。(3)以使系統(tǒng)

4、的輸出 y 無靜差地跟蹤一個外部信號y0(t)作為性能指標，相應的綜合問題為跟蹤問題。(4)以使一個多輸入-多輸出系統(tǒng)實現(xiàn)“一個輸入只控制一個輸出”作為性能指標，相應的綜合問題稱為解耦控制問題。常常陣陣。正正定定對對稱稱或或半半正正定定對對稱稱正正定定對對稱稱常常陣陣；QRdtRuuQuJTT)()(0 xx2.優(yōu)化型性能指標常取一個相對于狀態(tài) x 和控制 u 的二次型積分性能指標，其形式為：三、研究綜合問題的思路三、研究綜合問題的思路 1.建立可綜合的條件。 相對于給定的受控系統(tǒng)和給定的期望性能指標，建立使相應的控制存在并可實現(xiàn)綜合目標所應滿足的條件。 2.建立起相應的用于綜合控制規(guī)律的算法

5、。 利用這些算法，對滿足可綜合條件的問題，確定出滿足要求的控制規(guī)律，即確定出相應的狀態(tài)反饋或輸出反饋矩陣。四、工程實現(xiàn)中的一些理論問題四、工程實現(xiàn)中的一些理論問題 1.狀態(tài)反饋的物理構成問題： (1)狀態(tài)可直接測量：直接實現(xiàn) (2)狀態(tài)不可直接測量：間接實現(xiàn)，可通過可測量的輸入和輸出變量來估計系統(tǒng)狀態(tài)“狀態(tài)觀測器” 2.系統(tǒng)模型不準確和系統(tǒng)參數(shù)攝動問題（魯棒控制理論來解決）。 魯棒控制：系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定性裕度(增益裕度、相位裕度等)，允許系統(tǒng)參數(shù)誤差或攝動出現(xiàn)在模型參數(shù)的一個鄰域內，系統(tǒng)仍保持穩(wěn)定。 3.對外部擾動影響的抑制問題本章主要學習和掌握內容：本章主要學習和掌握內容：1、反饋控制系統(tǒng)的

6、兩種基本形式、反饋控制系統(tǒng)的兩種基本形式及其特點及其特點;2、極點配置方法。、極點配置方法。5.1 5.1 線性反饋控制系統(tǒng)的基本形式及其特性線性反饋控制系統(tǒng)的基本形式及其特性主要學習和掌握內容：主要學習和掌握內容：1、學習和理解系統(tǒng)狀態(tài)反饋和輸出反饋的概念；、學習和理解系統(tǒng)狀態(tài)反饋和輸出反饋的概念；2、學習和了解反饋控制系統(tǒng)的基本結構；、學習和了解反饋控制系統(tǒng)的基本結構；3、學習和掌握狀態(tài)反饋和輸出反饋對系統(tǒng)能控性、學習和掌握狀態(tài)反饋和輸出反饋對系統(tǒng)能控性和能觀性的影響。和能觀性的影響。 1 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的基本結構形式 (1) 基本結構形式 (2) 特點： 采用對狀態(tài)向量的線性反饋規(guī)律來

7、構成閉環(huán)系統(tǒng)。 (3) 優(yōu)點：不引入新的狀態(tài)變量，維數(shù)不變。一、反饋控制系統(tǒng)的基本結構形式(理論結構形式)DuCyBuADCBAxxx :),(0為為受受控控系系統(tǒng)統(tǒng)即即開開環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng))(:維維向向量量：參參考考輸輸入入狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋陣陣；：反反饋饋控控制制規(guī)規(guī)律律為為rvnrKvKux 閉環(huán)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式？閉環(huán)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式？D D ，D DK K) )( (C C，B B，B BK K) ) ( (A A: :閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)k kD Du uC Cx xy yB Bu uA Ax xx xD Dv vD DK K) )x x( (C Cy yB Bv vB BK

8、K) )x x( (A Ax xD D) )C C, ,B B, ,( (A A, ,: :開開環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)o o) )為為輸輸入入v v( (v vK Kx xu u: :系系統(tǒng)統(tǒng)閉閉環(huán)環(huán)k k系統(tǒng)維數(shù)不變，但極點可改變(可通過選擇合適的K實現(xiàn)極點配置)；CxCxy yBvBvBK)xBK)x(A(Ax x，0 0當D當DB BK K) )( (A A閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)特特征征值值為為B BB BK K) ) ( (A AC C s sW W( (s s) )C C ，B B，B BK K) ) ( (A A1 1k kI2.輸出反饋控制系統(tǒng)的基本結構形式 1）基本結構形式 2）特點： 采用輸

9、出反饋。3）數(shù)學模型：.:)0(輸輸出出反反饋饋陣陣為為反反饋饋控控制制規(guī)規(guī)律律：設設受受控控系系統(tǒng)統(tǒng)為為mrHvHCvHyuCyBuADxxxx BBHCAsICsGCyBvBHCAC1)()()(數(shù)數(shù)矩矩陣陣：輸輸出出反反饋饋系系統(tǒng)統(tǒng)的的傳傳遞遞函函狀狀態(tài)態(tài)空空間間描描述述：輸輸出出反反饋饋后后閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)的的xxx )()()()()()()(111sGHsGIsHGIsGsGBAsICsGOOOOCO則則閉閉環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為：受受控控系系統(tǒng)統(tǒng)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)：二、反饋控制系統(tǒng)的通用結構形式(適用于工程實際)1. 帶有觀測器的狀態(tài)反饋（克服狀態(tài)向量 x 不可能測量到的缺點，借

10、助狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)重構）。 1）結構圖 2）觀測器系統(tǒng) x*是受控系統(tǒng)的狀態(tài) x 的重構 狀態(tài)，x* 是可直接量測的。 x* 與 x 雖不等，但漸近相等。l觀測器系統(tǒng)的階次低于受控系統(tǒng)的階次。3）閉環(huán)系統(tǒng)階次等于受控系統(tǒng)階次與觀測器系統(tǒng)階次之和。圖圖 利用觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋利用觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋（擴展狀態(tài)反饋系統(tǒng)）（擴展狀態(tài)反饋系統(tǒng)）2. 帶動態(tài)補償器的輸出反饋 克服基本結構形式不能隨心所欲地任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點的缺點，借助動態(tài)補償器來實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的任意配置。 1）結構圖 2）補償器系統(tǒng) 補償器系統(tǒng)的階次低于受控系統(tǒng)的階次。 3）閉環(huán)系統(tǒng)階次等于受控系統(tǒng)階次與補償器系統(tǒng)階次之和。圖圖 帶動

11、態(tài)補償器的輸出反饋（擴展輸出反饋系統(tǒng)）帶動態(tài)補償器的輸出反饋（擴展輸出反饋系統(tǒng)）三、狀態(tài)反饋和輸出反饋對系統(tǒng)能控性和能觀測性的影響 結論結論1 1：狀態(tài)反饋的引入，不改變系統(tǒng)的能控性，但可能改：狀態(tài)反饋的引入，不改變系統(tǒng)的能控性，但可能改變系統(tǒng)的能觀測性。變系統(tǒng)的能觀測性。B B B BK K) )( (A AB BK K) )B B( (A A B BQ Q: :的的能能控控性性判判陣陣反反饋饋系系統(tǒng)統(tǒng)B B A AA AB B B BQ Q：的的能能控控性性判判陣陣受受控控系系統(tǒng)統(tǒng)控控性性。的的引引入入不不改改變變系系統(tǒng)統(tǒng)的的能能證證明明：先先證證明明狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋1 1n nc ck

12、kc ck k1 1n nc c0 0。向向量量的的線線性性組組合合來來表表示示B B 的的列列A AB BA AA AB B, ,B B的的列列向向量量可可由由 B B, ,B BK K) )( (A A，以以此此類類推推 合合表表示示。B B 的的列列向向量量的的線線性性組組A AA AB B, ,B B的的列列向向量量可可由由 B B, ,B BK K) )( (A A故故，K KB BK KB B) )B B( (K KA AB BA AB B( (K KB B) )B BA AB BK KB BK KB BB BK KA AB BA AB BK KB BB BA AB BK KB B

13、) )B BK K) )( (A AB B( (A AB BK K) )B BB BK K) )( (A A( (A AB BB BK K) )( (A A中中，Q Q第第三三分分塊塊：在在 的的線線性性組組合合來來表表示示。向向量量列列各各的的中中A AB B 可可由由 B B, ,向向量量列列各各的的中中B BK K) )B B故故( (A A，B B( (K KB B) )A AB BB BK KB BA AB BB BK K) )B B( (A A中中，Q Q第第二二分分塊塊：在在 ：第第一一分分塊塊相相同同；Q Q和和Q Q比比較較1 1n n2 21 1n n2 22 22 22

14、22 2c ck kc ck kc ck kc c證證畢畢。的的能能控控性性等等價價的的能能控控性性與與。從從而而，r ra an nk kQ Qr ra an nk kQ Q因因此此有有陣陣秩秩，因因初初等等變變換換不不改改變變矩矩經(jīng)經(jīng)過過列列初初等等變變換換得得到到的的Q Q可可看看作作是是由由因因此此Q Q c cc ck kc ck kc cc cc ck k再證狀態(tài)反饋系統(tǒng)不一定能保持能觀測性。通過舉例說明：。不不完完全全能能觀觀測測因因此此，2 2n n1 1r ra an nk kQ Q1 11 11 11 1B BK K) )C C( (A AC CQ Q：能能觀觀測測性性判判

15、別別陣陣x x1 11 1y yv v1 10 0 x x1 10 02 21 1B Bv vB BK K) )x x( (A Ax x：則則反反饋饋系系統(tǒng)統(tǒng)4 4 0 0K K狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋陣陣為為：且且取取，引引入入狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋能能觀觀測測。故故n n2 2r ra an nk kQ Q5 51 11 11 1C CA AC CQ Q: :能能觀觀測測性性判判別別陣陣x x1 11 1y yu u1 10 0 x x3 30 02 21 1x xk kc ck kc ck kk ko oo oo oo o。完完全全能能觀觀測測則則反反饋饋系系統(tǒng)統(tǒng)2 2r ra an nk kQ Q0

16、 01 11 11 1B BK K) )C C( (A AC CQ Q5 5- -0 0K K狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋陣陣為為：若若取取k kc ck kc ck k結論2：輸出反饋的引入能同時不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測性，即閉環(huán)輸出反饋系統(tǒng)F的能控性及能觀測性與開環(huán)受控系統(tǒng)o的能控性及能觀測性一致。（證明略）。 上例說明狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測性。這時因為上例說明狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測性。這時因為狀態(tài)反饋會改變系統(tǒng)的極點狀態(tài)反饋會改變系統(tǒng)的極點(不改變零點不改變零點)，這就有可能使傳，這就有可能使傳遞函數(shù)出現(xiàn)遞函數(shù)出現(xiàn)(或消除或消除)零極點對消，從而改變系統(tǒng)的能觀測性。零極點對消，從而改變

17、系統(tǒng)的能觀測性。四、狀態(tài)反饋和輸出反饋的比較1.狀態(tài)反饋為系統(tǒng)結構信息的完全反饋，輸出反饋則是系統(tǒng)結構信息不完全反饋。 2.狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為(A+BK)，其中K為rn維狀態(tài)反饋陣。輸出反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為(A+BHC)，其中H為rm維輸出反饋陣，這里HC相當于狀態(tài)反饋陣中的K陣，但K選擇的自由度大，而由于mn，H選擇的自由度小，因而輸出反饋只能相當于一種部分狀態(tài)反饋，其對系統(tǒng)的影響效果要比狀態(tài)反饋小得多，所以輸出反饋對改善閉環(huán)系統(tǒng)的控制特性要比狀態(tài)反饋差一些。 3. 輸出反饋是在物理上可實現(xiàn)的，狀態(tài)反饋是在物理上通常是不能實現(xiàn)的?；?，輸出反饋優(yōu)于狀態(tài)反饋。4. 狀態(tài)反饋能保持受控系統(tǒng)

18、的能控性，但不一定能保持受控系統(tǒng)的能觀測性。輸出反饋能同時保持受控系統(tǒng)的能控性和能觀測性。5. 狀態(tài)反饋和輸出反饋的基本結構形式(理論結構)均不太適用于工程實際問題。狀態(tài)反饋和輸出反饋的通用結構形式較適用于工程實際問題。帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，可解決系統(tǒng)狀態(tài)不能測量時的狀態(tài)重構問題；帶動態(tài)補償器的輸出反饋系統(tǒng)，可解決輸出反饋基本結構形式不能任意配置極點的問題。6. 擴展狀態(tài)反饋(即帶狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋系統(tǒng))和擴展輸出反饋(即帶動態(tài)補償器的輸出反饋系統(tǒng))在作用上是等價的。5.2 5.2 極點配置問題極點配置問題: :單輸入系統(tǒng)單輸入系統(tǒng)主要學習和掌握內容：主要學習和掌握內容：1、學習、理解和

19、掌握狀態(tài)反饋配置極點的學習、理解和掌握狀態(tài)反饋配置極點的條件、方法和特點。條件、方法和特點。2、學習和理解和掌握輸出反饋配置極點的、學習和理解和掌握輸出反饋配置極點的條件、方法和特點。條件、方法和特點。一、狀態(tài)反饋的極點配置問題一、狀態(tài)反饋的極點配置問題 狀態(tài)反饋的極點配置問題：就是對給定的受控系統(tǒng)，確定狀態(tài)反饋律 u = Kx + vu = Kx + v, v 為參考輸入，即確定一個 rn 的狀態(tài)反饋增益矩陣K，使所導出的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng) 的極點為期望極點 。BuBKAxx)(*n*2*1,解決上述極點配置問題，需要解決兩個問題：1）建立可配置條件問題，即利用狀態(tài)反饋而任意地配置其閉環(huán)極點所

20、應遵循的條件。2）建立相應的算法，即用以確定滿足極點配置要求的狀態(tài)反饋增益矩陣K的算法。1 10 00 0b bT Tb b; ;b bb bb bc cT Tc ca aa aa a0 0A AT TT TA A1 1c c1 11 1n n1 10 0c c1 11 1n n1 10 01 1n nc c1 11 1c c1 1I; ;u ub bx xA Ax xx xT Tx xc c1 1型型能能控控標標準準其其出出寫寫則則可可，能能控控若若：) )充充分分條條件件證證明明( (o oI二、極點配置條件二、極點配置條件定理定理: :采用狀態(tài)反饋對系采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)統(tǒng)o=(A, b,

21、 c) 任意配置任意配置其所有極點的充要條件是其所有極點的充要條件是o=(A, b, c) 完全能控。完全能控。1 1n n1 10 0k kk kk kK K統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋陣陣為為：型型系系設設該該能能控控標標準準Ix xc cy yv vb bx x) )K Kb bA A( (x x狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋系系統(tǒng)統(tǒng)閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)，即即* *0 0* *1 11 1n n* *1 1n nn nn n1 1i i* *i i* *a aa aa a) )( () )f f( (又又：) )k k( (a a) )k k( (a a) )k k( (a a0 0k kk kk k1 10

22、 00 0a aa aa a0 0) )K Kb bA A( (1 1n n1 1n n1 11 10 00 01 1n n1 1n n1 10 01 1n n1 10 01 1n nII) )k k( (a a) )k k( (a a) )k k( (a a) )k k( (a a) )K Kb bA A( (b bK K) )( (A Af f0 00 01 11 12 2n n2 2n n2 2n n1 1n n1 1n n1 1n nn nII)(:I為為式式多多項項特特征征型型，則則其其標標準準易易知知閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)仍仍為為能能控控。為為特特征征值值的的特特征征多多項項式式表表示示

23、以以期期望望極極點點) )f f( (* *n n* *2 2* *1 1* *,.,:系系統(tǒng)統(tǒng)的的系系統(tǒng)統(tǒng)矩矩陣陣為為閉閉環(huán)環(huán)* *0 00 00 0* *1 11 11 1* *2 2n n2 2n n2 2n n* *1 1n n1 1n n1 1n na aa ak ka aa ak ka aa ak ka aa ak k: :比比較較系系數(shù)數(shù)得得1 1c c1 11 1c c1 11 1c c1 1c c1 1T TK KK KK Kx xx xK Kx xT TK Kx xK Kx xK Kv vK Kx xv vu ux xT Tx xx xT Tx x) )k k(a(a) )

24、k k(a(a) )k k(a(a) )k k(a(aa aa aa aa a) )( ( () )f f：即即f(f(),),) )f(f(望極點相符，需滿足：望極點相符，需滿足： 要使閉環(huán)系統(tǒng)極點與期要使閉環(huán)系統(tǒng)極點與期0 00 01 11 12 2n n2 2n n2 2n n1 1n n1 1n n1 1n nn n* *0 0* *1 12 2n n* *2 2n n1 1n n* *1 1n nn nn n1 1i i* *i i* * *實實現(xiàn)現(xiàn)極極點點配配置置。證證畢畢。，可可得得反反饋饋陣陣可可求求出出若若系系統(tǒng)統(tǒng)能能控控，則則可可由由此此，即即：對對給給定定期期望望極極點點

25、Kkii*?KxKx對對應應的的變變?yōu)闉閷獞牡娜缛绾魏螌?即即為為所所求求狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋陣陣K* *0 0* *1 11 1n n* *1 1n nn nn n1 1i i* *i i* *a aa aa a) )( () )f f( () )k k( (a a) )k k( (a a) )k k( (a a) )k k( (a af f0 00 01 11 12 2n n2 2n n2 2n n1 1n n1 1n n1 1n nn n)(0 00 01 10 0b bb bb bc c , ,1 10 00 0b b, ,3 32 20 01 10 00 00 01 10 0a

26、aa aa a1 10 00 00 01 10 0A A: :實實現(xiàn)現(xiàn)型型直直接接寫寫出出能能控控標標準準可可: :解解2 21 10 02 21 10 0I) )k k( (0 0) )k k( (2 2) )k k( (3 3) )k k( (a a) )k k( (a a) )k k( (a a) )K Kb bA A( (f f( () )0 01 12 22 23 30 00 01 11 12 22 22 23 3Ij1 12 2, ,使使閉閉環(huán)環(huán)極極點點為為設設計計狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋控控制制器器，2 2s s3 3s ss s1 10 02 2) )1 1) )( (s ss s(

27、(s s1 10 0W W( (s s) )：2 25 5例例2 23 32 21 10 0k kk kk kK K設設4 46 64 4 j j) )1 1j j) )( (1 12 2) )( ( () )f f( (2 23 3* *1 14 44 4K K1 1k k4 4k k ，4 4k k4 4k k0 06 6k k2 24 4k k3 32 21 10 00 01 12 2)()(*ff第二步：計算由期望極點 所決定的多項式f (*)，。，期期望望的的極極點點值值，即即：陣陣的的特特征征值值為為，使使維維的的狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋增增益益矩矩陣陣確確定定一一個個，和和一一組組期期望

28、望的的閉閉環(huán)環(huán)極極點點給給定定能能控控系系統(tǒng)統(tǒng)的的矩矩陣陣對對), 2 , 1()(1,),(*2*1nibKAbKAKnbAiin第四步：計算變換陣0111)det()(aaaAIfnnn*2*1,n*0*11*1*1*)()()(aaafnnnn,*11*11*00nnaaaaaaK111,11111nnncaaabAbbAT0 011cTKK第五步：所求狀態(tài)反饋陣為能控標準能控標準I型變換陣型變換陣三、單輸入系統(tǒng)極點配置問題的通用算法三、單輸入系統(tǒng)極點配置問題的通用算法(僅對能控系統(tǒng)僅對能控系統(tǒng))能控能控I型下的反饋陣型下的反饋陣 第一步：計算A的特征多項式f()，即第三步：計算反饋陣j

29、 j1 1，j j1 1，2 2征征值值為為給給定定期期望望的的一一組組閉閉環(huán)環(huán)特特u u0 00 01 1x x1 12 21 10 00 06 61 10 00 00 0 x x常常系系統(tǒng)統(tǒng)例例：給給定定單單輸輸入入線線性性定定補補充充* *3 3* *2 2* *1 1464)1)(1)(2()()()(2331*iijjffff：決決定定的的特特征征多多項項式式再再計計算算給給定定期期望望極極點點所所7 72 21 18 81 12 21 10 00 06 61 10 00 0A A) )( (：) )( (特特征征多多項項式式計計算算A A的的，可可任任意意配配置置極極點點完完全全能

30、能控控，系系統(tǒng)統(tǒng)3 31 10 00 06 61 10 00 00 01 1r ra an nk kr ra an nk kQ Q能能控控性性判判斷斷解解：系系統(tǒng)統(tǒng)2 23 3c cI122018614144181121010014664144181121010000101121187211872011800100101610010100114664464)1)(1)(2()()(1111212211*22*11*002331*cccciiTKKKTbAbbATTaaaaaaKKjjff為為反反饋饋增增益益陣陣因因此此，所所要要確確定定的的狀狀態(tài)態(tài)，因因此此：計計算算變變換換陣陣：比比較較同同

31、類類項項可可求求；7 72 21 18 8) )( (由由：2 23 3第三步：比較第三步：比較f()和和f (*)的同類項，解方程組可求得反饋陣的同類項，解方程組可求得反饋陣K。易知易知解該方程組可求得各待定系數(shù)解該方程組可求得各待定系數(shù)k1，k2 ，kn ，從而可得，從而可得K。第一步：計算閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣第一步：計算閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A+bK的特征多項式，即的特征多項式，即0111)(det)(aaabKAIfnnn多多項項式式，即即所所決決定定的的特特征征期期望望極極點點第第二二步步：計計算算由由給給定定的的,*2*1n說明：系統(tǒng)階數(shù)較低時，也可簡化極點配置算法，直接計說明：系統(tǒng)階數(shù)

32、較低時，也可簡化極點配置算法，直接計算狀態(tài)反饋矩陣算狀態(tài)反饋矩陣K K。簡化算法步驟如下：。簡化算法步驟如下：1,.,1 , 0,*niaaii*0*11*1*1*)()()(aaafnnnn的的式式子子。中中各各個個元元素素包包含含了了反反饋饋陣陣是是，其其中中，狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋矩矩陣陣nnnkkkKaaakkkK,.,.,),.,(2111021該算法可用于求解不能控系統(tǒng)的極點配置問題！該算法可用于求解不能控系統(tǒng)的極點配置問題！若若K Ki i無解？無解？2 2k kk kk k1 11 10 00 01 10 0k kk kk k1 10 00 02 20 00 01 11 10 00

33、01 10 0b bK KA A2 21 10 02 21 10 0如下：如下：采用串聯(lián)法實現(xiàn)采用串聯(lián)法實現(xiàn)起見，起見，為實現(xiàn)易為實現(xiàn)易，狀態(tài)信息較難檢測狀態(tài)信息較難檢測需需但所但所，) )免去了狀態(tài)的線性變換免去了狀態(tài)的線性變換型直接求K(型直接求K(2一開始采用能控標準2一開始采用能控標準- -例5例5I2 2s s1 11 1s s1 1s s1010w(s)w(s)陣陣為為，則則閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)的的系系統(tǒng)統(tǒng)矩矩k kk kk kK K設設狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋陣陣為為求求解解：利利用用極極點點配配置置簡簡化化算算法法2 21 10 0j1 1，2 2期期望望閉閉環(huán)環(huán)極極點點為為x x0 00

34、 01 10 0y yu u1 10 00 0 x xx xx x2 20 00 01 11 10 00 01 10 0 x xx xx x3 32 21 13 32 21 14 46 64 4j j) )1 1j j) )( (1 12 2) )( ( () )f f( (，則則1 1，2 2期期望望閉閉環(huán)環(huán)極極點點為為2 23 3* *j2 21 10 03 32 21 13 32 21 1k kk kk kK K設設狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋陣陣u u1 10 00 0 x xx xx x2 20 00 01 11 10 00 01 10 0 x xx xx x受受控控系系統(tǒng)統(tǒng)為為：0 01 12

35、 22 22 23 32 21 10 02 21 10 0k k) )k kk k(2(2) )k k(3(32 2k kk kk k1 11 10 00 01 1bK)bK)(A(Af(f() )則則; ;2 2k kk kk k1 11 10 00 01 10 0bKbKA A統(tǒng)矩陣為：統(tǒng)矩陣為：閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的系閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的系I1 13 34 4- -K K- -1 1k k- -3 3k k- -4 4k k，解解得得4 4k k6 6k kk k2 24 4k k3 3得得：) )f f( (f f( () )由由2 21 10 00 01 12 22 2* *關于狀態(tài)反饋極

36、點配置的說明一、選擇期望極點時需要注意：1、對一個n維系統(tǒng)，必須指定n個實數(shù)極點或共軛復數(shù)極點(共軛極點必須成對給出)；2、極點位置的確定，應考慮其對系統(tǒng)性能的主導影響及其與系統(tǒng)零點分布狀況的關系。極點的配置有可能產(chǎn)生零極點對消，導致系統(tǒng)不能觀測。二、即使系統(tǒng)不完全能控，也有可能利用狀態(tài)反饋實現(xiàn)極點配置，只是不能進行任意極點配置(開環(huán)系統(tǒng)不能控部分的極點無法改變)。此類系統(tǒng)需采用前述簡化算法直接計算狀態(tài)反饋矩陣K，如K可求出，說明給出的期望極點是可配置的。三、前述極點配置算法也適用于多輸入系統(tǒng)，但實際設計更困難，如將綜合指標化為期望極點需工程處理、化為能控標準型較麻煩、反饋陣K的解非唯一、可能

37、改變系統(tǒng)零點形態(tài)等。四、輸出反饋的極點配置四、輸出反饋的極點配置連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)：xxxCyBuA控制作用u取為：vHyu H為rm反饋矩陣，v為參考輸入。 輸出反饋極點配置就是：對任意給定極點組確定一個反饋矩陣H，使導出的輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng),*2*1n), 2 , 1()(*niBHCAiixxCyBvBHCAx)(的所有特征值實現(xiàn)期望的配置，即有采用輸出反饋： ，只能使閉環(huán)系統(tǒng)極點配置到根軌跡上，而不能配置到根軌跡以外位置上。輸出反饋極點配置條件：輸出反饋極點配置條件：對完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)：1. 輸出反饋局限性： 一般地說，利用輸出反饋 ( v 為參

38、考輸入)，不能任意地配置系統(tǒng)的全部極點。vHyuxxxcybuAhcxvhyvu)(/ )()()()()()(100ssbAsIcswswss：開開環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)的的傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為則則多多項項式式和和分分子子多多項項式式，的的分分母母開開環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)分分別別為為和和證證明明：設設的的一一組組根根軌軌跡跡上上。無無窮窮遠遠零零點點為為“終終點點”始始點點”和和以以開開環(huán)環(huán)零零點點與與開開環(huán)環(huán)極極點點為為“起起統(tǒng)統(tǒng)的的極極點點只只能能分分布布于于以以輸輸出出反反饋饋系系統(tǒng)統(tǒng)，閉閉環(huán)環(huán)系系根根軌軌跡跡法法知知，對對極極點點和和開開環(huán)環(huán)零零點點。根根據(jù)據(jù)的的極極點點和和零零點點，即即開開

39、環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)分分別別為為開開環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)傳傳遞遞函函的的根根和和又又知知滿滿足足)(0)(0)(0swsss的的一一組組根根軌軌跡跡。為為參參量量已已知知時時閉閉環(huán)環(huán)極極點點落落在在以以可可知知，當當。，則則閉閉環(huán)環(huán)極極點點滿滿足足閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)特特征征方方程程為為數(shù)數(shù)為為：，則則閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)的的傳傳遞遞函函標標量量維維對對單單輸輸入入單單輸輸出出系系統(tǒng)統(tǒng)為為輸輸出出反反饋饋陣陣為為根根據(jù)據(jù)輸輸出出反反饋饋結結構構，若若)0()(1)(0)()()()()()(1)()()11(0000hswshwshsshssshwswswhc2. 對于能控和能觀測的受控系統(tǒng)(A,B,C)，若系統(tǒng)的維數(shù)為

40、 n，且 rankB=r，rankC=m，則采用非動態(tài)線性輸出反饋 ，可對數(shù)目為 minn, r+m-1個閉環(huán)極點進行“任意地接近”式配置，即可使它們任意地接近于指定的期望極點位置。vHyu3. 如果在引入輸出反饋的同時，附加引入動態(tài)補償器，那么通過適當選取和綜合補償器的結構和特性，將可對所導出的輸出反饋系統(tǒng)的全部極點進行任意地配置。5.3 5.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題主要學習和掌握內容：主要學習和掌握內容：1、學習和理解系統(tǒng)鎮(zhèn)定的概念；、學習和理解系統(tǒng)鎮(zhèn)定的概念；2、學習、理解和掌握利用狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)、學習、理解和掌握利用狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定的條件、方法和特點。鎮(zhèn)定的條件、方法和特點。

41、 對線性定常系統(tǒng) ，如果存在狀態(tài)反饋控制規(guī)律： 使所導出的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng) 為漸近穩(wěn)定，即閉環(huán)系統(tǒng)的特征值均具有負實部，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。),(0CBA 為為參參考考輸輸入入為為反反饋饋增增益益矩矩陣陣，vKvKxu,BvxBKAx)(一一. 狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定性定義：狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定性定義：二二. 鎮(zhèn)定問題屬性鎮(zhèn)定問題屬性 鎮(zhèn)定問題實質上屬于極點區(qū)域配置問題。為為不不能能控控部部分分。為為能能控控部部分分，其其中中分分解解變變換換陣陣為為結結構構，)0 ,(),(001121ccccccABATBBTBAAAATTA 證明：對不完全能控系統(tǒng) ，對其按能控性進行分解，使之化為 ，系數(shù)矩陣如下：1. 可鎮(zhèn)定充要條件充要條件：設有線性定常系統(tǒng) ，當且僅當其不能控部分為漸近穩(wěn)定時，則該系統(tǒng)就是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。),(0CBA ),(0CBA 的的狀狀態(tài)態(tài)方方程程分分別別為為：與與后后的的閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)統(tǒng)統(tǒng)引引入入狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋的的狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋陣陣，則則兩兩系系與與分