模糊集理論及應(yīng)用

1、1模糊集理論及應(yīng)用目錄模糊集的基本概念模糊集的基本定理2模糊關(guān)系與模糊矩陣3模糊聚類4模糊推理及應(yīng)用51基本概念經(jīng)典集合與特征函數(shù)2、 論域 處理某一問題時對有關(guān)議題的限制范圍稱為該問題的論域。1、 經(jīng)典集合 現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一些不同對象的全體稱為集合，區(qū)別于模糊集合其最基本的屬性是： 集合中元素的互異性，即元素彼此相異，范圍邊界分明 集合中元素的確定性，一個元素x與集合A的關(guān)系是，要么xA，要么x A，二者必居其一經(jīng)典集合與特征函數(shù)3、特征函數(shù)設(shè)A是論域U上的一個集合，對任何uU，令 1 當uA CA(u)= 0 當u A 則稱CA(u)為集合A的特征函數(shù)。 顯然有： A= u | CA(u)=1

2、 經(jīng)典集合與特征函數(shù)解：特征函數(shù)如下： 1 當u=1,3,5 CA(u)= 0 當u=2,4例 設(shè)有論域：U= 1,2,3,4,5,6 ，A= 1,3,5 ，求其特征函數(shù)。經(jīng)典集合與特征函數(shù)特征函數(shù)CA(u)在u=u0處的值CA(U0)稱為u0對A的隸屬度。4、隸屬度模糊集合與隸屬函數(shù)設(shè)U是論域，A是將任何uU映射為0，1上某個值的函數(shù)，即： A：U0，1 uA(u)則稱A為定義在U上的一個隸屬函數(shù)。1、隸屬函數(shù)2、模糊集設(shè)A= A (u) | uU ，則稱A為論域U上的一個模糊集。3、隸屬度A (u)稱為u對模糊集A的隸屬度。模糊集合與隸屬函數(shù)模糊集合完全由其隸屬函數(shù)確定，即一個模糊集合與其

3、隸屬函數(shù)是等價的?？梢钥闯鰧τ谀：?，當中的元素u的隸屬度全為0時，則就是個空集；當全為1時，就是全集；當僅取0和1時，就是普通子集。這就是說模糊子集實際是普通子集的推廣普通子集就是模糊子集的特例。模糊集合與隸屬函數(shù)解：設(shè)A表示“大數(shù)”的模糊集，A為其隸屬函數(shù)。則有： A= 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 其中：A(1)=0，A(2)=0.1，A(3)=0.5，A(4)=0.8，A(5)=1例 設(shè)有論域：U= 1,2,3,4,5 ，用模糊集表示出模糊概念“大數(shù)”。模糊集合與隸屬函數(shù)解：假設(shè)他們的平均成績分別為：98分，72分，86分，設(shè)映射為平均成績除以100。則有隸屬度：A(張三)=

4、0.98，A(李四)=0.72，A(王五)=0.86模糊集A= 0.98, 0.72, 0.86 例 設(shè)有論域：U= 張三，李四，王五 確定一個模糊集A，以表示他們分別對“學(xué)習好”的隸屬程度。模糊集合與隸屬函數(shù)A(ui)/ ui表示ui對模糊集A的隸屬度。當某個隸屬度為0時，可以略去不寫。如：A=1/ u1+0.7/ u2+ 0/ u3+0.5/ u4B=1/ u1+0.7/ u2+0.5/ u4它們是相同的模糊集。2、扎德表示法2設(shè)論域U是連續(xù)的，則其模糊集可用實函數(shù)表示。模糊集合的表示方法1、扎德表示法1模糊集合與隸屬函數(shù)為了建立模糊集A=“青年人”的隸屬函數(shù)，以及u0=27歲屬于模糊集A

5、的隸屬度。以年齡作論域U=0,100，張楠綸等經(jīng)過一次較大的模糊統(tǒng)計實驗，在武漢某高校進行抽樣調(diào)查，要求被抽取的大學(xué)生獨立認真考慮了“青年人”的含義后，給出“青年人”的年齡去見，隨機抽取了129人，相應(yīng)得到了“青年人”的129個年齡區(qū)間。為了確定u0=27歲屬于模糊集A的隸屬度，對u0=27作統(tǒng)計處理。n為樣本總數(shù)，m為樣本區(qū)間蓋住27的頻數(shù)，而f= 為隸屬頻率。以n為橫坐標，f為縱坐標，繪制圖形。隸屬函數(shù)的確定1、模糊統(tǒng)計法mn模糊集合與隸屬函數(shù)根據(jù)問題的性質(zhì)，套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。矩形分布、梯形分布、k次拋物分布、T分布、正態(tài)分布偏小型模糊分布

6、適合描述像“小”、“冷”、“青年”、顏色的“淡”等偏向小的一方的模糊現(xiàn)象，其隸屬函數(shù)一般形式為 1, xa,A(x)= f(x), xa.其中，a為常數(shù)，而f(x)是非增函數(shù)。隸屬函數(shù)的確定2、指派方法模糊集合與隸屬函數(shù)偏大型模糊分布適合描述像“大”、“熱”、“老年”、顏色的“弄”等偏向大的一方的模糊現(xiàn)象，其隸屬函數(shù)一般形式為 0, xa,A(x)= f(x), xa.其中，a為常數(shù)，而f(x)是非減函數(shù)。中間型模糊分布適合描述像“中”、“暖和”、“中年”等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象，其隸屬函數(shù)可以通過中間型模糊分布表示。3、借用已有尺度在經(jīng)濟管理等社科領(lǐng)域中，可以直接借用已有的尺度“經(jīng)濟指標”作

7、為模糊集的隸屬度。比如，在論域U(產(chǎn)品)上定義模糊集A=“質(zhì)量穩(wěn)定”，可用產(chǎn)品的“正品率”作為產(chǎn)品屬于“質(zhì)量穩(wěn)定”的隸屬度。模糊集合與隸屬函數(shù)解： 0 0u50年老(u) (1+(5/(u-50)2)-1 50u100 1 0u25年輕(u) (1+(u-25)/5)2)-1 25u100例 設(shè)有人的年齡論域U=0,100, 求其“年老”和“年輕”這兩個模糊概念的隸屬函數(shù)。模糊集合與隸屬函數(shù)模糊集的運算模糊集的運算它們的隸屬函數(shù)分別為： AB (u)= max A (u), B(u) uU AB (u)= min A (u), B(u) uU Ac (u)= 1-A (u)模糊集的運算例 設(shè)U

8、= u1,u2,u3 A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3求：AB, AB及Ac模糊集的運算解：AB =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3AB =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.6 / u1+0.8 / u2+0.7 / u3Ac=(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3 =0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u3模糊集的

9、基本定理水平截集1、水平截集 設(shè)A(U)，0, 1, 且 A= u | uU, A(u)， 則稱A為A的一個水平截集，稱為閾值或置信水平。水平截集性質(zhì)（1）設(shè)A,B(U)，則有： (AB)= AB (AB) = AB（2）若1，20, 1, 且10，則稱Ker A為模糊集A的核，Supp A為模糊集A的支集。3、正規(guī)模糊集 若KerA，則稱A為正規(guī)模糊集。水平截集例 設(shè)有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5且分別為1，0.6，0.5，0.3,分別求其相應(yīng)的水平截集、核及支集。水平截集解：（1）水平截集A1= u3 A0.6= u2,u3,u4 A0.5

10、= u2,u3,u4,u5 A0.3= u1,u2,u3,u4,u5 （2）核、支集KerA= u3 SuppA= u1,u2,u3,u4,u5 模糊數(shù)模糊數(shù) 如果實數(shù)域上的模糊集A的隸屬函數(shù)A (u)在R上連續(xù)，且具有如下性質(zhì)：（1）A是凸模糊集，即對任意0，1，A的水平截集A是閉區(qū)間；（2）A是正規(guī)模糊集，即存在uR，使 A (u)=1則稱A為一個模糊數(shù)。模糊關(guān)系與模糊矩陣模糊關(guān)系直積（笛卡爾乘積）設(shè)U與V是兩個集合，則稱 UV= (u,v) | uU, vV 為U與V的笛卡爾乘積。 模糊關(guān)系例 設(shè)U= 紅桃，方塊，黑桃，梅花 V= A，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J, Q,

11、 K 求UV解：UV (紅桃，A)，（紅 桃, 2），（梅花, K） 模糊關(guān)系模糊關(guān)系相像關(guān)系：兩者間的“相像”并非非此即彼，而是亦此亦彼，具有程度上的差異，具有程度上差異的關(guān)系就是模糊關(guān)系。直積UV的一個模糊子集R成為從U到V的一個模糊關(guān)系，記為U VR的論域為UV。特別地，當U=V時，R稱為U上的二元模糊關(guān)系；若R的論域為n個集合的直積U1U2Un，則稱R為n元模糊關(guān)系。 R模糊關(guān)系模糊關(guān)系的表示R= R(u, v) / (u, v) UV例 X= x1，x2，x3 表示父輩的3個人x1，x2，x3 的集合，而Y= y1，y2，y3，y4 為他們子輩的集合，“相像關(guān)系”R （ UV ）是一

12、模糊關(guān)系，則模糊關(guān)系模糊矩陣模糊矩陣設(shè)R = (rij)mn，若0rij1，則稱R為模糊矩陣。當rij只取0或1時，稱R為布爾(Boole)矩陣。 當模糊方陣R = (rij)nn的對角線上的元素rii都為1時，稱R為模糊自反矩陣。模糊矩陣模糊矩陣間的關(guān)系及并、交、余運算設(shè)A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩陣，定義相等：A = B aij = bij；包含：A B aijbij；并：AB = (aijbij)mn；交：AB = (aijbij)mn；余：Ac = (1- aij)mn。0.20.30.10.10.90.7,00.10.30.20.1,0.20.10.30.2.30

13、.20.20.10.80.9cAABBABA例 設(shè)，則模糊矩陣模糊的轉(zhuǎn)置 定義 設(shè)A = (aij)mn, 稱AT = (aijT )nm為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中aijT = aji.轉(zhuǎn)置運算的性質(zhì)：性質(zhì)1：( AT )T = A；性質(zhì)2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T =( AT )n ；性質(zhì)4：( Ac )T = ( AT )c ；性質(zhì)5：AB AT BT。模糊矩陣模糊的截矩陣設(shè)A = (aij)mn,對任意的0, 1，稱A= (aij()mn,為模糊矩陣A的 - 截矩陣, 其中 當aij時，aij() =

14、1； 當aij時，aij() =0. 顯然，A的 - 截矩陣為布爾矩陣。 1110110010110011,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 013 . 0AA模糊矩陣模糊矩陣的合成設(shè)A = (aik)ms，B = (bkj)sn，稱模糊矩陣A B = (cij)mn，為A 與B 的合成，其中cij = (aikbkj) | 1ks。模糊方陣的冪 定義：若A為 n 階方陣，定義A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A。7 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 07

15、. 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 03模糊關(guān)系的合成表示模糊關(guān)系的傳遞R1與R2分別是UV與 VW上的模糊關(guān)系，則U到W的模糊關(guān)系為：例 R(u1,w1)=0.40.2, 0.50.4, 0.10.6=0.2, 0.4, 0.1=0.4 R(u1,w2)=0.40.8, 0.50.6, 0.10.4=0.4, 0.5, 0.1=0.5WURRwuwvvuRR),/(),(),(21212 . 03 . 05 . 02 . 06 . 02 . 01 . 05 . 04 . 01R4 . 06 . 06 . 04 . 08 . 02 . 02R5 . 03

16、. 06 . 04 . 05 . 04 . 021RRRZadeh的模糊關(guān)系合成法則。設(shè)則12( )ijn mRRRr模糊關(guān)系的合成模糊關(guān)系的合成其中對R1第i行和R2第j列對應(yīng)元素取最小,再對k個結(jié)果取最大, 所得結(jié)果就是R中第i行第j列處的元素。 1()(1,2, ;1,2,)kijilljlrstin jm 模糊聚類模糊等價矩陣 若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)對稱性：R(x, y) =R(y, x)； (3)傳遞性：R2R, 則稱模糊關(guān)系R是X上的一個模糊等價關(guān)系。 當論域X = x1, x2, , xn為有限時, X 上的

17、一個模糊等價關(guān)系R就是模糊等價矩陣, 即R滿足：I R ( rii =1 )RT=R( rij= rji)R2R。R2R ( (rikrkj) | 1kn rij) .1000010000100001I=當時, R的分類是R分類的加細。當由1變到0時, R的分類由細變粗,由模糊等價關(guān)系R確定的分類所含元素由少變多,逐步歸并,最后成一類,這個過程形成一個動態(tài)聚類圖,稱之為模糊分類。12345 ,10.40.80.50.50.410.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.50.40.50.61Uu u u u uR 例設(shè) 模糊聚類210.40.80.50.50.41

18、0.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.50.40.50.61RR RR故R是模糊等價矩陣再令由1降至0,寫出,按分類( ,)1( ,1,2,3,4,5)ijijuuR u ui j元素 與歸為一類的充要條件是 模糊聚類110.40.80.50.5100000.410.40.40.4010000.80.410.50.5001000.50.40.510.6000100.50.40.50.6100001RR0.810.40.80.50.5101000.410.40.40.4010000.80.410.50.5101000.50.40.510.6000100.50.

19、40.50.6100001RR12345: , , , , 5uuuuu相應(yīng)的分類共分為 類13245: , 4u uuuu相應(yīng)的分類共分為 類模糊聚類12345 , , uuuuu當 =1時，得到的分類為；13245 , , , u uuuu當 =0.8時，得到的分類為；13245 , , , ,u uuu u當 =0.6時，得到的分類為； 以此類推,可以得到:13452 , , u u u uu當 =0.5時，得到的分類為；12345 ,u u u u u當 =0.4時，得到的分類為；于是,得到動態(tài)聚類圖如右圖所示模糊聚類模糊相似關(guān)系 若模糊關(guān)系 R 是 X 上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足

20、： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 對稱性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 則稱模糊關(guān)系 R 是 X 上的一個模糊相似關(guān)系。 當論域X = x1, x2, , xn為有限時，X 上的一個模糊相似關(guān)系 R 就是模糊相似矩陣，即R滿足： (1) 自反性：I R ( rii =1 )； (2) 對稱性：RT = R ( rij = rji )。模糊聚類模糊相似矩陣的性質(zhì)定理1 若R 是模糊相似矩陣，則對任意的自然數(shù) k，Rk 也是模糊相似矩陣。 定理2 若R 是n階模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數(shù) k (kn )，對于一切大于k 的自然數(shù) l，恒有Rl

21、= Rk，即Rk 是模糊等價矩陣(R2k = Rk )。 此時稱Rk為R的傳遞閉包，記作 t ( R ) = Rk 。上述定理表明，任一個模糊相似矩陣可誘導(dǎo)出一個模糊等價矩陣。平方法求傳遞閉包 t (R)：RR2R4R8R16模糊聚類10.10.2 0.110.30.20.31( )RRt R例設(shè)容易驗證， 是模糊相似矩陣，用平方法求其傳遞閉包210.1 0.210.1 0.210.2 0.20.110.30.110.30.210.30.2 0.310.2 0.310.2 0.31R RR 22210.20.210.20.210.20.20.210.30.210.30.210.30.20.31

22、0.20.310.20.31RRR 210.20.2( )0.210.30.20.31t RR故傳遞閉包模糊聚類模糊聚類分析的一般步驟（1）數(shù)據(jù)標準化 設(shè)論域X = x1, x2, , xn為被分類對象,每個對象又由m個指標表示其性狀:xi = xi1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n于是,得到原始數(shù)據(jù)矩陣為nmnnmmxxxxxxxxx.212222111211模糊聚類平移 標準差變換),.,2 , 1,.,2 , 1(mjnisxxxjjijij其中21111,()1nnjijjijjiixxsxxnn平移 極差變換1|min1|max1|minnixnixnixxxi

23、jijijijij模糊聚類(2)建立模糊相似矩陣方法相似系數(shù)法 -夾角余弦法mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121模糊聚類相似系數(shù)法 -相關(guān)系數(shù)法mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(| |其中1111,mmiikjjkkkxxxxmm模糊聚類距離法rij = 1 c d (xi, xj )其中c為適當選取的參數(shù).海明距離mkjkikjixxxxd1|),(歐氏距離mkjkikjixxxxd12)(),(切比雪夫距離d (xi, xj ) = | xik- xjk | , 1km模糊聚類（3）聚類（并畫出動態(tài)聚類圖） 從（2）求出的n階模糊相

24、似矩陣R出發(fā)，用平方法求其其傳遞閉包t(R)，它就是將改造成的n階模糊等價矩陣，再讓由大變小，就可形成動態(tài)聚類圖。模糊聚類最佳分類的確定 在模糊聚類分析中，對于各個不同的0,1，可得到不同的分類，從而形成一種動態(tài)聚類圖，這對全面了解樣本分類情況是比較形象和直觀的。 但在許多實際問題中，需要給出樣本的一個具體分類，這就提出了如何確定最佳分類的問題。模糊聚類模糊命題陳述句“張三是老人”，由于老人的概念是模糊的，因而“張三是老人”無確切的真假而言，但是它又有真假的含義，這種陳述句稱為模糊命題。設(shè)n元謂詞 表示一個模糊命題，命題的真值為其中對象x1，x2，xn對模糊集合P的隸屬度。 當命題真值為0時，

25、它就是假命題； 當命題真值為1時，它就是真命題； 為0和1之間的某個值時，它就是有某種程度的真(又有某種程度的假)的模糊命題。模糊命題的真值是把一個命題內(nèi)部的隸屬度轉(zhuǎn)化為整個命題的真實度。模糊推理模糊邏輯12(,)nP xxx邏輯運算1）合取 Conjunction, ,“交”，其真值為T（pq）=T(p)T(q),2）析取 Disjunction， , “并”,其真值為T（pq）=T(p)T(q),3）蘊涵 Implication， , “if then”,其真值為T（pq）=T( p)(pq),4）逆操作 Inversion， ,其真值為T( p)=1-T(p),5) 等效關(guān)系 Equiv

26、alence， ，“p即q”,其真值為T（p q）=T(pq)(qp)=T(pq)T(qp)。模糊邏輯pqpqpqppq模糊語言一切具有模糊性的語言都稱為模糊語言 ，它是一種廣泛使用的自然語言，如何將模糊語言表達出來，使計算機能夠模擬人的思維去推理和判斷，這就引出了語言變量這一概念 。語言變量是以自然語言中的詞、詞組或句子作為變量 。語言變量的值稱為語言值，一般也是由自然語言中的詞、詞組或句子構(gòu)成。語言變量的語言值通常用模糊集合來描述，該模糊集合對應(yīng)的數(shù)值變量稱作基礎(chǔ)變量。模糊推理一個完整的語言變量可定義為一個五元體（X,T(X),U,G,M)其中X語言變量的名稱；T(X)語言變量的語言值；U

27、論域；G語法規(guī)則；M語義規(guī)則。模糊語言以“年齡”作為語言變量X，該語言變量的論域U取0, )。根據(jù)語法規(guī)則可知，描述語言變量“年齡”的語言值有“年青”、“中年”、“年老”幾種，那么T(X)可表示為T(X)年青中年年老語義規(guī)則主要是用來反映實際論域中的歲數(shù)與模糊集合“年青”、“中年”、“年老”之間的關(guān)系。模糊語言變量的完整描述見圖 模糊推理模糊語言模糊推理060402080年青中年年老年齡1.0語言變量語義規(guī)則語法規(guī)則語言值論域XT(X )GMU（歲）是基于不確切性知識(模糊規(guī)則)的一種推理。例如 就是模糊推理要解決的問題。模糊推理是一種近似推理，一般采用Zadeh提出的語言變量、 語言值、模糊

28、集和模糊關(guān)系合成的方法進行推理。 模糊推理用模糊(關(guān)系)集合表示模糊規(guī)則一條規(guī)則表達了前提中的語言值與結(jié)論中的語言值之間的對應(yīng)關(guān)系一條模糊規(guī)則刻劃了前提中的模糊集與結(jié)論中的模糊集之間的一種對應(yīng)關(guān)系Zadeh認為這種對應(yīng)關(guān)系是兩個集合間的一種模糊關(guān)系，因而它也可以表示為模糊集合。一條模糊規(guī)則轉(zhuǎn)換成一個模糊集合。對于有限集，則就是一個模糊矩陣。 模糊推理例如，設(shè)有規(guī)則 如果x is A 那么 y is B （中A、B是兩個語言值）那么 A、B可表示為兩個模糊集(我們?nèi)砸訟、B標記)； 這個規(guī)則表示了A、B之間的一種模糊關(guān)系R，R也可以表示為一個模糊集。于是，有 U、V分別為模糊集合A、B所屬的論域，R(ui，vj) (i，j=1，2，)是元素(ui，vj) 對于R的隸屬度。 模糊推理怎樣求得隸屬度R(ui，vj) (i，j=1，2，)呢？ 對此，Zadeh給出了很多種方法，其中具代表性的一種方法為其中、 分別代表取最小值