歷屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽真習(xí)題及答案非數(shù)學(xué)類

1、高數(shù)競(jìng)賽預(yù)賽試題（非數(shù)學(xué)類）（參加高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題。）2009年 第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷一、填空題（每小題5分，共20分）1計(jì)算_，其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.解: 令，則， （*）令，則，2設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿足, 則_.解: 令，則，,解得。因此。3曲面平行平面的切平面方程是_.解: 因平面的法向量為，而曲面在處的法向量為，故與平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在處的切平面方程是，即曲面 平行平面的切平面方程是。4設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則_.解: 方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)

2、，得因，故，即，因此二、（5分）求極限，其中是給定的正整數(shù).解 :因故因此三、（15分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，為常數(shù)，求并討論在處的連續(xù)性.解 : 由和函數(shù)連續(xù)知，因，故，因此，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，這表明在處連續(xù).四、（15分）已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）.證 :因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在上連續(xù)，故由格林公式知（1）而關(guān)于和是對(duì)稱的，即知因此（2）因故由知即 五、（10分）已知，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求此微分方程.解 設(shè)，是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，則和都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解，因此的特征多項(xiàng)式是，而的特征多項(xiàng)式是因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程

3、為，由和，知，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、（10分）設(shè)拋物線過原點(diǎn).當(dāng)時(shí),又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解 因拋物線過原點(diǎn)，故，于是即而此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積即令，得即因此,.七、（15分）已知滿足, 且, 求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和.解 ，即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此由知，于是下面求級(jí)數(shù)的和：令則即由一階線性非齊次微分方程公式知令，得，因此級(jí)數(shù)的和八、（10分）求時(shí), 與等價(jià)的無窮大量.解 令，則因當(dāng)，時(shí)，故在上嚴(yán)格單調(diào)減。因此即，又，所以，當(dāng)時(shí), 與等價(jià)的無窮大量是。2010年 第二屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽

4、試卷（參加高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題。）一、（25分，每小題5分）（1）設(shè)其中求（2）求。（3）設(shè)，求。（4）設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。（5）求直線與直線的距離。解：（1）=(2) 令x=1/t,則原式=（3）二、（15分）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且且存在一點(diǎn)，使得。證明：方程在恰有兩個(gè)實(shí)根。解： 二階導(dǎo)數(shù)為正，則一階導(dǎo)數(shù)單增，f(x)先減后增，因?yàn)閒(x)有小于0的值，所以只需在兩邊找兩大于0的值。將f(x)二階泰勒展開：因?yàn)槎A倒數(shù)大于0，所以，證明完成。三、（15分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，曲

5、線與在出相切，求函數(shù)。解：（這兒少了一個(gè)條件）由與在出相切得，=。上式可以得到一個(gè)微分方程，求解即可。四、（15分）設(shè)證明：（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)且時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。解：（1）>0, 單調(diào)遞增當(dāng)收斂時(shí)，而收斂，所以收斂；當(dāng)發(fā)散時(shí)，所以，而，收斂于k。所以，收斂。（2）所以發(fā)散，所以存在，使得于是，依此類推，可得存在使得成立，所以當(dāng)時(shí)，所以發(fā)散五、（15分）設(shè)是過原點(diǎn)、方向?yàn)?，（其中的直線，均勻橢球，其中（密度為1）繞旋轉(zhuǎn)。（1）求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)于方向的最大值和最小值。解：（1）橢球上一點(diǎn)P(x,y,z)到直線的距離由輪換對(duì)稱性，（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，六、(15分)設(shè)函數(shù)

6、具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意光滑的簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值為常數(shù)。（1）設(shè)為正向閉曲線證明（2）求函數(shù)；（3）設(shè)是圍繞原點(diǎn)的光滑簡(jiǎn)單正向閉曲線，求。解：（1） L不繞原點(diǎn)，在L上取兩點(diǎn)A，B，將L分為兩段，再?gòu)腁，B作一曲線，使之包圍原點(diǎn)。則有（2） 令由（1）知，代入可得上式將兩邊看做y的多項(xiàng)式，整理得由此可得解得：（3） 取為，方向?yàn)轫槙r(shí)針2011年 第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷（參加高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題。）一 計(jì)算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分）（1）.求；解：（用兩個(gè)重要極限）：

7、（2）.求；解：(用歐拉公式）令其中，表示時(shí)的無窮小量，（3）已知，求。解：二（本題10分）求方程的通解。解：設(shè)，則是一個(gè)全微分方程，設(shè)該曲線積分與路徑無關(guān)三（本題15分）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且均不為0，證明：存在唯一一組實(shí)數(shù)，使得。證明：由極限的存在性：即，又，由洛比達(dá)法則得由極限的存在性得即，又，再次使用洛比達(dá)法則得由得是齊次線性方程組的解設(shè)，則，增廣矩陣，則所以，方程有唯一解，即存在唯一一組實(shí)數(shù)滿足題意，且。四（本題17分）設(shè)，其中，為與的交線，求橢球面在上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值。解：設(shè)上任一點(diǎn)，令，則橢球面在上點(diǎn)M處的法向量為：在點(diǎn)M處的切

8、平面為：原點(diǎn)到平面的距離為，令 則，現(xiàn)在求在條件，下的條件極值，令則由拉格朗日乘數(shù)法得：，解得或，對(duì)應(yīng)此時(shí)的或此時(shí)的或又因?yàn)?，則所以，橢球面在上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值分別為： ，五（本題16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部分（）取上側(cè)，是S在點(diǎn)處的切平面，是原點(diǎn)到切平面的距離，表示S的正法向的方向余弦。計(jì)算：（1）；（2）解：（1）由題意得：橢球面S的方程為令則，切平面的法向量為，的方程為，原點(diǎn)到切平面的距離將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分得：記(2)方法一： 六（本題12分）設(shè)f(x)是在內(nèi)的可微函數(shù)，且，其中，任取實(shí)數(shù)，定義證明：絕對(duì)收斂。證明：由拉格朗日中值定理得：介于之間，使得，又得級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)收斂，即絕對(duì)收斂。七（本題15分）是否存在區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)f(x)，滿足，請(qǐng)說明理由。解：