概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用第二版課后答案課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答第1章隨機變量及其概率1,寫出下列試驗的樣本空間：(1)連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結果中有一個結果出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。(2)連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結果中有一個結果接連出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。(3)連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。(4)拋一枚硬幣，若出現(xiàn)H則再拋一次；若出現(xiàn)T,則再拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的各種結果。解：(1)S=2,3,4,5,6,7;(2)S=2,3,4,;(3)S=H,TH,TTH,TTTH，;(4)S=HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6。2,設A,B是兩個事件，已知P(A)=0.25,P(B)=0.5,P

2、(AB)=0.125,求P(A=B),P(AB),P(AB),P(A=B)(AB)。解：P(A=B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.625,P(AB)=P(S-A)B=P(B)-P(AB)=0.375,P(AB)=1P(AB)0.875,P(A-B)(AB)=P(A-B)(S-AB)=P(A-B)-P(A-B)(AB)=0.625-P(AB)=0.53,在100,101,，999這900個3位數(shù)中，任取一個3位數(shù)，求不包含數(shù)字1個概率。解：在100,101,，999這900個3位數(shù)中不包含數(shù)字1的3位數(shù)的個數(shù)為8x9x9=648,所以所求得概率為9004,在僅由數(shù)字0,1,2,3,4,5組

3、成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)中，任取一個三位數(shù)。(1)求該數(shù)是奇數(shù)的概率；(2)求該數(shù)大于330的概率。解：僅由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)的個數(shù)有5M5M4=100個。(1)該數(shù)是奇數(shù)的可能個數(shù)為4M4M3=48個，所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為100(2)該數(shù)大于330的可能個數(shù)為2x4+5x4+5x4=48,所以該數(shù)大于330的概率為1005,袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。(1) 4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球。(2) 4只中至少有2只紅球。(3) 4只中沒有白球。解：(1)所求概率為邑%晝=8C4233(

4、2)所求概率為C：C； C：C； C：201 67 .C；一 )495 165(3)所求概率為=至=二C：24951656,一公司向M個銷售點分發(fā)n(nM)張?zhí)嶝泦危O每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給每一銷售點是等可能的，每一銷售點得到的提貨單不限，求其中某一特定的銷售點得到k(kEn)張?zhí)嶝泦蔚母怕?。解：根?jù)題意，n(ncM)張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給M個銷售點的總的可能分法有Mn種，某一特定的銷售點得到k(kn)張?zhí)嶝泦蔚目赡芊址ㄓ蠧k(M-1)種，所以某一特定的銷售點得到k(kEn)張?zhí)嶝泦蔚母怕蕿閗n-kCn(M-1)o7,將3只球(13號)隨機地放入3只盒子(13號)中，一只盒子裝一只球。若一只球裝入與球同號的

5、盒子，稱為一個配對。(1)求3只球至少有1只配對的概率。(2)求沒有配對的概率。解：根據(jù)題意，將3只球隨機地放入3只盒子的總的放法有3!=6種：123,132,213,231,312,321;沒有1只配對的放法有2種：312,231。至少有1只配對的放法當然就有6-2=4種。所以(2)沒有配對的概率為2=1;63(1)至少有1只配對的概率為1=2。338, (1)設P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1,求P(A|B),P(B|A),P(A|A，B),P(AB|A.B),P(A|AB).(2)袋中有6只白球，5只紅球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取

6、到紅球不放回也不放入另外的球。連續(xù)取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解：(1)由題意可得P(AjB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.7,所以P(A| B)=P(AB)P(B)0.10.3P(B| A)=P(AB)P(A)0.1 10.5 一 5107P(A|A-b)=PA(A-B):LTP(AIB)P(AIB)7P(AB | A B)=PAB(A 一 B)P(A 一 B)P(AB)P(A . B)P(A|AB)=P1=P=1P(AB)P(AB)(2)設A(i=123,4)表示“第i次取到白球”這一事件，而取到紅球可以用它的補來表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次

7、取到紅球可以表示為AA2A3A4,它的概率為(根據(jù)乘法公式)651112 13 12P(AA2A3A4)=P(A)P(A2|A)P(A31AA2)P(&|AA2A3)840=0.0408。205929, 一只盒子裝有2只白球，2只紅球，在盒中取球兩次，每次任取一只，做不放回抽樣，已知得到的兩只球中至少有一只是紅球，求另一只也是紅球的概率。解：設“得到的兩只球中至少有一只是紅球”記為事件A,“另一只也是紅球”記為事件B。則事件A的概率為_22215.P(A)=2mM十一M=(先紅后白，先白后紅，先紅后紅)43436所求概率為P(B|A)=P(AB)P(A)2 1x 4 3510, 一醫(yī)生根據(jù)以往

8、的資料得到下面的訊息，他的病人中有5%的人以為自己患癌癥，且確實患癌癥；有45%的人以為自己患癌癥，但實際上未患癌癥；有10%的人以為自己未患癌癥，但確實患了癌癥；最后40%的人以為自己未患癌癥，且確實未患癌癥。以A表示事件“一病人以為自己患癌癥”，以B表示事件“病人確實患了癌癥”，求下列概率。(1)P(A),P(B);(2)P(B|A);(3)P(B|A);(4)P(A|B)；(5)P(A|B)。解：(1)根據(jù)題意可得P(A)=P(AB)+P(aB)=5%+45%=50%；P(B)=P(BA)+P(BA)=5%+10%=15%;(2)根據(jù)條件概率公式：p(b|a)=P(AB)=5%=0.1；

9、P(A)50%(3)P(B|A)=p(bA)P(A)10%= 0.2 ；1 -50%(4)P(A|B)P(aB) _ 45%P(B)1 -15%(5)P(A| B)=P(AB)P(B)5%15%311,在11張卡片上分別寫上engineering這11個字母，從中任意連抽6張，求依次排列結果為ginger的概率。解：根據(jù)題意，這11個字母中共有2個g,2個i,3個n,3個e,1個r。從中任意連抽6張，由獨立性，第一次必須從這11張中抽出2個g中的任意一張來，概率為2/11;第二次必須從剩余的10張中抽出2個i中的任意一張來，概率為2/10;類似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率為361

10、.或者c2c2c3C1C3C1_111 10 9 8 7 63326409240一A6-924012,據(jù)統(tǒng)計，對于某一種疾病的兩種癥狀：癥狀A、癥狀B,有20%的人只有癥狀A,有30%的人只有癥狀B,有10%的人兩種癥狀都有，其他的人兩種癥狀都沒有。在患這種病的人群中隨機地選一人，求(1)該人兩種癥狀都沒有的概率；(2)該人至少有一種癥狀的概率；(3)已知該人有癥狀B,求該人有兩種癥狀的概率。解：(1)根據(jù)題意，有40%的人兩種癥狀都沒有，所以該人兩種癥狀都沒有的概率為1-20%-30%-10%=40%;(2)至少有一種癥狀的概率為1-40%=60%;(3)已知該人有癥狀B,表明該人屬于由只有

11、癥狀B的30%人群或者兩種癥狀都有的10%的人群，總的概率為30%+10%=40%,所以在已知該人有癥狀B的條件下該人有兩種癥狀的概率為10%=-o30%10%413, 一在線計算機系統(tǒng)，有4條輸入通訊線，其性質(zhì)如下表，求一隨機選擇的進入訊號無誤差地被接受的概率。通訊線通訊量的份額無誤差的訊息的份額12340.40.99980.30.99990.10.99970.20.9996解：設“訊號通過通訊線i進入計算機系統(tǒng)”記為事件A(i=1,2,3,4),“進入訊號被無誤差地接受”記為事件B。則根據(jù)全概率公式有4P(B)P(A)P(B|Ai)=0.40.99980.30.99990.10.99970

12、.20.9996i1=0.9997814, 一種用來檢驗50歲以上的人是否患有關節(jié)炎的檢驗法，對于確實患關節(jié)炎的病人有85%的給出了正確的結果；而對于已知未患關節(jié)炎的人有4%會認為他患關節(jié)炎。已知人群中有10%的人患有關節(jié)炎，問一名被檢驗者經(jīng)檢驗，認為他沒有關節(jié)炎，而他卻有關節(jié)炎的概率。解：設“一名被檢驗者經(jīng)檢驗認為患有關節(jié)炎”記為事件A，“一名被檢驗者確實患有關節(jié)炎”記為事件B。根據(jù)全概率公式有P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=10%x85%+90%m4%=12.1%,所以，根據(jù)條件概率得到所要求的概率為P(B| A)=P(BA)P(A)P(B)P(A|B)1 - P(A

13、)10%(1 -85%)1 -12.1%= 17.06%即一名被檢驗者經(jīng)檢驗認為沒有關節(jié)炎而實際卻有關節(jié)炎的概率為17.06%.15,計算機中心有三臺打字機A,B,C,程序交與各打字機打字的概率依次為0.6,0.3,0.1,打字機發(fā)生故障的概率依次為0.01,0.05,0.04。已知一程序因打字機發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在A,B,C上打字的概率分別為多少？解：設“程序因打字機發(fā)生故障而被破壞”記為事件M，”程序在A,B,C三臺打字機上打字”分別記為事件Ni,N2,M。則根據(jù)全概率公式有3P(M)=ZP(NJP(M|NJ=0.6x0.01+0.3x0.05+0.1x0.04=0.025,i

14、4根據(jù)Bayes公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為P(N11Mxp(N1)P(M 小力=0.6 0.01P(M )0.025= 0.24 ,P(N 21M )=P(N2)P(M | 心)P(M )0.3 0.050.025=0.60P(N3 |M )=P(M)P(M |M)P(M )0.1 0.040.025=0.1616,在通訊網(wǎng)絡中裝有密碼鑰匙，設全部收到的訊息中有95%是可信的。又設全部不可信的訊息中只有0.1%是使用密碼鑰匙傳送的，而全部可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。求由密碼鑰匙傳送的一訊息是可信訊息的概率。解：設“一訊息是由密碼鑰匙傳送的”記為事件A,“一訊息是可信的”記為

15、事件B。根據(jù)Bayes公式，所要求的概率為P(B | A)=P(AB)P(A)P(B)P(A| B)95% 1P(B)P(A| B) P(B)P(A| B) 95% 1 5% 0.1%= 99.9947%17,將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得H，“第二次得H”，“兩次得同一面”。試驗證A和B,B和C,C和A分別相互獨立(兩兩獨立)，但A,B,C不是相互獨立。解：根據(jù)題意，求出以下概率為1 P(A)=P(B)WP(C)=P(BC) = P(CA)=111，P(ABC) = 2 2 = 4所以有P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

16、。即表明A和B,B和C,C和A兩兩獨立。但是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)所以A,B,C不是相互獨立18,設A,B,C三個運動員自離球門25碼處踢進球的概率依次為0.5,0.7,0.6,設A,B,C各在離球門25碼處踢一球，設各人進球與否相互獨立，求(1)恰有一人進球的概率；(2)恰有二人進球的概率；(3)至少有一人進球的概率。解：設“A,B,C進球”分別記為事件Ni(i=1,2,3)。(1)設恰有一人進球的概率為pr則p=PN1N2N3PN1N2N3PNN2N3=P(N1)P(N2)P(N3)+P(N1)P(N2)P(N3)+P(N1)P(N2)P(N3)(由獨立性)=0.50.30

17、.40.50.70.40.50.30.6=0.29(2)設恰有二人進球的概率為P2,則P2=PNiNzN3PNiNzN3PNiN2N3=P(Ni)P(N2)P(N3)+P(Ni)P(N2)P(N3)+P(Ni)P(N2)P(N3)(由獨立性)=0.50.70.40.50.70.60.50.30.6=0.44(3)設至少有一人進球的概率為P3,則p3=1-PN1N2N3=1-P(N1)P(N2)P(N3)=10.5M0.3M0.4=0.94。19,有一危重病人，僅當在10分鐘之內(nèi)能有一供血者供給足量的A-RH+血才能得救。設化驗一位供血者的血型需要2分鐘，將所需的血全部輸入病人體內(nèi)需要2分鐘，醫(yī)

18、院只有一套驗血型的設備，且供血者僅有40%的人具有該型血，各人具有什么血型相互獨立。求病人能得救的概率。解：根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗血型4次，也就是說最遲可以第4個人才驗出是A-RH+型血。問題轉化為最遲第4個人才驗出是A-RH+型血的概率是多少？因為第一次就檢驗出該型血的概率為0.4;第二次才檢驗出該型血的概率為0.694=0.24;第三次才檢驗出該型血的概率為0.62x0.4=0.144;第四次才檢驗出該型血的概率為0.63x0.4=0.0864;所以病人得救的概率為0.4+0.24+0.144+0.0864=0.870420,一元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性。如

19、圖設有5個獨立工作的元件1,2,3,4,5按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接，設元件的可靠性均為p,試求系統(tǒng)的可靠性。第20題解：設“元件i能夠正常工作”記為事件A(i=123,4,5)那么系統(tǒng)的可靠性為P(AA2)一(.(A4A5)=P(AA2)P(A3)P(A4A5)-P(AA2A3)-P(AA2A4A5)-P(A3A4A5)P(AA2A3A4A5)=P(A)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)-P(A)P(A2)P(A3)-P(A)P(A2)P(A4)P(A5)-P(A3)P(A4)P(A5)P(A)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)223435:ppp_p_p_pp二p2p2-2p3-

20、p4p521,用一種檢驗法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。若真含有雜質(zhì)檢驗結果為含有的概率為0.8;若真不含有雜質(zhì)檢驗結果為不含有的概率為0.9,據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4,0.6。今獨立地對一產(chǎn)品進行了3次檢驗，結果是2次檢驗認為含有雜質(zhì)，而一次檢驗認為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。（注：本題較難，靈活應用全概率公式和Bayes公式）P(A)P(B | A)P(A| B)=解：設“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”記為事件A,“對一產(chǎn)品進行3次檢驗,結果是2次檢驗認為含有雜質(zhì)，而1次檢驗認為不含有雜質(zhì)”記為事件B。則要求的概率為P（A|B）,根據(jù)Bayes公

21、式可得P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)又設“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)”記為事件C,根據(jù)題意有P(A)=0.4,而且P(C|A)=0.8,P(C|A)=0.9,所以P(B| A) =C2 m0.82 m (1-0.8) =0.384;P(B | A) = C32 (1 - 0.9)2 0.9 = 0.027故,P(A|B)P(A)P(B | A)P(A)P(B |A) P(A)P(B | A)0.4 0.3840.4 0.384 0.6 0.0270.15360.1698= 0.9046(第1章習題解答完畢)第2章隨機變量及其分布1,設在某一人群中有40%的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機地選人

22、來驗血，直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止，以丫記進行驗血的次數(shù)，求Y的分布律。解：顯然，Y是一個離散型的隨機變量，丫取k表明第k個人是A型血而前k1個人都不是A型血，因此有PY=k=0.4x(10.4)k=0.4M0.6k,，(k=1,2,3,)上式就是隨機變量Y的分布律(這是一個幾何分布)。2,水自A處流至B處有3個閥門1,2,3,閥門聯(lián)接方式如圖所示。當信號發(fā)出時各閥門以0.8的概率打開，以X表示當信號發(fā)出時水自A流至B的通路條數(shù)，求X的分布律。設各閥門的工作相互獨立。解：X只能取值0,1,2。設以Ai(i=1,2,3)記第i個閥門沒有打開這一事件。則PX=0=PA1(A2.A3)=P(AAz)

23、.(AA3)=PAA2PAA3-PAA2A3=P(A)P(A2)P(A1)P(A3)-P(A)P(A2)P(A3)=(1-0.8)2+(1-0.8)2-(1-0.8)3=0.072,類似有PX=2=PA1(a2A3)=P(AA2A3)=0.83=0.512,PX=1=1-PX=0-PX=2=0.416，綜上所述，可得分布律為X012PX =k0.0720.5120.4163,據(jù)信有20%的美國人沒有任何健康保險，現(xiàn)任意抽查15個美 國人，以X表示15個人中無任何健康保險的人數(shù)(設各人是否有健康保險相互獨立)。問X服從什么分布？寫出分布律。并求下列情況下無任何健康保險的概率：(1)恰有3人；(2

24、)至少有2人；(3)不少于1人且不多于3人；(4)多于5人。解：根據(jù)題意，隨機變量X服從二項分布B(15,0.2),分布律為P(X=k)=c1x0.2k-0.815*k=0,1,2,15。(i)p(x=3)=C35M0.23m0.812=0.2501,P(X之2)=1P(X=1)P(X=0)=0.8329；(3)P(1X5)=1-P(X=5)-P(X=4)-P(X=3)-P(X=2)-P(X=1)-P(X=0)=0.06114,設有一由n個元件組成的系統(tǒng)，記為k/nG,這一系統(tǒng)的運行方式是當且僅當n個元件中至少有k(0kWn)個元件正常工作時，系統(tǒng)正常工作?，F(xiàn)有一3/5G系統(tǒng)，它由相互獨立的元

25、件組成，設每個元件的可靠性均為0.9,求這一系統(tǒng)的可靠性。解：對于3/5G系統(tǒng)，當至少有3個元件正常工作時，系統(tǒng)正常工作。而系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X服從二項分布B(5,0.9),所以系統(tǒng)正常工作的概率為55kk5_kP(X=k)-C50.90.1=0.99144k3k-35,某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以至產(chǎn)品成為次品，設次品率為0.001,現(xiàn)取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的概率。(設各產(chǎn)品是否為次品相互獨立)解：根據(jù)題意，次品數(shù)X服從二項分布B(8000,0.001),所以6P(X：二7)=P(X15(2)已知隨機變量Xn(K),且有PX0=0.5

26、,求PX2。解：(1)PX15=1-PX0=1PX=0=1e4=0.5,得到九=ln2。所以PX_2=1-PX=0-PX=1=1一0.5-e-=(1-ln2)/2：0.15347, 一電話公司有5名訊息員，各人在t分鐘內(nèi)收到訊息的次數(shù)Xn(2t)(設各人收到訊息與否相互獨立)。(1)求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個訊息員未收到訊息的概率。(2)求在給定的一分鐘內(nèi)5個訊息員恰有4人未收到訊息的概率。(3)寫出在一給定的一分鐘內(nèi)，所有5個訊息員收到相同次數(shù)的訊息的概率。解：在給定的一分鐘內(nèi)，任意一個訊息員收到訊息的次數(shù)Xn(2)。(1)PX=Q=e/球0.1353；(2)設在給定的一分鐘內(nèi)5個訊息員中沒

27、有收到訊息的訊息員人數(shù)用Y表示，則YB(5,0.1353),所以PY=4=C540.13534父(1-0.1353)=0.00145。(3)每個人收到的訊息次數(shù)相同的概率為8, 一教授當下課鈴打響時，他還不結束講解。他常結束他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi)，以X表示鈴響kx20x11至結束講解的時間。設X的概率密度為f(x)=J,(1)確定k；(2)求PX-；0其他3(3)求 P1 x -解：(1)根據(jù)1 =1 kf (x)dx = kx2 dx =-(2)1 PX =31/3% ,3f3x2dx = 一 | 02 ,1 !E = f3x dx = 一 21/；4或者X1o因為110PXW1=0.

28、003x2dx=0.001,PX24=J0.003x2dx=0.93604所以方程有實卞g的概率為0.001+0.936=0.937.10,設產(chǎn)品的壽命X (以周計)服從瑞利分布，其概率密度為x_x2/200f(x)=100ei0(1) 求壽命不到一周的概率；(2) 求壽命超過一年的概率；(3) 已知它的壽命超過20周，求壽命超過26周的條件概率1解：(1)PX52=edx=e%0.000001；52100-bex(3) PX 26X 20=P X26P X20一e 26100-x2/200 ,dx-hox_x2/200e dx20100-276/200二e定 0.25158。11,設實驗室的

29、溫度x(以C計)為隨機變量，其概率密度為f (x)=9(4-x2)0(1) 某種化學反應在溫度X1時才能發(fā)生，求在實驗室中這種化學反應發(fā)生的概率。(2) 在10個不同的實驗室中，各實驗室中這種化學反應是否會發(fā)生時相互獨立的，以丫表示10個實驗室中有這種化學反應的實驗室的個數(shù)，求Y的分布律。(3)求PY=2,PX22。21o5解：(1)PX1=(4-x2)dx=19275、(2)根據(jù)題意YB(10,),所以其分布律為27kP(Y=k)=C102227io_kk=0,1,2,10= 0.2998,255f(3)P(Y=2)=Cim父27；P(Y之2)=1P(Y=0)P(Y=1)=0.5778。12

30、,(1)設隨機變量Y的概率密度為0.2-1y0f(y)=0.2+Cy0y0.5|Y0.1(2)設隨機變量X的概率密度為1/80cx2f(x)=x/82x40其他求分布函數(shù)F(x),并求P1x1|X3二01c解：(1)根據(jù)1=口(y)dy=0.2dy+J(0.2+Cy)dy=0.4+C,得到C=1.2.-：402y -1-1 三 y ： 00 y 二 1y -10y0.2dyy0:F(y)=1f(y)dy=0.2dy+“0.2+1.2y)dy-40010.2dy+J(0.2+1.2y)dy.j00y-10.2(y+1)-1y020.6y20.2y0.20y11y-1P0Y0.5=PY0.5-PY

31、40=F(0.5)F(0)=0.450.2=0.25;PYA。二爵甯1-PY0.51-F(0.5)1-0.45二二二0.71061-PY0.11-F(0.1)1-0.226(2)F(x)x=jf(x)dx=-oa0x1dx0821xxdxdx08282d41xf-dx+-dx0828x:二00Mx:二22x:二4x.40x0x/80Mx2x123/162x：41x_4P1Ex3=F(3)F(1)=9/161/8=7/16;PX _1| X 3=P M 1X M 3PX 3F(3)-F(1)F(3)= 7/9。13,在集合A=1,2,3，.,n中取數(shù)兩次，每次任取一數(shù)，作不放回抽樣，以X表示第一

32、次取到的數(shù)，以Y表示第二次取到的數(shù)，求X和丫的聯(lián)合分布律。并用表格形式寫出當n=3時X和丫的聯(lián)合分布律。解：根據(jù)題意，取兩次且不放回抽樣的總可能數(shù)為n(n-1),因此、1.PX=i,Y=j=,(i#j,且1Ei,jEn)n(n-1)，-,一1.當n取3時，PX=i,Y=j=,(i#j,且1Ei,j3),表格形式為6123101/61/621/601/631/61/6014,設一加油站有兩套用來加油的設備，設備A是加油站的工作人員操作的，設備B是有顧客自己操作的。A,B均有兩個加油管。隨機取一時刻，A,B正在使用的軟管根數(shù)分別記為X,Y,它們的聯(lián)合分布律為01200.100.080.0610.0

33、40.200.1420.020.060.30PX2,PXY,PX+Y2=Hf(x,y)dxdy=Jdx8e2H4y)dy=eCdx14eydy=e”;x22020xx二：PXY=f(x,y)dxdy=dx8e2x4y)dy=2exdx4e/ydy=2ex(1-ex)dx=-xy0000031 1-x11-xPX+Y1=JJf(x,y)dxdy=Jdx/8e(2x44y)dy=J2exdxJ4eydy=(1e)2。xfy100002 2.16,設隨機變量(x,丫)在由曲線y=x,y=x/2,x=1所圍成的區(qū)域G均勻分布(1) 求(X,Y)的概率密度；(2) 求邊緣概率密度fx(x),fY(y)。

34、解：(1)根據(jù)題意，(X,Y)的概率密度f(x,y)必定是一常數(shù)，故由6, (x,y)。 其他21x/1一,1一1=1f(x,y)dxdy=Jdxf(x,y)dy=一f(x,y),得到f(x,y)=JG0x2/26*hefX(x)=ff(x,y)dy=x2 26dy = 3x ,x2 /20,0 : x ： 118,設(1)-bofY(y) = f(x, y)dx =,12yJ6dx,1 1J6dx,0,0 :二 y :二 0.50.5 1|X =0.5。-He解：(1)fX (x)=Jf (x,y)dy = 00, 其他特別地，當x =0.5時fYiX (y |x = 0.5) = *0岳9

35、3 * 5 y0,y 0其他6的條件分布律。Y012PY|X=05/121/31/4類似地，在Y=1的條件下X的條件分彳亍律為X012PX|Y=14/1710/173/17為-,得到在X=0的條件下Y的條件分布律PX=0解：(1)根據(jù)公式P y = i | X = 0=(2)因為 f (x, y) = 36,0,(x, y) G其他x2fX (x)-6dy =3x6W),fx2 /2；fY(y)=6(1-Jy),0,所以，當 0 x 1 時，fY|X (y | x)=f (x, y)fx (x)0,x2/2當0y0.5 時，fXY(x|y) =f(x,y)fY(y)=.2y- y,0,當 0.

36、5Wy1 時，fXY(x|y)f (x, y)一 fY(y)_1_1 -, y ,0,0 二 y 二 0.50.5 y 1。其他2:二 x其他其他.y 二 x 二 1其他-0.5 二 x ：二 1其他當y=0.5時，fXY(x|y)=1JK5,0,20,設隨機變量(X,Y)在由曲線y=xy=Jx所圍成的區(qū)域G均勻分布。(1) 寫出(X,Y)的概率密度；(2) 求邊緣概率密度fX(x),fy(y)；(3) 求條件概率密度fY|X(y|x),并寫出當x=0.5時的條件概率密度。(x, y) g其他解：(1)根據(jù)題意，(X,Y)的概率密度f(x,y)必定是一常數(shù)，故由x1口31=口f(x,y)dxd

37、y=JdxJf(x,y)dy=-f(x,y),得到f(x,y)=Gox 求(X,Y)聯(lián)合概率密度；求(X ,Y)關于Y的邊緣概率密度；求在y = y的條件下X的條件概率密度fX|Y (x | y)3、0,x_s、/、jf3dy=3(Jx-x2),fx(x)=ff(x,y)dy=2xx23( , y -y2), 0 二 y 二 10,其他J3dx,0y14=0y2fy(y)=f(x,y)dx=q0,其他(3)當0x1時,fY|x(y|x)=fW=卜Gx2x2:y-.xx其他特別地，當x=0.5時的條件概率密度為1/4 二 y ：二.2/2其他4供(y|0.5)=22-10,21,設(X,Y)是二

38、維隨機變量，X的概率密度為0 :二 x :二 2其他2xfx(x)=6,0,且當X=x(0x2)時Y的條件概率密度為1xyfY|X(y|x)=j1+x/20，,0二y：二1其他0 二 x :二 2, 0 :二 y ： 11+xy解：(1)f(x,y)=fx(x)fY(y|x)=-0(2)21xyfY(y)=f(x,y)dx=03,2、dx=(1y)30:v11其他(3)當0y1時,fx|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)1+xy=2(1+y)0，0:二x:二2其他22,(1)設一離散型隨機變量的分布律為Y-101Pk68-1-6-又設Y,Y2是兩個相互獨立的隨機變量，且X,丫2都與Y有相同的

39、分布律。求Y,Y2的聯(lián)合分布律。并求PY1=丫2。(2)問在14題中X,Y是否相互獨立?解：(1)由相互獨立性，可得丫，丫2的聯(lián)合分布律為PY=i,Y2=j=PY=iPY2=j，i,j=-1,0,1結果寫成表格為Y2_-101-192/4日(1-儲/262/409(1-0)/2(1-0)29(18)/2192/4日(1-儲/262/4PY=Y2=PY=Y2=1+PY=Y2=0+PY=Y2=1=(19)2+62/2(2)14題中，求出邊緣分布律為012PX=i00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38PY=j0.160.340.501很

40、顯然，PX=0,Y=0#PX=0PY=0,所以X,Y不是相互獨立23,設X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，XU(0,1),Y的概率密度為3y0yY解：根據(jù)題意，X的概率密度為1fX(x)=,00：X：:1其他0 二 x ： 1, 0 二 y ： 1/2其他所以根據(jù)獨立定，X,Y的聯(lián)合概率密度為3y1/21dx 8ydx0 yf(x,y)=fX(x)fY(y)=0PXY=f(x,y)dxdyxy24,設隨機變量X具有分布律X-2-1013pk1/51/61/51/1511/302求Y=X+1的分布律。解：根據(jù)定義立刻得到分布律為Y12510Pk1/57/301/511/3025,設隨機變量XN(0

41、,1)，求U=X的概率密度解：設X,U的概率密度分別為fX(x),fU(u)，U的分布函數(shù)為FU(u)o則當uE0時，F(xiàn)u(u)=PUMu=PX|Eu=0,fu(u)=0；當u0時,FU(u)=PUu=PX|u=P-uWXu=26(u)1,fu (u) = Fu (u) 1u 0u 0所以，-We,/226,(1)設隨機變量 X的概率密度為0x 0其他L_Xf(x)=，0求Y=Xx的概率密度(2)設隨機變量xU(-1,1),求Y=(X+1)/2的概率密度2(3)設隨機變量XN(0,1)，求Y=X的概率密度。解：設X,Y的概率密度分別為fX(x),fY(y),分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)

42、。則(1)當yM0時，F(xiàn)y(y)=PYMy=PVXWy=0,丫卬)=0;當yA0時，F(xiàn)yW)=PYWy=P*又Wy=PXy2=Fxa2),fY(y)=Fy(y)1=2yfX(y2)=2ye-2所以,fY(y)=j2ye0(2)此時 fX (x)= 1/20-1 :x ： 1其他因為FY(y)=PYy=P(X+1)/2y=PX2y_1=FX(2y1),故，fY(y)=FY(y)=2fX(2y-1)=1,-12y-11,所以，fY(y) = 1 0 y 0時,FY(y)=PYy=PX2y=P百XJy=/)-蟲-)=2(后)-1,故，fY(y)=FyM】=2fx(,y)e2y2y_y/2所以，fY(

43、y)=1y0y0其他27,設一圓的半徑X是隨機變量，其概率密度為求圓面積A的概率密度。f(x) = (3x+1)/8 0x20 其他2 一 ._ 一 .解：圓面積a =必 ，設其概率密度和分布函數(shù)分別為g(y),G(y)。則G(y) = PnX2 Ey =PX E %；7?7 = Fx (/777),故1 13 , y , /:工g(y) = G(y)2y 28、.二0 :二,y/二：二 23、y ，二所以，g( y)=16n 500 : y ： 4 二其他28,設隨機變量X,Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0,仃2),驗證Z =dx2 +Y2的概率密度為1_z_eu2/(2cr2)fZ(z)

44、= ；e0Z- 0其他解：因為隨機變量X,Y相互獨立，所以它們的聯(lián)合概率密度為x2y22二2先求分布函數(shù)，當ZA0時，F(xiàn)Z(z)=PZwz=PX2+Y2wZ22 二= f(x, y)dxdy= d1x2 - y2 _z20o 2二二2r-一_2e 2- rdr = 1 - e2z2 二2I1 I故，fZ(z) = Fz(z)1 =e-z2 仁二2) e其他。129,設隨機變量XU(1,1),隨機變量Y具有概率密度fY(y)=k二(1y)設x,y相互獨立，求Z=X+Y的概率密度。解：因為fX(x)=1/2-1 ： x 1其他所以Z = X + Y的概率密度為fZ(z) = fY(y)fx(z -y)dy -z2 二(1 y)1 1dy = brctan(z 1) - arctan(z -1) 1。 2二30隨機變量X和Y的概率密度分別為fX (x) = 1x 0其他九2 yey0y 0其他九0 , x,y相互獨立。求Z = X + Y的概率密度。 解：根據(jù)卷積公式，得-zfz(z) =fY(y)fx(z- y)dy = - ye- dy-id3,2 -z一 z e2所以Z = X+Y的概率密度為fY(y)=fn 3Z_2 -?z 一z e12