湖南大學(xué)微積分-第講無窮小量的比較ppt課件

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民 第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學(xué)習(xí)要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運(yùn)用“和 “X ”語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則 以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價(jià)無窮小量計(jì)算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會判斷函數(shù) 間斷點(diǎn)的類型

2、。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)介值定理、最值定理）。 理解冪級數(shù)的基本概念。掌握冪級數(shù)的收斂判別法。一. 無窮小量比較的概念二. 關(guān)于等階無窮小的性質(zhì)和定理 設(shè) , 是同一個(gè)極限過程中的兩個(gè)無窮小量.則稱 是 的假設(shè), 0lim記為. )(o高階無窮小,此時(shí), ,lim也可稱 是 的低階無窮小.假設(shè)0limCC，為常數(shù),記為則稱 與 是同階無窮小,. )(O假設(shè)0 , 0limkCCk，為常數(shù),則稱 為 的 k 階無窮小, 記為. )(Ok . ,是同階無窮小與此時(shí)k則稱 是 的假設(shè), 1lim記為. 等階無窮小,不存在, 但又不是無窮大,假設(shè)lim則稱 與

3、是不能比較的無窮小.x 0 時(shí)的幾個(gè)無窮小量的比較：).0( )(o , 0lim ) 1 (220 xxxxxxxxxx2sinlim )2(0, 32limsinlim00 xxxxxx)O(2sinxxx)0( x例1xxx20sincos1lim )3(21sin2sin2lim22220 xxxxx)0( )(sinOcos1 2xxx1sinlim )4(0 xxx)0( sin xxxxxx220sin2sin2lim)0 , 0( ln1 axaxax證明1ln1 lim 0axaxx即要證 , 1 xay令ayyxaln)1ln()1 (logaxaxxln1lim 0故)0

4、( ln1 xaxax從而且時(shí)則 , 0 , 0 yx)1ln(lim0yyy1)1ln(1lim10yyy有何想法？例2證 ).0( )1ln( ,xxx得到由該例的證明過程 , 21cos1lim 20 xxx因?yàn)樗?1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) . )0( 21cos1 2xxx還有例3xxxxxx1sin lim1sinlim 00 x 0 時(shí)時(shí),xx1sin不可比較的無窮小.不存在, 但不是無窮大, 與 x 是例4設(shè)在某一極限過程中, ) ( lim 或?yàn)槿鬭 . limlim 則, , 證綜上所述, , lim 則設(shè)a , limlimlimlimlimli

5、ma , 0 , 0lim , lim 的情形即則設(shè)a . lim , 0lim 故于是 . limlim限過程中的第三個(gè)變量.z 是該極 設(shè)在某極限過程中, limlimzz( 或?yàn)?), 那么假設(shè), limaz zz lim lim，a由定理 1, 得0 1limz, 故 lim z = . 綜上所述,設(shè) 那么, limaz z limlim那么設(shè) ， 0 1lim z, lim z . limlimzz證設(shè)在某極限過程中, , , 那么 .傳遞性無窮小量可以用其等價(jià)無窮小量替代.定理告訴我們:在計(jì)算只含有乘、除法的極限時(shí),例例 .21sintanlim 30 xxxx直接計(jì)算可得 如果在

6、加減法中用等價(jià)無窮小量替代, 則會產(chǎn)生錯(cuò)誤: . 0limsintanlim3030 xxxxxxxx ) .sin ;tan , 0 (xxxxx時(shí)將常用的等階無窮小列舉如下: xx sinxx tan2cos12xxxx )1ln( mxxm11211xx nxxn1)1 (xex1axaxln12sintan3xxx xx arcsinxx arctan 當(dāng) x 0 時(shí) , , , 0 .mnNa其中xxx53lim053xxx5sin3tanlim0 xxx5sin3tanlim0求例5解xxx1sinlim2xxx1sinlim2求xxx1lim2xxlim例6解xxxxtansin

7、21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例7解3221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx例8解2)(cos2lim0 xbaebxx12)()(lim 210 xbaxbax。，babxaxeebxaxxsinsinlim0求bxaxeebxaxxsinsinlim02)(sin2)(cos2) 1(lim)(0 xbaxbaeexbabxx2)(sin1lim)(0 xbaexbax 和差化積例9解 此題也可先在分子處加 1 減

8、1xbxaxnmx11lim0 xbxxaxnxmx11lim11lim00nbmaxbxnxaxmxx1lim1lim00 xbxaxnmx) 11() 11(lim0 xbxaxnmx11lim0求例10解證明：若在某極限過程中0, 0, . 0lim在某極限過程中, 假設(shè) , 那么1limlim011lim1且 0, 那么 的充要條件是例11證反之, , 0lim 若那么lim)(lim101lim1故. ? 55 , 0 332的幾階無窮小量是時(shí)當(dāng)xxxx , 55 55333232xxxx由于 , 555lim55 lim330303232xxxxxx . 32 55 ,0 332階

9、無窮小量的是時(shí)故xxxx)O(5532332xxx例12解 )(limCxxfk解例13 . )122( lim xxxxx求 ,0 , ,1 于是時(shí)則令yxyxyyyy11221lim0原式y(tǒng)yyyy)11 (2121lim0yyyyyy11lim2121lim00 . 011解例14 . )2cos1cos(1lim 40 xxx求 ),0( 2cos1 2得由xxx420402)2cos1 (lim )2cos1cos(1lim xxxxxx . 28)2(lim22)2(lim4404220 xxxxxx解例15 . )sin1 (lim cos1120 xxxxe求xxexexxxx

10、xcos1)sin1ln(limexp)sin1 (lim 20cos1120 , )0( 2cos1 , )1ln( 2得由xxxxx220sin 2limexpxxexx . sinlim2lim exp22200exxexxx 也可再用等價(jià)無窮小替代 ?這樣做行不行 .sin 0 , , 1sinlim 22220 xxexxxexxx時(shí)所以由于 )(1lim)sin1 (lim cos1120cos1120 xxxxxxxe故 .)1 (lim22 202exxx) )0( ,21cos1 (2xxx請看下面的定理. , 等價(jià)無窮小量為某極限過程中的兩個(gè)和設(shè) ,)1lim( ,)(li

11、m ,)(axx又在該極限過程中 .)1lim()1lim( )()(axx則有證證 )1lim()1ln()(lim)1ln(lim)()(xxeex )(lim)(limxxee )()1ln(lim)1ln()(limxeex .)1lim()(x ).1ln()1ln( , :則若還可得到等價(jià)無窮小 替代解例16 . )( )sin1 ()sin1 ()sin1)(sin1 (lim 132Nnxxxxnnx求 , )0( 11 故由于xmxxmxxxxxxnxsin1sin1sin1sin1sin1sin1lim32原式xxxxxxnxsin11) 1(sin1sin11) 1(si

12、n1sin11) 1(sin1lim32 . ! 113121nn解例17 .coslncoslim 20 xxexx求)1(cos1ln(cos1)1(cos1ln(1lim20 xxxexx原式)1(cos1ln(cos1lim0 xxx)1(cos1ln(1lim20 xexx1coslim20 xxx1coscos1lim0 xxx.)1ln( ;2cos1 ,02xxxxx 時(shí)3解例180) , ,( ,lim 2111211nxnxnxxxaaanaaa求 lnlim exp11211naaanxxnxxx原式 11lnlim exp11211naaanxxnxxx 1lim ex

13、p11211naaanxxnxxx)1() 1() 1(limexp11211xnxxxaxaxax .lnlnexpln2121nnaaaaaaaxaxxxxln1)1ln( 0時(shí)解例19 . ),cos1 (1)1 ( , 0 312axaxx求常數(shù)時(shí)已知 ,2cos1 ;1 , 0 2得時(shí)由xxnxxxn ,322 3 limcos11)1 (lim12203120axaxxaxxx.23 a故判別級數(shù)1)cos1(nnx的斂散性. ( x 0為常數(shù))由于21cos1limnnxn)0( 022xx而121nn是 n = 2 的 P 級數(shù), 它是收斂的,解解即 . )cos1(1收斂nnx故 原級數(shù)，212lim2222xnnxn例20解例21 ).(lim 2112sin)(1 lim , )(lim 0 30