研究生課件矩陣21

1、矩陣與數(shù)值分析大連理工大學(xué)工科數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程大連理工大學(xué)教育大樓授課教師基本信息姓工作名：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（大黑樓）A1117室辦公地點(diǎn)：創(chuàng)新園：84708351-8117(o):創(chuàng)業(yè)園主講 參考書目 (Reference)Ø 科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)顧麗珍編著（）John.H.Mathews¾版）美數(shù)值方法（陳渝 等 譯Kurtis D.Fink審校 （電子工業(yè)）¾矩陣論簡明等編著 科學(xué)要求作業(yè)占20%；課程的總成績數(shù)值實(shí)驗(yàn)占10%；占70%；期末矩陣與數(shù)值分析課程：http:/m/numerical/認(rèn)識數(shù)學(xué)的重要性,培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí),掌握正確的學(xué)習(xí)方法。一門科學(xué), 只

2、有當(dāng)它才能達(dá)到真正完善的地步。地運(yùn)用數(shù)學(xué)時,要辨證而又唯物地了解自然 ,就必須熟悉數(shù)學(xué)。知識，只有當(dāng)它靠積極的思考得來而不是憑記憶得來的時候，才是真正的知識。(Benoit B.Mandelbrot)1924.11.20 2010.10.141924年11月20日生于波蘭華沙, 祖籍是立陶宛猶太人。的父親是成衣商, 母親是牙科醫(yī)生。的最主要貢獻(xiàn)是發(fā)明了一種新的幾何學(xué)。, 而是“工程技術(shù)”但是他首先進(jìn)入的并不是基礎(chǔ)。他在工程技術(shù)中(生產(chǎn)實(shí)踐中)發(fā)現(xiàn)問題, 總結(jié)出帶有規(guī)律性的東西,進(jìn)而將它們上升為一般理論, 最終創(chuàng)立“分形幾何學(xué)”。這與當(dāng)前物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家改行的順序似乎正好相反, 現(xiàn)在通常是由基礎(chǔ)

3、轉(zhuǎn)向會學(xué)。他長期在IBM沃森中心供職、赫赫有名, 在多種學(xué)科“流浪”了20余年才得到學(xué)界廣泛承認(rèn)的分形之父。他是美國藝術(shù)與，美國外籍，歐洲藝術(shù)、科學(xué)與獎?wù)?F.Barnard Medal,1985)、人文學(xué)院。他曾榮獲獎?wù)?Franklin Medal,1986)和物理學(xué)獎(Wolf Prize,1991)，還有其他若干。據(jù)初步統(tǒng)計(jì),到底他已經(jīng)了123篇,內(nèi)容極其龐雜,涉及語言學(xué)、概率論、通訊工程、水利學(xué)、宇宙學(xué)、臨界現(xiàn)象與相變等等。理論、金融分析、布朗運(yùn)動、湍流、復(fù)迭代所謂的“分形”本意是指“破碎、不規(guī)則”。在“分形幾何”中指的是不規(guī)則復(fù)雜現(xiàn)象中的秩序和結(jié)構(gòu)?！胺中螏缀巍本褪茄芯繜o限復(fù)雜但具

4、有一定意義的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)?！胺中嗡囆g(shù)”圖就是利用數(shù)學(xué)方法通過計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行無數(shù)次運(yùn)算最終形成的分形藝術(shù)圖案。一群數(shù)學(xué)“極客”利用特定的數(shù)學(xué)方程經(jīng)過反覆迭代算法創(chuàng)作出一組令人嘆為觀止的三維分形結(jié)構(gòu)圖案。Mandelbrot集考慮函數(shù)f(z)=z2-0.75。固定z0的值后,通過不斷地迭代算出一系列的z值：z1=f(z0), z2=f(z1), z3=f(z2), 數(shù)學(xué)“Geek”第1章緒論1.11.2計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算研究對象與特點(diǎn)誤差分析與數(shù)值方法的穩(wěn)定性1.3向量與矩陣的1.1計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算研究對象與特點(diǎn)科學(xué)計(jì)算、理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)并列為三大科學(xué)方法。我們所學(xué)習(xí)的內(nèi)容屬于一門新學(xué)科科學(xué)計(jì)

5、算。 即現(xiàn)代意義下的計(jì)算數(shù)學(xué)。主要研究計(jì)算機(jī)上可計(jì)算的有效算法及其相關(guān)理論。本課程主要研究現(xiàn)代、行之有效數(shù)值方法本課程主要研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論與軟件實(shí)現(xiàn)f( x)¢(x)Ax=f( x) = 0bf主要內(nèi)容包括：數(shù)值代數(shù)r ()f( x)dbòxxa（數(shù)值微分） 數(shù)值逼近(, u ) , (u0 ) =tf¢ = tuu0微分方程數(shù)值解法¥å Af(A) = eA、sinAA ¥矩陣分析簡介kkk =0k =0d A( )tbòAt() dtdta課程的特點(diǎn)：一、構(gòu)造計(jì)算機(jī)可行的有效算法二、給出

6、可靠的理論分析，即對任意逼近并達(dá)到精度要求，保證數(shù)值算法的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，并可進(jìn)行誤差分析。三、有好的計(jì)算復(fù)雜性，既要時間復(fù)雜性好，是指節(jié)省時間，又要空間復(fù)雜性好，是指節(jié)省量，這也是建立算法要研究的問題，它關(guān)系到算法能否在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。四、數(shù)值實(shí)驗(yàn)，即任何一個算法除了從理論上要滿足上述三點(diǎn)外，還要通過數(shù)值試驗(yàn)證明是行之有效的。什么是有效算法？，線性方程組的解法a+a+ L2 +n= x1n= x2aax11x211x22x2n1 a2n abb1+ L2+1M+2L+ nna+a n= xax2xb1n1nn早在18世紀(jì)Cramer已給出了求解法則：Cramers RulerCramers

7、 RulerDi=i = 1, 2 , L, n , （D0）xiDa11 a21 Mn1a12 a22 Mn 2a1n a2n MnnLL O LD =det(A)第i列aaaa11 a21 MMan1a1n a2n MMannLL M MLLL M O Lb1 b2 OMbn= det(Ai ) =Di這一結(jié)果理論上是非常漂亮的，它把線性方程組的求解問題歸結(jié)果為計(jì)算n+1個n階行列式問題。對于行列式的計(jì)算，理論上又有著名的Laplace展開定理。這樣理論上我們就有了一種非常漂亮的求解線性方程組的方法。D = deat(A) =A1i其中Aij表示元素aij的代數(shù)+aAi +2L+ainAi

8、1i 2in式。然而我們做一簡單的計(jì)算就會發(fā)現(xiàn),由于這一方法的運(yùn)算量大得驚人，以至于完全不能用于實(shí)際計(jì)算。設(shè)計(jì)算k階行列式所需要的乘法運(yùn)算的次數(shù)為mk，則容易推出=k+m于是，我們有kk -1mkmn = n + nmn-1 = n + n éë(n -1) + (n -1) mn-2 ùû= n + n (n -1) + n (n -1)(n - 2) +L+ n (n -1)L3× 2> n!這樣，利用Cramer法和Laplace展開定理來求解一個n階線性方程組，所需的乘法運(yùn)算次數(shù)就大于（n+1）n!=(n+1)!以求解25階線性方

9、程組為例，如果用Cramer法則求解， 在算法中運(yùn)用行列展開計(jì)算，則總的的乘法運(yùn)算次數(shù)將達(dá)：26！=4.0329×1026（次）若使用每秒百億次的串行計(jì)算機(jī)計(jì)算, 一年可進(jìn)行的運(yùn)算應(yīng)為：365(天) × 24(小時) × 3600(秒) × 1010 3.1536 × 1017 （次）共需要耗費(fèi)時間為：(4.0329 ´1026 )¸(3.1536 ´1017 ) »1.2788´109它遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出目前所了解的人類文明歷史！» 13(億年)Cramer 算法是“實(shí)際計(jì)算不了”的。而著名的

10、 Gauss消元法，它的計(jì)算過程已作根本改進(jìn)，成為有效算法，使得可在不到一秒鐘之內(nèi)即可完成上述計(jì)算 任務(wù)。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題也越來越多樣化，有些問題用消去法求解達(dá)不到精度，甚至算不出結(jié)果，從而 促使人們對消去法進(jìn)行改進(jìn)，又出現(xiàn)了主元消去法，大大提 高了消去法的計(jì)算精度。這就是研究數(shù)值方法的必要性。返回本章1.2誤差分析與數(shù)值方法的穩(wěn)定性1.2.1誤差來源與分類1.2.2誤差的基本概念和有效數(shù)字1.2.3函數(shù)計(jì)算的誤差估計(jì)1.2.4數(shù)值方法的穩(wěn)定性和避免誤差危害的基本原則1.2.1誤差來源與分類用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問題時經(jīng)常采用的處理方式是將連續(xù)的問題離散化、用有限代替無限等，并

11、且用數(shù)值分析所處理 的一些數(shù)據(jù)，不論是原始數(shù)據(jù)，還是最終結(jié)果，絕大多數(shù)都是 近似的，因此在此過程中，誤差無處不在。誤差的來源主要從以下幾個方面：模型誤差方法誤差或稱為截斷誤差觀測誤差舍入誤差計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算的流程圖計(jì)算機(jī)數(shù)值結(jié)果編程實(shí)現(xiàn)算法數(shù)值計(jì)算方法數(shù)學(xué)模型實(shí)際問題1模型誤差由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型，要簡化許多條件，這就不可避免地要產(chǎn)生誤差實(shí)際問題的解與數(shù)學(xué)模型的解之間的誤差2. 截斷誤差從數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值問題的算法時所產(chǎn)生的誤差，如用有限代替無限的過程所產(chǎn)生的誤差截斷誤差通常是指用一個基本表替換一個相當(dāng)復(fù)雜的算術(shù)表時所引起的誤差。這一術(shù)語從用截斷Taylor級數(shù)替換一個復(fù)雜的算術(shù)表的技術(shù)中

12、衍生而來。x2x求 e的值的運(yùn)算。我們可用無窮級數(shù)：例如，給定x2 (n+ 1)2xe+ =1+ +2 ! 3x2!(n +1 ) ! L!nn +1 項(xiàng)和我們可用它的前s (x) =截斷誤差2近似代替函數(shù) ex ，則數(shù)值方法的誤差是e(q x )2x(=)- ( s)x2 (n+ 1) ,0< q <2exx=(1Rn +1 ) !n初始數(shù)據(jù)大多數(shù)是由觀測而得到的。由于觀3. 觀測誤差測的限制，得到的數(shù)據(jù)必然有誤差4. 舍入誤差 以計(jì)算機(jī)為工具進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時，由于計(jì)算機(jī)的字長有限，原始數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)上的表示往往會有誤差，在計(jì)算過程中也可能產(chǎn)生誤差例如， 用1.4142近似代替2 ，

13、產(chǎn)生的誤差=2 -1.4142 = 1.4142135L-1.4142= 0.0000135 L舍入誤差E就是舍入誤差。模型和觀測兩種誤差不在本課程的討論范圍這里主要討論算法的截斷誤差與舍入誤差，而截斷誤差將結(jié)合具體算法討論。分析初始數(shù)據(jù)的誤差通常也歸結(jié)為舍入誤差研究計(jì)算結(jié)果的誤差是否滿足精度要求就是：誤差估計(jì)問題返回本節(jié)1.2.2誤差的基本概念和有效數(shù)字稱設(shè)x為精確值，a為x的一個近似值,x - a絕對誤差(誤差)誤差 x-a 可正可負(fù)。為近似值a的絕對誤差，簡稱誤差。通常準(zhǔn)確值x是未知的,因此誤差 x-a 也未知。設(shè)x為精確值, a為x的一個近似值,若有常數(shù)絕對誤差界（1-13）ea 使得

14、x - a£ ea則 ea 叫做近似值a的誤差界（限）。它總是正數(shù)。定義1.5定義1.4例如，用毫米刻度的米尺測量一長度x，讀出和該長度接近的刻度a，a是x的近似值，它的誤差界是0.5mm，于是有x - a£ 0 .5 m m如若讀出的長度為765mm ，則有，絕對誤差界x - 765£ 0 .5雖然從這個不等式不能知道準(zhǔn)確的x是多少，但可知764.5 £ x £ 765.5,結(jié)果說明x在區(qū)間764.5，765.5內(nèi)。x - a£ x£ e a,對于一般情形即可以表示為a - ea£ a + ea ,x = a &

15、#177; ea 。也可以表示為但要注意的是，誤差的大小并不能完全表示近似值的好壞。若x0, 則將近似值的誤差與準(zhǔn)確值的比值 x - a x相對誤差(誤差)稱為近似值a 的相對誤差。 相對誤差也可正可負(fù)。如果真值x未知時,實(shí)際計(jì)算中,通常取 x - a » x - a xax - a作為a的相對誤差, 條件是較小。x定義這是由于兩者之差x(a)2-a)2x-aax-ax-(x=-=-)a×-xa21æxöa´= ç÷1 - x - aèxøx-xa是的平方項(xiàng)級，故可忽略不計(jì)。x下面我們看看相對誤差的作用有

16、兩個量 x=3.000，a=3.100,則其絕對誤差：相對誤差x - a = -0.1其相對誤差為：絕對誤差x - ax= - 0.1= -0.333´10-1,3.00x = 300.0 ， a = 310 .0,又有兩個量則其絕對誤差：x - a = -0.1´102 ,其相對誤差為：相對誤差絕對誤差x - a- 0.1´102= -0.333 ´10 -10.3´104x例絕對誤差有較大變化，相對誤差相同。作為精確值的度量，絕對誤差可能會引起誤會，而相對誤差由于考慮到準(zhǔn)確值本身的大小而更有意義。相對誤差的絕對值上界叫做相對誤差界（限），記

17、為：ea x - a a£相對誤差界（限）a已知 e = 2.71828182L其近似值 a=2.718, 求a的絕對誤差界和相對誤差界。解：e - a = 0.00028182 L,因此其絕對誤差界為：e - a £ 0.0003相對誤差界為：e - a= 0.0003 » 0.0001110375 £0.0002。a2.718此例計(jì)算中不難發(fā)現(xiàn),絕對誤差界和相對誤差界并不是唯一的。我們要注意它們的作用。例1誤差界的取法當(dāng)準(zhǔn)確值x位數(shù)比較多時，人們常常按四舍五入的原則得 到x的前幾位近似值a，例如x = = 3.14159265 Lp - a1 = 0

18、.00159265 La1 = 3 .14 ,取3位：p - a2 = -0.00000735 La 2 = 3 .1416,取5位：那么，它們的誤差界的取法應(yīng)為：£ 1 ´ 102£ 1 ´ 10 -4.2- 2 , - 3 .14 - 3.1416x 為精確值，a為x 的一個近似值，表示為：設(shè)´ 0.a a La L= ±10ka（1-14）12nai(i=1,2,n)是0到9中的可以是有限或無限小數(shù)形式，其中¹ 0 ,一個數(shù)字， a1k為整數(shù)，n為正整數(shù)， 如果其絕對誤差界£ 1 ´10k-nx -

19、 a（1-15）2則稱a為x的具有n位有效數(shù)字的近似值。定義1.6在例1中，由于a的絕對誤差界為e - a < 0.0003 < 1 ´10-3，2n = 4,k - n = -3 Þ而 a = 10 1 ´ 0.2718 ，那么，可知e = 2.71828182L即a 是的具有4位有效字的近似值。a = 2.7182 = 101 ´ 0.27182 ,再取因其絕對誤差界為1< 0.00009 < 1 ´10-3，e - a12故a1也只是e 的具有4位有效數(shù)字的近似值。a = 0.02718 = 10-1 ´

20、 0.2718作為同樣我們可以分析出x = 0.0271828182 L的近似值，也具有4位有效數(shù)字。 這是因?yàn)椋?lt; 0.000002 < 1 ´10-5x - a2Þ n = 4 。k - n = -5那么，有這表明：有效數(shù)字位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān)下列近似值的絕對誤差限均為0.005，問它們各有幾位有效數(shù)字？-4。1003120 c=.´a13=8，00b0=.-, 86.解：首先將它們表示成標(biāo)準(zhǔn)形式´ -4。10010c=.8,6´-1a=´0=b.10- 31,230.13800則由已知條件，a£ 1

21、22; 3- n = -2Þ n = 51´0-2x-2即a有5位有效數(shù)字；練b = -0.312 ´10-1,同理，由x - b £ 1 ´10-2ÞÞ-1 - n = -2n = 12即b有1位有效數(shù)字；c = 0.86 ´10-4 ,由x - c £ 1 ´10-2ÞÞ- 4 - n = -2n = -22即c無有效數(shù)字。如果一個近似值是由精確值經(jīng)四舍五入得到的，那么，從這個近似值的末尾數(shù)向前數(shù)起直到再無非零數(shù)字止，所數(shù)到的數(shù)字均為有效數(shù)字一般來說，絕對誤差與小數(shù)位數(shù)有

22、關(guān)，相對誤差與有效數(shù)字位數(shù)有關(guān)設(shè)實(shí)數(shù)x為某個精確值，a為它的一個近似值，a = ± 10´ 0 . a akL a其表達(dá)形式如L12n（1）如果a有位n有效數(shù)字，則其相對誤差界滿足x - a1´101-n ,£（1-16）2a1a（2）如果其相對誤差界滿足x - a1´101-n ,£（1-17）2(a1 +1)a則a至少具有n位有效數(shù)字。定理 1.7由（1-14）可得到（1-18）´10k -1£ (a +1) ´10k-1£aa11所以如果a有n位有效數(shù)字，那么1 1= 1 ´10

23、1-n , 2a1x - a1 ´10k -n´´x - a£=´10k -1aa2a1結(jié)論（1）成立。 再由（1-17）和（1-18）x - a1k -11´101-n£ (a1 +1) ´10=´10k-n , 2£´101-n2(a1 +1)2 ´(a1 +1)a由定義1.6知，a具有n位有效數(shù)字。返回本節(jié)證x1.2.3 函數(shù)計(jì)算的誤差估計(jì)設(shè)一元函數(shù)f(x自變量)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，x的一個近似值為a，f(a)作為f(x)的近似，其誤差應(yīng)如何估計(jì)？下面我們用Taylor展開的

24、方法來估計(jì)其誤差。即有)(x -)a2x'('f(a ( )-x)fx)=a(f (進(jìn)一步，有+)a+'f,2)(x)ax2-' ') f +()(-x-f (a=)f (x )(a'fa,2取絕對值，由三角不等式，得2ax-'('f)x) -xa+(a'af)£f ( x )-,f (2注意不等式2f '' (x ) x - af (x) - f (a) £f ' (a) x - a +,2f ¢ (x )f (a)f ¢(a) ¹ 0 ,與的值其

25、中在x與a之間。如果相比不太大， 則可忽略 x - a近似絕對誤差估計(jì)式：f(a)的一個的二次項(xiàng)， 就得到x - af '(a)f (x) - f (a) »近似相對誤差為：f '(a)f (x) - f (a)»x - af (a)f (a)例 試計(jì)算 a(a > 0) 的相對誤差。解：由于函數(shù)值的相對誤差的計(jì)算公式為f '(a)f (x) - f (a)»x - af (a)f (a)a 的相對誤差為則(x )¢x -ax - ax - a12=x=a»x - a2 (a )2aaa即a 的相對誤差為a的相對誤

26、差的二分之一。如果f(為) n元函數(shù)，自變的近似值分別為a,1a ,2 L ,n a, 則næöxå¶f) -»f(f (a , La,a)ç¶x÷(-a )（1-19）n12nkkèk øak =1= ¶ f (a1 , a2 ,L, an ) ,æ ¶f ö其中所以可以估計(jì)到函數(shù)值的誤差界，ç ¶x÷¶xèk øaknæ ¶fö, £aå)（1

27、-20）x-n) - f (1 a ,2 La,ç¶x÷øaakf(knèk =1k現(xiàn)將估計(jì)式（1-20）應(yīng)用到數(shù)的四則運(yùn)算的誤差估計(jì)中，n=2，分別取即fx1f x (x ,x) =fx122x22這時有æ ¶föæ ¶föf (x , x ) - f (a , a ) £× x - a+× x - aç ¶x÷ç ¶x÷12121122è1 øaè2 ø

28、a計(jì)算中應(yīng)盡力避免小數(shù)作除數(shù)從而得到四則運(yùn)算的估計(jì)式：( x1± x2 ) - (a1x1 - a1+ x2 - a2± a2 ) £(1-21)兩個近似數(shù)相加減，其運(yùn)算結(jié)果的精度不比原始數(shù)據(jù)的任何一個精度高。x1 x2 - a1a2£x1 - a1+ a1- a2a2x2(1-22)x1 - a1- a2x1 - a1+ a1x2£x2a22a2a2x1 - a1+ a1x2 - a2a2£(1-23)2a2a11 =.21a2 3=,-.65a39=,已知8均1 為四舍五入得到.+ a2 ×解：f求aa3的相對誤差界。)

29、 =1據(jù)（1-20）式，得)3- f (1)- ( a1+ a2)× 3 afa,)3a,a23a(1+×f,a2 ,aaa2a31-1+×-+× 3 x-3xaxa22aa£132+×aa2a31由已知,a £ 1 10´-2a £ 1a £ 110´-2x-10´-2,x-x-,112233222從而)- ( a1) ×£3 a1+ a 3+ a2´+ a212´10-23+ a2×aa3+ a2×aa31120

30、4355´98 10 ´1.0-2»»001021780.2練習(xí)2(x1- x2 )- (a1- a2 )- a1+ x2 - a2x1（1-24）觀察£a1 - a2a1 - a2當(dāng) x1 » x2» a2 ,a1 - a2 » 0 ,a1時， 必有則進(jìn)而 1» + ¥ 。這時由（1-24）可知，差的相對誤差會很大。a1 - a2= 99.9997 , a2= 99.9996 ,= 99.9998 , a1 = 99.9999 , x2例如x1x2 - a2x1 - a10.0001 0.00

31、01-6-6=» 1099.9996= 2 ´10-23=» 1099.9999,各自的相對誤差：aa21( x- x ) - (a - a )10-6+10-61212£而a1 - a20.0003即，差的相對誤差界擴(kuò)大了2 ´10-23= 2 ´104 = 2 萬（倍）10-633在計(jì)算中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)兩個相近的數(shù)相減結(jié)論 + 2bx + c = 0(a ×b × c ¹ 0)一元二次方程 ax2有兩個根，其求根公式為- b +- ac- b - acb2b2x2 =x1 =,a，用上述公式計(jì)算時aa

32、c ，則>>b2b2- ac » b如果=» -bb+bbb2=- 0ac，則有 x1如果b > 0aaa=» -bb-+-bbb2-0ac=，則有 x2如果b < 0aaa總之，兩者其中之一必將會損失有效數(shù)字。例4解一般二次方程 ax2+2bx+c=0,(a,b,c均不為零)，應(yīng)取c- b - sgn(b)- acb2x =;x1 =,2axa1,1當(dāng)x > 0時sgn( x) =其中稱為符號函數(shù)。-1， 當(dāng)x < 0 時>>，用上述公式計(jì)算時b2ac ，則- ac » bb2如果x1=»c如果

33、b > 0，則有x =a;a2-bb-+sbgbn(b)axb - ac2»=1x1如果b < 0，則有aaa-bb- sbgbn(b)b2 - ac求方程 x2-16x+1=0 的根由習(xí)慣的公式：x1=8+x2 ,= 8 -6363 。63 » 7.94 。若取三位有效數(shù)字計(jì)算，有，有三位有效數(shù)字。 而= 8 +63 » 8.00 + 7.94 = 15.9x1=63x2其94 =，只0有一.位06有效數(shù)字。-.»007-8.為在計(jì)算x2時發(fā)生了兩個相近數(shù)相減，造成有效數(shù)字損失。而 x2的精確值是 0.062746。如果改用公式:c1x =

34、計(jì)算得x 0.0628。2axx211具有三位有效數(shù)字。返回本節(jié)例1.2.4 數(shù)值方法的穩(wěn)定性和避免誤差危害的基本原則1.數(shù)值方法的穩(wěn)定性用某一種數(shù)值方法求一個問題的數(shù)值解，如果在方法的計(jì)算過程中舍入誤差在一定條件下能夠得到（或者說舍入誤差的增長不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果），則稱該方法是數(shù)值穩(wěn)定的；否則，出現(xiàn)與數(shù)值穩(wěn)定相反的情況，則稱之為數(shù)值不穩(wěn)定的。蝴蝶效應(yīng) 亞洲蝴蝶拍拍翅膀，將使風(fēng)和日麗的美洲后出現(xiàn)狂風(fēng)暴雨?！幾AsiaAmerica什么是蝴蝶效應(yīng)？美國麻省理工學(xué)院氣象學(xué)家為了預(yù)報天氣，他用計(jì)算機(jī)求解(Lorenz)地球大氣的13個方程式。為了更細(xì)致地結(jié)果，他把一個中間解取出，提高精度再送回。而

35、當(dāng)他喝了杯咖啡以后回來再看大吃一驚：本來很小的差異，結(jié)果卻偏離了十萬八千里！計(jì)算機(jī)沒有毛病，于是，（Lorenz）認(rèn)定，他發(fā)現(xiàn)了新的現(xiàn)象：“對初始值的不穩(wěn)定性”，即：“混沌 ”，又稱“蝴蝶效應(yīng)”xn1òIn =x + 5dx0, n, =1,2L,7計(jì)算0解：由于I n+ 5 In-1 =xn-1+ 5xn-1xnn1x11ò5dx = ò0x + 5òx + 5dx +dxx + 50011=xòn-1dx =n0則遞歸算法如下：15= ln 651. I =- I計(jì)算出I, L , I,由In -117n0n1 æ 1ö

36、0210計(jì)算出I7, L , I0=-I由0I .=5 ç n÷2. I,n -17nèø例nI n方法1方法20What0h8a8p0pened0580?!0304.03.1 0.083004310343. 024002100034.3-028042500424.0-00165?.?95080?. !093!.!305 1.002840607.022140.1 æ 1ö15, I=-Iç÷,I =- I n -1nn -15 è nønn設(shè)I0的近似值為 I0 ，然后按方法1計(jì)算 I1 , L

37、 , I7=I0-的近似值 I1 , L , I7，如果最初計(jì)算時誤差為：E 0I0=In-遞推過程的舍入誤差不記，并記EnIn，則有= L = (- 5)7 E= (-5 )× (-5)EI= (- 5)EE=I-065777由此可見，用該方法計(jì)算I1 , L , I7時， 當(dāng)計(jì)算I 0 時產(chǎn)，那么計(jì)算 I 7 時產(chǎn)生的舍入誤差生的舍入誤差為E0放5大了77=8倍12，5因此，該方法是數(shù)值不穩(wěn)定的。,=I7- ，I7記初始誤差為 按方法2計(jì)算時，E 7則有7æö1æ-1 ö E=æ-1 ×öæ -1 &

38、#246; E= L =-ç5÷EE=I- =Iç÷ç÷ ç÷71èø0002è5 øè5 øè5 ø由此可知，使用公式2計(jì)算時因此，該方法是數(shù)值穩(wěn)定的。放大舍入誤差。2、避免誤差危害的基本原則為了用數(shù)值方法求得數(shù)值問題滿意的近似解，在數(shù)值運(yùn)算中應(yīng)注意下面兩個基本原則。(I)避免有效數(shù)字的損失在四則運(yùn)算中為避免有效數(shù)值的損失，應(yīng)注意以下事項(xiàng)：（1）在做加法運(yùn)算時，應(yīng)防止“大數(shù)吃小數(shù)”；（2）避免兩個相近數(shù)相減；（3）避免小數(shù)做除數(shù)或大數(shù)

39、做乘數(shù)。100.100.1000在五位十進(jìn)制的計(jì)算機(jī)上計(jì)算 x=63015+ådi , d i =0.4i=1解計(jì)算機(jī)作加減法時，先將所相加數(shù)階碼對齊，根據(jù)字長舍入，再加減。如果用63015依次加各個d i，那么上式用規(guī)范化和階碼對的數(shù)表示為:1000個0 0. x. =63010500´0045 +10´ 105 +L+0.´05000040 因. 其中 000004 ´5 的舍1入0 結(jié)果為0，所以上式的計(jì)算結(jié)果是63015 ´5。這1種0 現(xiàn)象被稱為“大數(shù)吃小數(shù)”。如果改變運(yùn)算次序，先把1000個 d i 相加，再和63015相

40、加，即0. x 4= 1+40. 2444+L0 +. 34+0.630401.5 4´ 5=10 ´1003 +.6301´55100000=41´05 +0.0.63´051563=415 ´10 510后法的結(jié)果是正確的，前法的舍入誤差影響太大。例2210-8又例如, 在八位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上，計(jì)算371+2.2+ 7123. =+´83.712210-810=(=2+02 ´)90 00. 0001020037´108.102 ´910在計(jì)算機(jī)上做和時，3.712由于階碼升3.712 0與.

41、為9位尾數(shù)左移變成零，這便說明用小數(shù)做除數(shù)或用大數(shù)做乘數(shù)時，容易產(chǎn)生大的舍入誤差，應(yīng)盡量避免。(II)減少運(yùn)算次數(shù)運(yùn)算次數(shù)的減少，不但可以提高計(jì)算速度，而且還可以 減少計(jì)算過程中的誤差積累p (x) = a+ axn-1+ L+ a x + axn考慮, 多項(xiàng)式求值運(yùn)算, 設(shè)n-1nn10如果直接逐項(xiàng)求和計(jì)算，需要大約 2n 次乘法運(yùn)算即x × x ® x2× x ® x3 × x ®L ® xn-×1x ®n次xnn -1 次a1 × x× xn-1 , L,a × xn,

42、ann-1t= xku= a+ a x +L+ a xk ,若取，kk01k則有遞推公式：pn (x) = un總的計(jì)算量需進(jìn)行2n次乘法。就是所求的值。tk = x×tk-1k = 1, 2, L, n, ìt0 = 1u= u+ a × tíu = akk -1kkî 00若將公式變成如下遞推公式，即令pn (x) = (a) xn -1x + a+ an - 2x+L+ a x + an-n1n - 210= (a x + a)x + a)xn-2+an-3L+ a x + axn-3n-1n-210n= L= (L(an x + an-

43、1 )x + an-2 )x +L+ a2 )x + a1 )x + a0= (L(an x若令 sk+ an -1 )x + an - 2 )x + L+ ak +1 )x + ak則有遞推公式：s0就是所求的的值。 總的計(jì)算量為n次乘法。pn (x) =sn = ank = n - 1, n - 2, L2, 1, 0sk = x × sk +1 + ak-13-13PPx -1P5 (1)501-31-1令x=2= P5 (2)101204221738917598157以上計(jì)算過程稱之為算法¥xnx )= å+1(-1)計(jì)算ln2。若要精確到10-5n+1利

44、ln用(n另一方面舍入誤差的積累也十分n=1要計(jì)算十萬項(xiàng)的和, 計(jì)算量很大,嚴(yán)重。如果改用級數(shù)æö1 + x12ç+x+L÷ln =- +2n +1x351 øèæön+ 1æ ö3æ ö5æ ö2ç1÷1ç÷ç÷ç÷1+çççè+èø +L÷+èø+ èø+2= ln

45、3 =取 x = 1 ,lnL÷2n +1- 13÷ø3只須計(jì)算前9項(xiàng)的和，截斷誤差便小于 10 -10返回本章例6一個好的、有效數(shù)值方法的評價標(biāo)準(zhǔn)(1)(2)(3)(4)運(yùn)算次數(shù)少運(yùn)算過程具有規(guī)律性（如遞歸性）,便于編程需的中間結(jié)果少數(shù)值穩(wěn)定性好（能誤差的和積累）其為：“快”、“準(zhǔn)”1.3向量與矩陣1.3.1向量1.3.2的等價性1.3.3矩陣1.3.4 矩陣的性質(zhì)我們在討論實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的大小、誤差時， 把任何一個實(shí)數(shù)變量或復(fù)數(shù)變量與一個非負(fù)實(shí)函數(shù)起來即在 f(x)=x(絕對值或模)意義下， 這個實(shí)函數(shù)提供了實(shí)數(shù)變量或復(fù)數(shù)變量大小的度量。注意到實(shí)函數(shù) f(x)=x

46、滿足以下三個條件：（1） 非負(fù)性（2） 齊次性x0當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時,x=0ax=a·x（3）三角不等式x+yx+y把任何一個向量或矩陣與一個非負(fù)實(shí)數(shù)起來，在某種意義下，這個實(shí)數(shù)提供了向量和矩陣的大小的度量。取不同的向量或矩陣，就對應(yīng)有一類向量或矩陣變量的實(shí)值函數(shù)，其中每一個函數(shù)都可以看作向量或矩陣大小的一種度量，稱之為。的主要的應(yīng)用：一、研究這些矩陣和向量的誤差估計(jì)二、研究矩陣和向量的序列以及級數(shù)的收斂準(zhǔn)則1.3.1 向量向量的概念是復(fù)數(shù)模的概念的自然推廣，其定義如下：定義Cn在(n維復(fù)向量空間）上的一個非負(fù)實(shí)值f(x)=x，若該函數(shù)滿足以下三個條件：函數(shù)，記為a Î C

47、即對任意向量x和y以及任意復(fù)常數(shù)（1） 非負(fù)性（2） 齊次性（3） 三角不等式xx0當(dāng)且僅當(dāng)x=0n×1時x=0a xa=y×xx+£+y× 為則稱函數(shù)Cn上的一個向量。定義1.1T ) (x(有：,xT為向量x的轉(zhuǎn)置）。設(shè)任意n維向量常用的向量n(1-1)= åxxi1i=112n=x( x,x)(1-2)=Hxè i=1ø( xH 為向量x的共軛轉(zhuǎn)置）(1-3)= max£1i£nxxi¥1æp önpå= çè÷ ,ø&

48、#163;1p<+¥xxi(1-4)pi =1xi表示xi的模。上述四種分別稱為,2,和p-。n= å xix以為例，證明其滿足向量的三個性質(zhì)1i=1證明：設(shè)任意n維向量 x =以及任意復(fù)常數(shù)a Î Cx )T , y = ( y , y , L, y )T ,n12nn= åx = (0, 0, L, 0)T³ 0 , 當(dāng)且僅當(dāng)時，xx（1）非負(fù)性i1i=1n= å= 0; xxi1i=1n=n= ana= a ×=å a xåi=1×åi=1xxa xx（2）齊次性i1ii1i=1= åni=1= åni=1nx + y£ å（3）三角不等式xi + yi+xiyi+1i=1n=+åxyxiyi11i=1，即當(dāng)，2，時的都為p-前面三種。®xx注意，當(dāng)p時，。事實(shí)上，¥pnp¥ppåi=1p¥= max£1i£n£p£m× ax x=×xxxinnxii£1i£n兩邊開p次方() 1p1n pnå x£px&