中考數(shù)學(xué)根與系數(shù)關(guān)系培優(yōu)練習(xí)含答案

1、中考數(shù)學(xué)根與系數(shù)關(guān)系培優(yōu)練習(xí)閱讀與思考根與系數(shù)的關(guān)系稱為韋達(dá)定理，其逆定理也成立，是由16世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)所發(fā)現(xiàn)的.韋達(dá)定理形式簡單而內(nèi)涵豐富，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1 .求方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；2 .求代數(shù)式的值；3 .結(jié)合根的判別式，判斷根的符號(hào)特征；4 .構(gòu)造一元二次方程；5 .證明代數(shù)等式、不等式.當(dāng)所要求的或所要證明的代數(shù)式中的字母是某個(gè)一元二次方程的根時(shí)，可先利用根與系數(shù)的關(guān)系找到這些字母間的關(guān)系，然后再結(jié)合已知條件進(jìn)行求解或求證，這是利用根與系數(shù)的關(guān)系解題的基本思路，需要注意的是，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，應(yīng)用根與

2、系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，必須滿足判別式4>0.例題與求解【例1】設(shè)關(guān)于x的二次方程（m24）x2+（2m1）x+1=0（其中m為實(shí)數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為s,則s的取值范圍是.2【例2】如果方程（x-1）（x-2x+m）=0的三個(gè)根可以作為一個(gè)三角形的三邊長，那么，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.一一.333A.0<m<1B.m之一C.-<m<1D,-<m<1444【例3】已知a,P是方程x27x+8=0的兩根，且a.不解方程，求工+3F2的值.otst4s1.,【例4】設(shè)實(shí)數(shù)s,t分別?黃足19s2+99s+1=0,t2+99t+19=0并且st=1,求的值.t22

3、b-1a-1.【例5】(1)若實(shí)數(shù)a,b滿足a+5=8a,b+5=8b,求代數(shù)式十的值；a-1b-13x2vz=a(2)關(guān)于x,y,z的萬程組i有頭數(shù)解(x,y,z),求正頭數(shù)a的取小值；xy2yz3zx=6(3)已知x,y均為實(shí)數(shù)，且滿足xy+x+y=17,x2y+xy2=66,求x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值.【例6】a,b,c為實(shí)數(shù)，ac<0,且J2a+石b+辰=0,證明一元二次方程ax2+bx+c=0有大于祗而小于1的根.能力訓(xùn)練A級(jí)1 .已知m,n為有理數(shù)，且方程x2+mx+n=0有一個(gè)根是75-2,那么m+n=22 .已知關(guān)于x的方程x-3x+m=0的一個(gè)根是另一個(gè)

4、根的2倍，則m的值為223.當(dāng)m=時(shí)，關(guān)于x的萬程8x-(2m+m6)x+2m1=0的兩根互為相反數(shù)；當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程x22mx+m24=0的兩根都是正數(shù)；當(dāng)時(shí)，關(guān)于m的方程3x2+2x+m8=0有兩個(gè)大于2的根.4 .對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n.關(guān)于x的一元二次方程22x-(n+2)x-2n=0的兩根記為an,bn(n>2)貝U+|十(a2-2)(b2-2)區(qū)-2)也-2)a。？-2)(b20°7-2)5 .設(shè)為？2是方程x22(k+1)x+(k2+2)=0的兩個(gè)實(shí)根，且(%+1)(x2+1)=8,則k的值為()A.3或1B.-3C. 1,1一一一D. k至一的一切實(shí)數(shù)22

5、6.設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一兀二次方程x+x+n-2=mx的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1<0,x2-3x1<0,則A.m1B.n2m：1C.n2m：1D.n：27.設(shè)x1，x2是方程x2+2xk=0的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則x,2+x222是(8.如圖，菱形ABCD的邊長是5,兩對(duì)角線交于O點(diǎn)，且AO,BO的長分別是關(guān)于x的方程22x+(2m1)x+m+3=0的根，那么m的值是()A.3B.5C.5或3D.5或32、一2,m-9.已知關(guān)于x的萬程：x(m-2)x-=0.4(1)求證：無論m取什么實(shí)數(shù)值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)根是x1,x2,且滿足x2=x1+2,求m的

6、值及相應(yīng)的x1,x2.10 .已知x,x2是關(guān)于x的一元二次方程kx2+4x-3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍；3(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)k,使2x1+2x2=2成立？若存在，求k的值；若不存在，說明理xj_x2由.11 .如圖，已知在ABC中，/ACB=90°,過C點(diǎn)作CDLAB于D,設(shè)AD=m,BD=n,且AC2：BC2122=2：1;又關(guān)于x的萬程4x-2(n-1)x+m12=0兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192,求整數(shù)m、n的值.212 .已知m,n是正整數(shù)，關(guān)于x的萬程xmnx+(m+n)=0有正整數(shù)解，求m,n的值.B級(jí)2.3一21 .設(shè)x1，x2是二次方程x+

7、x3=0的兩根，則X-4x2+19=a2,已知ab#1,且有5a2+1995a+8=0及8b2+1995b+5=0則一=b3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是Xi,X2,且%2+%2=24,則k=4.已知X1,X2是關(guān)于X的7L二次方程x2+ax+a=2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(x_2%)(x2-2%)的最大值為25 .如果萬程x+px+1=0(p>0）的兩根之差為1,那么p等于（6 .已知關(guān)于X的二次方程x2mx+2m1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1,x2,且x12+x22=7,則，、2,，一（Kx2）的值是A. 1B. 12C. 13D. 257 .在RtAABC中,

8、2的萬程x7x+c+7=0的兩根,a、那么b、c分別是/A、/B、/C的對(duì)邊,AB邊上的中線長是（）a、b是關(guān)于xC.5、一28 .設(shè)a+1=3a,b2+1=3b且a11-#b,則代數(shù)式+的值為（abC. 9D. 119.已知a,b為整數(shù)，且方程3x2+3（a+b）x+4ab=0的兩個(gè)根%P滿足關(guān)系式試求所有整數(shù)點(diǎn)對(duì)（a,b）.a(ot+1)+B(B+1)=(。+1)(P+1).10.若方程x2+3x+1=0的兩根4B也是方程x6px2+q=0的兩根，其中p,q均為整數(shù)，求p,q的值.11.設(shè)a,b是方程x23x+1=0的兩根，2c,d是萬程x4x+2=0的兩根，c+dabd二Mabcb22c

9、+dabd2=7M,33,3bcd+=49M-68cdadababc12.設(shè)m是不小于T的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的一元二次方程x2+2(m-2)x+m2-3m+1=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根x1,x2.(1)若x12+x22=6,求m的值；22(2)求必+m的最大值.1-x11-x213.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根都大1,求a+b+c的值.根與系數(shù)的關(guān)系一.15例1.s>且s#3,s052例2.C提示：設(shè)三根為1,x1,x2，則x1-x2|<1例3.設(shè)A=2+3P2,B=1十3a2,A+B=1003AB=85后解由聯(lián)立44的方程組

10、得A=1(40385所例4.5.C6.C7.A8.A9.提不：(1)A=2(m1)+2>0(2)x1x2=<0,4422m=4或m=0.10.(1)k>_一且k*0(2)存在k=411.由題息得m=2n,4n-m8n+4v0.當(dāng)3x1»x2=mn,n=1時(shí)，m=2;當(dāng)n=2時(shí)，m=4.12.設(shè)方程兩根為x1,x2,則Wm,n,x1,x2均為正X&=m»n.整數(shù)，設(shè)x1>x2>1,m>n>1,則x1+發(fā)xx2=mn(m+n),即有(x1一11x2-1)+(m-1Kn_1)=2,則1x1=3,2,5,(X-1陷-1)=2,1,0

11、,.卜2=2,2,1,m-1n-1)=0,1,2.m=5,2,3,n=1,2,2.7s#0,故第一個(gè)等式可變形為(1)2+99()+19=0,又17st#1,.，t是一元二次方程sss211,一x+99x+19=0的兩個(gè)不同實(shí)根，則_+t=-99,_jt=19，即st+1=-99s,t=19s.ss故st4s1=09s4s=4t19s例5.(1)當(dāng)a=b時(shí)，原式=2;當(dāng)a=b時(shí)，原式=-20,故原式的值為2或-20(2)由方程組得3x+2y=az,3心丫=6(z2az+6),易知3x,2y是一元二次方程2222t(az)t+6(zaz+6)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，二之0,即23z22az+144a&

12、lt;0,由z為實(shí)數(shù)知，'=(-22a)24X23X(144a2)之0,解得a之五3,故正實(shí)數(shù)a的最小值為必xy=11,xy6,(3)xy與x+y是方程m-17m+66=0的兩個(gè)實(shí)根，解得<或，(舍)原式xy=6xy=11.or2rroo=(x+yj-xy+xy(x+y)=12499.例6解法一：:acv0,上b2-4ao0,原方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，不妨設(shè)兩個(gè)根為x1,x2,且x1<0<x2,bcbc由韋達(dá)7E理得x+x2=一,x1x2=-,由拒b+/3b+45c=0,得&+3-+«5：=0即aaaa,273x1x2;5x1%=0解得x2=季W(wǎng)，假設(shè),

13、則常嘩壁,由x,<0推得5x1r/355x1-.35而i-3不成立，故&>J5；假設(shè)x2>1,則尊二|>1,由吊<0推得讓"§一”>0，矛盾.故5>5x(-.35-.3治<1,綜上所述3Vx2<1f(x)=ax2+bx+c,由條件得b=_(&a+J5c),=3a+卓b+c3(我aZ5c)+c=a,55555f(1)=a+b+ca產(chǎn)(43_V2)a-(/5-43-.若a>0,c<0,則f;0,故原方程必有一根介于藍(lán)與1f(1尸0.ac<0時(shí)，總有f?3|,f(1廣0之間.一一一一一一一一1

14、、A級(jí)1.32.23.-2m>20<m<8-提木：x1>2,x2>-2與x1+x2>-4,x1x2>4不等價(jià).3100132一一.一一.一4.-4016提不：由條件得%+4=n+2,anh=-2n,則(an2)02)=2i(n十J,則1a2-2燈-22故m=5,m=2,m=3,n=1;n=2;n=2.2m2222原式二a(a+b+c+d)a(b+c+d)+.+d(a+b+c+d)-d(a+b+c)=7(7M-7)_(a2+b2+c2+d2)=49M-68.5-1712.(1)m=2廠22mx1x2-x1x2x1x2(2)原式二x1x2-；x1x2jT=

15、2m2一3m“2m；22時(shí)，m為+mX2的最大值為10.13.設(shè)x2+ax+b=0的兩根分別為1-Xi1-x2a,P(其中o(,P為整數(shù)且a<P),則方程x2+cx+a=0的兩根分另1J為ot+1,P+1of+P=a,(u+1)(P+1)=a,兩式相加，得2=1op+2a+2P+1=0,即(支+2)(P+2)馬，從而W杵，2=3-1，解得二2-5或L，|P=3a=0Wb=1,Jc=-2a=8<b=15,a+b+c=3或29.c=62_2_2_2B級(jí)1.0提不：由條件得x+x一3=0,x2+x2-3=0,.xI=3-x1，用=3-x2,3一2x=x1(3x)=-x1+3x二x3*3x=4x13,原式=4x1-3-4(3-x2)+19=4x1-3-12+4x2+19=4(x,+x2)+4.又=x1+x2=1，原式=0.2.-5:*233.54.-63提示：A=(a-2)+4>0,原式=-2'a9|63w63.5.D6.C7.B8.B84882229.(u+P)-3oP=1,由根與系數(shù)關(guān)系得(a十b)-4ab=1,即(ab)=1,a-b=1.又由0得2_.2,2一3(