【教案】2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教案

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教學(xué)設(shè)計(jì)）一、教材分析1、教材的地位和作用：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的內(nèi)容是學(xué)習(xí)了三角函數(shù)定義后，安排的一節(jié)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、證明三角恒等式的基本工具，是整個(gè)三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在教材中起承上啟下的作用。同時(shí)，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想與方法在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起重要作用。2、教學(xué)目標(biāo)根據(jù)大綱要求，考慮到學(xué)生的接受能力和課容量，確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)：A、知識(shí)與技能目標(biāo)：通過(guò)觀察猜想出兩個(gè)公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想讓學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)過(guò)程，理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握基本關(guān)系式在兩個(gè)方面的應(yīng)用：1）已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值能求這個(gè)角的其他三角函數(shù)

2、值；2）證明簡(jiǎn)單的三角恒等式。B、過(guò)程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察一一猜想一一證明的科學(xué)思維方式；通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想；通過(guò)求值、證明來(lái)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力；通過(guò)例題與練習(xí)提高學(xué)生動(dòng)手能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及其知識(shí)遷移能力。C、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，體驗(yàn)探索的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。D、核心素養(yǎng)：通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用觀察、類比、數(shù)形結(jié)合、聯(lián)想、猜測(cè)、檢驗(yàn)等合情推理方法，提高學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯推理能力。3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，我將本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確立為：重點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用。教學(xué)上結(jié)合我校學(xué)生真實(shí)情況我將本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確立

3、為：難點(diǎn)：1）對(duì)于“同角”的理解；2）角a所在象限不定時(shí)對(duì)于三角函數(shù)值的討論；3）證明三角恒等式的一般思路，及公式在解題中的靈活運(yùn)用。、教學(xué)流程本節(jié)的教學(xué)流程由以下幾個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成siny,cosx,tanx(x0)，由此可得sina,cosa,tana滿足什么關(guān)系?三：課堂設(shè)計(jì)：1 .同角三角函數(shù)基本關(guān)系的建構(gòu)(1)復(fù)習(xí)舊知一鋪墊新知1 .任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)分別是如何定義的?2 .在單位圓中，任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)線分別是什么?3 .對(duì)于一個(gè)任意角a,sina,cosa,tana是三個(gè)不同的三角函數(shù)，從聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)看，三者之間應(yīng)存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，我們希望找出這種同角三角函數(shù)之間

4、的基本關(guān)系，實(shí)現(xiàn)正弦、余弦、正切函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化，為進(jìn)一步解決三角恒等變形問(wèn)題提供理論依據(jù).設(shè)計(jì)意圖：帶領(lǐng)學(xué)生回顧舊知識(shí)，為這節(jié)課解決新知識(shí)作準(zhǔn)備。從理論出發(fā)，強(qiáng)調(diào)事物之間的聯(lián)系,而建立初步印象，為下一步的教學(xué)做準(zhǔn)備。(2)歸納證明一形成概念思考1:如圖，設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)巳那么，正弦線MP和余弦線OM的長(zhǎng)度有什么內(nèi)在聯(lián)系？由此能得到什么結(jié)論？設(shè)計(jì)意圖：從已有的知識(shí)出發(fā)，類比探索知識(shí)的延展，得到合理的猜想，為發(fā)現(xiàn)新知奠定基礎(chǔ)，體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。思考2:上述關(guān)系反映了角a的正弦和余弦之間的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)等式的特點(diǎn)，將它稱為平方關(guān)系.那么當(dāng)角a的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，上述

5、關(guān)系成立嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)討論，感知并理解公式的使用條件，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。思考3:設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),根據(jù)三角函數(shù)定義，設(shè)計(jì)意圖：再一次強(qiáng)化定義，又讓學(xué)生自己得出關(guān)系式，也有利于關(guān)系式的記憶。符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程。運(yùn)用定義進(jìn)行嚴(yán)格證明，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法。思考4:上述關(guān)系稱為商數(shù)關(guān)系，那么商數(shù)關(guān)系成立的條件是什么？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)討論，感知并理解公式的使用條件，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。思考5:平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系是反映同一個(gè)角的三角函數(shù)之間的兩個(gè)基本關(guān)系，它們都是恒等式，如何用文字語(yǔ)言描述這兩個(gè)關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生由符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言，既深化對(duì)公式的認(rèn)識(shí)，又利于關(guān)系式

6、的記憶。符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程。學(xué)生：寫出幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，觀察他們之間的關(guān)系。猜想之間的聯(lián)系。設(shè)計(jì)意圖：從具體到抽象，引導(dǎo)學(xué)生完成抽象與具體之間的相互轉(zhuǎn)換。思考：?jiǎn)栴}1:從以上的過(guò)程中，你能發(fā)現(xiàn)什么一般規(guī)律？問(wèn)題2:你能否用代數(shù)式表示這兩個(gè)規(guī)律？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用特殊到一般的思維來(lái)處理問(wèn)題，通過(guò)觀察思考，感知同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。強(qiáng)調(diào)：sin2a是(sina)許不是sin22設(shè)計(jì)意圖：解釋式子中的簡(jiǎn)寫形式，消除學(xué)生認(rèn)知誤區(qū)。證明公式:回憶：任意角三角函數(shù)的定義？如圖：設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,V)則：sin=y；cosa=x直角三角形MPOKsiny,cosx,|

7、MP|2+|OM|2=|OP|2,既xKy2=1所以：sin2a+cos2a=1tanysin(xcos設(shè)計(jì)意圖：充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決所遇見的問(wèn)題。(3)辨析討論一深化公式思考1：對(duì)于平方關(guān)系sin2a+cos2=1可作哪些變形？sin思考2：對(duì)于商數(shù)關(guān)系tan=sn可作哪些變形？cos(師生活動(dòng)：對(duì)于公式變式的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)靈活運(yùn)用公式的幾大要點(diǎn)。)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題辨析與討論，加深公式的理解，對(duì)公式的變形有初步認(rèn)識(shí)。溫馨提示：注意“同角”，至于角的形式無(wú)關(guān)重要，如sin24+cos24=1等.注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的對(duì)這些關(guān)系式不僅要牢固掌

8、握，還要能靈活運(yùn)用（正用、反用、變形用）。判斷下列等式是否成立：sin2=1sin3=ccs,tan/Vex=x/1sinex2345-an-er+J=-hf-n=1設(shè)計(jì)意圖：辨析同角的概念，以便突破難點(diǎn)。2 .兩個(gè)公式在計(jì)算三角函數(shù)值上的應(yīng)用（1）分析實(shí)例一應(yīng)用公式例1（P183例題6）:已知，sina=-3/5,求cos”,tan”的值.提問(wèn)1:根據(jù)已知，可以先求哪一個(gè)值？通過(guò)那個(gè)公式求？提問(wèn)2：開平方取正負(fù)，是否都要？要哪一個(gè)？依據(jù)是什么？教師在學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)，把學(xué)生回答的解題過(guò)程，寫在黑板上。解：因?yàn)閟in0,sin22,cos1sin1若是第三象限角則cos1,所以是第三或第四象限角

9、23 165250則cos25sin3tan-cos4若是第四象限角，那么:cos設(shè)計(jì)意圖：借助學(xué)生對(duì)于剛學(xué)習(xí)的知識(shí)所擁有的探求心理，讓他們學(xué)習(xí)使用兩個(gè)公式來(lái)求三角函數(shù)值。設(shè)計(jì)2個(gè)問(wèn)題，層層遞進(jìn)，給出學(xué)生一種解題思路和思考方法。并把解題過(guò)程進(jìn)行板書，以便讓學(xué)生掌握解題的書寫格式，和解題步驟。注意：對(duì)于不知道“是第幾象限角的情況，采用符號(hào)看象限”及分類討論的思想來(lái)處理。變式訓(xùn)練:1v已知。儂以二一三，求smaAna52、已知tanV3,求sin,cos的值。思考1：提示：當(dāng)角的象限范圍在1種以上時(shí)，求其它值時(shí)要分象限分別求。思考2：如何建立cosa與sina的聯(lián)系？如何建立他們與tana的聯(lián)系？

10、(找兩名學(xué)生爬黑板演練。)設(shè)計(jì)意圖：例題分層設(shè)計(jì)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，使學(xué)生易接受引導(dǎo)學(xué)生自主探索，親自體驗(yàn)解題思路的形成過(guò)程，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想。同時(shí)使本節(jié)課的難點(diǎn)得以突破。跟蹤練習(xí)2在解題方法上與前兩道例題略有不同，設(shè)計(jì)該練習(xí)是為了進(jìn)一步突出重點(diǎn)，給學(xué)生一個(gè)更全面的解題方法。同時(shí)也讓學(xué)生更深刻的體會(huì)到解方程的思想。3道例題中計(jì)算較多，通過(guò)多練，也可以增強(qiáng)學(xué)生的計(jì)算技能。方法總結(jié)：一：若已知sina或cosa,先通過(guò)平方關(guān)系得出另外一個(gè)三角函數(shù)值，再用商數(shù)關(guān)系求得tana。二：若已知tana,先通過(guò)商數(shù)關(guān)系確定sina與cosa的聯(lián)系，再代入平

11、方關(guān)系求得sina與cosa注意：若a所在象限未定，應(yīng)討論a所在象限。設(shè)計(jì)意圖：利用之前三道題，共同總結(jié)兩類問(wèn)題的解決方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納分析能力。(2)動(dòng)手操作一運(yùn)用公式例2、已知tan2,求下面各式的值。八sincos(1-sincos(2)sincos解：方法tansin2sincos2cos原式2cos8s工32coscoscossincos方法2cos原式分子分母同除以cos原式coscossincostan1tan1(2)sincos方法1將sin2cos代入原式2coscos4cos2cos2coscos方法2原式可變?yōu)閟incos.22sincossincos分子分母同除以cos

12、2原式2cos22sincos22coscostan2tan21221練習(xí)：已知tan2,5sin2cos公1.22求(1；(2)-sin-cos5cos3sin45方法總結(jié)：1、關(guān)于sina、cosa的齊次分式，可以弦化切，變形為關(guān)于tana的式子。2、注意1”的妙用。設(shè)計(jì)意圖：兩個(gè)公式的靈活使用，通過(guò)對(duì)公式正向、逆向、變式使用加深對(duì)公式的理解與認(rèn)識(shí)。公式變式一靈活運(yùn)用例3:(P19.例題求證：_co竺1sinx證法1：由cosx3.公式在證明上的應(yīng)用7)1 sinx.cosx0,知sinx1,所以1sinx0,于是：cosx(1sinx)cosx(1sinx)(1sinx)(1sinx)1

13、sinxcosx(1sinx)1sinx右邊cos2xcosx所以原式成立.2證法2:因?yàn)?2(1sinx)(1sinx)1sinxcosxcosxcosx且1sinx0,cosx0,所以cosx1sinx.1sinxcosx思考：是否還有其他的證明方法？方法3:左邊減去右邊，如果等于零，則等式成立。方法4:左邊除以右邊，如果等于一，則等式成立。(保證分母不為零)設(shè)計(jì)意圖：三角等式的證明方法很多，先讓學(xué)生回想以前學(xué)過(guò)的方法，再結(jié)合本節(jié)課的兩個(gè)關(guān)系,通過(guò)該題熟悉三角函數(shù)等式證明的思路和技巧。對(duì)例題適當(dāng)歸納，從直觀認(rèn)識(shí)提升到理論的水平。證明三角恒等式經(jīng)常使用的方法：1:從等式左邊變形到右邊；2:從

14、恒等式出發(fā)，轉(zhuǎn)化到所要證明的等式上；3:左邊減去右邊等于0;4:左邊除以右邊等于1(保證分母不為零)o(新課到此結(jié)束)設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)證明方法，以便突破本節(jié)難點(diǎn)。4 .總結(jié)反思一提高認(rèn)識(shí)提出問(wèn)題：(1)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪兩個(gè)公式？(2)學(xué)會(huì)了運(yùn)用兩個(gè)公式去處理什么類型的問(wèn)題？(3)在解決遇見的兩類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)分別注意哪些方面的要點(diǎn)?(4)你能總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)體系么？求三角函數(shù)值y同角二角函數(shù)的基本關(guān)系o化簡(jiǎn)三角函數(shù)式_J注意,對(duì)口所在象限的討論，兩個(gè)公式證明的方法及對(duì)于公式的靈活運(yùn)用：正向使用、逆向使用、變形使用sin2a+cos2a-1&inatanflf=cosa(先有學(xué)生總結(jié)，老師

15、再點(diǎn)撥)設(shè)計(jì)意圖：回顧本節(jié)內(nèi)容加強(qiáng)學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容知識(shí)體系的理解。通過(guò)小結(jié)使本節(jié)課的知識(shí)系統(tǒng)化，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。cot5 .布置作業(yè)一自主探究一：書中P184頁(yè)練習(xí)題10、11、12.二：探究題：已知tana為非零實(shí)數(shù)，用tana表示sina,cosa.三：研究性學(xué)習(xí)：利用周末時(shí)間，查找課外資料了解同角三角函數(shù)的其他幾個(gè)基本關(guān)系。設(shè)計(jì)意圖：課后復(fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)，形成強(qiáng)化。四、教法分析在前節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)理解了任意角三角函數(shù)的定義，并且從圖像與公式上應(yīng)該有所發(fā)現(xiàn),這節(jié)內(nèi)容則是對(duì)他們直觀感覺(jué)上的理解進(jìn)行系統(tǒng)的研究，在這節(jié)課上我主要采用了以下的教法：(1)引導(dǎo)一探究式”教學(xué)方法。在引入公式方面，我通過(guò)幾個(gè)特殊角三角函數(shù)值之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生逐步猜想出公式，進(jìn)而形成認(rèn)識(shí)。再?gòu)睦碚摮霭l(fā)，結(jié)合圖像與定義，證明兩個(gè)公式的正確性，培養(yǎng)了學(xué)生觀察一一猜想一一證明的科學(xué)分析方法。(2)采用講練結(jié)合，從例題出發(fā)強(qiáng)調(diào)本節(jié)難點(diǎn)，讓學(xué)生自行操作熟悉公式的運(yùn)用。(3)對(duì)于證明題，則在給出書中證明的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析，拓展學(xué)生對(duì)于證明簡(jiǎn)單三角恒等式的方法，提高其使用公式、處理問(wèn)題的能力。五、學(xué)法指導(dǎo)對(duì)于高中的