2020屆浙江省杭州市杭州市第四中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、【答案】B第 1 頁(yè)共 18 頁(yè)2020屆浙江省杭州市杭州市第四中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試、單選題【答案】B故選 B.雙曲線有相同（【答案】【詳解】漸近線方程均為yc c離心率分別為和一,a b它們的頂點(diǎn)分別為（a,0）,（0, b）,故選：B.【點(diǎn)睛】 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè) a, G , b R，則 G2= ab”是 G 為 a, b 的等比中項(xiàng)”的（）A .充分而不必要條件B 必要而不充分條件D .既不充分也不必要條件1 已知集合M y| y0，Ny|yX21，則M IB.0,1C.0,1,【解析】/集合Ny|yX211 , M y |y0, MN 0,

2、1,2 .我們把方程分別為:2y_b22y_b22x21的雙曲線稱為共軛雙曲線，則共軛aA .離心率B.漸近線C .焦點(diǎn)D 頂點(diǎn)【解分別求得共軛雙曲線的離心率、漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得答案.2解：共軛雙曲線X2a2y_b22X2a1的c，設(shè)a 0,b 0,可得它們的焦點(diǎn)分別為c,0),(0, c),C 充要條件【解析】 結(jié)合等比中項(xiàng)的定義，利用充分條件和必要條件的定義判斷【詳解】解：若G是a，b的等比中項(xiàng)，則G2ab當(dāng) a b G 0 時(shí)，滿足G2ab，但a,G,b不能構(gòu)成等比數(shù)列,故選： B 點(diǎn)睛】答案】 C解析】該題主要考查函數(shù)的概念、定義域、值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性，握很

3、關(guān)鍵 .，C 錯(cuò)誤6中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)的一種， 現(xiàn)有十二生肖的吉物各一個(gè)，甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物， 甲同學(xué)喜歡牛和馬， 乙同學(xué)喜歡牛、 兔、狗和羊，第 2 頁(yè) 共 18 頁(yè)所以G2ab”是G是a,b的等比中項(xiàng)”的必要而不充分條件，本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用等比數(shù)列的性質(zhì)和定義進(jìn)行判斷是解決4若多項(xiàng)式xxa0A9B【答案】 D【解析】x1n0nCn0Ca10 x101a10(C10C10 x. C190 x9x110 10.C10 xa9x 1C-99a9x 1C10 x10)10

4、，根據(jù)已知條件得a10a9C9101，則a9( )D-10C91x .C99x9，x9的系數(shù)為 0，x10的系數(shù)為a91a10C9a10C11001C1900a9a1010故選 D.15設(shè)函數(shù)D(x)1 x為有理數(shù)0,x為為無(wú)理數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是Ax) 的值域?yàn)?0,1Bx) 是偶函數(shù)Cx) 不是周期函數(shù)Dx) 不是單調(diào)函數(shù)全面掌(鼠、牛、本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題a1101nx第3頁(yè)共 18 頁(yè)丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有( )A . 50 種B. 60 種C . 70 種D . 90 種【答案】C【解析】根據(jù)題意，按同學(xué)甲的選擇分 2 種情況討論

5、，求出每種情況的選法數(shù)目，由加 法原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分 2 種情況討論：如果同學(xué)甲選牛，那么同學(xué)乙只能選兔、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的 10 種中任意選，選法有C3G1030種；如果同學(xué)甲選馬，那么同學(xué)乙能選牛、兔、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的 10 種中任意選，選法有種G4 GW40,不同的選法共有30 4070種，故選 G.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.2xy10,7.設(shè)關(guān)于 x,y 的不等式組xm0,表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（X0, y0）滿足 X0ym 02y0=2，求得 m 的取值范圍是4125A.，B.G.

6、D.,-3333【答案】G【解析】 要使線性約束條件表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(X0, y0)滿足 X0 2y0=2，即該平面區(qū)域和直線x 2y 2有交點(diǎn)，而直線%m,的交點(diǎn)m,m在直線y x上移y m動(dòng)，由y X，得交點(diǎn)坐標(biāo)為x 2y 2,2 22,，當(dāng)m即m3332時(shí)，才會(huì)交點(diǎn)第4頁(yè)共 18 頁(yè)【考點(diǎn)定位】本小題考查了線性約束條件、線性規(guī)劃問題、兩條直線的位置關(guān)系和數(shù)形 結(jié)合的思想8 .設(shè) Ovav1,已知隨機(jī)變量 X 的分布列是X0a1P1113331A .2【答案】【詳解】2 29(a2a故選:【點(diǎn)睛】 本題主要考查方差的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.1B.-3【解先求出利用方差公式求

7、解可得結(jié)果.解：E(X)1D(X)(匚a)21313(aa)21 aV，13(1(a 1)227(2 a21)(a22)4a1)0.第5頁(yè)共 18 頁(yè)9已知直三棱柱 ABC - ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，P 是側(cè)棱AA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.記直線 PB 與直線 AC 所成的角為a，直線 PB 與直線 BC 所 成的角為二面角 P- BB - C 的平面角為丫，則（ ）A. a B丫B. aV丫C. a Y3D. B a丫【答案】D【解析】 取BC中點(diǎn)0，以O(shè)A、OB所在直線分別為x、y軸建立空間直角坐標(biāo)系， 利用空間向量，設(shè)出點(diǎn)p的坐標(biāo)，求出三個(gè)角，再比較大小即可.【詳解】解

8、：設(shè)直三棱柱ABC ABC的棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)為 2,如圖，取BC中點(diǎn)0,以0A、0B所在直線分別為x、y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則AC, 3,0,0),B(0,1,0) ,C(0, 1,0), B (0,1,2),P( 3,0,t)(0t 2),UUU PB3,1,uurt) , AC-uuuu(3, 1,0) , BC (0, 2,2),. cosuuu iuir cosPB, ACuun uurPBcACuun uurPB AC3 12 3 1 t214 t2，cosuuu uuuu cosPB, B Cnn uiunPBcBCIUJ uuiiPB BCI 2 2t|t2c2.2由題

9、B B BC ,BBBA，則二面角PB B C的平面角為ABC ,則060 ,cost 2時(shí)，由二次函數(shù)的單調(diào)性知,(1 t)22cos0.第6頁(yè)共 18 頁(yè)故選：D.【點(diǎn)睛】22第7頁(yè)共 18 頁(yè)本題主要考查異面直線所成的角、二面角的求法，考查了利用角的余弦值比較角的大小，屬于中檔題.3210.已知函數(shù)f(x) x ax bx c有兩個(gè)極值點(diǎn) X1,X2，若f(%!)為x?，則關(guān)于x的方程3( f(x)22af (x) b 0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為A . 3B. 4C . 5D. 6【答案】A【解析】試題分析：求導(dǎo)得 -_，顯然：是方程-: :的二不等實(shí)根，不妨設(shè)丫 一，于是關(guān)于 x 的方程 3(

10、f(x)2+ 2af(x) + b = 0 的解就是二、填空題【答案】z11.若復(fù)數(shù)z 滿足3(i為虛數(shù)單位)，則z|z|【解析】/3 i zi，二z5 5i 110 2_ -.或-_，根據(jù)題意畫圖:A.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)、函數(shù)的圖象22第8頁(yè)共 18 頁(yè)2，故答案為-2 2第9頁(yè)共 18 頁(yè)取值范圍.【詳解】解：Qf (x)由 f (x)2 ,故答案為：1；( , 1)U(1,).【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的函數(shù)值和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.x 1 ,x 112 .已知f xx.若 f (x)= 2,則 x =若 f(x)2，則 x 的取3 ,x 1值范圍為.【答案】1

11、(,1)U(1,)【解析】1時(shí)，f(x) 3X2，由此能求出X的值;當(dāng)x 1時(shí)，f(x) |x 1|2，解得x1或x3(舍)，當(dāng)x1時(shí)， f (x) 3x2，解得xlog32，不合題意,綜上:f(x)2 時(shí),x1；由f (x)2當(dāng)x 1時(shí)， f(x) |x 1|2，解得x1或x3(舍)，當(dāng)x1時(shí)， f (x) 3x2，解得xlog32，x 1，綜上：x的取值范圍為(當(dāng)X, 1時(shí)，f(x) |x 1| 2，當(dāng)x由f (x)2，當(dāng)x 1時(shí)，f(x) |x 1| 2，當(dāng)x 1時(shí),f(x)3x2，由此能求出x的x 1(x, 1)3x(x 1)1)U(1,)；第10頁(yè)共 18 頁(yè)13 某幾何體的三視圖如

12、圖所示， 且該幾何體的體積是 3,則正視圖中的 x 的值是_最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為_ .第11頁(yè)共 18 頁(yè)【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以直角梯形為底面的四棱錐，根據(jù)體積公式建立關(guān)系，可得答案.【詳解】解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以直角梯形為底面的四棱錐，且梯形上下邊1底面的面積 S (1 2) 23,21幾何體的體積 V -g3gx 3 ,3可得x 3,取長(zhǎng)棱長(zhǎng)為：:222fPC 、12314，故答案為：3；14【點(diǎn)睛】1，PAx，AD/BC，PA平面ABCD，ADAB,2，BC第12頁(yè)共 18 頁(yè)本題主要考查由三視圖還原直觀圖，考查棱錐的體積公式，屬于中檔題.2 214 .已知

13、橢圓 一 1 的左焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) P 在橢圓上且在 x 軸的上方，若線段 PF第13頁(yè)共 18 頁(yè)的中點(diǎn)在以原點(diǎn) o 為圓心，|0F|為半徑的圓上，貝 y |PF| =_ P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 _.【答案】2（3逅）2 2【解析】求得橢圓的a,b,c, e，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，連接PF，運(yùn)用三角形的中位線定理和橢圓的焦半徑公式，求得P的坐標(biāo)，利用橢圓的定義求解 |PF | .【詳解】解：由題意，該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a 3,短半軸長(zhǎng)b 5,半焦距c 2,離心率e -,3設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，連接PF,線段PF的中點(diǎn)A在以原點(diǎn)0為圓心，2 為半徑的圓,連接A0，可得 |PF | 2|A0| 4 ,得 15得

14、n 2由|PF | 2|AO|【點(diǎn)睛】運(yùn)算能力，屬于中檔題.【答案】0設(shè)P的坐標(biāo)為（m, n），由焦半徑公式可得 32-m 4，可得m3I，代入到橢圓方程故答案為：2 ；（315、2,R.本題主要考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì), 注意運(yùn)用三角形的中位線定理，考查15 .已知COS一6，則cos 36sin的值為3第14頁(yè)共 18 頁(yè)答案可求.【詳解】【解析】由已知利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式分別求得cos&)與sin(4-）的值，則3第15頁(yè)共 18 頁(yè)解：TCOS(6)3百， cos(善)cos(6)cos()6_23，3Sin(3)sin(3)sin 2(6)cos()65、 cos

15、()6sin(4r)J33(3)0，故答案為：0 【點(diǎn)睛】 本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16 .在AABC 中，/ ABC 為直角，點(diǎn) M 在線段 BA 上，滿足 BM = 2MA = 2，記/ ACM=0,若對(duì)于給定的0,這樣的 ABC 是唯一確定的，則 BC =_ .【答案】.6【解析】由題意利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出tan ACB、tan NCB 的值，再利用兩角差的正切公式求得tan tan( ACB MCB)，從而求出BC的值.可得X6,X解得X ,6，即BC的值為、6, 故答案為：.6【點(diǎn)睛】/. tan tan( ACBMCB)X X.3

16、21 gX X依題意，若對(duì)于給定的ACM,ABC是唯一的確定的,【詳為銳角,第16頁(yè)共 18 頁(yè)本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，兩角差的正切公式，屬于中檔題.rrrrrr rr17 .已知a 1，向量b滿足2 b a b a，設(shè)a與b的夾角為 B,則cos的最小值為_ .【答案】 土5rrr【解析】 根據(jù)條件可設(shè) a (1,0),b (x, y)，從而根據(jù) 2|b a| bga 即可得出2222324(x 1) 4y x ,且得出x 0，從而得出 y x 2x 1，從而得出4x1cos-iTl!1221，從而配方即可求出cos的最小值.x 2x 1.()4x x 4【詳解】125 ,(x1

17、)412|r4當(dāng)一1即x 1時(shí)cos取最小值 - ；x5故答案為：乙 V .5【點(diǎn)睛】計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題18 .已知函數(shù)f x 6cos2 x3sin x 3,(0)，該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象2如圖所示，A 為圖象的最高點(diǎn)，B、C 為圖象與 x 軸的交點(diǎn)，且 ABC 為正三角形.raQ/_k/_krbraray y1 1X X/_k/_krara r rb b由 2|ba| bga 得，2 (x1)2x，則x二 4(x2 2 21) 4y x ,2 y?x22x 14，cosagrX|a|b|x2y2232x - x 2x 11-x 2x 14本題主要考查了利用向量坐標(biāo)解決向量問

18、題的方法,考查了向量夾角的余弦公式,考查第17頁(yè)共 18 頁(yè)【解析】(1)利用二倍角的余弦公式降幕后化積，由ABC為正三角形求得函數(shù)的半周期，從而求得周期，則的值可求；(2)利用()的結(jié)論，結(jié)合 f(x0)8-，求得 sin( Xo)與 cos(Xo)，再543435由f (xo1) 2 3sin( X0)，展開兩角和的正弦即可求解.443【詳解】解：(1)由f x 6cos2 X3sin x 3得：2f (x) 3cos x , 3sin x 2 3 sin( x ),3又正三角形 ABC 的高為 2.3，從而 BC= 4,由f(X0)詈得2 3sin：x853，4整理得sin x4352

19、27- - xz- - - CCOxzAQ3 Ag3- -3b入3 34(2)若f xo2 ,2，求f(xo1)的值.3 3【答案】(1)7；(2)字-函x的周期Ty Asin( x )的圖象求解析式， 考查兩角和的正弦公式,第18頁(yè)共 18 頁(yè) f(Xo1)2 3sin(4X04)2.3sin(xo)coscos( xo)sin3 4344342 342 3邁7 .652525 【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)三角函數(shù)第19頁(yè)共 18 頁(yè)解答此體的關(guān)鍵是拆角和配角，屬于中檔題.19.11 分制乒乓球比賽，每贏一球得1 分，當(dāng)某局打成 10:10 平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得 2 分的一方獲勝，該局比

20、賽結(jié)束甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為 0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立在某局雙方 10:10 平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X 個(gè)球該局比賽結(jié)束(1) 求 P(X=2)；(2) 求事件 X=4 且甲獲勝”的概率【答案】(1)0.5；( 2)0.1【解析】(1)本題首先可以通過(guò)題意推導(dǎo)出P X 2所包含的事件為甲連贏兩球或乙連贏兩球”然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；(2)本題首先可以通過(guò)題意推導(dǎo)出P(X =4)所包含的事件為 前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得分”然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果?！驹斀狻?1)由題意可知，P X

21、2所包含的事件為 甲連贏兩球或乙連贏兩球”所以P(X =2)= 0.5? 0.4 0.5? 0.60.5由題意可知，P(X =4)包含的事件為 前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得分”所以P(X =4)= 0.5倉(cāng)創(chuàng)0.6 0.5倉(cāng)吩.4+0.5 0.4倉(cāng)創(chuàng)0.5 0.4 =0.1【點(diǎn)睛】的兩實(shí)根，且 a1= 1.(2)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式.本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過(guò)題意得出P X 2以及P(X=4)所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力,是中檔題。20.已知數(shù)列an中，相鄰兩項(xiàng) an, an+1是關(guān)于X的方X2+3nx+bn0( n N)

22、(1)若 Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，求S100;【答(1)弘0=- 750; (2)【解(1)由韋達(dá)定理可得所以5 3n3n2k2kan 13n1，bn2k 12k，即把a(bǔ)n相鄰兩項(xiàng)之和看成一個(gè)新第20頁(yè)共 18 頁(yè)的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列為等差數(shù)列，S00包含新數(shù)列的前 50 項(xiàng)，用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第21頁(yè)共 18 頁(yè)公式即可;(2)由 anan 13n、an 1an23(n 1)兩式相減得 an 2an3，即隔項(xiàng)成等差數(shù)列，由ai可得奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng),32可得偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，由an的通項(xiàng)可得bn的通項(xiàng)公式.【詳解】解：(1)因?yàn)?an、an+1是關(guān)于x23nx bn9n20的兩實(shí)根,4所以 an

23、+an+1 3n , a2n-1+ a2n 3(2n 1)= 3 - 6n,S100503 3 6 50750,所以 Sioo= 750.(2) a3n , an 13(n 1)，兩式相減,an 2ana2n 11 3(n1)4 3n因?yàn)?a24，所以a2n4 3(n 1)13n,因?yàn)?bnanan 1,所以bnanan 1n n(29 9 - - 4 4(4(4/_k/_k3n)3n)3n3nn n(29 9 - - 4 4b2na2na2n99(2n)3n )43(n1)9n2所以an3n2122k 1,bn2k2k【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前中檔題.21 .如圖，已知點(diǎn) F

24、 (1, 0)為拋物線2kn項(xiàng)和及其性質(zhì),本題的關(guān)鍵是分奇偶做，屬于y2= 2px ( p 0) 的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C 在拋物線上，使得 ABC 的重心G 在 x 軸上.第22頁(yè)共 18 頁(yè)(2) 求證：直線 OA 與直線 BC 的傾斜角互補(bǔ)；(3) 當(dāng)XA( 1 , 2)時(shí)，求ABC 面積的最大值.【答案】(1) p = 2,準(zhǔn)線方程為 x=- 1 ； (2)見解析；(3)最大值為 2.【解析】(1)求得拋物線的焦點(diǎn)，由題意可得P 2，可得拋物線方程和準(zhǔn)線方程；(2) 設(shè)過(guò)F的直線方程為 y k(x 1),k 0, A(X1, yj, B(x2, y?)

25、,C(m, n),聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)可得證明，檢驗(yàn)直線AB的斜率不存在，也成立；(3)求得k的范圍和C的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得C到直線AB的距離，由弦長(zhǎng)公式可得|AB|，由三角形的面積公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，判斷單調(diào)性可得面積S的范圍，檢驗(yàn)直線AB的斜率不存在時(shí)，可得ABC的面積，進(jìn)而得到所求最大值.【詳解】解: (1 )點(diǎn)F(1,)為拋物線寸2px(p 0)的焦點(diǎn)，即-p 1，即p 2， 拋物線的方程為y24X，準(zhǔn)線方程為X 1；(2)證明：設(shè)過(guò)F的直線方程為 y k(x 1)，k 0，A(X1，yj，B(X2，y2)，C(m, n)， 即有y1

26、4X1，y4X2， n24m，聯(lián)立直線 y k(x 1)和拋物線y24X可得 ky24y 4k 0，4可得y?，y24，第23頁(yè)共 18 頁(yè)k第24頁(yè)共 18 頁(yè)則 koAkBC里n竺4x1mx2y1即有 koAkBC0，則直線OA與直線BC的傾斜角互補(bǔ);Q f Q)，則 S 2t(9 8t2)，4342則S在(1,)遞減,4可得 S 2 ； 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)A(1,2)，B(1, 2)，可得C(0,0)，1ABC的面積為4 12，2可得ABC的面積的最大值為 2.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.22.已知實(shí)數(shù) aQ設(shè)函數(shù)f x alnx VX1.244(n y1y2)n y2%(n y?)，由ABC的重心G在x軸上,可得n y1 y20，即 n %y2當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，求得C的坐標(biāo),可得kBC0(3)由(2)可得 X1x21，1652(2,)，解得 k22可得為丄 2 $X1k由拋物線的定義可得|AB|XiX2(8