高等數(shù)學(xué) 第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用

1、1第三節(jié)第三節(jié) 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用282P變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功一一 .,.厘米把它拉長(zhǎng)到有一力厘米一彈簧原長(zhǎng)例16101P.所作的功求力 P,cma10Xbdxa0.cmb16.)()(彈性系數(shù)kaxkxPP,.是變力拉力解P拉力作功移到物體從dxxx.)(xdaxkxdPwdbabaaxkdxaxkw22)()(.)()(kkabo q a b 1 ardrkqw2.akqdr求電場(chǎng)力把單位電荷在坐標(biāo)軸原點(diǎn)處放置點(diǎn)例,.q2.wbrar處所作的功處移到正電荷從作用于單位正電荷的解.2rkqf 電場(chǎng)力,rdrkqrdfwd2)

2、(,功元素電場(chǎng)力作功單位正電荷通過drrrbardrkqw2所求功.baqk11barqk1arqk1則到無窮遠(yuǎn)處如果考慮將單位電荷移,3xoxdxx 5xd2389 .這一薄層水的重量為,.xdwd 288功元素為50288xdxw .5022288x .)(千焦耳3462,建立坐標(biāo)系如圖解,50 xx 為積分變量取,xdxx取任一小區(qū)間底半徑米一圓柱形蓄水池高為例,.53問要把池內(nèi)的池內(nèi)盛滿了水米為,3?,需作多少功水全部吸出x4xoxdxx 水壓力水壓力二二 .設(shè)桶內(nèi)盛有半桶水桶一個(gè)橫放著的圓柱形水例,4計(jì)算桶的一端水的比重為桶的底半徑為, R在端面建立坐標(biāo)系如圖.面上所受的壓力Rxx,

3、0為積分變量取,xdxx取任一小區(qū)間,xp 小矩形上壓強(qiáng).xdxRs222小矩形的面積解R5xoxdxx 為元素小矩形上的壓力)(,xp .xdxRs222xdxRxPd222 端面上所受的壓力RxdxRxP0222 )(22022xRdxRR RxR032232 .332R R6地的直角三角形薄板垂直及將直角邊各為例aa25 .,行較長(zhǎng)的直角邊與水面平斜邊朝下浸入水中求薄板一側(cè)于該邊的邊長(zhǎng)且該邊到水面的距離等,.P所受的壓力.解建立坐標(biāo)系如圖xoa2a2a,)(xdxasd22 面積微元,)()(xdxaaxPd22 壓力元素xdxaaxPa )(220壓力.337a xxd.水的比重 7引

4、力引力三三 .在其中垂的均勻細(xì)棒線密度為有一長(zhǎng)度為例,. 6計(jì)算的質(zhì)點(diǎn)單位處有一質(zhì)量為線上距棒,Mma.的吸引力該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn) M建立坐標(biāo)系如圖解 .2 xyoMarydyy ,22yy 為積分變量取,ydyy內(nèi)任取小段在22.吸引力將小段看成質(zhì)點(diǎn)來計(jì)算,yd 小段的質(zhì)量為28,22yar小段與質(zhì)點(diǎn)的距離,22yamkdF引力微元yd 水平方向的分力元素,2322yaydmakFdx 222322yaydmakFx 水平分力;2242aamk .,0yF引力在鉛直方向分力由對(duì)稱性知2 xyoMarydyy 2 22yaa cos9baabfdxxfba )()(:積分中值公式積分中值公式a b)(

5、 f.,)()()(上的平均值上的平均值在在為函數(shù)為函數(shù)baxfdxxfabfba 1 .)( badxxfaby1記為記為),(.)(,)(平均功率平均功率有效值有效值上的均方根上的均方根在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù) badxxfabbaxf21函數(shù)的均值和均方根函數(shù)的均值和均方根四四.10.,.)(.時(shí)時(shí)段段上上的的平平均均速速度度求求物物體體在在為為勻勻加加速速運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的物物體體速速度度例例Tatvtv010 TdttvTv001)(.解解 TdtatvT001)()(20211aTTvT aTv210 )(0vvaTT 200vvvT .20Tvv 路程時(shí)間11.,.,;,sin)(.內(nèi)的平

6、均值內(nèi)的平均值在正半周期在正半周期求求都是常數(shù)都是常數(shù)角頻率角頻率電流峰值電流峰值正弦交流電的電流正弦交流電的電流例例 02iIItItiimmm 01tdtIimsin.解解 0tdtImsin 0)cos(tIm . mI2 .,002 i平平均均值值內(nèi)內(nèi)在在一一個(gè)個(gè)完完整整周周期期同同理理可可得得 badxxfab)(:,21我們定義均方根我們定義均方根互抵消互抵消為了防止函數(shù)正負(fù)值相為了防止函數(shù)正負(fù)值相12.,.,.,sin)(.WRiIitItiim內(nèi)的平均功率內(nèi)的平均功率在一個(gè)周期在一個(gè)周期流經(jīng)純電阻流經(jīng)純電阻內(nèi)的均方根內(nèi)的均方根在一個(gè)完整周期在一個(gè)完整周期求求正弦交流電的電流正弦交流電的電流例例 2202012 2022211tdtIImsin.解解 20222)(sintdtIm 20221duuImsin.2mI tIRRtitwm