八年級三角形的證明(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三角形的證明1你能證明它們嗎一、主要知識點(diǎn)1、 證明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,證直角三角形全等除上述外還有HL)及全等三角形的性質(zhì)是對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。2、 等腰三角形的有關(guān)知識點(diǎn)。等邊對等角；等角對等邊；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）3、 等邊三角形的有關(guān)知識點(diǎn)。判定：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形； 三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形； 有兩個(gè)叫是60°的三角形是等邊三角形。性質(zhì)：等邊三角形的三邊相等，三個(gè)角都是6

2、0°。 4、反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出 與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法稱為反證法二、重點(diǎn)例題分析例1: 如下圖，在ABC中，B=90°，M是AC上任意一點(diǎn)（M與A不重合）MDBC，交ABC的平分線于點(diǎn)D，求證：MD=MA. 例2 如右圖，已知ABC和BDE都是等邊三角形，求證：AE=CD. 例3： 如圖：已知AB=AE，BCED，BE，AFCD，F(xiàn)為垂足, 求證: ACAD； CFDF。 例4 如圖1、圖2，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90º，（1）在圖1中，AC與BD相等嗎

3、？請說明理由.（2）若COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)力2的位置，請問AC與BD還相等嗎？為什么？例5 如圖，在ABC中，AB=AC、D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長線上一點(diǎn)，且CE=BD，連結(jié)DE交BC于F。（1）猜想DF與EF的大小關(guān)系；（2）請證明你的猜想。2直角三角形一、主要知識點(diǎn) 1、直角三角形的有關(guān)知識。直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。2、互逆命題、互逆定理 在兩個(gè)命題中，如

4、果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題. 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理.二、典型例題分析 例1 ：說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假： （1）四邊形是多邊形； （2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)； （3）如果ab=0,那么a=0,b=0； （4）在一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊相等例2：如圖，中，求的長。例3：如圖所示的一塊地，ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求這塊

5、地的面積。例4：如圖，一架2.5米長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時(shí)梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？例5：如圖2-5所示在等邊三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P點(diǎn)，BQAD于Q求證：BP=2PQ 3.線段的垂直平分線 4.角平分線一、主要知識點(diǎn)1、 線段的垂直平分線。線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。2、 角平分線。角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的

6、兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。3、 逆命題、互逆命題的概念，及反證法如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。二、重點(diǎn)例題分析例1：（1）在ABC中，ABAC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，A，求NMB的大小（2）如果將（1）中A的度數(shù)改為，其余條件不變，再求NMB的大小（3）你發(fā)現(xiàn)有什么樣的規(guī)律性？試證明之.（4）將（1）中的A改為鈍角，對這個(gè)問題規(guī)律性的認(rèn)識是否需要加以修改ABCNMABCNMABCNM例2：在ABC中，AB的中垂

7、線DE交AC于F，垂足為D，若AC=6，BC=4，求BCF的周長。 例3：如圖所示，AC=AD，BC=BD，AB與CD相交于點(diǎn)E。求證：直線AB是線段CD的垂直平分線。 例4：如圖所示，在ABC中，AB=AC，BAC=1200，D、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的長度。 例5:：如圖所示，RtABC中，D是AB上一點(diǎn)，BD=BC，過D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，CD交BE于點(diǎn)F。求證：BE垂直平分CD。 例6:：在ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MNBC，與21ACB的角平分線交于點(diǎn)E，與ACB的外角平分線交于點(diǎn)F，求證：OE=OFAOFECBMN

8、例7、如圖所示，AB>AC，的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作于E，求證：BE=CF。 相應(yīng)練習(xí)PQEDCBA1、 如圖，在ABC中，AB=AC=BC，AE= CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQAD于Q。求證：BP=2PQ2、 如圖，ABC中，AB= AC，P、Q、R分別在AB、BC、AC上，且BP=CQ，BQ=CR。 求證：點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上。QRPBCAEDFCBA3、 如圖，ABC中，AD為BAC的平分線，AD的垂直平分線EF交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF。求證：B=CAF4、 已知：如圖，ABCD，BAC的角平分線與DCA的角平分線交于點(diǎn)M，經(jīng)過M的直線EF與AB垂直

9、，垂足為F，且EF與CD交于EECMADFB求證：點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)單元訓(xùn)練題一、精心選一選，慧眼識金（每小題3分，共30分）1如圖1,某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成三片,現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊完全一樣形狀的玻璃.那么最省事的辦法是帶（ ）去配. A. B. C. D. 和2下列說法中，正確的是（ ）.A兩腰對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等B兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C兩銳角對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D面積相等的兩個(gè)三角形全等3如圖2，ABCD，ABD、BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC長為（ ）.A4cm B5cm C8cm Dcm4如圖3，在等邊中，分別

10、是上的點(diǎn)，且，AD與BE相交于點(diǎn)P，則的度數(shù)是（ ）.A B C D5如圖4，在中，AB=AC，BD和CE分別是和的平分線，且相交于點(diǎn)P. 在圖4中，等腰三角形（不再添加線段和字母）的個(gè)數(shù)為（ ）.A9個(gè) B8個(gè) C7個(gè) D6個(gè)6如圖5，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)在要建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（ ）.A1處 B2處 C3處 D4處7如圖6，A、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，DAC和EBC都是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，有如下結(jié)論： ACEDCB； CMCN； ACDN. 其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）.A3個(gè) B2個(gè) C 1個(gè) D0個(gè) 8要測

11、量河兩岸相對的兩點(diǎn)A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C，D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A，C，E 在同一條直線上（如圖7），可以證明，得ED=AB. 因此，測得DE的長就是AB的長，在這里判定的條件是圖8( ).AASA BSAS CSSS DHL9如圖8，將長方形ABCD沿對角線BD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，BE交AD于點(diǎn)F.求證：重疊部分（即）是等腰三角形.證明：四邊形ABCD是長方形，ADBC又與關(guān)于BD對稱， . 是等腰三角形.請思考：以上證明過程中，涂黑部分正確的應(yīng)該依次是以下四項(xiàng)中的哪兩項(xiàng)？（ ）.；A B C D10.如圖9，已知線段a，h作等腰ABC，使ABA

12、C，且BCa，BC邊上的高ADh. 張紅的作法是：（1）作線段 BCa；（2）作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC相交于點(diǎn)D；（3）在直線MN上截取線段h；（4）連結(jié)AB，AC，則ABC為所求的等腰三角形. 上述作法的四個(gè)步驟中，有錯(cuò)誤的一步你認(rèn)為是（ ）.A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）二、細(xì)心填一填，一錘定音（每小題3分，共30分）1如圖10，已知，在ABC和DCB中，AC=DB，若不增加任何字母與輔助線，要使ABCDCB，則還需增加一個(gè)條件是_.2如圖11，在中，分別過點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn)A的直線的垂線段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，則DE的長為_.3如圖12，P，Q

13、是ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且BPPQQCAPAQ，則ABC等于_度. 4如圖13，在等腰中，AB=27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若 的周長為50，則底邊BC的長為_.5在中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為，則底角B的大小為_.6在證明二一章中，我們學(xué)習(xí)了很多定理，例如：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；全等三角形的對應(yīng)角相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相等；線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.在上述定理中，存在逆定理的是_.(填序號)7如圖14，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=5cm，

14、BC=10cm，將ABC折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD的長為_.8如圖15，在中，AB=AC，D是BC上任意一點(diǎn)，分別做DEAB于E，DFAC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF= _cm.9如圖16，在RtABC中，C=90°,B=15°，DE是AB的中垂線，垂足為D，交BC于點(diǎn)，若，則_ .10如圖17，有一塊邊長為24m的長方形綠地，在綠地旁邊B處有健身器材， 由于居住在A處的居民踐踏了綠地，小穎想在A處立一個(gè)標(biāo)牌“少走_(dá)步，踏之何忍？”但小穎不知在“_”處應(yīng)填什么數(shù)字，請你幫助她填上好嗎？（假設(shè)兩步為1米）？三、耐心做一做，馬到成功（本大題共48分）1

15、（7分）如圖18，在中，CD是AB邊上的高， . 求證：AB= 4BD.2（7分）如圖19，在中，AC=BC，AD平分交BC于點(diǎn)D，DEAB于點(diǎn)E，若AB=6cm. 你能否求出的周長？若能，請求出；若不能，請說明理由.3（10分）如圖20，D、E分別為ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，BE與CD相交于O點(diǎn). 現(xiàn)有四個(gè)條件：ABAC；OBOC；ABEACD；BECD.(1)請你選出兩個(gè)條件作為題設(shè)，余下的兩個(gè)作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：命題的條件是 和 ，命題的結(jié)論是 和 (均填序號).(2)證明你寫出的命題.已知：求證：證明：圖214（8分）如圖21，在中，AB=AC，的平分線BD交AC于D，CEBD的延長線于點(diǎn)E.求證：.5（8分）如圖22，在中，.（1）用圓規(guī)和直尺在AC上作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B的距離相等.（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；（2）當(dāng)滿足（1）的點(diǎn)P到AB、BC的距離