西安交大--有限元方法與ANSYS應用

1、2022-4-2412022-4-242有限元方法與有限元方法與ANSYSANSYS應用應用課程學習相關網(wǎng)站課程學習相關網(wǎng)站2022-4-243有限元方法與有限元方法與ANSYSANSYS應用應用課程學習相關網(wǎng)站課程學習相關網(wǎng)站2022-4-244有限元方法與有限元方法與ANSYSANSYS應用應用課程學習相關網(wǎng)站課程學習相關網(wǎng)站2022-4-245有限元方法與有限元方法與ANSYSANSYS應用應用課程學習相關網(wǎng)站課程學習相關網(wǎng)站2022-4-246有限元方法與有限元方法與ANSYSANSYS應用應用課程學習相關網(wǎng)站課程學習相關網(wǎng)站2022-4-247有限元方法與有限元方法與ANSYSANS

2、YS應用應用課程學習相關網(wǎng)站課程學習相關網(wǎng)站2022-4-248有限元方法與有限元方法與ANSYSANSYS應用應用課程學習相關網(wǎng)站課程學習相關網(wǎng)站2022-4-249有限元方法與有限元方法與ANSYSANSYS應用應用十大論壇學習十大論壇學習ANSYS 1 1、安世亞太、安世亞太 http:/http:/ 2 2、仿真論壇、仿真論壇 http:/http:/ 3 3、中國、中國CAECAE聯(lián)盟聯(lián)盟 http:/http:/ 4 4、傲雪論壇、傲雪論壇 5 5、仿真在線、仿真在線 http:/www.simu-htt

3、p:/www.simu- 2022-4-2410有限元方法與有限元方法與ANSYSANSYS應用應用十大論壇學習十大論壇學習ANSYS 6、中國機械、中國機械CAD論壇論壇 http:/ 7、開思網(wǎng)、開思網(wǎng) http:/ 8、http:/www.e- 9、振動聯(lián)盟、振動聯(lián)盟 10、 2022-4-2411作業(yè)作業(yè): : 試總結三門課程解決問題試總結三門課程解決問題 的思路和步驟的思路和步驟, ,指出其異同指出其異同 點點.(3.(3千字千字) )作業(yè)電子文檔名稱：作業(yè)電子文檔名稱：姓名姓名學號學號遞交作業(yè)次數(shù)序號遞交作業(yè)次數(shù)序號2022-4-2412有限元法分析的基本理論與方法有限元法分析的基

4、本理論與方法相關課程的比較相關課程的比較2022-4-2413有限元法分析的基本理論與方法有限元法分析的基本理論與方法相關課程的比較相關課程的比較變形體變形體-物體內任意兩點之間的距離可發(fā)生物體內任意兩點之間的距離可發(fā)生 相對移動相對移動. .2022-4-2414有限元法分析的基本理論與方法有限元法分析的基本理論與方法相關課程的比較相關課程的比較材力：材力： 借助于直觀和實驗現(xiàn)象作一些假定，如平面假設借助于直觀和實驗現(xiàn)象作一些假定，如平面假設等，然后由靜力學、幾何關系、物理方程三方面進行等，然后由靜力學、幾何關系、物理方程三方面進行分析。分析。彈力：彈力： 僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三

5、方面分析，僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分假定放棄了材力中的大部分假定。2022-4-2415有限元法分析的基本理論與方法有限元法分析的基本理論與方法相關課程的比較相關課程的比較材力材力: : 常微分方程（常微分方程（4 4階，一個變量）階，一個變量）彈力彈力: 偏微分方程（高階，二、三個變偏微分方程（高階，二、三個變量）。量）。數(shù)值解法數(shù)值解法：能量法（變分法）、差分法、：能量法（變分法）、差分法、有限單元法等。有限單元法等。2022-4-2416附：附： 工程力學問題的建模分析過程工程力學問題的建模分析過程2022-4-2417 在建立數(shù)學模型的過程中，通常

6、要注意分清問題的性質進行簡化：線性化 對高階小量進行處理，能進行線性化的，進行線性化。 模型建立以后，對計算的結果進行分析整理，返回實際問題進行驗證，一般通過實驗驗證：直接實驗驗證 直接實驗比較簡單時可以直接進行，但有時十分困難。相似模型實驗 相似實驗的模型一般應與實際問題的邊界條件和形態(tài)是幾何相似的。2022-4-2418 工程力學問題建立力學模型的過程中，一般作三方面進行簡化：結構簡化 如空間問題向平面問題的簡化，向軸對稱問題的簡化，實體結構向板、殼結構的簡化。受力簡化 如：根據(jù)圣維南原理，復雜力系簡化為等效力系等。材料簡化根據(jù)各向同性、連續(xù)、均勻等假設進行簡化。2022-4-241920

7、22-4-2420對稱性的利用對稱性的利用2022-4-24212022-4-2422 圣維南原理圣維南原理問題的提出：問題的提出：PPP 求解彈性力學問題時，使應力分量、求解彈性力學問題時，使應力分量、形變分量、位移分量完全滿足形變分量、位移分量完全滿足8個基本個基本方程相對容易，但要使邊界條件完全滿方程相對容易，但要使邊界條件完全滿足，往往很困難。足，往往很困難。 如圖所示，其力的作用點處的邊界如圖所示，其力的作用點處的邊界條件無法列寫。條件無法列寫。1. 靜力等效的概念靜力等效的概念 兩個力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個力系為兩個力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個力系為靜力等效

8、力系靜力等效力系。)(iOOFmMiFR 這種這種等效等效只是從平衡的觀點而言的，對剛體來而言完全正只是從平衡的觀點而言的，對剛體來而言完全正確，但對變形體而言一般是不等效的。確，但對變形體而言一般是不等效的。2022-4-24232.圣維南原理圣維南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物體的若把物體的一小部分邊界上的面力一小部分邊界上的面力，變換為分布，變換為分布不同但不同但靜力等效的面力靜力等效的面力，則，則近處近處的應力分布將有的應力分布將有顯著改變，而顯著改變，而遠處遠處所受的影響可忽略不計所受的影響可忽略不計。PPPP/2P/2APAPAP2022-4

9、-24243.圣維南原理的應用圣維南原理的應用(1) 對對復雜的力邊界復雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。，用靜力等效的分布面力代替。(2) 有些有些位移邊界位移邊界不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項：注意事項：(1) 必須滿足必須滿足靜力等效靜力等效條件；條件；(2) 只能在只能在次要邊界上次要邊界上用圣維南原理，在用圣維南原理，在主要邊界主要邊界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要邊界主要邊界PAP次要邊界次要邊界2022-4-24252022-4-2426工程問題的復雜性是諸多方面因素組成的。工程問題的復雜性是諸多方面因素

10、組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復雜，如果不分主次考慮所有因素，則問題的復雜，數(shù)學推導的困難，將使得問題無法求解。數(shù)學推導的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質，忽略部分暫時不必考慮的因根據(jù)問題性質，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設。使問題的研究限定在素，提出一些基本假設。使問題的研究限定在一個可行的范圍。一個可行的范圍?；炯僭O是學科的研究基礎?；炯僭O是學科的研究基礎。 材料簡化材料簡化 彈性力學基本假設彈性力學基本假設2022-4-2427工程材料通常可以分為工程材料通?？梢苑譃榫w晶體和和非晶體非晶體兩種。兩種。金屬材料金屬材料晶體材料，是由許多原子，離子晶體材

11、料，是由許多原子，離子按一定規(guī)則排列起來的空間格子構成，其中間按一定規(guī)則排列起來的空間格子構成，其中間經(jīng)常會有缺陷存在。經(jīng)常會有缺陷存在。高分子材料高分子材料非晶體材料，由許多分子的集非晶體材料，由許多分子的集合組成的分子化合物。合組成的分子化合物。工程材料內部的缺陷、夾雜和孔洞等構成了固工程材料內部的缺陷、夾雜和孔洞等構成了固體材料微觀結構的復雜性。體材料微觀結構的復雜性。1.2 基本假設基本假設22022-4-2428彈性力學的基本假設，主要包括連續(xù)性假設、輔助性假設。彈性體的連續(xù)性假設之外，均勻性、各向同性、完全彈性和小變形假設為輔助性假設。 這些基本假設被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行

12、的。附加假設：應用上的簡化假設1.2 基本假設基本假設32022-4-24291. 1. 連續(xù)性假設連續(xù)性假設 假設所研究的整個彈性體內部完全由組成假設所研究的整個彈性體內部完全由組成物體的介質所充滿，各個質點之間不存在任何物體的介質所充滿，各個質點之間不存在任何空隙。空隙。變形后仍然保持連續(xù)性，不出現(xiàn)開裂和重變形后仍然保持連續(xù)性，不出現(xiàn)開裂和重疊。疊。 根據(jù)這一假設，物體所有物理量，例如位根據(jù)這一假設，物體所有物理量，例如位移、應變和應力等均為空間坐標的連續(xù)函數(shù)。移、應變和應力等均為空間坐標的連續(xù)函數(shù)。2022-4-24301. 連續(xù)性假定連續(xù)性假定 該假定在研究物體的該假定在研究物體的宏觀

13、力學特性宏觀力學特性時，時，與工程實際吻合較好；研究物體的與工程實際吻合較好；研究物體的微觀力學微觀力學性質性質時不適用。時不適用。使得使得、u 等量表示成坐標的連續(xù)函數(shù)。等量表示成坐標的連續(xù)函數(shù)。),(zyx),(zyxuu ),(zyxxx保證保證ssQslim0中極限的存在。中極限的存在。2022-4-24312. 2. 均勻性假設均勻性假設 假設彈性物體是由同一類型的均勻材料假設彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質都是組成的。因此物體各個部分的物理性質都是相同的，不隨坐標位置的變化而改變。相同的，不隨坐標位置的變化而改變。物體的彈性性質處處都是相同的。物體的

14、彈性性質處處都是相同的。工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的的幾何形狀，并且在物體內部均勻分布，從的幾何形狀，并且在物體內部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。彈性常數(shù)（彈性常數(shù)（E、）不隨位置坐標而變化；不隨位置坐標而變化；取微元體分析的結果可應用于整個物體。取微元體分析的結果可應用于整個物體。2022-4-24323. 3. 各向同性假設各向同性假設 假定物體在各個不同的方向上具有相同假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質，這就是說物體的彈性常數(shù)將不的物理性質，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標方向的改

15、變而變化。隨坐標方向的改變而變化。 宏觀假設，材料性能是顯示各向同性。宏觀假設，材料性能是顯示各向同性。如金屬材料如金屬材料. .當然，像木材，竹子以及纖維增強材料等，當然，像木材，竹子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料。這些材料的研究屬于復屬于各向異性材料。這些材料的研究屬于復合材料力學研究的對象。合材料力學研究的對象。彈性常數(shù)（彈性常數(shù)（E、）不隨坐標方向而變化；不隨坐標方向而變化；2022-4-2433 材料的均勻性假設與各向同性假設的區(qū)別 均勻性和各向同性是完全不同的性質，不均勻性和各向同性是完全不同的性質，不應混淆。如用矢量的長短來表示材料某力學性應混淆。如用矢量的長短來表示材料某

16、力學性能的強弱，則圖能的強弱，則圖a a表示均勻而非各向同性的材表示均勻而非各向同性的材料；圖料；圖b b表示各向同性而非均勻的材料；圖表示各向同性而非均勻的材料；圖c c表表示均勻且各向同性的材料。示均勻且各向同性的材料。(a)(b)(c)2022-4-24344. 4. 完全彈性假設完全彈性假設 對應一定的溫度，如果對應一定的溫度，如果應力和應變之應力和應變之間存在一一對應關系間存在一一對應關系，而且這個關系和時，而且這個關系和時間無關，也和變形歷史無關，稱為完全彈間無關，也和變形歷史無關，稱為完全彈性材料。性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學

17、研究限于線性的應力與應變關系。學研究限于線性的應力與應變關系。2022-4-24354. 線彈性假定線彈性假定 假定物體完全服從虎克（假定物體完全服從虎克（Hooke）定律，）定律，應力與應變間應力與應變間成線性比例關系成線性比例關系（正負號變化也相同）。（正負號變化也相同）。比例常數(shù)比例常數(shù) 彈性常數(shù)（彈性常數(shù)（E、）脆性材料脆性材料 一直到破壞前，都可近似為線彈性的；一直到破壞前，都可近似為線彈性的；塑性材料塑性材料 比例階段，可視為線彈性的。比例階段，可視為線彈性的。作用：作用： 可使求解方程線性化可使求解方程線性化 符合上述符合上述4 4個假定個假定的物體，稱為的物體，稱為理想理想彈性

18、體彈性體。2022-4-24365. 5. 小變形假設小變形假設 假設在外力或者其他外界因素（如溫度等）假設在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。比屬于高階小量。即物體受力后物體內各點位即物體受力后物體內各點位移遠遠小物體的原來的尺寸。移遠遠小物體的原來的尺寸。在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化。形所引起的尺寸變化。可用變形前的尺寸代替變形后可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。的尺寸。建立方程時，可略去位移、應變和應力等分量的建立方程時，

19、可略去位移、應變和應力等分量的高階小量，使基本方程成為高階小量，使基本方程成為線性的線性的偏微分方程組。偏微分方程組。 1, 12022-4-2437假設物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素假設物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內部沒有應力。作用之前，物體內部沒有應力。彈性力學求解的應力僅僅是荷載或溫度變化彈性力學求解的應力僅僅是荷載或溫度變化而產生的。而產生的。若存在初應力，理論求得的應力應疊加初應若存在初應力，理論求得的應力應疊加初應力才是實際應力。力才是實際應力。6. 6. 無初始應力的附加假設無初始應力的附加假設 2022-4-2438扭轉問題的附加假設扭轉問題的附加假設柱體扭轉柱

20、體扭轉橫截面翹曲翹曲自由扭轉翹曲不受限制-等翹曲剛性轉動假設約束扭轉翹曲受到限制-軸向力彈性力學討論自由扭轉自由扭轉2022-4-2439要點要點 逆解法、半逆解法逆解法、半逆解法2022-4-2440彈性力學的基本方法與思路彈性力學的基本方法與思路2022-4-2441彈性力學的基本方法與思路彈性力學的基本方法與思路2022-4-2442 多項式解法多項式解法適用性：適用性：由一些直線邊界構成的彈性體。由一些直線邊界構成的彈性體。目的：目的： 考察一些簡單多項式函數(shù)作為應力函數(shù)考察一些簡單多項式函數(shù)作為應力函數(shù)(x,y) ，能解決什么樣的，能解決什么樣的力學問題。力學問題。逆解法逆解法cby

21、axyx),(其中：其中： a、b、c 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調和方程：是否滿足雙調和方程：0244224444yyxx顯然顯然(x,y) 滿足雙調和方程，因而可作為應力函數(shù)。滿足雙調和方程，因而可作為應力函數(shù)。（1）1. 一次多項式一次多項式（2）（3）對應的應力分量：對應的應力分量：02yxxyXxyx22XxXx 0YyYy 0Yyxy22若體力：若體力：X = Y =0，則有：，則有：0 xyyx2022-4-2443結論結論1：（1）（2）一次多項式對應于一次多項式對應于無體力和無應力狀態(tài)；無體力和無應力狀態(tài)；在該函數(shù)在該函數(shù)(x,y)上加上或減去一個

22、一次多項式，對應力無影響。上加上或減去一個一次多項式，對應力無影響。2. 二次多項式二次多項式（1）22cybxyax其中：其中： a、b、c 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。(假定：假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0)檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調和方程，顯然有是否滿足雙調和方程，顯然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作為應力函數(shù)可作為應力函數(shù) )（3）由式（由式（2-26）計算應力分量：）計算應力分量：byxxy2cyx222axy222xy2c2c2a2abxy結論結論2：二次多項式對應于二次多項式對應于均勻應力分布。均勻應力分布。xy0202y2022

23、-4-2444xy0試求圖示板的應力函數(shù)。試求圖示板的應力函數(shù)。例：例：xy00 xyyx0),(202),(yyx3. 三次多項式三次多項式（1）3223dycxyybxax其中其中: a、b、c 、d 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調和方程，顯然有是否滿足雙調和方程，顯然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作為應力函數(shù)可作為應力函數(shù) )(假定：假定：X =Y = 0)（3）由式（由式（2-26）計算應力分量：）計算應力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy6222結論結論3：三次多項式對應于三次多項式對應于線性應力分布。線性應力

24、分布。2022-4-2445討論：討論：,3dy取)0(YX可算得：可算得：0 xydyx60yxy12h2hll圖示梁對應的邊界條件：圖示梁對應的邊界條件：:2hy0, 0 xyy: lx0,6xyxdydh3mindh3maxMM3dy可見：可見： 對應于矩形截面梁的對應于矩形截面梁的純彎曲問題純彎曲問題應力分布。應力分布。常數(shù)常數(shù) d 與彎矩與彎矩 M 的關系：的關系：220hhxdy(1)由梁端部的邊界條件：由梁端部的邊界條件：0622hhdydy(2)Mdyyhhx222226hhMdydyMhd32)2(3hMd 或yIMxyhMx312yhMx)12/(3可見：可見：此結果與材力

25、中結果相同，此結果與材力中結果相同，說明材力中純彎曲梁的應力結果是正確的。說明材力中純彎曲梁的應力結果是正確的。2022-4-24460 xydyx60yxy12h2hllMMyIMxdh3mindh3max說明：說明：(1)組成梁端力偶組成梁端力偶 M 的面力的面力須線性須線性分布分布，且中心處為零，結果才，且中心處為零，結果才是是精確的精確的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：則此結果不精確，有誤差；則此結果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠處誤差較小。大，離端部較遠處誤差較小。(3)當當 l 遠大于遠大于 h 時，誤

26、差較?。环粗`差較大。時，誤差較?。环粗`差較大。4. 四次多項式四次多項式（1）432234eydxyycxybxax檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調和方程是否滿足雙調和方程（2）42228cxyax2444ey2444代入：代入：04得得033eca024824eca2022-4-2447432234eydxyycxybxax可見，對于函數(shù)：可見，對于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關系才能作為應函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關系才能作為應函數(shù)：033eca（3）應力分量：應力分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262axbxycy 應力分量為

27、應力分量為 x、y 的二次函數(shù)。的二次函數(shù)。（4）特例：特例：44eyax 212eyx0 xy212axy（須滿足：（須滿足：a + e =0）2022-4-2448總結：總結：（多項式應力函數(shù)（多項式應力函數(shù) 的性質）的性質） （1） 多項式次數(shù)多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足 。04多項式次數(shù)多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)時，則系數(shù)須滿足須滿足一定條件，才能滿足一定條件，才能滿足 。04多項式次數(shù)多項式次數(shù) n 越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2） 一次多項式，對應于一次多項式，對應于無體力和無應力狀態(tài)

28、；無體力和無應力狀態(tài)；任意應力函數(shù)任意應力函數(shù)(x,y)上加上上加上或減去一個或減去一個一次多項式一次多項式，對應力無影響。，對應力無影響。二次多項式二次多項式，對應，對應均勻應力均勻應力狀態(tài)，即全部應力為常量；狀態(tài)，即全部應力為常量；三次多項式三次多項式，對應于對應于線性分布應力線性分布應力。（3） 2022-4-2449（4） 用多項式構造應力函數(shù)用多項式構造應力函數(shù)(x,y) 的方法的方法 逆解法（只能解決簡單逆解法（只能解決簡單直直線應力邊界線應力邊界問題）。問題）。按應力求解平面問題，其基本未知量為：按應力求解平面問題，其基本未知量為： ，本節(jié)說明，本節(jié)說明如何由如何由 求出形變分量

29、、位移分量？求出形變分量、位移分量？xyyx,xyyx,問題：問題：2022-4-2450以純彎曲梁為例，說明如何由以純彎曲梁為例，說明如何由 求出形變分量、位移分量求出形變分量、位移分量？xyyx,xyl1hMM1. 形變分量與位移分量形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應力分量為：由前節(jié)可知，其應力分量為：12/3hMyyIMx0 xy0y平面應力情況下的物理方程：平面應力情況下的物理方程：（1）形變分量）形變分量)(1xyyE)(1yxxEGxyxy(a)將式（將式（a）代入得：）代入得：IMyEyIMyEx10 xy(b)（2）位移分量）位移分量將式（將式（b）代入幾何方程得：）代入幾何方

30、程得：0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)2022-4-2451（2）位移分量）位移分量0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)將式（將式（c）前兩式積分，得：）前兩式積分，得：)(222xfyEIMv)(1yfxyEIMu(d)將式將式 (d) 代入代入 (c) 中第三式，得：中第三式，得：)(),(21xfyf式中：式中：為待定函數(shù)。為待定函數(shù)。)()(12yfxfxEIM整理得：整理得：0)()(21xfyfxEIM（僅為（僅為 x 的函數(shù)）的函數(shù)） （僅為（僅為 y 的函數(shù)）的函數(shù)）要使上式成立，須有要使上式成立，須有)(2xfxEIM)(1yf(e)式中：

31、式中：為常數(shù)。為常數(shù)。積分上式，得積分上式，得01)(uyyf022)(vxxEIMxf將上式代入式（將上式代入式（d），得），得0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)2022-4-2452（1）(f)討論：討論：式中：式中：u0、v0、 由位移邊界條件確定。由位移邊界條件確定。常數(shù)00 xEIMyuxx當當 x = x0 =常數(shù)常數(shù)xEIMyu（2）位移分量）位移分量0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMvxyl1hMM u 關于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉角。關于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉角。常數(shù)00 xEIMyuxxyu0|xx說明：說明：

32、同一截面上的各鉛垂同一截面上的各鉛垂線段轉角相同線段轉角相同。橫截面保持平面橫截面保持平面 材力中材力中“平面保持平面平面保持平面”的假設成立的假設成立。2022-4-2453（2）常數(shù)EIMxv22102222vxxEIMyEIMv將下式中的第二式對將下式中的第二式對 x 求二階導數(shù)：求二階導數(shù)：0uyxyEIMu說明：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即率相同。即EIMxv221 材料力學中撓曲線微分方程材料力學中撓曲線微分方程2022-4-24542. 位移邊界條件的利用位移邊界條件的利用（1）兩端簡支）兩端簡支02222vxxEIMyEIMv0uyx

33、yEIMu(f)其邊界條件：其邊界條件：000yxu000yxv將其代入將其代入(f)式，有式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2將其代回將其代回(f)式，有式，有ylxEIMu)2( 22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的撓曲線方程：梁的撓曲線方程：xxlEIMvy)(20 與材力中結果相同與材力中結果相同00ylxv2022-4-2455（2）懸臂梁）懸臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)邊界條件邊界條件0lxv0lxu22hyhh/2h/2由式（由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：邊界條件改寫為：0,

34、000ylxylxvu（中點不動）（中點不動）00ylxxv（軸線在端部不轉動）（軸線在端部不轉動）代入式（代入式（f），有），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv2022-4-2456yxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv(3-4)h/2h/2撓曲線方程：撓曲線方程：20)(2|xlEIMvy與材料力學中結果相同與材料力學中結果相同說明：說明： （1）求位移的過程：求位移的過程：（a）將應力分量代入物理方程）將應力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再將應

35、變分量代入幾何方程）再將應變分量代入幾何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。2022-4-2457（2）若為平面應變問題，則將材料常數(shù)若為平面應變問題，則將材料常數(shù)E、作相應替換。作相應替換。（3）若取固定端邊界條件為：若取固定端邊界條件為：h/2h/20, 000ylxylxvu（中點不動）（中點不動）00ylxyu（中點處豎向線段轉角為零）（中點處豎向線段轉角為零）00u得到：得到：0202vlEIMl0EIMl02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu求得：求得：00uEIMlv220EIMl此結果與前面情形相同。此結果

36、與前面情形相同。（為什么？為什么？）2022-4-2458（1）024422444yyxx(2-27)（2）xyyx,然后將然后將 代入式（代入式（2-26）求出應力分量：）求出應力分量：),(yx先由方程（先由方程（2-27）求出應力函數(shù)：）求出應力函數(shù)：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)（3）再讓再讓 滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。xyyx,04按應力求解平面問題的基本步驟：按應力求解平面問題的基本步驟：按應力求解平面問題的方法：按應力求解平面問題的方法：逆逆解解法法（1）根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件（幾何

37、形狀、受力特點、邊界條件等），（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設各種滿足相容方程（假設各種滿足相容方程（2-27）的）的(x,y) 的形式；的形式；（2）然后利用應力分量計算式（然后利用應力分量計算式（2-26），求出），求出 （具有待（具有待定系數(shù)）；定系數(shù)）；xyyx,（3）再利用應力邊界條件式（再利用應力邊界條件式（2-18），來考察這些應力函數(shù)），來考察這些應力函數(shù)(x,y) 對對應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù)應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù)(x,y) 可以求可以求解什么問題。解什么問題。2022-4-2459（1）根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件（幾何形狀

38、、受力特點、邊界條件等），（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設部分應力分量假設部分應力分量 的某種函數(shù)形式的某種函數(shù)形式 ；xyyx,（2）根據(jù)根據(jù) 與應力函數(shù)與應力函數(shù)(x,y)的關系及的關系及 ，求，求出出(x,y) 的形式；的形式；xyyx,04（3）最后利用式（最后利用式（2-26）計算出）計算出 并讓其滿足邊界條件和并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。位移單值條件。xyyx, 半逆解法的數(shù)學基礎：半逆解法的數(shù)學基礎：數(shù)理方程中分離變量法數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：（1）將已求得的應力分量將已求得的應力分量（2）（3）xyyx,代入物理方程，求得

39、應變分量代入物理方程，求得應變分量xyyx,將應變分量將應變分量xyyx,代入幾何方程，并積分求得位移分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達式；表達式；由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結果。由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結果。2022-4-2460 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷要點要點 用用半逆解法半逆解法求解梁、長板類平面問題。求解梁、長板類平面問題。xyllqlql1yzh/2h/2q1. 應力函數(shù)的確定應力函數(shù)的確定(1) 分析：分析：y 主要由彎矩引起；主要由彎矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起（擠壓應力）。引起（擠壓應力）。又又 q =

40、常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，不隨不隨 x 變化。變化。y推得：推得：)(yfy(2)由應力分量表達式確定應力函數(shù)由應力分量表達式確定應力函數(shù) 的形式：的形式：),(yx)(22yfxy積分得：積分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函數(shù)任意的待定函數(shù)2022-4-2461xyllqlql1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函數(shù)任意的待定函數(shù)(3) 由由 確定：確定：04)(),(),(21yf

41、yfyf)(22)2(224yfyx044x)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxy代入相容方程：代入相容方程：444224442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx2022-4-24620)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfxxyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點：方程的特點：關于關于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 內方程均成立。內方程均成立。由由“高等代數(shù)高等代數(shù)”理論，須有理論，須有x 的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：

42、0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf對前兩個方程積分：對前兩個方程積分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)此處略去了此處略去了f1(y)中的常數(shù)項中的常數(shù)項對第三個方程得：對第三個方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412積分得：積分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)2022-4-2463GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)xyllqlql1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)將將(c) (d) 代

43、入代入 (b) ，有，有)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)此處略去了此處略去了f2(y)中的一次項和常數(shù)項中的一次項和常數(shù)項式中含有式中含有9個待定常數(shù)。個待定常數(shù)。2022-4-2464)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)2. 應力分量的確定應力分量的確定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)2022-4-24653. 對稱條件與邊界條件的應用對稱條件與邊界

44、條件的應用（1）對稱條件的應用：）對稱條件的應用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 對稱、幾何對稱：對稱、幾何對稱：yx, x 的偶函數(shù)的偶函數(shù)xy x 的奇函數(shù)的奇函數(shù)由此得：由此得：026 FEy0232GFyEy要使上式對任意的要使上式對任意的 y 成立，須有：成立，須有：0GFE2022-4-2466xyllqlql1yzh/2h/2qKHyByAyBAyxx2622)26(2232DCyByAyy23)23(2CByAyxxy（2）邊界條件的應用：）邊界條件的應用：(a) 上下邊界（主要邊界）：上下邊界（主要邊界）：; 0,2xyhy;,2qhyy; 0,2yhy0248

45、23DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhA由此解得：由此解得：,23hqA, 0B2qDhqC23代入應力公式代入應力公式2022-4-2467xyllqlql1yzh/2h/2qKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )(b) 左右邊界（次要邊界）：左右邊界（次要邊界）：（由于對稱，只考慮右邊界即可。）（由于對稱，只考慮右邊界即可。）, lx 未知22hyhlxxy022hyhlxx 難以滿足，需借助于圣維南原理。難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：靜力等效條件：軸

46、力軸力 N = 0；彎矩彎矩 M = 0；剪力剪力 Q = ql；qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxx2022-4-2468KHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhq332632232hyql yqlyqlhh 0)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223可見，這一條件自動滿足?？梢姡@一條件自動滿足。qldyQhhlxxy22022dyN

47、hhlxx022dyyMhhlxx2022-4-2469xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)截面上的應力分布：截面上的應力分布：xyxy)()(103)(3222qxlhq三次拋物線三次拋物線q22112hyhyqy22346yhxhqxy2022-4-2470 xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)22112hyhyqy22346yhxhqxy4. 與材料力學結果比較與材料力學結果比較材力中幾個參數(shù)材力中幾個參數(shù)：截面寬：截面寬：b=1 ,3121hI截面慣矩：截面慣矩：靜矩：靜矩：28

48、22yhS彎矩：彎矩：)(222xlqM剪力：剪力：qxQ將其代入式將其代入式 ( p ) ，有，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy（3-6）2022-4-2471xyllqlql1yzh/2h/2q53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy（3-6）比較，得：比較，得：（1）xxy第一項與材力結果相同，為主要項。第一項與材力結果相同，為主要項。第二項為修正項。當?shù)诙棡樾拚棥．?h / l1，該，該項誤差很小，可略；當項誤差很小，可略；當 h / l較大時，較大時，須修正。須修正。（2）y為梁各層纖維間的擠壓應力，材力為梁各層纖維間的擠壓應

49、力，材力中不考慮。中不考慮。（3）與材力中相同。與材力中相同。注意：注意：按式（按式（3-6），梁的左右），梁的左右邊界存在水平面力：邊界存在水平面力：lxxX53422hyhyq說明式（說明式（3-6）在兩端不）在兩端不適用。適用。2022-4-2472解題步驟小結：解題步驟小結：（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計律、對稱性等），估計某個應力分量某個應力分量（ ）的變化形）的變化形式。式。xyyx,由由 與應力函數(shù)與應力函數(shù) 的關系式（的關系式（2-26），求得應），求得應力函

50、數(shù)力函數(shù) 的具體形式（具有待定函數(shù)）。的具體形式（具有待定函數(shù)）。xyyx,),(yx),(yx（4）（5）將具有待定函數(shù)的應力函數(shù)將具有待定函數(shù)的應力函數(shù) 代入相容方程：代入相容方程： 確確定定 中的待定函數(shù)形式。中的待定函數(shù)形式。),(yx04),(yx由由 與應力函數(shù)與應力函數(shù) 的關系式（的關系式（2-26），求得應），求得應力分量力分量 。xyyx,),(yxxyyx,由邊界條件確定由邊界條件確定 中的待定常數(shù)。中的待定常數(shù)。xyyx,用半逆解法求解用半逆解法求解梁、矩形長板梁、矩形長板類彈性力學平面問題的類彈性力學平面問題的基本步驟基本步驟：2022-4-2473應力函數(shù)法求解平面問

51、題的基本步驟：應力函數(shù)法求解平面問題的基本步驟：（1）024422444yyxx(2-27)（2）xyyx,然后將然后將 代入式（代入式（2-26）求出應力分量：）求出應力分量：),(yx先由方程（先由方程（2-27）求出應力函數(shù)：）求出應力函數(shù)：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)（3）再讓再讓 滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。xyyx,04求解方法：求解方法：逆逆解解法法（1）根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設各種滿足相容方程（假設各種滿足相

52、容方程（2-27）的）的(x,y) 的形式；的形式；（2）然后利用應力分量計算式（然后利用應力分量計算式（2-26），求出），求出 （具有待（具有待定系數(shù)）；定系數(shù)）；xyyx,（3）再利用應力邊界條件式（再利用應力邊界條件式（2-18），來考察這些應力函數(shù)），來考察這些應力函數(shù)(x,y) 對對應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù)應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù)(x,y) 可以求可以求解什么問題。解什么問題。2022-4-2474 半逆解法的數(shù)學基礎：半逆解法的數(shù)學基礎：數(shù)理方程中分離變量法數(shù)理方程中分離變量法。（1）根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條

53、件等），（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設部分應力分量假設部分應力分量 的某種函數(shù)形式的某種函數(shù)形式 ；xyyx,（2）根據(jù)根據(jù) 與應力函數(shù)與應力函數(shù)(x,y)的關系及的關系及 ，求，求出出(x,y) 的形式；的形式；xyyx,04（3）最后利用式（最后利用式（2-26）計算出）計算出 并讓其滿足邊界條件和并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。位移單值條件。xyyx,半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：（1）將已求得的應力分量將已求得的應力分量（2）（3）xyyx,代入物理方程，求得應變分量代入物理方程，求得應變分量xyyx,將應變分量將應變分量xyyx,代入幾何方程，并積分求得位移

54、分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達式；表達式；由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結果。由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結果。2022-4-24751. 應力函數(shù)的確定應力函數(shù)的確定(1) 分析：分析：y 主要由彎矩引起；主要由彎矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起（擠壓應力）。引起（擠壓應力）。又又 q =常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，不隨不隨 x 變化。變化。y推得：推得：)(yfy(2)由應力分量表達式確定應力函數(shù)由應力分量表達式確定應力函數(shù) 的形式：的形式：),(yx)(22yfxy積分得：積分得：)()(1yfyxfx

55、)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函數(shù)任意的待定函數(shù)簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷xyllqlql1yzh/2h/2q2022-4-2476)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)442244442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yfxyllqlql1yzh/2h/2q2022-4-24772. 應力分量的確定應力分量的確定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26(

56、)26(223222xyyxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)DCyByAy233. 由邊界條件確定待定常數(shù)由邊界條件確定待定常數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q2022-4-2478附：附：應力函數(shù)確定的應力函數(shù)確定的“材料力學方法材料力學方法”要點：要點：利用材料力學中應力與梁內力的關系，假設某個利用材料力學中應力與梁內力的關系，假設某個應力分量的函數(shù)形式。應力分量的函數(shù)形式。適用性：適用性：直梁、長板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中直梁、長板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。力、桿端集中力偶等。應力函數(shù)?？杀硎緸椋簯瘮?shù)?？杀硎緸椋?()(

57、),(ygxfyx設法由邊界面力先確定設法由邊界面力先確定 其中之一，然后將其其中之一，然后將其代入代入 確定另外一個函數(shù)。確定另外一個函數(shù)。)()(ygxf或04材力中，應力分量與梁內力的關系為：材力中，應力分量與梁內力的關系為：)()(2yfxQxy)()(1yfxMx式中：式中： M(x) 彎矩方程；彎矩方程；Q(x) 剪力方程。剪力方程。2022-4-2479當有橫向分布力當有橫向分布力q(x)作用時，縱向纖維間存在擠壓應力作用時，縱向纖維間存在擠壓應力 ，y同時，橫向分布力同時，橫向分布力q(x)的擠壓作用時，對軸向應力的擠壓作用時，對軸向應力 也也產生影響。產生影響。x應力分量與梁

58、內力的關系可表示為：應力分量與梁內力的關系可表示為：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy)()(4yfxQxy考慮擠壓應力影響導致考慮擠壓應力影響導致然后由：然后由：xyxy222xy22yx04確定應力函數(shù)確定應力函數(shù) 的具體形式。的具體形式。2022-4-2480例：例：懸臂梁，厚度為單位懸臂梁，厚度為單位1，=常數(shù)。求：常數(shù)。求：應力函數(shù)應力函數(shù) 及梁內應力。及梁內應力。xyObl解：解：(1) 應力函數(shù)的確定應力函數(shù)的確定xQM取任意截面，其內力如圖：取任意截面，其內力如圖：bxQ)(0)()()(xlbbxlxM取取 作為分析對象，可假設：作為分析對象，可假設：

59、xy)()()(ybfyfxQxy（a） f(y)為待定函數(shù)為待定函數(shù)xy由由 與應力函數(shù)與應力函數(shù) 的關系，有：的關系，有：)(2ybfyx（b）對對 x 積分一次，有：積分一次，有：對對 y 再積分一次，有：再積分一次，有：)()()(321xfyfybxf)()(0yfybxfy其中：其中：dyyfyf)()(02dyyfyf)()(1（c）2022-4-2481xyOblxQM)()()(321xfyfybxf（c）04由由 確定待定函數(shù)：確定待定函數(shù)：024422444yyxx0)()()()4(3)4(2)4(1xfyfybxf（d）要使上式對任意的要使上式對任意的x，y成立，有成

60、立，有0)()()4(3)4(2xfyf0)()4(1yf（e）（f）由式（由式（ e）求得）求得CyByAyyf231)(（g）由式（由式（ f）得）得)()4(3xf)()4(2yf（h）（i）積分式（積分式（ h）和（）和（i）得）得2232423)(xCxBxAxf2131412)(yCyByAyf（j）（k）2022-4-2482xyOblxQM)(223242xCxBxA)(23CyByAybx)(213141yCyByA( l )包含包含9個待定常數(shù)，由邊界條件確定。個待定常數(shù)，由邊界條件確定。(2) 應力分量的確定應力分量的確定1121222612)26(CyByABAybxy