求數(shù)列通項及求和歸納總結(jié)

1、2. 知知 求求 1. 數(shù)列前幾數(shù)列前幾項項, ,寫出數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的通項公式觀察法觀察法 nanS11(1)(2)nnnSnaSSn思路：化為純an關(guān)系或純sn 關(guān)系注意：優(yōu)先考慮n=1的情況求數(shù)列的通項公式題型分析求數(shù)列的通項公式題型分析3. 知相鄰兩項的遞推關(guān)系求通項知相鄰兩項的遞推關(guān)系求通項)(1nfaann（1）)(1nfaann（2）) 0)(, 1()(1nfAnfAaann（3）疊乘疊乘疊加思路：思路：整體代換轉(zhuǎn)為特殊數(shù)列整體代換轉(zhuǎn)為特殊數(shù)列，構(gòu)造成新的等比數(shù)列，構(gòu)造成新的等比數(shù)列an+1 +g（n）,其公比為其公比為A g（n）的求解方法）的求解方法 ：數(shù)列數(shù)列 g（

2、n）的類型與的類型與f（n）相同，在等式中，相同，在等式中，給給an+1和和an 分別加上與分別加上與g（n）第第n+1項、第項、第n項的表達(dá)式，展開求出參數(shù)項的表達(dá)式，展開求出參數(shù)例子：231nnaa)(31nnaannnaa231)2(3211nnnnaannnaa331特別的：特別的：313311nnnnaa313311nnnnaa若f（n）為等比數(shù)列，且公比與）為等比數(shù)列，且公比與A相等，則需除以相等，則需除以f（n），構(gòu)造成相鄰兩項的差），構(gòu)造成相鄰兩項的差（4）BAaaannn1分式結(jié)構(gòu)，取分式結(jié)構(gòu)，取倒數(shù)倒數(shù)化歸化歸rnnAaa1（5）高次結(jié)構(gòu)，取高次結(jié)構(gòu)，取對數(shù)對數(shù)化歸化歸)(

3、2nfaann（6）隔項關(guān)系，隔項關(guān)系，分分奇偶項討論奇偶項討論，化為相鄰項關(guān)系，化為相鄰項關(guān)系1231naann)( 3) 1(1qPnaqnPann以下結(jié)構(gòu)可轉(zhuǎn)變?yōu)榍?3型遞推關(guān)系).(1qpndcaannn（7）除以除以 ，整體代換，整體代換 ndCBdAaannn1方法：比照條件與可解類型的差異，方法：比照條件與可解類型的差異，an，an-1前為常數(shù)，且次數(shù)為前為常數(shù)，且次數(shù)為1，f（n）必須是特殊數(shù)列必須是特殊數(shù)列,運用各種運算及整體代換思想化歸運用各種運算及整體代換思想化歸nnnBaAaa12（8）構(gòu)造等比數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列 ，公比為，公比為y ，參數(shù)求法如下：，參數(shù)求法如下：nnn

4、BaAaa12)(112nnnnxaayxaa12nnxaa連續(xù)三項遞推關(guān)系連續(xù)三項遞推關(guān)系 BAaDCaannn1（9）分式結(jié)構(gòu)，取倒數(shù)后不可化歸為分式結(jié)構(gòu)，取倒數(shù)后不可化歸為13型問題型問題不動點法不動點法：（1）求出不動點）求出不動點a，構(gòu)造新數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列 )(1nnafa（2）構(gòu)造方法：構(gòu)造方法：化為標(biāo)準(zhǔn)式化為標(biāo)準(zhǔn)式 ，兩邊減去，兩邊減去a， 通分，取倒，分離常數(shù)，轉(zhuǎn)為通分，取倒，分離常數(shù)，轉(zhuǎn)為 ，相鄰項遞推關(guān)系，相鄰項遞推關(guān)系 aanaan4. 數(shù)學(xué)歸納法（先猜想后論證）數(shù)學(xué)歸納法（先猜想后論證）(2) (2) 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk k 時結(jié)論正確時結(jié)論正確, , 證明當(dāng)證明當(dāng)n

5、nk k1 1時結(jié)論也正確。時結(jié)論也正確。論證時，先分析以上兩個命題的關(guān)系，以便用上論證時，先分析以上兩個命題的關(guān)系，以便用上n nk k的假設(shè)結(jié)論。的假設(shè)結(jié)論。(1) (1) 證明當(dāng)證明當(dāng)n n取第一個值取第一個值n n = = n n0 0 時結(jié)論正確時結(jié)論正確; ;學(xué)會分析命題的結(jié)構(gòu)形式：學(xué)會分析命題的結(jié)構(gòu)形式：分析整體運算方式：分析整體運算方式：（1）各項是相加還是相乘）各項是相加還是相乘分析各項構(gòu)造規(guī)律：（分析各項構(gòu)造規(guī)律：（2）看頭、尾是常量還是變量）看頭、尾是常量還是變量 （ 3）相鄰項的差異，明確下一項如何產(chǎn)生）相鄰項的差異，明確下一項如何產(chǎn)生數(shù)列求和數(shù)列求和1 等差，等比數(shù)列

6、等差，等比數(shù)列公式法公式法2 anbn型，其中數(shù)列型，其中數(shù)列an，bn是等差或等比數(shù)列是等差或等比數(shù)列 分組求和法分組求和法3 anbn 型，其中型，其中an，bn分別是等差，等比數(shù)列分別是等差，等比數(shù)列錯位相減法錯位相減法步驟步驟：（：（1）列出）列出sn表達(dá)式，視為方程表達(dá)式，視為方程 （2） 乘上公比，為方程乘上公比，為方程 ，并用，并用 -得得 （3） 式中提出等比數(shù)列，并求和式中提出等比數(shù)列，并求和4. 通項可拆分為數(shù)列某兩項差的形式，且原通項通項可拆分為數(shù)列某兩項差的形式，且原通項常為分式型常為分式型 mnnaa1典型典型1：分式型：分式型 ，其中，其中an 為等差數(shù)列，為等差數(shù)

7、列，d為公差為公差通項可拆成等差數(shù)列通項可拆成等差數(shù)列an兩項倒數(shù)之差：兩項倒數(shù)之差：)11(11mnnmnnaamdaa裂項相消法：裂項相消法：先把通項拆成差形式，再列出和式，抵消相同項，先把通項拆成差形式，再列出和式，抵消相同項，剩下正數(shù)前剩下正數(shù)前m項，負(fù)數(shù)后項，負(fù)數(shù)后m項項 mnnnaab常見結(jié)構(gòu)：常見結(jié)構(gòu)：1) 1(1) 1()2(22nnan) 12)(12(1) 1 (nnan典型典型2：分式型：分式型 ，其中，其中an 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，d為公差為公差分析：通項可拆成數(shù)列分析：通項可拆成數(shù)列 兩項之差；兩項之差；mnnaa1)(1)(1mnnmnnmnnaamdaaaana例子例子: 22111111nnnnnannnn1223341111111111nnnnSn注：變形過程中用了注：變形過程中用了“分母有理化分母有理化”技巧技巧再舉一例：再舉