平面向量的基本概念及線性運(yùn)算-教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面向量的基本概念及線性運(yùn)算概述適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中一年級(jí)適用區(qū)域人教版區(qū)域課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）120知識(shí)點(diǎn)向量的有關(guān)概念向量的線性運(yùn)算平面向量共線定理教學(xué)目標(biāo)1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念、理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義教學(xué)重點(diǎn)理解平面向量的概念、理解兩個(gè)向量相等的含義；掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)向量共線的含義教學(xué)難點(diǎn)掌握向量加法、減法

2、的運(yùn)算，并理解其幾何意義.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)向量共線的含義【教學(xué)建議】一.易忽視零向量這一特殊向量二.準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決類題目的關(guān)鍵.(1.相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性.共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān).三.“向量”和“有向線段”是兩個(gè)不同的概念，向量只有兩個(gè)要素：大小、方向；而有向線段有三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.四. 進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)解.五.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使ba.要注意通常只有非

3、零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.六證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.【知識(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入考情展望1.在平面幾何圖形中考查向量運(yùn)算的平行四邊形法則及三角形法則.2.以四種命題及充分必要條件為知識(shí)載體，考查向量的有關(guān)概念.3.借助共線向量定理探求點(diǎn)線關(guān)系或求參數(shù)的值二、知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)1向量的有關(guān)概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)2零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的3單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共線向量規(guī)定

4、：0與任一向量平行5相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量6相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量知識(shí)點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba.(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0.(a)a；() aaa；(ab)ab拓展延伸 向量加減法運(yùn)算的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接，指向終點(diǎn)”，并可推廣為多個(gè)向量相加的“

5、多邊形法則”；減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”知識(shí)點(diǎn)3平面向量共線定理 向量b與a (a0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.巧用系數(shù)判共線(，R)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則1；反之，也成立三、例題精析例題1【題干】給出下列命題：零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的；若a，b都是單位向量，則ab；向量與相等.則所有正確命題的序號(hào)是()A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故錯(cuò)誤；向量與互為相反向量，故錯(cuò)誤.例題2【題干】在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD

6、的中點(diǎn)，則EB=A 34AB-14AC B 14AB-34AC C 34AB+14AC D 14AB+34AC【答案】A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得BE=12BA+12BC=12BA+12(BA+AC) =12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，所以EB=34AB-14AC，故選A.例題3【題干】如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn).若(，R)，則等于()A.1 B. C. D.【答案】B【解析】E為線段AO的中點(diǎn)，×，.例題4【題干】設(shè)平面向量a,b不共線，若ABa5b，BC2a8b，CD3(a-b)，則A A,B,D三點(diǎn)共線 B A

7、、B、C三點(diǎn)共線C B、C、D三點(diǎn)共線 D A、C、D三點(diǎn)共線【答案】A【解析】因?yàn)锳B= a +5b，BC= -2a +8b，CD= 3a-b，AD=AB+BC+CD=a+5b+-2a+8b+3a-b=22a+5b=2AB，AD與AB共線，即A,B,D三點(diǎn)共線，故選A.例題5【題干】如圖，G是OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線(1)設(shè)PG=PQ，將OG用，OP，OQ表示；(2)設(shè)OP=xOA，OQ=yOB，證明：1x+1y是定值【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】 (1)解()(1).(2)證明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB

8、的重心，× ().而，不共線，由，得解得3(定值)四 、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)1.設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于()A. B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】()()224.2. 設(shè)向量e1,e2不共線，向量e1+2e2與e1+4e2平行，則實(shí)數(shù)=_【答案】12【解析】e1+2e2與e1+4e2平行，e1,e2向量不共線，存在實(shí)數(shù)k使得e1+2e2=k（e1+4e2）=ke1+4ke2，=k2=4k=12.故答案為：123.在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則()A. B.C. D.【答案】A【解析】E是AD的中點(diǎn)，又

9、知D是BC的中點(diǎn)，()，因此().鞏固1.如圖所示，已知3，a，b，c，則下列等式中成立的是()A.cbaB.c2baC.c2abD.cab【答案】A【解析】因?yàn)?，a，b，所以()ba.2.已知AB=a+2b,BC=-5a+8b,CD=8a-2b， 則一定共線的三點(diǎn)是( )A A、B、C B A、B、D C A、C、D D B、C、D【答案】B【解析】對(duì)于A，由于向量AB,BC不共線，所以A、B、C三點(diǎn)不共線，故A不正確對(duì)于B，由題意得BD=BC+CD=3a+6b，又AB=a+2b，所以AB,BD共線，從而得到A、B、D三點(diǎn)共線，故B正確對(duì)于C，由題意得AC=-4a+10b，又CD=8a-2

10、b，所以AC,CD不共線，故A、C、D三點(diǎn)不共線，所以C不正確對(duì)于D，由題意得BC,CD不共線，所以B、C、D三點(diǎn)不共線故選B3.設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量ab與(b2a)共線，則_.【答案】【解析】依題意知向量ab與2ab共線，設(shè)abk(2ab)，則有(12k)a(k)b0，所以解得k，.4.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，a，b，則()A.ab B.abC.ab D.ab【答案】D【解析】連接CD，由點(diǎn)C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，得CDAB且a，所以ba.拔高1.在ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若x(1x

11、)，則x的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)y，因?yàn)閥y()y(1y).因?yàn)?，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，所以y，因?yàn)閤(1x)，所以xy，所以x.2. 如圖，已知圓O的方程為x2+y2=4，過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線l與圓O交于點(diǎn)A,B，與x軸交于點(diǎn)Q，設(shè)QA=PA,QB=uPB，求證：+u為定值.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，從而=2，u=23，+u=83.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O不重合時(shí)，直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則Q-1k,0.由題設(shè)，得x1+1k=x1,x2+1k=ux

12、2，即=1+1x1k,u=1+1x2k.所以+u=1+1x1k+1+1kx2=2+x1+x2kx1x2將y=kx+1代入x2+y2=4，得(1+k2)x2+2kx-3=0，則>0，x1+x2=-2k1+k2，x1x2=-31+k2，所以+u=2+-2k1+k2k-31+k2=83，綜上，+u為定值83.3.在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)_.【答案】【解析】如圖，由得，.課堂小結(jié)1向量的有關(guān)概念(1)向量的定義：既有_又有_的量叫做向量（2）表示方法：用 來(lái)表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，用字母a，b，或用，表示(3)模：

13、向量的_叫向量的模，記作_或_(4)零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向是_(5)單位向量：長(zhǎng)度為_(kāi)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量與a平行的單位向量e_.(6)平行向量：方向_或_的_向量；平行向量又叫_，任一組平行向量都可以移到同一直線上規(guī)定：0與任一向量_(7)相等向量：長(zhǎng)度_且方向_的向量2向量的加法運(yùn)算及其幾何意義（1）已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作=a，=b，則向量叫做a與b的 ，記作 ，即 =+= ，這種求向量和的方法叫做向量加法的 .（2）以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和，這種作兩個(gè)向量和的方法叫做

14、向量加法的 . (3)加法運(yùn)算律ab_ (交換律)；(ab)c_(結(jié)合律)3向量的減法及其幾何意義(1)相反向量與a_、_的向量，叫做a的相反向量，記作_(2)向量的減法定義aba_，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的_如圖，a，b，則 ，_.4向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1)定義：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作_，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：|a|_；當(dāng)>0時(shí)，a與a的方向_；當(dāng)<0時(shí)，a與a的方向_；當(dāng)0時(shí)，a_.(2)運(yùn)算律設(shè)，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則(a)_.(結(jié)合律)()a_.(第一分配律)(ab)_.(第二分配律)(3)兩個(gè)向量共線定理：向量b與a (a0)共線的充要條件是存在唯一一

15、個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.5重要結(jié)論()G為ABC的_；0P為ABC的_【答案】1.（1）大小 方向 （2）有向線段 （3）長(zhǎng)度 |a|(4)任意的(5)1個(gè)±(6)相同相反非零共線向量平行(7)相等相同2.(1)和abab三角形法則(2)平行四邊形法則(3)baa(bc)3.(1)長(zhǎng)度相等方向相反a(2)(b)相反向量abab4.(1)a|a|相同相反0(2)()aaaab5.(1)重心(2)重心擴(kuò)展延伸基礎(chǔ)1.設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，一定能使0成立的是()A.a2b B.abC.ab D.ab【答案】C【解析】由0得0，即a·|a|0，則a與b共線且方向相反，因此當(dāng)

16、向量a與向量b共線且方向相反時(shí)，能使0成立.對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A中a與b的方向相同；選項(xiàng)B中a與b共線，方向相同或相反；選項(xiàng)C中a與b的方向相反；選項(xiàng)D中a與b互相垂直.2.給出下列四個(gè)命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號(hào)是()A. B. C. D.【答案】A【解析】不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.正確.，|且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|，且，方向相同

17、，因此.正確.ab，a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又bc，b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故ac.不正確.當(dāng)ab且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號(hào)是.3.在銳角ABC中，3，xy(x，yR)，則_.【答案】3【解析】由題設(shè)可得(A)，則x，y.故3.4.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若ab，2a8b，3(ab).求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線.【答案】(1)見(jiàn)解析，(2) k±1【解析】(1)ab，2a8b，3(ab).2a8b3

18、(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共線，又它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線.(2)kab與akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，kk10，k210，k±1.鞏固1.如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若m，n，則mn的值為()A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】O為BC的中點(diǎn)，()(mn)，M，O，N三點(diǎn)共線，1，mn2.2.設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)若3e

19、1ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值【答案】(1)見(jiàn)解析，(2) k12【解析】(1)證明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又與有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(2)由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)，使，即3e1ke2e14e2，得解得k12.3.給出下列命題：ab的充要條件是|a|b|且a/b；若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；由于零向量的方向不確定，故零向量不與任意向量平行；若向量a與向量b平行，則向量a與b的方向相同或相反；起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；任一向量與它的相反向

20、量不相等其中真命題的序號(hào)是_【答案】【解析】當(dāng)a與b是相反向量時(shí)，滿足|a|b|且a/b，但ab，故假；向量不能比較大小，故假；0與任意向量平行，故假；當(dāng)a與b中有零向量時(shí)，由于零向量的方向是任意的，故假；由相等向量定義知，真；0的相反向量仍是0，故假拔高1.設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為_(kāi).【答案】【解析】由題意，A，B，D三點(diǎn)共線，故必存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.又3e12e2，ke1e2，3e12ke2，所以3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，又e1與e2不共線，所以解得k.2.生于瑞士的數(shù)學(xué)巨星歐拉在1765年發(fā)表的三角形的幾何學(xué)一書中有這樣一個(gè)定理：“三角形的外心、垂心和重心都在