有限元法PPT精選文檔

1、1工工 程程 有有 限限 單單 元元 法法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院2課程介紹課程介紹一、課程內(nèi)容： 1、有限元法理論基礎(chǔ)； 2、有限元軟件ANSYS應(yīng)用。二、學(xué)習(xí)方法： 理論與實(shí)踐相結(jié)合，即通過(guò)應(yīng)用有限元分析 實(shí)際問(wèn)題來(lái)掌握有限元理論。三、學(xué)時(shí)數(shù)：36學(xué)時(shí)（理論學(xué)時(shí)+上機(jī)學(xué)時(shí)）四、考核方式：平時(shí)成績(jī)+報(bào)告成績(jī)工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院3第一章第一章 概述概述1.1 1.1 有限元法概述有限元法概述 有限元法誕生于20世紀(jì)中葉，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算方法的發(fā)展，已成為計(jì)算力學(xué)和計(jì)算工程科學(xué)領(lǐng)域里最為有效的方法，它幾乎適用于求解所有連續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)的問(wèn)題。工程有限單元法工程有限

2、單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院4一、什么是有限元法？一、什么是有限元法？ 有限元法是將連續(xù)體理想化為有限個(gè)單元有限元法是將連續(xù)體理想化為有限個(gè)單元集合而成，這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，集合而成，這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，即用有限個(gè)單元的集合來(lái)代替原來(lái)具有無(wú)限個(gè)即用有限個(gè)單元的集合來(lái)代替原來(lái)具有無(wú)限個(gè)自由度的連續(xù)體。自由度的連續(xù)體。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院5有限元方法是分析連續(xù)體的一種很有效的近似計(jì)算方法。是計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后迅速發(fā)展起來(lái)的一種廣泛用于工程結(jié)構(gòu)建模與分析的方法。說(shuō)明工程實(shí)際問(wèn)題與計(jì)算方法說(shuō)明工程實(shí)際問(wèn)題與計(jì)算方法息息相關(guān)。息息相關(guān)。自然現(xiàn)象的背后

3、都對(duì)應(yīng)有相關(guān)的物理本質(zhì)與事物規(guī)律，用數(shù)學(xué)方法對(duì)物理本質(zhì)與事物規(guī)律進(jìn)行描述可以得到普適性定律和特定性定理，以及各種形式的（如代數(shù)、微分或積分）數(shù)學(xué)方程，即數(shù)學(xué)模型。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院6對(duì)于一個(gè)實(shí)際的工程問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，不僅需要根據(jù)實(shí)際物理背景采用有效的數(shù)學(xué)方法，還要考慮求解的效率、結(jié)果的精度以及方法的適用性等因素，即分析方法。常用的分析方法有：1. 對(duì)線性的、邊界規(guī)則的簡(jiǎn)單問(wèn)題，一般可以利用解析法，得到精確解。2. 對(duì)于許多實(shí)際工程問(wèn)題，由于研究系統(tǒng)的龐大，使得微分方程、邊界和初始條件的復(fù)雜性大大增加，一般難以得到它的精確解。對(duì)非線性的、邊界不規(guī)則等問(wèn)題，

4、一般不存在精確的解析解，只能利用數(shù)值法（如，有限差分法FDM、有限元方法FEM等）得到近似解。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院7有限元方法的發(fā)展有限元方法的發(fā)展首先，有限元方法在航空結(jié)構(gòu)分析中取得了明顯的成效首先，有限元方法在航空結(jié)構(gòu)分析中取得了明顯的成效 1941年，Hrenikoff 利用框架分析法（framework method）分析平面彈性體，將平面彈性體描述為桿和梁 的組合體； 1943年, Courant 在采用三角形單元及最小勢(shì)能原理研 究扭轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，利用分片連續(xù)函數(shù)在子域中近似描述未知函數(shù)此后，有限元方法在固體力學(xué)、溫度場(chǎng)和溫升應(yīng)力、流體力學(xué)、此后，有限元

5、方法在固體力學(xué)、溫度場(chǎng)和溫升應(yīng)力、流體力學(xué)、流固耦合（水彈性）問(wèn)題，均有發(fā)展。流固耦合（水彈性）問(wèn)題，均有發(fā)展。 工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院8 現(xiàn)如今，有限元法廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車工業(yè)、橋現(xiàn)如今，有限元法廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車工業(yè)、橋梁、建筑、電子產(chǎn)品、重型機(jī)械、微機(jī)電系統(tǒng)、生物醫(yī)梁、建筑、電子產(chǎn)品、重型機(jī)械、微機(jī)電系統(tǒng)、生物醫(yī)學(xué)等設(shè)計(jì)過(guò)程中的結(jié)構(gòu)與力學(xué)分析。學(xué)等設(shè)計(jì)過(guò)程中的結(jié)構(gòu)與力學(xué)分析。 實(shí)例實(shí)例1 1(EMA-(EMA-火箭發(fā)動(dòng)機(jī)火箭發(fā)動(dòng)機(jī), ,衛(wèi)星衛(wèi)星, ,雷達(dá)雷達(dá)) )工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院9實(shí)例實(shí)例2 2 (汽車汽車,工

6、程機(jī)械工程機(jī)械)工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院10工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院11工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院12二、有限元法的基本思想二、有限元法的基本思想有限元法的基本思想是：“分與合”。 “分”是為了劃分單元，進(jìn)行單元分析；“合”則是為了集合單元，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)離散- -單元分析單元分析- -整體求解整體求解工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院132.12.1有限元法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程有限元法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院14(1)(1)對(duì)象離散化對(duì)象離散化

7、 當(dāng)研究對(duì)象為連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題時(shí)，首先需要將所研究的對(duì)象進(jìn)行合理的離散化分割，即根據(jù)精度預(yù)期或經(jīng)驗(yàn)將連續(xù)問(wèn)題進(jìn)行有限元分割。( (2 2) )單元分析單元分析 有限元方法的核心工作是單元分析，通過(guò)分析各單元的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系和邊界條件，以便建立單元?jiǎng)偠染仃嚒? (3 3) )構(gòu)造總體方程構(gòu)造總體方程 將單元?jiǎng)偠染仃嚱M成總體方程剛度矩陣，且總體方程應(yīng)滿足相鄰單元在公共結(jié)點(diǎn)上的位移協(xié)調(diào)條件，即整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點(diǎn)載荷與結(jié)點(diǎn)位移之間應(yīng)存在相互的變量關(guān)系。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院154.4.解總體方程解總體方程 在求解有限元模型時(shí)，應(yīng)考慮總體剛度方程中引入的邊界條件，以

8、便得到符合實(shí)際情況的唯一解。5.5.輸出結(jié)果輸出結(jié)果 有限元模型求解結(jié)束后，可通過(guò)數(shù)值解序列或由其構(gòu)成的圖形顯示研究對(duì)象的物理結(jié)構(gòu)變形情況以及各種物理量間的變化關(guān)系，如通過(guò)列表顯示各種數(shù)據(jù)信息，用等值線分布圖顯示等受力點(diǎn)，或動(dòng)畫(huà)顯示各種量的變化過(guò)程。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院161) 1) 直接方法直接方法 直接方法是指直接從結(jié)構(gòu)力學(xué)引伸得到。直接方法具有簡(jiǎn)單、物理意義明確、易于理解等特點(diǎn)。2) 2) 變分方法變分方法 變分方法是一種最常用的方法之一，主要用于線性問(wèn)題的模型建立。3) 3) 加權(quán)殘值法加權(quán)殘值法 對(duì)于線性自共軛形式方程，加權(quán)殘值法可得到和變分法相同的結(jié)

9、果，如得到一個(gè)對(duì)稱的剛度矩陣。對(duì)于那些“能量泛函”不存在的問(wèn)題（主要是一些非線性問(wèn)題和依賴于時(shí)間的問(wèn)題）加權(quán)殘值法是一種很有效的方法。2.2 2.2 建立有限元方程的常用方法建立有限元方程的常用方法工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院17通常，實(shí)際工程問(wèn)題可分為線性問(wèn)題和非線性問(wèn)題、邊界通常，實(shí)際工程問(wèn)題可分為線性問(wèn)題和非線性問(wèn)題、邊界規(guī)則與不規(guī)則問(wèn)題。規(guī)則與不規(guī)則問(wèn)題。有限元法其實(shí)是非線性問(wèn)題，如圖右所示。2.3 2.3 有限元法與工程求解問(wèn)題的關(guān)系有限元法與工程求解問(wèn)題的關(guān)系工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院18三、有限元法的基本步驟三、有限元法的基本步驟

10、 無(wú)論對(duì)于什么樣的結(jié)構(gòu)，有限元分析過(guò)程都是類似的。其基本步驟為： （1）研究分析結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，包括結(jié)構(gòu)形狀與邊界、載荷工況等； （2）將連續(xù)體劃分成有限單元，形成計(jì)算模型，包括確定單元類型與邊界條件、材料特性等；工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院19（3）以單元節(jié)點(diǎn)位移作為未知量，選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)來(lái)表示單元中的位移，再用位移函數(shù)求單元中的應(yīng)變，根據(jù)材料的物理關(guān)系，把單元中的應(yīng)力也用位移函數(shù)表示出來(lái)，最后將作用在單元上的載荷轉(zhuǎn)化成作用在單元上的等效節(jié)點(diǎn)力，建立單元等效節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。這一過(guò)程就是單元特性分析。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院20（4

11、4）利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)）利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來(lái)的結(jié)構(gòu)重新連接起來(lái)，集合成整體單元按原來(lái)的結(jié)構(gòu)重新連接起來(lái)，集合成整體的有限元方程，求解出節(jié)點(diǎn)位移。的有限元方程，求解出節(jié)點(diǎn)位移。重點(diǎn)：對(duì)于不同的結(jié)構(gòu)，要采用不同的單元，但重點(diǎn)：對(duì)于不同的結(jié)構(gòu)，要采用不同的單元，但各種單元的分析方法又是一致的。各種單元的分析方法又是一致的。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院21四、有限元法的學(xué)習(xí)路線四、有限元法的學(xué)習(xí)路線 從最簡(jiǎn)單的平面結(jié)構(gòu)入手，由淺入深，介紹有限元理論及其相關(guān)應(yīng)用。 工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院22五、有限元法的發(fā)

12、展與應(yīng)用五、有限元法的發(fā)展與應(yīng)用 有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問(wèn)題的工程問(wèn)題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來(lái)，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院23（一）算法與有限元軟件（一）算法與有限元軟件 從二十世紀(jì)60年代中期以來(lái)，進(jìn)行了大量的理論研究，不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開(kāi)發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?理論研究的一個(gè)重要領(lǐng)域是計(jì)算方法的研究，主要有： 大型線性方程組的解法， 非線性問(wèn)題的解法。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院24目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表：目前應(yīng)用

13、較多的通用有限元軟件如下表： 軟件名稱簡(jiǎn)介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran動(dòng)力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件 另外還有許多針對(duì)某類問(wèn)題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院25（二）應(yīng)用實(shí)例（二）應(yīng)用實(shí)例有限元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域： 固體力學(xué)，包括強(qiáng)度、穩(wěn)定性、震動(dòng)和瞬態(tài)問(wèn)題的分析； 傳熱學(xué)； 電磁場(chǎng)； 流體力學(xué) 。工程有限單元法工程

14、有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院26轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（劉道勇，東風(fēng)汽車工程研究院動(dòng)，用轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（劉道勇，東風(fēng)汽車工程研究院動(dòng)，用MSC/NastranMSC/Nastran完成）完成）工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院27基于基于ANSYSANSYS的齒輪嚙合仿真的齒輪嚙合仿真 工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院28第第2 2章章 彈性力學(xué)基本方程及平面問(wèn)題的有限元法彈性力學(xué)基本方程及平面問(wèn)題的有限元法工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院292.1 2.1 彈性力學(xué)簡(jiǎn)介彈性力學(xué)簡(jiǎn)介 本課程中的有限單元法理論要用到彈性力學(xué)

15、的某些基本概念和基本方程。將簡(jiǎn)單介紹這些概念和方程，作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識(shí)。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院30彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué)1、研究的內(nèi)容：研究的內(nèi)容：基本上沒(méi)有什么區(qū)別?；旧蠜](méi)有什么區(qū)別。 彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。2、研究的對(duì)象：研究的對(duì)象：有相同也有區(qū)別。有相同也有區(qū)別。 材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。

16、彈性力學(xué)雖然也研即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無(wú)法研究的板與殼及究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無(wú)法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院31彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué)3、研究的方法：研究的方法：有較大的區(qū)別。有較大的區(qū)別。 雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，但是在建立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。但是在建

17、立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來(lái)建立這些條件的，因材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來(lái)建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往這樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無(wú)是近似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無(wú)限小單元體來(lái)建立這些條件的，因而無(wú)須引用那些假限小單元體來(lái)建立這些條件的，因而無(wú)須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。所以

18、，我們可以用彈性力學(xué)的解答來(lái)估計(jì)材料力學(xué)解所以，我們可以用彈性力學(xué)的解答來(lái)估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。答的精確程度，并確定它們的適用范圍。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院32彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué)圖 1-3a圖 1-3b例如，材料力學(xué)在研究有孔的拉伸構(gòu)件通常就假定拉應(yīng)力在凈截?cái)嗝婢鶆蚍植肌９こ逃邢迒卧üこ逃邢迒卧C(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院33彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 總之，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更

19、嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。 但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問(wèn)題時(shí)，往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院34彈性力學(xué)基本方程彈性力學(xué)基本方程 一一 、彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念：、彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念： 1、體力體力，是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重，是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個(gè)成分，用記號(hào)解為三個(gè)成分，用記號(hào)X

20、X、Y Y、Z Z表示。表示。 2 2、面力、面力，是分布于物體表面的力，如靜水壓，是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)成分，用記號(hào)成分，用記號(hào) 來(lái)表示。來(lái)表示。,vvvxy z工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院35 3 3、 內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力 （1）內(nèi)力（Internal forces）：是物體本身不同部分之間相互作用的力； （2）平均應(yīng)力（ the average stress ）：設(shè)作用

21、在包含P點(diǎn)某一個(gè)截面mn上的單元面積（ elementary area ）A 上的力為F ，則F/A 稱為A 上的平均應(yīng)力； （3）應(yīng)力：如果假設(shè)內(nèi)力分布連續(xù)，命 A無(wú) 限減小并趨向P點(diǎn), 則F/A 將趨向一個(gè)極限 p:這個(gè)極限P就叫做物體在截面mn上，在P點(diǎn)的應(yīng)力。pAFA0lim彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院36 內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力的概念內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力的概念工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院374. 4. 正應(yīng)力和切應(yīng)力的概念正應(yīng)力和切應(yīng)力的概念 正應(yīng)力：應(yīng)力在作用截面法

22、線方向的分量；切應(yīng)力：應(yīng)力在作用截面切線方向的分量。 正平行六面體應(yīng)力：從物體中取出一個(gè)微小的正平行六面體，它的棱邊分別平行于三個(gè)坐標(biāo)軸，長(zhǎng)度分別為dx,x, dy,dy, dz.dz.正平行六面體應(yīng)力如圖所示.工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院38(1) 應(yīng)力的表示 正應(yīng)力用表示. 它的下標(biāo)表示作用方向.如x 表示正應(yīng)力沿著 x 方向;剪應(yīng)力用 表示, 它有兩個(gè)下標(biāo), 例如xy 表示剪應(yīng)力作用在垂直 x軸的平面上, 但沿著 y方向. (2)應(yīng)力的符號(hào) 如果一個(gè)截面的外法線沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)面就稱為正面，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿著坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎谎刂鴺?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。

23、工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院39 這個(gè)應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定與材料力學(xué)的不同, 在材料力學(xué)中: 正應(yīng)力的符號(hào)為拉為正, 壓為負(fù); 而剪應(yīng)力為正面向下的為正; 負(fù)面向上為正. 或用右手法則確定:右手姆指沿面的外法線時(shí),其余四個(gè)手指反時(shí)針為正, 順時(shí)針為負(fù).材料力學(xué)中正的剪應(yīng)力彈性力學(xué)中正的剪應(yīng)力工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院40剪應(yīng)力互等定律剪應(yīng)力互等定律 作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。的剪應(yīng)力是互等的。( (大小相等，正負(fù)號(hào)也相同大小相等，正負(fù)號(hào)也相同) )。因。因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩

24、個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。xyyxyzzyzxxz，工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院41可以證明可以證明: :如果如果 這六個(gè)量這六個(gè)量在在P P點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何面上的點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點(diǎn)的的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量應(yīng)力分量。 一般說(shuō)來(lái)，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，一般說(shuō)來(lái)，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)

25、的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)不是常量，而是坐標(biāo)x x、y y、z z的函數(shù)。的函數(shù)。六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣 來(lái)來(lái)表示：表示：xyzxyyzzx、 xyTzxyzxyyzzxxyyzzx工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院425 5、形變和正應(yīng)變、剪應(yīng)變的概念、形變和正應(yīng)變、剪應(yīng)變的概念 （1）形變: 形狀的改變，它包含長(zhǎng)度和角度的改變。 （2）正應(yīng)變： 各線段單位長(zhǎng)度的伸縮。以伸長(zhǎng)為正；縮短為負(fù)。 （3）剪應(yīng)變： 各線段之間的直角的改變。6 6、位移、位移 是指位置的移動(dòng). 它在 x, y 和 z 軸上的投影用 u,

26、v 和 w, 來(lái)表示。它的符號(hào)是沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院43二、彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的基本假定二、彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的基本假定 (1) (1) 連續(xù)性連續(xù)性:假定物體是連續(xù). 即整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿, 不留任何空隙. 這樣,物體內(nèi)的物理量,例如應(yīng)力形變和應(yīng)變, 才可能是連續(xù)的, 才可以用連續(xù)函數(shù)來(lái)表示; (2) 完全彈性完全彈性:假定物體是完全彈性的.所謂彈性, 是指物體在引起形變的外力被除去以后能恢復(fù)原形的性質(zhì). 而完全彈性是指物體能完全恢復(fù)原形而沒(méi)有任何剩余變形. (3) 均勻性均勻性:假定物體是均

27、勻的, 整個(gè)物體由同一材料組成. (4) 各向同性各向同性: :假定物體是各向同性的, 即物體的彈性性質(zhì)在所有各個(gè)方向都相同. 符合以上四個(gè)假定的物體, 稱為理想彈性體理想彈性體.工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院44(5) 小變形假定小變形假定:假定物體的位移和形變是微小的. 即物體的位移遠(yuǎn)小于物體原來(lái)的尺寸, 而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1. 因此, 本課程所討論的問(wèn)題, 都是理想彈性體的小變理想彈性體的小變形問(wèn)題形問(wèn)題. .工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院45三、彈性力學(xué)的研究方法三、彈性力學(xué)的研究方法 在彈性體內(nèi)部, 考慮靜力學(xué), 幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條

28、件, 分別建立三套基本方程. 此外, 在彈性體的邊界上, 建立邊界條件.:平衡方程 根據(jù)微分體的平衡條件基本方程 幾何方程 根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系物理方程 根據(jù)應(yīng)變和應(yīng)力之間的物理關(guān)系位移邊界條件位移邊界條件邊界條件邊界條件應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院46彈性力學(xué)的基本變量彈性力學(xué)的基本變量工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院47彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)的基本方程- -平衡方程平衡方程由物體的受力平衡條件建立的方程：工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院48彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)的基本方程- -

29、幾何方程幾何方程由物體的受力變形后，各應(yīng)變分量和位移分量的關(guān)系建立的方程：工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院49彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)的基本方程- -物理方程物理方程由物體材料本身的物理特性建立的方程，其中E-彈性模量； -泊松比；G-剪切彈性模量。且對(duì)各向同性材料，2 1EG工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院50在限元法中，物理方程可表示為：在限元法中，物理方程可表示為： D10001-1-10001-1-10001-1-(1-)1-2(1)(1-2 )000002(1-)1-2000002(1-)1-2000002(1-)xxyyzzxyxyyzyz

30、zxzxE 工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院51彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)的基本方程- -邊界條件邊界條件susususvswvxvyvz工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院52四、彈性力學(xué)問(wèn)題的解法四、彈性力學(xué)問(wèn)題的解法空間彈性力學(xué)問(wèn)題共有15個(gè)方程，3個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何方程，6個(gè)物理方程。其中包括6個(gè)應(yīng)力分量 ，6個(gè)應(yīng)變分量 ，3個(gè)位移分量 ，共有15個(gè)未知函數(shù)，在給定邊界條件時(shí)，問(wèn)題是可解的。彈性力學(xué)問(wèn)題的提法是，給定作用在物理全部邊界或內(nèi)部的作用，求解物理由此產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。,xyzxyyzzx ,xyzxyyzzx , ,u v w工程有限

31、單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院53 按照三種不同的邊界條件，彈性力學(xué)問(wèn)題可分為應(yīng)力邊界條件問(wèn)題、位移邊界問(wèn)題和混合邊界。 由于有限元模型是對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)的反映，對(duì)有限元模型施加合適的載荷條件和邊界條件，是正確求解有限元解的關(guān)鍵。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院54根據(jù)先求出的基本未知量的不同，彈性力學(xué)問(wèn)題有三種方法：（1）應(yīng)力法：以應(yīng)力分量作為基本未知量，此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用應(yīng)力表示。求得應(yīng)力分量后，由物理方程求應(yīng)變分量，再由幾何方程求出位移分量。（2）位移法：以位移分量作為基本未知量，此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用位移表示。求得位移分量后，

32、用幾何方程求應(yīng)變分量，再由物理方程求應(yīng)力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。（3）混合法：采用各點(diǎn)的一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本未知量，混合求解。工程有限單元法工程有限單元法55五、五、 虛功原理及虛功方程虛功原理及虛功方程圖圖1-8a1-8a示一平衡的杠桿，對(duì)示一平衡的杠桿，對(duì)C C點(diǎn)寫(xiě)點(diǎn)寫(xiě)力矩平衡方程：力矩平衡方程：圖圖1-8b1-8b表示杠桿繞支點(diǎn)表示杠桿繞支點(diǎn)C C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖：剛體位移圖：綜合可得：綜合可得：即：即：上式是以功的形式表述的。表明：上式是以功的形式表述的。表明：圖圖a a的平衡力系在圖的平衡力系在圖b b的位移上作功的位移上作功時(shí)，功的總和

33、必須等于零。這就叫時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。做虛功原理。abACB(a)(b)BPAPcRBACBA B A圖 1-8BAbaBAPbPaABBAPbPa0 AABBPP 機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院56虛功原理虛功原理APABP 進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)，進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)， 和和 這兩個(gè)位這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足上式的關(guān)系。一定滿足上式的關(guān)系。 將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析和

34、計(jì)算結(jié)構(gòu)。和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，( (由于是假想，故稱為由于是假想，故稱為虛位移虛位移) )，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖1-8a1-8a中的中的 和和 所作的功就不是發(fā)生在它本身所作的功就不是發(fā)生在它本身( (狀態(tài)狀態(tài)a)a)的位移上，的位移上，( (因?yàn)樗旧硎瞧揭驗(yàn)樗?/p>

35、本身是平衡的，不存在位移衡的，不存在位移) )，而是在狀態(tài)，而是在狀態(tài)(b)(b)的位移上作的功?？梢?jiàn)，這個(gè)的位移上作的功?？梢?jiàn)，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)位移對(duì)于狀態(tài)(a)(a)來(lái)說(shuō)就是虛位移，亦即是狀態(tài)來(lái)說(shuō)就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)(a)假象的位移。假象的位移。B工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院57虛功原理虛功原理cRcRBP 必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個(gè)方面，兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來(lái)講，它必須是在位移對(duì)于力來(lái)講，它必須是在位移過(guò)程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來(lái)講

36、，雖然是虛位移，但并不是過(guò)程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來(lái)講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移?？梢匀我獍l(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。 還要注意，還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約束當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。約束力叫做被動(dòng)力。( (如圖如圖1-81-8中的反力中的反力 ，由于支點(diǎn)，由于支點(diǎn)C C沒(méi)有位移，沒(méi)有位移，故故 所作的虛功對(duì)于零所作的虛功對(duì)于零) )。反之，如

37、圖。反之，如圖1-81-8中的中的 和和 是在位移過(guò)程中作功的力，稱為主動(dòng)力。因此，在是在位移過(guò)程中作功的力，稱為主動(dòng)力。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫(xiě)虛功平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫(xiě)虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。BP工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院58虛功原理與虛功方程虛功原理與虛功方程虛功原理表述如下：虛功原理表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)

38、，體系上所有的主動(dòng)力在位相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功移上所作的總功( (各力所作的功的代數(shù)和各力所作的功的代數(shù)和) )恒對(duì)于零。恒對(duì)于零。虛功原理用公式表示為：虛功原理用公式表示為：這就是虛功方程，其中這就是虛功方程，其中P P和和 相應(yīng)的代表力和虛位移。相應(yīng)的代表力和虛位移。0 WP 工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院59虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況 虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖1-81-8的杠桿是絕對(duì)剛性，的杠桿是絕對(duì)剛性，沒(méi)有任何的變形，因而在方程中沒(méi)有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)

39、，而只有外功項(xiàng)。沒(méi)有任何的變形，因而在方程中沒(méi)有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功W W要要包括外力功包括外力功(T)(T)和內(nèi)力功和內(nèi)力功(U)(U)兩兩部分，即：部分，即： W = T - U W = T - U ；內(nèi)力功；內(nèi)力功(-U)(-U)前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在變形過(guò)程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方變形過(guò)程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得：根據(jù)虛功原理，總功等于零得：

40、T - U = 0T - U = 0 外力虛功外力虛功 T = T = 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 U U 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功( (外力功外力功) )等于等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功( (內(nèi)力功內(nèi)力功) )。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院60六、兩種平面問(wèn)題六、兩種平面問(wèn)題 彈性力學(xué)可分為空間問(wèn)題和平面問(wèn)題，嚴(yán)格地說(shuō)，任何彈性力學(xué)可分為空間

41、問(wèn)題和平面問(wèn)題，嚴(yán)格地說(shuō)，任何一個(gè)彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而一個(gè)彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而任何實(shí)際問(wèn)題都是空間問(wèn)題，都必須考慮所有的位移分量、任何實(shí)際問(wèn)題都是空間問(wèn)題，都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問(wèn)題簡(jiǎn)化的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問(wèn)題簡(jiǎn)化為近似的平面問(wèn)題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)為近似的平面問(wèn)題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。力分量即可。平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題平

42、面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院61平平面面應(yīng)應(yīng)力力問(wèn)問(wèn)題題222()0()0()0ztzxtzytzzz，000zzxxzzyyz，xyxyyx、 厚度為厚度為t t的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面且不沿厚度變化。變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面且不沿厚度變化。 以薄板的中面為以薄板的中面為xyxy面，以垂直于中面的任一直線為面，以垂直于中面的任一直線為Z Z軸。由于薄板軸。由于薄板兩表面上沒(méi)有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：兩表面

43、上沒(méi)有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有：有：于是，在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于于是，在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于XOYXOY平面的三個(gè)應(yīng)平面的三個(gè)應(yīng)力分量，即力分量，即 ，所以稱為，所以稱為平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題。x xy y0 0t/2t/2z zy y圖 1-10工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院62平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題(1-2) xyTzxyzxyyzzxxyyzzx應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣(1-2)(1-2)

44、(1-18) xyxy可以簡(jiǎn)化為：可以簡(jiǎn)化為：工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院631()1()1()111xxyzyyxzzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG 物理方程物理方程(1-10)中后兩式可見(jiàn)，這時(shí)的剪中后兩式可見(jiàn)，這時(shí)的剪應(yīng)變：應(yīng)變：由物理方程由物理方程(1-10)中的第三式可見(jiàn)：中的第三式可見(jiàn)：一般一般 ， 并不一定等于零，但可由并不一定等于零，但可由 及及 求得，在分析問(wèn)題時(shí)不必考慮。于求得，在分析問(wèn)題時(shí)不必考慮。于是只需要考慮是只需要考慮 三個(gè)應(yīng)變分量即可，于是應(yīng)變矩陣三個(gè)應(yīng)變分量即可，于是應(yīng)變矩陣(1-3-2)簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：00zxyz，)(yx

45、zE0zzyxyyx、 19)-(1 xyyx工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院64平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題物理方程物理方程(1-10)簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：20)-(1 )1 (2111xyxyxyxyyyxxEGEE21)-(1 211)1 (211222xyxyxyyxyyxxEEEE工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院65平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題將將(1-21)式用矩陣方程表示：式用矩陣方程表示：它仍然可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：它仍然可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：彈性矩陣彈性矩陣D則簡(jiǎn)化為：則簡(jiǎn)化為：22)-(1 21

46、00010112xyyxxyyxE D 23)-(1 2100010112ED工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院66平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題只有只有 三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程(1-3)簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx， 24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院67平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題彈性體的虛功方程彈性體的虛功方程(1-17)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為 17)-(1 *dxdydzFTT 25)-(1 *dxdytFTT工程有限單

47、元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院68平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題 一縱向一縱向(即即Z向向)很長(zhǎng)，且沿橫截面不很長(zhǎng)，且沿橫截面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力和體力，如圖長(zhǎng)度變化的面力和體力，如圖1-11所示。所示。 由于物體的縱向很長(zhǎng)由于物體的縱向很長(zhǎng)(在力學(xué)上可近在力學(xué)上可近似地作為無(wú)限長(zhǎng)考慮似地作為無(wú)限長(zhǎng)考慮)，截面尺寸與外，截面尺寸與外力又不沿長(zhǎng)度變化；當(dāng)以任一橫截面為力又不沿長(zhǎng)度變化；當(dāng)以任一橫截面為xy面，任一縱線為面，任一縱線為Z軸時(shí)，則所有一切軸時(shí)，則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量

48、都不沿Z方向變化，它們都只是方向變化，它們都只是x和和y的函數(shù)。的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對(duì)稱此外，在這一情況下，由于對(duì)稱(任一任一橫截面都可以看作對(duì)稱面橫截面都可以看作對(duì)稱面)，所有各點(diǎn)，所有各點(diǎn)都只會(huì)有都只會(huì)有x和和y方向的位移而不會(huì)有方向的位移而不會(huì)有Z方方向的位移，即向的位移，即 w = 0 因此，這種問(wèn)題稱為平面位移問(wèn)題，因此，這種問(wèn)題稱為平面位移問(wèn)題，但習(xí)慣上常稱為但習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題。0 0y yx x圖 1-11工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院69平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題既然既然w = 0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函數(shù)

49、，由幾何方程的函數(shù)，由幾何方程(1-3-1)可見(jiàn)可見(jiàn) 。于是只剩下三個(gè)應(yīng)變分量。于是只剩下三個(gè)應(yīng)變分量 ，幾何方程仍然簡(jiǎn)化為方程幾何方程仍然簡(jiǎn)化為方程(1-24)。1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx， 24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、0zxyzz工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院70平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題因?yàn)橐驗(yàn)橛晌锢矸匠逃晌锢矸匠?1-11)(1-11)中后兩式可見(jiàn)中后兩式可見(jiàn)又由物理方程又由物理方程(1-11)(1-11)中的第三式可見(jiàn)：中的第三式可見(jiàn)：在平面應(yīng)變問(wèn)題中，雖在平面應(yīng)變問(wèn)題中，雖然然 ，但但 一般并不等于

50、零，不過(guò)它可一般并不等于零，不過(guò)它可以由以由 及及 求得，在分析問(wèn)題時(shí)求得，在分析問(wèn)題時(shí)不必考慮，于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量不必考慮，于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量 需要考慮。需要考慮。xy00zxyz，00zxyz，)(yxz0zzxyyx、zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEE)1 ( 2)1 ( 2)1 ( 2)11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 (工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院71平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題物理方程物理方程(1-11)簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：26)-(1 )1 (221)21)(1 ()1

51、 ()1 (2)1()21)(1 ()1 ()1()21)(1 ()1 (xyxyxyyxyyxxEEEE工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院72平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題將將(1-25)式用矩陣方程表示：式用矩陣方程表示：它仍然可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：它仍然可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：彈性矩陣彈性矩陣D則為：則為： D27)-(1 )1 (22100011011)21)(1 ()1 (xyyxxyyxE 28)-(1 )1 (22100011011)21)(1 ()1 (ED工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院73平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題 平面應(yīng)變問(wèn)題，由于在平面應(yīng)變問(wèn)題，由于在Z方向沒(méi)有

52、外力，應(yīng)力和應(yīng)變也不方向沒(méi)有外力，應(yīng)力和應(yīng)變也不沿沿Z方向變化，所以虛功方程方向變化，所以虛功方程(1-25)仍然適用，其中的仍然適用，其中的t可以可以取為任意數(shù)值，但取為任意數(shù)值，但 必須是這個(gè)必須是這個(gè)t范圍內(nèi)的外力。范圍內(nèi)的外力。 需要說(shuō)明一下，工程中有許多問(wèn)題很接近于平面應(yīng)變問(wèn)需要說(shuō)明一下，工程中有許多問(wèn)題很接近于平面應(yīng)變問(wèn)題，如受內(nèi)壓力的圓管、滾柱軸承中的滾柱等等，但它們的題，如受內(nèi)壓力的圓管、滾柱軸承中的滾柱等等，但它們的沿沿Z向長(zhǎng)度都不是無(wú)限長(zhǎng)的。故在靠近兩端的部分，其應(yīng)力向長(zhǎng)度都不是無(wú)限長(zhǎng)的。故在靠近兩端的部分，其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)比較復(fù)雜，并不符合平面應(yīng)變問(wèn)題的條件；因此將應(yīng)變狀態(tài)

53、比較復(fù)雜，并不符合平面應(yīng)變問(wèn)題的條件；因此將這類問(wèn)題當(dāng)作平面應(yīng)變問(wèn)題來(lái)考慮時(shí)，對(duì)于離開(kāi)兩端有一定這類問(wèn)題當(dāng)作平面應(yīng)變問(wèn)題來(lái)考慮時(shí)，對(duì)于離開(kāi)兩端有一定距離的地方，得出的結(jié)果還是相當(dāng)滿意的；但對(duì)靠近兩端的距離的地方，得出的結(jié)果還是相當(dāng)滿意的；但對(duì)靠近兩端的部位，卻有較大的出入，往往需要加以處理。部位，卻有較大的出入，往往需要加以處理。 25)-(1 *dxdytFTT F工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院74平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題 對(duì)于兩種平面問(wèn)題，幾何方程都是對(duì)于兩種平面問(wèn)題，幾何方程都是(1-24)，虛功方程都是，虛功方程都是(1-25)，物理方

54、程都是：物理方程都是： 24)-(1 xvyuyvxuxyyx 25)-(1 *dxdytFTT D工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院75平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題對(duì)于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣，應(yīng)該采用對(duì)于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣，應(yīng)該采用(1-23)式，式，而對(duì)于平面應(yīng)變則采用而對(duì)于平面應(yīng)變則采用(1-28)式，式，還可注意，在還可注意，在(1-23)式中，若將式中，若將E改換為改換為 ，將，將 改換為改換為 ，就得出公式就得出公式(1-28)。 23)-(1 2100010112ED 28)-(1 )1 (22100011011)21)(1 ()

55、1 (ED21E1工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院76平平面面應(yīng)應(yīng)力力問(wèn)問(wèn)題題與與平平面面應(yīng)應(yīng)變變問(wèn)問(wèn)題題 在兩種平面問(wèn)題中，如果在兩種平面問(wèn)題中，如果 ，則和，則和1-3中中(1-4)式相式相似，似，由幾何方程的積分得出：由幾何方程的積分得出：其中其中 及及 分別代表彈性體沿分別代表彈性體沿x及及y方向的剛體移動(dòng)，而方向的剛體移動(dòng)，而代表彈性體繞代表彈性體繞Z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。0 xyyx4)-(1 000 xywwzxvvyzuuyxxzzy29)-(1 00 xvvyuuzz0u0vz工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院772.2 2.2 平

56、面問(wèn)題的有限元法平面問(wèn)題的有限元法工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院78 有限單元法的基本思路：有限單元法的基本思路：(1) (1) 把物體分成有限大小的單元，單元間用節(jié)點(diǎn)相連接。把物體分成有限大小的單元，單元間用節(jié)點(diǎn)相連接。(2) (2) 把單元節(jié)點(diǎn)的位移作為基本未知量，在單元內(nèi)的位移，設(shè)把單元節(jié)點(diǎn)的位移作為基本未知量，在單元內(nèi)的位移，設(shè)成線性函數(shù)成線性函數(shù)( (或其它函數(shù)或其它函數(shù)) )，保證在單元內(nèi)和單元間位移連接。，保證在單元內(nèi)和單元間位移連接。(3) (3) 將節(jié)點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)的力聯(lián)系起來(lái)。將節(jié)點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)的力聯(lián)系起來(lái)。(4) (4) 列出節(jié)點(diǎn)的平衡方程，得出以節(jié)

57、點(diǎn)位移表達(dá)的平衡方程組。列出節(jié)點(diǎn)的平衡方程，得出以節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)的平衡方程組。(5) (5) 求解代數(shù)方程組，得出各節(jié)點(diǎn)的位移，根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出求解代數(shù)方程組，得出各節(jié)點(diǎn)的位移，根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出各單元中的應(yīng)力。各單元中的應(yīng)力。 有限單元法的基本未知量是節(jié)點(diǎn)位移，用節(jié)點(diǎn)的平衡方程有限單元法的基本未知量是節(jié)點(diǎn)位移，用節(jié)點(diǎn)的平衡方程來(lái)求解。來(lái)求解。工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院79彈性力學(xué)平面問(wèn)題的有限單元法包括三個(gè)主要步驟：彈性力學(xué)平面問(wèn)題的有限單元法包括三個(gè)主要步驟： 1 1、離散化、離散化 2 2、單元分析、單元分析 3 3、單元綜合、單元綜合 1 1、離散化、離散化 有限

58、單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體來(lái)代替有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成原來(lái)的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成的離散體。對(duì)于平面問(wèn)題，最簡(jiǎn)單，因而最常用的單元是三的離散體。對(duì)于平面問(wèn)題，最簡(jiǎn)單，因而最常用的單元是三角形單元。這些單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連，荷載也移置到節(jié)點(diǎn)角形單元。這些單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連，荷載也移置到節(jié)點(diǎn)上，成為節(jié)點(diǎn)荷載。在節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)之處，上，成為節(jié)點(diǎn)荷載。在節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)之處，就在節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。就在節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。圖

59、2-7工程有限單元法工程有限單元法80jmijmiivivjv圖 2-8mviujumuiVjVmViUjUmU(a)(b)ee 2 2、單元分析、單元分析 對(duì)三角形單元，建立節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系對(duì)三角形單元，建立節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系. . mmjjiievuvuvu mmjjiieVUVUVUF節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移 節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力 機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院81 2、單元分析、單元分析-單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?取節(jié)點(diǎn)位移作基本未知量。由節(jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力：取節(jié)點(diǎn)位移作基本未知量。由節(jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力： 其中，轉(zhuǎn)換矩陣稱為單元?jiǎng)偠染仃嚒卧治龅闹饕康木褪且蟪銎渲?，轉(zhuǎn)換矩陣稱為單

60、元?jiǎng)偠染仃?。單元分析的主要目的就是要求出單元?jiǎng)偠染仃嚒卧獎(jiǎng)偠染仃嚒?單元分析的步驟可表示如下：?jiǎn)卧治龅牟襟E可表示如下： 2)-(2 KFeee結(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部各點(diǎn)位移應(yīng)變應(yīng)力結(jié)點(diǎn)力(1)單元分析(4)(3)(2)工程有限單元法工程有限單元法機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院82 3 3、單元綜合、單元綜合 將離散化了的各個(gè)單元合成整體結(jié)構(gòu)，利用節(jié)點(diǎn)平衡方程求出節(jié)點(diǎn)位將離散化了的各個(gè)單元合成整體結(jié)構(gòu)，利用節(jié)點(diǎn)平衡方程求出節(jié)點(diǎn)位移。移。 在位移法中，主要的任務(wù)是求出基本未知量在位移法中，主要的任務(wù)是求出基本未知量-節(jié)點(diǎn)位移。為此需要節(jié)點(diǎn)位移。為此需要建立節(jié)點(diǎn)的平衡方程。建立節(jié)點(diǎn)的平衡方程。ijmiiii)1