數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)：第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)二值邏輯及其基本運算二值邏輯及其基本運算邏輯代數(shù)基本公式（基本定律）邏輯代數(shù)基本公式（基本定律）邏輯代數(shù)基本定理（基本規(guī)則）邏輯代數(shù)基本定理（基本規(guī)則）邏輯函數(shù)及其表述邏輯函數(shù)及其表述邏輯函數(shù)化簡（公式法、卡諾圖法）邏輯函數(shù)化簡（公式法、卡諾圖法）非完全描述的邏輯函數(shù)及其化簡非完全描述的邏輯函數(shù)及其化簡本 章 內(nèi) 容教學(xué)基本要求教學(xué)基本要求1 1、熟悉邏輯代數(shù)基本定律和恒等變換方法、熟悉邏輯代數(shù)基本定律和恒等變換方法3 3、掌握邏輯函數(shù)公式化簡法和卡諾圖化簡法、掌握邏輯函數(shù)公式化簡法和卡諾圖化簡法2 2、熟悉邏輯函數(shù)熟悉邏輯函數(shù)的建立及其描述方法的建立及其描述方法2.1 概

2、述概述邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)。它是分析和設(shè)計現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可缺它是分析和設(shè)計現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可缺少的數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)的一系列定律、定理，用于對邏輯函數(shù)式少的數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)的一系列定律、定理，用于對邏輯函數(shù)式進行化簡和恒等變換處理，并用于對邏輯電路的分析和設(shè)計。進行化簡和恒等變換處理，并用于對邏輯電路的分析和設(shè)計。邏輯關(guān)系指的是邏輯關(guān)系指的是: :事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果( (函數(shù)函數(shù)) )關(guān)系。關(guān)系。數(shù)字邏輯電路的發(fā)展，應(yīng)溯及數(shù)字邏輯電路的發(fā)展，應(yīng)溯及數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)邏輯學(xué)和和電子學(xué)電子學(xué)的交匯融合。的交匯融合。而條件和結(jié)果均具

3、有二值性，可分別用邏輯而條件和結(jié)果均具有二值性，可分別用邏輯“1” 和邏輯和邏輯“0”表表示。示。在數(shù)字電路中，往往是將事件發(fā)生的條件作為輸入信號，而結(jié)果在數(shù)字電路中，往往是將事件發(fā)生的條件作為輸入信號，而結(jié)果則形成輸出信號。則形成輸出信號。2.2 邏輯代數(shù)的三種基本運算邏輯代數(shù)的三種基本運算 與（AND） 或（OR） 非（NOT）以以A=1表示開關(guān)表示開關(guān)A合上，合上，A=0 0表示開關(guān)表示開關(guān)A斷開；斷開；以以B=1表示開關(guān)表示開關(guān)B合上，合上，B=0 0表示開關(guān)表示開關(guān)B斷開；斷開； 以以Y=1 1表示燈亮，表示燈亮，Y=0 0表示燈不亮；表示燈不亮；三種電路的因果關(guān)系不同：三種電路的因

4、果關(guān)系不同：與邏輯與邏輯o諸多條件同時具備，則結(jié)果發(fā)生諸多條件同時具備，則結(jié)果發(fā)生oY=A AND B = A&B=A B=ABA BY0 00 00 00 10 10 01 01 00 01 11 11 1真值表真值表公理：公理：0 0= 0 1=1 0=0 1+1=1或邏輯或邏輯A BY0 00 00 00 10 11 11 01 01 11 11 11 1公理：公理：0+0=0 0+1=1+0=1+1=1真值表真值表非邏輯非邏輯o條件不具備，結(jié)果發(fā)生條件不具備，結(jié)果發(fā)生YAYA或oY=NOT AA Y0 0 1 11 10 0真值表真值表公理：公理：0 = 11= 0，交換律：交

5、換律： A + B = B + A結(jié)合律：結(jié)合律：( A + B ) + C = A + ( B + C )分配律：分配律：A + BC = ( A + B )( A + C )A + 0 = AA + 1 = 10 0、1 1律：律：A B = B A(A B) C = A (B C)A ( B + C ) = AB + AC A 1 = AA 0 = 0A A = 0A + A = 1互補律：互補律： 2.3邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)的基本定律( (基本公式基本公式) )非非律非非律：( (否定之否定否定之否定) )AA重疊律重疊律：(同一律同一律)A + A = AAA BA 吸收律吸收

6、律I: ABACBCDAB + AC反演律：反演律：( )A + B = A B德摩根定律ABAAB吸收律吸收律II: ABACBCAB + AC冗余律冗余律: AB = A + B A A = A()ABAAB()AAAB)()()()BCCBACABAA（基本公式的證明基本公式的證明例：證明例：證明ABA BABA B，列出等式、右邊的函數(shù)值的真值表列出等式、右邊的函數(shù)值的真值表( (真值表證明法真值表證明法) )011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A B

7、ABA B 2.4 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則(基本定理基本定理) 代入規(guī)則代入規(guī)則 ： 在包含變量在包含變量A邏輯等式中，如果用另一邏輯等式中，如果用另一個函數(shù)式代入式中所有個函數(shù)式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。則稱為代入規(guī)則。例例：B (A + C) = BA+BC，用用A + D代替代替A A，得得B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BC代入規(guī)則可以擴展所有基本公式或定律的應(yīng)用范圍代入規(guī)則可以擴展所有基本公式或定律的應(yīng)用范圍LABAC 對于任何邏輯函數(shù)式，若將其中的與（對于任何

8、邏輯函數(shù)式，若將其中的與（ ）換成或（）換成或（+），或（），或（+）換成與（換成與（）；并將）；并將1換成換成0，0換成換成1；那么，所得的新的函數(shù)式就；那么，所得的新的函數(shù)式就是是L的對偶式，記作的對偶式，記作 。 L()()LAB A C例例: 邏輯函數(shù)邏輯函數(shù) 的對偶式為的對偶式為2. 2. 對偶規(guī)則：對偶規(guī)則：當(dāng)某個邏輯恒等式成立時，則該恒等式兩側(cè)的對偶式也相等。當(dāng)某個邏輯恒等式成立時，則該恒等式兩側(cè)的對偶式也相等。這就是對偶規(guī)則。利用對偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多的這就是對偶規(guī)則。利用對偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多的運算公式，例如，吸收律運算公式，例如，吸收律對于任意一個邏輯表

9、達式對于任意一個邏輯表達式L，若將其中所有的與（，若將其中所有的與（ ）換成）換成或（或（+），或（），或（+）換成與（）換成與（）；原變量換為反變量，反變）；原變量換為反變量，反變量換為原變量；將量換為原變量；將1換成換成0，0換成換成1；則得到的結(jié)果就是原；則得到的結(jié)果就是原函數(shù)的反函數(shù)。函數(shù)的反函數(shù)。3. 3. 反演規(guī)則：反演規(guī)則：)(1)(DCBADCB)(AL 0 CDBAL例：例： 試求試求 的反演式的反演式解：按照反演規(guī)則，得解：按照反演規(guī)則，得 2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)及其表示方法o邏輯函數(shù)：邏輯函數(shù)：事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果關(guān)系。事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因

10、果關(guān)系。( , , ,), ,YF A B CA B C式中為輸入邏輯變量，Y為輸出邏輯變量所有邏輯變量只有0和1兩種取值。o函數(shù)表達式函數(shù)表達式o邏輯函數(shù)的建立和描述邏輯函數(shù)的建立和描述列真值表列真值表建立標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)建立標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)函數(shù)恒等變換函數(shù)恒等變換邏輯電路邏輯電路波形圖波形圖若輸入邏輯變量為若輸入邏輯變量為n n個，可列表窮舉個，可列表窮舉2 2n n種不同的輸入取值情況，種不同的輸入取值情況，并對應(yīng)標(biāo)明每一情況下輸出邏輯變量的運算結(jié)果。并對應(yīng)標(biāo)明每一情況下輸出邏輯變量的運算結(jié)果?！盎蚧?與與”表達式表達式“與非與非-與非與非”表達式表達式 “與與- -或或- -非非”表達式表達式“或非或

11、非或非或非” ” 表達表達式式“與與- -或或” ” 表達式表達式 2.6 邏輯函數(shù)的化簡方法邏輯函數(shù)的化簡方法 DCACL DC A C = )DC)(CA( )C+D()CA( DCCA 1 1、邏輯函數(shù)的最簡表達式、邏輯函數(shù)的最簡表達式在若干個邏輯關(guān)系相同的與在若干個邏輯關(guān)系相同的與- -或表達式中，將其中包含的與項數(shù)或表達式中，將其中包含的與項數(shù)最少，且每個與項中變量數(shù)最少的表達式稱為最簡與最少，且每個與項中變量數(shù)最少的表達式稱為最簡與- -或表達式?；虮磉_式。2、邏輯函數(shù)的化簡方法、邏輯函數(shù)的化簡方法 化簡的主要方法：化簡的主要方法：公式法（代數(shù)法）公式法（代數(shù)法）圖解法（卡諾圖法）

12、圖解法（卡諾圖法）代數(shù)化簡法：代數(shù)化簡法： 運用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進行化簡的方法。運用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進行化簡的方法。 1AA并項法并項法: : CBA CBAL BA)CC(BA 1 AAABBA 吸收法：吸收法： A + AB = A 消去法消去法： BABAA CABAB CAB 配項法配項法： CA=AB BAFEBCDABAL )(CBAAB)( CBCAABL A+AB=A+BCBCAABL CBAACAAB)( CBACABCA=AB )()(BCACACABAB )CC(DBADBA)DD(ABL DBADBA=AB )(DDBAAB BAAB BAAB BA

13、AB CDBADCBAABDDBADABL )例例 已知邏輯函數(shù)表達式為已知邏輯函數(shù)表達式為，要求：（要求：（1）最簡的與）最簡的與-或邏輯函數(shù)表達式，并畫出相應(yīng)的邏輯圖；或邏輯函數(shù)表達式，并畫出相應(yīng)的邏輯圖；（2）僅用與非門畫出最簡表達式的邏輯圖。）僅用與非門畫出最簡表達式的邏輯圖。解：解：) B A L AB BA & & & & & CBACBA CBACBA CBACBA B L CBA 1 1 1 A C CBA 1 1 1 CBACBAL 例例 試對邏輯函數(shù)表達式試對邏輯函數(shù)表達式進行變換，僅用或非門畫出該表達式的邏輯圖。進行變換，僅用或非門

14、畫出該表達式的邏輯圖。解：解： CBACBAL 2.6.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的最小項表達式邏輯函數(shù)的最小項表達式最小項的定義及性質(zhì)最小項的定義及性質(zhì)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所有公式熟練掌握；有公式熟練掌握；2.代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經(jīng)驗代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經(jīng)驗和靈活性；和靈活性；3.用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對代數(shù)化簡用這種化簡方法技巧強，較難掌握。

15、特別是對代數(shù)化簡后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難。后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難?？ㄖZ圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式?？ㄖZ圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式。代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：n個變量個變量X1, X2, , Xn的最小項是的最小項是n個因子的乘積，每個變量個因子的乘積，每個變量都以它的原變量或非變量的形式在乘積項中出現(xiàn)，且僅出都以它的原變量或非變量的形式在乘積項中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。一般現(xiàn)一次。一般n個變量的最小項應(yīng)有個變量的最小項應(yīng)有2n個。個。 BAACBA、 、A(B+C)等則不是最小項。等則不是最小項。例

16、如，例如，A、B、C三個邏輯變量的最小項有（三個邏輯變量的最小項有（23）8個，即個，即 CBACBACBABCACBACBACABABC、1. 最小項的意義最小項的意義最小項的定義及其性質(zhì)最小項的定義及其性質(zhì)對于變量的任一組取值，全體最小項之和為對于變量的任一組取值，全體最小項之和為1 1。對于任意一個最小項，只有一組變量取值使得它的值為對于任意一個最小項，只有一組變量取值使得它的值為1 1； 對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為0 0；CBABCACBACBACBACABABCCBAABC0 00 00 01 10 00 00 00 00

17、 00 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 01 10 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 01 11 10 00 00 01 10 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 01 10 00 01 11 10 00 00 00 00 00 00 01 10 01 11 11 10 00 00 00 00 00 00 01 1三個變量的所有最小項的真值表三個變量的所有最小項的真值表 2、最小項的性質(zhì)最小項的性質(zhì) 3、最小項的編號最小項的編號 三個

18、變量的所有最小項的真值表三個變量的所有最小項的真值表 m0m1m2m3m4m5m6m7最小項的表示：通常用最小項的表示：通常用mi表示最小項，表示最小項，m 表示最小項表示最小項, ,下標(biāo)下標(biāo)i為為最小項號。最小項號。 ABC0 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 01 10 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 01 11 10 00 00 01 10 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00

19、 01 10 00 01 11 10 00 00 00 00 00 00 01 10 01 11 11 10 00 00 00 00 00 00 01 1CBABCACBACBACBACABABCCBA邏輯函數(shù)的最小項表達式邏輯函數(shù)的最小項表達式 ( ,)()()L A B CAB CCA BB Cl為為“與或與或”邏輯表達式；邏輯表達式； l 在在“與或與或”式中的每個乘積項都是最小項。式中的每個乘積項都是最小項。例例1 1 將將( , ,)L A B CABAC化成最小項表達式化成最小項表達式= m7m6m3m1 (7, 6 3 1)m, ,()L ABCABCABCABCABC邏輯函數(shù)的

20、最小項表達式：邏輯函數(shù)的最小項表達式：ABCABCABCABC( , ,)()L A B CABABC AB 例例2 將將 化成最小項表達式化成最小項表達式 a.去掉非號去掉非號()()L A,B,CABABCAB()AB AB CAB()()AB AB CABb.去括號去括號ABCABCAB()ABCABCAB CCABCABCABCABC3576(3,5,6,7)mmmmm用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1、卡諾圖的引出卡諾圖的引出卡諾圖：將卡諾圖：將n變量的全部最小項都用小方塊表示，并使具有變量的全部最小項都用小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，這樣

21、邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，這樣, ,所得到的圖形叫所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。變量的卡諾圖。邏輯相鄰的最小項：如果兩個最小項只有一個變量互為反變邏輯相鄰的最小項：如果兩個最小項只有一個變量互為反變量，那么，就稱這兩個最小項在邏輯上相鄰。量，那么，就稱這兩個最小項在邏輯上相鄰。如最小項如最小項m6=ABC、與與m7 =ABC 在邏輯上相在邏輯上相鄰鄰m7m6AB10100100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCD三變量卡諾圖三變量卡諾圖四變量卡諾圖四變

22、量卡諾圖BABABAAB兩變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0m1m2m3ACCCBABCACBABCACBACBACBAABCCAB m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB2、卡諾圖的特點卡諾圖的特點:各小方格對應(yīng)于各變量不同的組合，而且上下各小方格對應(yīng)于各變量不同的組合，而且上下左右在幾何上相鄰的方格內(nèi)只有一個因子有差別，這個重要特左右在幾何上相鄰的方格內(nèi)只有一個因子有差別，這個重要特點成為卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的主要依據(jù)點成為卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的主要依據(jù)。 3. 已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖當(dāng)邏輯函數(shù)為最小項表達式時，在卡諾圖中找出和表達式中當(dāng)邏輯函數(shù)為最小項表達式時，在卡

23、諾圖中找出和表達式中最小項對應(yīng)的小方格填上最小項對應(yīng)的小方格填上1，其余的小方格填上，其余的小方格填上0（有時也可（有時也可用空格表示），就可以得到相應(yīng)的卡諾圖。任何邏輯函數(shù)都用空格表示），就可以得到相應(yīng)的卡諾圖。任何邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖中為等于其卡諾圖中為1的方格所對應(yīng)的最小項之和。的方格所對應(yīng)的最小項之和。例例1：畫出邏輯函數(shù)：畫出邏輯函數(shù)L(A, B, C, D)= m(0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 14, 15)的卡諾圖的卡諾圖 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L ( ,

24、)()()()L A B C DABCD ABCD ABCD()()ABCD ABCDLABCDABCDABCDABCDABCD例例2 畫出下式的卡諾圖畫出下式的卡諾圖 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L 0 00 00 00 00 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解解1. 1. 將邏輯函數(shù)化為最小項表達式將邏輯函數(shù)化為最小項表達式2. 2. 填寫卡諾圖填寫卡諾圖 ),(m15131060用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) 1、化簡的依據(jù)、化簡的依據(jù)DABDADBA DBACDBADCBA BDABCDADCBA m0 m1 m3 m2 m4

25、m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 ADABDDBA DADDA 2、化簡的步驟、化簡的步驟用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟如下：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟如下：(4) 將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項相加。將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項相加。(1) 將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式(2) 按最小項表達式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，按最小項表達式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，其對應(yīng)方格填其對應(yīng)方格填1，其余方格填，其余方格填0。(3) 合并最小項，即將相鄰的合并最小項，即將相鄰的1方格圈

26、成一組方格圈成一組(包圍圈包圍圈)，每一組含每一組含2k個方格，對應(yīng)每個包圍圈寫成一個新的乘積個方格，對應(yīng)每個包圍圈寫成一個新的乘積項。本書中包圍圈用虛線框表示。項。本書中包圍圈用虛線框表示。畫包圍圈時應(yīng)遵循的原則：畫包圍圈時應(yīng)遵循的原則： （1 1）包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是）包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是2k個，且包圍圈必須呈矩形。個，且包圍圈必須呈矩形。（2）循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。（3）同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新增同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。（4） 一個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多一個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多, ,包圍圈的數(shù)目要可能少。包圍圈的數(shù)目要可能少。 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 DBBDL BD 例例 :用卡諾圖法化簡下列邏輯函數(shù)用卡諾圖法化簡下列邏輯函數(shù)（2）畫包圍圈合