二次函數(shù)線段和差最值的存在性問題解題策略

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略（8）線段和差最值的存在性問題解題策略專題攻略兩條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）.三條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）.兩條線段差的最大值問題， 一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊， 當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩 條線段差的最大值就是第三邊的長.如圖 3, PA與PB的差的最大值就是 AB,此時(shí)點(diǎn)P在 AB的延長線上，即 P'.解決線段和差的最值問題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題.-AT1D%.2日十圖1例題

2、解析例？ 如圖1-1,拋物線y=x2 是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果GMFPM圖2圖32x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P PAC的周長最小，求點(diǎn) P的坐標(biāo).弋JC < ： /【解析】如圖1-2,把拋物線的對稱軸當(dāng)作河流，點(diǎn) PBC中，PB + PC總是大于 BC的.如圖1-3,當(dāng)點(diǎn) PA+PC最小， PAC的周長也最小.由 y=x22x 3,可知 OB=OC = 3, OD = 1 .所圖1-2一 ，一 1c例？如圖，拋物線 y = x 4x +4與y軸父十點(diǎn)A與點(diǎn)B對稱，連結(jié)BC,那么在 P落在BC上時(shí)，PB+PC最小，因此以 DB=DP=2,因此 P（1,-2）.小

3、 圖1-3A, B是OA的中點(diǎn).一個(gè)動(dòng)點(diǎn) G從圖1-1點(diǎn)B出發(fā)，先經(jīng)過x軸上的點(diǎn)M,再經(jīng)過拋物線對稱軸上的點(diǎn) N,然后返回到點(diǎn) A.如果動(dòng)點(diǎn)G走過的路程最短，請找出點(diǎn) M、N的位置，并求最短路程.圖2-1【解析】如圖2-2,按照“臺球兩次碰壁”的模型，作點(diǎn) A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的 點(diǎn)A '，作點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)B ；連結(jié)A B與x軸交于點(diǎn)M ,與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)N.在RtAAB中，AA'= 8, AB'= 6,所以A'B'=10,即點(diǎn)G走過的最短路程為 10.根據(jù)相似比可以計(jì)算得到 OM = 8, MH = 4, NH = 1.所以M(_8,0

4、), N(4, 1).333圖2-2例？ 如圖3-1 ,拋物線y =4x2+8x+2與y軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為B.點(diǎn)P是x軸上 93的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段 PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點(diǎn)P圖3-1【解析】題目讀起來像繞口令，其實(shí)就是求|PAPB|的最小值與最大值.由拋物線的解析式可以得到A(0, 2), B(3, 6).設(shè)P(x, 0).絕對值|PAPB|的最小值當(dāng)然是 0 了，此時(shí)圖 3-2).解方程 x2+ 22= (x 3)2+ 62,得 x=416在PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么PA=PB,點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(如,41.此時(shí) P(41,0

5、) |PAPB|總是小于 AB 了.如圖3-3,當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上時(shí)，|PAPB|取得最大值，最大值 AB =5.此時(shí)P(3,0).2例？B P如圖4-1 ,菱形ABCD中，AB=2, / A= 120°,點(diǎn)P、Q、K分別為線段 BC、CD、BD上的任意一點(diǎn)，求 PK + QK的最小值.圖4-1【解析】如圖4-2,點(diǎn)Q關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)為Q',在4KPQ中，PK+QK總是大于 PQ的.如圖4-3,當(dāng)點(diǎn)K落在PQ'上時(shí)，PK+QK的最小值為 PQ如圖4-4, PQ '的最小值為QH, QH就是菱形 ABCD的高，Q'H=J3-這道題目應(yīng)用了兩個(gè)典型

6、的最值結(jié)論：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短.圖4-2例？ 如圖5-1 ,菱形圖4-3ABCD 中，/ A=60° , AB=3圖4-4OA> O B的半徑分別為2和1,P、E、F分別是邊 CD、OB和。A上的動(dòng)點(diǎn)，求 PE + PF的最小值.【解析】E、F、P三個(gè)點(diǎn)都不確定，怎么辦？ BE=1, AF=2是確定的，那么我們可以 求PB + PA 3的最小值，先求 PB+PA的最小值（如圖 5-2）.如圖5-3, PB+PA的最小值為 AB', AB'= 6.所以PE+PF的最小值等于 3.例？周長最?。空堈f明理由.【解析】在四邊形 ABEF中，AB、EF為定值，

7、求AE+BF的最小值，先把這兩條線段 經(jīng)過平移，使得兩條線段有公共端點(diǎn).如圖6-2,將線段BF向左平移兩個(gè)單位，得到線段 ME.如圖6-3,作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A' , MA'與x軸的交點(diǎn)E,滿足AE + ME最小.OE HF由 AOEs bhf ,得/曰 4，得 a = , 3BAA'圖6-3BC=1.點(diǎn)A、C分別在x軸和y y軸上運(yùn)動(dòng).在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，B例？ 如圖 7-1, 4ABC 中，/ ACB = 90 ° , AC = 2 軸的正半軸上，當(dāng)點(diǎn) A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) C也隨之在 求點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離.圖7-1【解析】如果把 OB放在某一個(gè)三角形

8、中，這個(gè)三角形的另外兩條邊的大小是確定的, 那么根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和.顯然 OBC是不符合條件的，因?yàn)?OC邊的大小不確定.如圖7-2,如果選AC的中點(diǎn)D,那么BD、OD都是定值，OD = 1, BD= J2 .在 OBD中，總是有 OBvOD + BD.如圖7-3,當(dāng)點(diǎn)D落在OB上時(shí)，OB最大，最大值為 J2 +1 .例？ 如圖8-1,已知A( 2,0)、B(4, 0)、D(-5,3j3).設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連結(jié)AF, 一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段 AF以每秒1個(gè)單位的速度。運(yùn)動(dòng)到F,再沿 線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到 D后停止.當(dāng)

9、點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn) M在整個(gè)運(yùn) 動(dòng)過程中用時(shí)最少？【解析】點(diǎn)B(4, 0)、D(心3%的坐標(biāo)隱含了/ DBA = 30° ,不由得讓我彳門聯(lián)想到 30角所對的直角邊等于斜邊的一半.如果把動(dòng)點(diǎn)M在兩條線段上的速度統(tǒng)一起來，問題就轉(zhuǎn)化了.如圖8-2,在RtA DEF中，F(xiàn)D=2FE.如果點(diǎn)M沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn) 動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，那么點(diǎn)M沿線段FE以每秒1個(gè)單位的速度正好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) E.因此當(dāng)AF + FE 最小時(shí)，點(diǎn)M用時(shí)最少.如圖8-3,當(dāng)AEXDE時(shí)，AF + FE最小，此時(shí) F(2,2冷).圖8-2例？ 如圖9-1,在RtABC中，/ C=90° , AC=6,

10、 BC = 8.點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn), 連結(jié)AE,過點(diǎn)E作AE的垂線交AB邊于點(diǎn)F ,求AF的最小值.A圖9-1【解析】如圖9-2,設(shè)AF的中點(diǎn)為D,那么DA=DE=DF.所以AF的最小值取決于DE的最小值.如圖9-3,當(dāng)DELBC時(shí)，DE最小.設(shè) DA=DE = m,此時(shí) DB=5m35由 AB = DA + DB ,付 m+m = 10.圖9-2, 一 15,15解得m=.此時(shí)AF=2m=圖9-31 O例？ 如圖10-1,已知點(diǎn)P是拋物線y =1x2上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為(0,1)、4(1,2),連結(jié)PD、PE,求PD + PE的最小值.圖 10-1【解析】點(diǎn)P不在一條筆直的河流上，沒有辦法套用“牛喝水”的模型.、1一I O9OI OOI OO .I O設(shè) P (x, x ),那么 PD = x +(- x -1) = (一 x +1).所以 PD = x +1 .44441 ，如圖10-2, x2 +1的幾何意義可以理解為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到直線